Presentación sobre las nociones de Derivadas de Orden Superior y su aplicación al campo de la Física. Velocidad media, instantánea y aceleración a partir del espacio recorrido en función del tiempo.

1. A p u n t e s d e M a t e m á t i c a .
D e p a r t a m e n t o d e M a t e m á t i c a
C o l e g i o Te o d e l i n a .
DE RIVADAS

2. Sea f una función derivable, entonces se dice que f ' es la primera
derivada o derivada ordinaria de f.
Puede suceder que esta nueva función sea a su vez derivable, en este
caso a la derivada de la primera derivada se le denomina segunda
derivada (f´´) de la función primitiva f.
Del mismo modo, la derivada de la segunda derivada se llama tercera
derivada de f (f’’’), y así sucesivamente hasta la enésima derivada.
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4. Un objeto se mueve sobre un espacio recorrido en función
del tiempo: s(t) .
La tasa de variación media (TVM) de la función s(t) en un
intervalo (t0, t1) indica la velocidad media de dicho móvil entre
los instantes t0 y t1 .
• s'(t) es su velocidad en un instante cualquiera t .
• s''(t) es su aceleración en un instante cualquiera t .
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5. Para encontrar la rapidez o lentitud del movimiento de un objeto
entre dos instantes t0 y t1 se recurre a la velocidad media:
Vm = [s(t0 + h) – s(t0)] / h
(recordar que t1 = t0 + h)
Indica la Vm del objeto entre los instantes t0 y t0 + h.
Ejemplo: La ecuación del espacio recorrido de un objeto en función del
tiempo es s(t) = 3t2 - t + 3, donde t se mide en segundos, hallar la velocidad media
en el intervalo [2 , 3] .
Vm = [s(3) – s(2)] / (3-2) = 14
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6. La velocidad instantánea es el límite de la velocidad media cuando h tiende a
cero, es decir, la derivada del espacio : v(t) = s´(t)
La aceleración instantánea es la derivada de la velocidad respecto al tiempo,
por lo tanto, la aceleración es la derivada segunda del espacio respecto al tiempo:
a(t) = v´(t) = s´´(t)
Siguiendo con el ejemplo anterior:
1) Halla la velocidad instantánea para t = 3 segundos.
v(t) = s´(t) = 6t – 1 v(3) = 6.3 – 1 = 17
2) Demuestra que la aceleración es constante para cualquier intervalo.
a(t) = v´(t) = s´´(t) = 6
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Departamento de Matemática – Colegio Teodelina.
Derivadas
Matemática Aplicada
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