concepto logica difusa

1. Introducción a la Lógica Difusa
Conjuntos Difusos y Conjuntos Clásicos
Mg. Samuel Oporto Díaz Lima, 10 Septiembre 2005

2. Tabla de Contenido
• Introducción
• Lógica Difusa
• Conjuntos Difusos
• Funciones de membresía
• Ejemplos de funciones de membresía
• Conceptos relacionados con los conjuntos difusos
/58
2

3. Mapa Conceptual del Curso
Introducción a la
Lógica Difusa
Conjuntos Operaciones Fusificadores y
Lógica Difusa Inferencia Difusa
Difusos Difusas Defusificadores
Conjuntos Operaciones con Reglas de
Variables Fusificadores y
Difusos y Conjuntos Inferencia
Lingüísticas Defusificadores
Clásicos Difusos Difusas
Relaciones en
Funciones de Lógica Clásica y Inferencia
Conjuntos
membresía Lógica Difusa Difusas
Difusos
Principio de
Extensión
/58
3

4. INTRODUCCIÓN
/58
4

5. Introducción
1. Incertidumbre.
– Se relaciona a la información (falta de información).
– Cuando no se sabe cuando puede ocurrir cierto evento.
– No se conoce una teoría que explique el fenómeno.
2. Probabilidad.
– Es una propiedad física de los objetos, determina la
posibilidad de que cierto evento puede ocurrir.
– Se calcula y verifica por experimentación.
3. Imprecisión (ambigüedad).
– Es una característica del lenguaje de comunicación
humano.
– Esta relacionada con el grado en que el evento ocurre.
/58
5

6. 1. Incertidumbre
• ¿Cuándo va ha suceder un terremoto?
• ¿Aprobaré el curso?
• Si tiro la moneda, ¿sale cara o sello?
• ¿La respuesta a la pregunta es V o F?
• A medida que se dispone de más información la
incertidumbre se puede reducir.
• La ausencia de incertidumbre es tener información total.
• Se trabaja con niveles de creencias.
/58
6

7. 1. Incertidumbre
• Se trabaja con niveles de creencias.
• Rango de valores [0,1]
• ¿Cuándo va ha suceder un terremoto?
Silencio sísmico
• ¿Aprobaré el curso?
¿Estudiaste?, ¿le dedicaste tiempo?, ¿hiciste tus trabajos?
• Si tiro la moneda, ¿saldrá cara o sello?
¿la moneda está sesgada?
• ¿Cuál es la respuesta para una pregunta con V o F?
Si sabes, responde. Si no sabes, cualquiera es buena respuesta.
/58
7

8. 2. Probabilidad
Rango de valores [0,1]
Ejemplos:
• P (X = cara) = 0.5
• P (X = hombre) = 0.5 P(X=x)
• P (X = ROJO) = 2/7
X
ROJO AZUL VERDE
/58
8

9. 3. Ambigüedad
• La ambigüedad es incertidumbre determinística
• Ambigüedad está relacionada con el grado con el cual los
eventos ocurren sin importar la probabilidad de su
ocurrencia.
• Por ejemplo, el grado de juventud de una persona es un
evento difuso sin importar que sea un elemento aleatorio.
/58
9

10. 3. Ambigüedad
Es una característica del lenguaje humano.
Ejemplos:
• Si estudias bastante entonces obtendrás buenas notas.
• El proyecto del KDD avanza fuertemente.
• Los alumnos le ponen fuerza a sus proyectos.
• Profesor buena gente
• Profesor mala gente
• Si el profesor es buena gente entonces el examen será fácil
• Si el profesor es mala gente entonces el examen será difícil
10
/58

11. Ambigüedad contra Probabilidad
• Ambigüedad es una incertidumbre determinística, la
probabilidad es no determinística.
• La incertidumbre probabilística se disipa con el incremento
del número de ocurrencias y la difusifisidad no.
• La ambigüedad describe eventos ambiguos, la probabilidad
describe los eventos que ocurren.
• Si un evento ocurre es aleatorio. El grado con el cual ocurre
es difuso.
11
/58

12. Ejercicio 1
¿Es probablemente una elipse, o
es ambiguamente una elipse?
12
/58

13. Ambigüedad contra Probabilidad
Incertidumbre
Conjuntos Difusos Redes Bayesianas
Subjetividad en la Aleatoriedad
calificación de de eventos
eventos no definidos de
aleatorios manera precisa
13
/58

14. LÓGICA DIFUSA
14
/58

15. Lógica Difusa
• La lógica difusa es una extensión de la lógica convencional
(Booleana) para manejar el concepto de verdad parcial.
• La verdad parcial se presenta cuando los valores de verdad
se encuentran entre “absolutamente cierto” y
“absolutamente falso”
V V
F F
Lógica booleana Lógica difusa
15
/58

16. Conjuntos Difusos y Lógica Difusa
• La palabra fuzzy viene del ingles fuzz (tamo, pelusa, vello)
y se traduce por difuso o borroso.
• Lotfi A. Zadeh: Es el padre de toda esta teoría (Zadeh,
1965).
• Importancia: En la actualidad es un campo de
investigación muy importante, tanto por sus implicaciones
matemáticas o teóricas como por sus aplicaciones
prácticas.
• Revistas Int.: Fuzzy Sets and Systems, IEEE Transactions
on Fuzzy Systems...
• Congresos: FUZZ-IEEE, IPMU, EUSFLAT, ESTYLF...
• Bibliografía Gral.: (Kruse, 1994), (McNeill, 1994),
(Mohammd, 1993), (Pedrycz, 1998)...
16
/58

17. Conjuntos Difusos y Lógica Difusa
• Problemas Básicos subyacentes:
– Conceptos SIN definición clara: Muchos conceptos
que manejamos los humanos a menudo, no tienen una
definición clara: ¿Qué es una persona alta? ¿A partir de
qué edad una persona deja de ser joven?
– La lógica clásica o bivaluada es demasiado
restrictiva: Una afirmación puede no ser ni VERDAD
(true) ni FALSA (false).
• “Yo leeré El Quijote”: ¿En qué medida es cierto?
Depende de quien lo diga y...
• “Él es bueno en Física”: ¿Es bueno, muy bueno o un
poco mejor que regular?
17
/58

18. Ejemplo 1
Defina los siguientes conceptos:
• Algunas mujeres jóvenes son inteligentes
• Algunos hombres maduros son responsables.
• Sígueme de cerca.
• El carro está limpio.
• Otros ejemplos . . . . . . .
18
/58

19. ¿Cuándo usar la lógica difusa?
(Sur, Omron, 1997)
• En procesos complejos, si no existe un modelo de solución
sencillo.
• En procesos no lineales.
• Cuando haya que introducir la experiencia de un operador
“experto” que se base en conceptos imprecisos obtenidos
de su experiencia.
• Cuando ciertas partes del sistema a controlar son
desconocidas y no pueden medirse de forma fiable (con
errores posibles).
• Cuando el ajuste de una variable puede producir el
desajuste de otras.
• En general, cuando se quieran representar y operar con
conceptos que tengan imprecisión o incertidumbre (como
en las Bases de Datos Difusas).
19
/58

20. ¿Cuándo no usar la lógica difusa?
• Si puedes resolver el problema con otra técnica más
sencilla.
20
/58

21. Aplicaciones
(Sur, Omron, 1997; Zimmermann, 1993):
• Control de sistemas: Control de tráfico, control de
vehículos (helicópteros...), control de compuertas en
plantas hidroeléctricas, centrales térmicas, control en
máquinas lavadoras, control de metros (mejora de su
conducción, precisión en las paradas y ahorro de energía),
ascensores...
• Predicción y optimización: Predicción de terremotos,
optimizar horarios...
• Reconocimiento de patrones y Visión por ordenador:
Seguimiento de objetos con cámara, reconocimiento de
escritura manuscrita, reconocimiento de objetos,
compensación de vibraciones en la cámara
• Sistemas de información o conocimiento: Bases de
datos, sistemas expertos
21
/58

22. CONJUNTOS DIFUSOS
22
/58

23. Conjuntos Clásicos (crisp)
• El conjunto universal U (Universo de discurso) contiene
todos los elementos de cada contexto ó aplicación en
particular.
• Los conjuntos clásicos se pueden definir de las siguientes
maneras:
– Método de Lista (Finito) (extensión)
– Método de Regla A = {x ε U / x cumple ciertas
condiciones} (comprensión)
– Método de membresía (comprensión)
23
/58

24. Ejercicio 2
• Defina el conjunto A mediante los tres métodos de
representación de conjuntos:
U
L
M
A
A B C D
J F H
N K
24
/58

25. Ejercicio 2
Extensión:
A = {A, B, C, D, F, J, H}
Comprensión:
A = {x / A ≤ x ≤ H & x≠E & x≠G}
Membresía: 1
1 si x є {A, B, C, D, F, J, H}
A(x) =
0 si x є {K, L, M, N}
0
A B C D F H J K L MN
25
/58

26. Conjuntos Clásicos (crisp)
• Surgen de forma natural, por la necesidad del ser humano
de clasificar objetos y conceptos.
• Conjunto de Frutas: Manzana|Frutas, Lechuga|Frutas...
• Función de pertenencia A(x), x ε X:
– x es el Universo de Discurso.
– Restricción de la Función A: X  {0,1}
• Conjunto Vacío ⇒ Φ(x)=0, ∀ ε X
• Conjunto Universo ⇒ U(x)=1, ∀ ε X
26
/58

27. Conjuntos Clásicos
• Conjunto de Frutas: Manzana|Frutas, Lechuga|Frutas...
1 1
0 0
Frutas que no Manzanas Frutas que no lechugas
son manzanas son lechugas
Grado de pertenencia o
función de membresía
27
/58

28. Conceptos sobre Conjuntos Difusos
• Surgieron como una nueva forma de representar la
imprecisión y la incertidumbre.
• Herramientas que usa: Matemáticas, Probabilidad,
Estadística, Filosofía, Psicología...
• Es un puente entre dos tipos de computaciones:
– C. Numérica: Usada en aplicaciones científicas, por
ejemplo.
– C. Simbólica: Usada en todos los campos de la
Inteligencia Artificial.
28
/58

29. Conjuntos Difusos (fuzzy):
• Relajan la restricción, A: X [0,1] intervalo
• Un conjunto difuso en el universo U se caracteriza por la
función de membresía A(x) que toma el intervalo [0,1], a
diferencia de los conjuntos clásicos que toman el valor de
cero o uno {0, 1}
• El conjunto difuso A se puede representar por
• A = { (μA (x), x) / x ε U}
• A = { (μA (x) / x) / x ε U}
• Donde μA(x) es el grado de pertenencia.
29
/58

30. Conjuntos Difusos (fuzzy):
30
/58

31. Conjuntos Difusos
• Un conjunto difuso puede ser alternativamente denota
como:
• x es discreto 
• x es continuo
• Notar que la sumatoria y la integral representan la unión de
los grados de membresía y / no significa división.
31
/58

32. Ejemplo 2
Sea el conjunto difuso joven.
grado de
pertencia
1
0 edad
15 20 25 30 35 40 45 50
A = {1/10, 1/15, 1/20, 0.75/25, 0.25/30, 0/35 }
A = {(1,10), (1,15), (1,20), (0.75,25), (0.25,30), (0.35,0) }
32
/58

33. Ejemplo 2
Sea el conjunto difuso joven.
grado de
pertencia
1
0 edad
15 20 25 30 35 40 45 50
A = {1/10, 1/15, 0.80/20, 0.60/25, 0.40/30, 0.20/35, 0.0/40 }
A = {(10,1), (15,1), (20,0.8), (25,0.60), (30,0.40), (35,0.20), (40,0.0) }
33
/58

34. FUNCIONES DE MEMBRESIA
34
/58

35. Función de membresía
Se pueden definir como:
• Una función con parámetros pk(x) del elemento x.
µ A ( x) = µ A ( p1 ( x), p2 ( x),... , pn ( x))
• Una enumeración de pares definidos sobre elementos
discretos del conjunto
A = ∑ µ ( x) / x
x∈U
A
• donde
∑ no representa una suma, sino una agregación de pares.
– µA(x)/x no representa ningún cociente, sino un par
(posibilidad/elemento)
35
/58

36. Ejemplo 3
• Sea el conjunto de las personas “altas” definido sobre el
conjunto de la población y considerando un elemento del
mismo denominado “pepe”.
• ¿ pepe pertenece o no al conjunto de las personas “altas”?
• Esto se puede resolver atendiendo a la medida altura(pepe)
y una función que mide la posibilidad de ser considerado
alto en base a la altura.
µalto(altura)
1.0
0.5 µ ( pepe) = µ (altura( pepe))
Alto Alto
0.0 altura (m)
1.0 1.5 2.0
36
/58

37. Ejercicio 3
• Supongamos que se desea definir lo rápido que es un
carro.
• Aunque se puede utilizar la velocidad limite como
referencia, pocos carros alcanzan su velocidad límite en
alguna ocasión, de modo que una referencia mejor puede
ser utilizar la aceleración de 0 a 100 Km/hora.
• Podría afirmarse entonces que cualquier carro con una
aceleración de 0 a 100 km/h. en menos de 8 segundos, es
rápido y los demás son lentos.
37
/58

38. Ejercicio 3
La escala vertical representa la opinión de los especialistas
sobre lo que es rápido. El valor 1 significa que el 100 % opina
que una aceleración por debajo de los 8 segundos supone un
carro rápido. El 0 indica que por encima de los 8 segundos de
aceleración, nadie cree que un carro sea rápido
38
/58

39. Ejercicio 3
grado de
pertenencia
1
tiempo
0 8
En ella se muestra que sólo el 50 % de los especialistas
considerará que un tiempo por debajo de los 8 segundos es
rápido. En cualquier caso, él numero entre 0 y 1 da un valor
que indica rapidez de un carro, medida en una cierta escala.
39
/58

40. Ejercicio 4
• Grafique el conjunto difuso cerca de 50 años
40
/58

41. Ejercicio 4
• Grafique el conjunto difuso cerca de 50 años
30 50 70 30 50 70
41
/58

42. EJEMPLOS DE FUNCIONES DE
MEMBRESIA
42
/58

43. Triangular
1.0
0.5 Triangular(x; 20, 60, 80)
0.0
0 50 100
  x − a , c − x , 0 
Triangular( x; a, b, c) = max  min  

 b−a c−b  
43
/58

44. Trapezoidal
1.0
0.5 Trapezoidal (x; 10, 20, 60, 95)
0.0
0 50 100
 x−a d − x 
 min
Trapezoidal ( x; a, b, c, d ) = max   , 1, , 0 
 b−a d −c   
44
/58

45. Gaussiana
1.0
0.5 Gaussiana (x; 20, 50)
0.0
0 50 100
2
−( xσ c )
−
Gaussiana ( x;σ , c) = e
45
/58

46. Campana
1.0
0.5 Campana (x; 20, 4, 50)
0.0
0 50 100
1
Campana ( x; a, b, c) =
x−c 2b
1+ 
 
 a 
46
/58

47. Sigmoide
1.0
0.5 Sigmoide(x; 0.2, 50)
0.0
0 50 100
1
Sigmoide( x; a, c) =
− a( x − c)
1+ e
47
/58

48. Grau de Pertenencia
Ejemplo de función de membresía
1
a1 a2 Altura(cm)
Bajo Médio Alto
1
48
/58

49. Ejercicio 5
• Defina el conjunto difuso “cercano a cero”
49
/58

50. Ejercicio 5
• Defina el conjunto difuso “cercano a cero”
50
/58

51. Ejercicio 6
Definir el conjunto difuso: A = “número sensible de niños”
Dado el universo discreto:
U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
51
/58

52. Ejercicio 6
Definir el conjunto difuso: A = “número sensible de niños”
Dado el universo discreto:
U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = {(0, .1), (1, .3), (2, .7), (3, 1), (4, .6), (5, .2), (6, .1)}
.9
.7
.5
.3
.1
0 1 2 3 4 5 6
52
/58

53. CONCEPTOS
RELACIONADOS CON
CONJUNTOS DIFUSOS
53
/58

54. Conceptos Básicos
54
/58

55. Soporte
• El soporte de un conjunto difuso A en el universo de
discurso U es un conjunto crips que contiene todos los
elementos de U que tenga valores de membresía ≠ 0 en A.
Suporte(A) = {x є U / μA(x) > 0}
μA(x)
1
x
suporte
55
/58

56. Soporte
• Si el soporte de un conjunto difuso es vacío, este es
llamado conjunto difuso vacío (empty fuzzy set).
• Si el conjunto soporte está representado por un solo punto
en U, este se denomina singleton difuso (fuzzy singleton).
• El punto de cruce μA(x)
(crossover point) de 1
un conjunto difuso es
el punto en U donde 0.5
el valor de membresía x
en A es 0.5.
Punto de cruce
56
/58

57. Núcleo
• El conjunto x, donde μA(x) alcanza el valor de 1 se
denomina núcleo (core).
μA(x)
1
x
núcleo
57
/58

58. Altura
• La altura de un conjunto difuso es el mayor valor de
membresía logrado por algún punto.
• En un conjunto difuso normal la altura es 1.
μA(x)
• normal: se μA(x) = 1
altura
• subnormal: se μA(x) < 1 x
58
/58

59. Valor Medio
• Si el valor medio de todos los puntos en el cual la función
de membresía de un conjunto difuso logra su máximo valor
es finito, entonces el centro del conjunto difuso es el
promedio de los valores.
• Si el valor medio es infinito, entonces el centro es definido
como el más pequeño entre todos los puntos que logran el
máximo valor de membresía.
59
/58

60. Valor medio
60
/58

61. α - cut y α - cut fuerte
• Dado un conjunto difuso A definido en X y un número α ∈
[0; 1] un conjunto α - cut es un conjunto crisp que contiene
todos los elementos en U que tengan valores de
membresía en A mayores o iguales que α, definido por:
Aα = { x є U / μA(x) ≥ α}
Aα + = { x є U / μA(x) > α} strong α - cut
61
/58

62. Propiedades α-cut y strong α-cut
• Dado un conjunto difuso A definido en X y un par α1 y α2
∈ [0; 1] tal que α1 < α2 entonces:
– Aα1 ⊇ Aα2 y Aα1+ ⊇ Aα2+
– (Aα1 ∩ Aα2) = Aα2 y (Aα1+ ∩ Aα2+) = Aα2+
– (Aα1 ∪ Aα2 ) = Aα1 y (Aα1+ ∪ Aα2+) = Aα1+
62
/58

63. Operaciones Estándar
• Complemento A(x)
A(x) = 1 - A(x)
• Punto de equilibrio:
Son todos los elementos en X donde A(x) = A(x)
63
/58

64. Operaciones Estándar
• Sean dos conjuntos difusos A y B:
• Unión: t-conormas
( A∪B ) x = max[ A(x), B(x)]
• Intersección: t-normas
( A∩B ) x = min[ A(x), B(x)]
64
/58

65. Conjunto Crisp: Convexo
• Sea A un conjunto en Rn .
• A es un conjunto convexo si y solo si:
 para todos los pares de puntos r y s de A
 para todo numero real λ ∈ [0;1]
 un punto t definido por t = λ r + (1-λ) s también está en A
65
/58

66. Conjunto Difuso: Convexo
• Un conjunto difuso es convexo si y sólo si su α-cut Aα es un
conjunto convexo para algún a en el intervalo (0, 1]
• Un conjunto A es convexo si para algún λ en [0, 1]
• μA(λx1 + (1 – λ)x2) ≥ min(μA(x1), μA(x2))
• Alternativamente, A es convexo si todos los α-cuts son
convexos
66
/58

67. Conjunto Difuso: Convexo
1
0.8
67
/58

68. Ejercicio
• Un conjunto difuso A esta dado por:
• A = {(2,1), (3,0.8), (4,0.6), (5,0.4), (6,0.2), (7,0.4), (8,0.6),
(9,0.8), (10,1)}
• Usando:
• μA(λx1 + (1 – λ)x2) ≥ min(μA(x1), μA(x2))
• Donde x1 = 2, x2 = 10 y λ = 0.5, buscar si el conjunto es
convexo o no. Confirmar su respuesta dibujando el conjunto
difuso A.
68
/58

69. Conjunto Crips: Supremo e Infimo
• Sea R un conjunto de números reais tal que:
– r es el límite superior de R
– s es el límite inferior de R
• Supremo: r = sup R
• Infimo: s = inf R
69
/58

70. PREGUNTAS
70
/58