Introducción a la Lógica Difusa     Conjuntos Difusos y Conjuntos ClásicosMg. Samuel Oporto Díaz           Lima, 10 Septie...
Tabla de Contenido•   Introducción•   Lógica Difusa•   Conjuntos Difusos•   Funciones de membresía•   Ejemplos de funcione...
Mapa Conceptual del Curso                                  Introducción a la                                    Lógica Dif...
INTRODUCCIÓN               /58                4
Introducción1. Incertidumbre.   – Se relaciona a la información (falta de información).   – Cuando no se sabe cuando puede...
1. Incertidumbre•   ¿Cuándo va ha suceder un terremoto?•   ¿Aprobaré el curso?•   Si tiro la moneda, ¿sale cara o sello?• ...
1. Incertidumbre• Se trabaja con niveles de creencias.• Rango de valores [0,1]• ¿Cuándo va ha suceder un terremoto?   Sile...
2. ProbabilidadRango de valores [0,1]Ejemplos:• P (X = cara) = 0.5• P (X = hombre) = 0.5    P(X=x)• P (X = ROJO) = 2/7    ...
3. Ambigüedad• La ambigüedad es incertidumbre determinística• Ambigüedad está relacionada con el grado con el cual los  ev...
3. AmbigüedadEs una característica del lenguaje humano.Ejemplos:• Si estudias bastante entonces obtendrás buenas notas.• E...
Ambigüedad contra Probabilidad• Ambigüedad es una incertidumbre determinística, la  probabilidad es no determinística.• La...
Ejercicio 1¿Es probablemente una elipse, o es ambiguamente una elipse?                                  12                ...
Ambigüedad contra Probabilidad                     IncertidumbreConjuntos Difusos                    Redes BayesianasSubje...
LÓGICA DIFUSA                14                 /58
Lógica Difusa• La lógica difusa es una extensión de la lógica convencional  (Booleana) para manejar el concepto de verdad ...
Conjuntos Difusos y Lógica Difusa• La palabra fuzzy viene del ingles fuzz (tamo, pelusa, vello)  y se traduce por difuso o...
Conjuntos Difusos y Lógica Difusa• Problemas Básicos subyacentes:   – Conceptos SIN definición clara: Muchos conceptos    ...
Ejemplo 1Defina los siguientes conceptos:• Algunas mujeres jóvenes son inteligentes• Algunos hombres maduros son responsab...
¿Cuándo usar la lógica difusa?(Sur, Omron, 1997)• En procesos complejos, si no existe un modelo de solución  sencillo.• En...
¿Cuándo no usar la lógica difusa?• Si puedes resolver el problema con otra técnica más  sencilla.                         ...
Aplicaciones(Sur, Omron, 1997; Zimmermann, 1993):• Control de sistemas: Control de tráfico, control de  vehículos (helicóp...
CONJUNTOS DIFUSOS                    22                     /58
Conjuntos Clásicos (crisp)• El conjunto universal U (Universo de discurso) contiene  todos los elementos de cada contexto ...
Ejercicio 2• Defina el conjunto A mediante los tres métodos de  representación de conjuntos:                              ...
Ejercicio 2Extensión:A = {A, B, C, D, F, J, H}Comprensión:A = {x / A ≤ x ≤ H & x≠E & x≠G}Membresía:                       ...
Conjuntos Clásicos (crisp)• Surgen de forma natural, por la necesidad del ser humano  de clasificar objetos y conceptos.• ...
Conjuntos Clásicos• Conjunto de Frutas: Manzana|Frutas, Lechuga|Frutas... 1                                            10 ...
Conceptos sobre Conjuntos Difusos• Surgieron como una nueva forma de representar la  imprecisión y la incertidumbre.• Herr...
Conjuntos Difusos (fuzzy):• Relajan la restricción, A: X [0,1]   intervalo• Un conjunto difuso en el universo U se caract...
Conjuntos Difusos (fuzzy):                             30                              /58
Conjuntos Difusos• Un conjunto difuso puede ser alternativamente denota  como:• x es discreto • x es continuo• Notar que ...
Ejemplo 2Sea el conjunto difuso joven.grado depertencia  1  0                                                     edad    ...
Ejemplo 2Sea el conjunto difuso joven.grado depertencia  1  0                                                   edad      ...
FUNCIONES DE MEMBRESIA                         34                          /58
Función de membresíaSe pueden definir como:• Una función con parámetros pk(x) del elemento x.                µ A ( x) = µ ...
Ejemplo 3• Sea el conjunto de las personas “altas” definido sobre el  conjunto de la población y considerando un elemento ...
Ejercicio 3• Supongamos que se desea definir lo rápido que es un  carro.• Aunque se puede utilizar la velocidad limite com...
Ejercicio 3La escala vertical representa la opinión de los especialistassobre lo que es rápido. El valor 1 significa que e...
Ejercicio 3                    grado de                    pertenencia            1                                       ...
Ejercicio 4• Grafique el conjunto difuso cerca de 50 años                                                 40              ...
Ejercicio 4• Grafique el conjunto difuso cerca de 50 años       30    50     70             30    50      70              ...
EJEMPLOS DE FUNCIONES DE       MEMBRESIA                       42                        /58
Triangular 1.0 0.5                                       Triangular(x; 20, 60, 80) 0.0       0          50           100  ...
Trapezoidal    1.0    0.5                            Trapezoidal (x; 10, 20, 60, 95)    0.0          0        50          ...
Gaussiana1.00.5                        Gaussiana (x; 20, 50)0.0      0     50       100                                   ...
Campana1.00.5                                   Campana (x; 20, 4, 50)0.0      0            50          100               ...
Sigmoide1.00.5                                     Sigmoide(x; 0.2, 50)0.0      0           50             100            ...
Grau de Pertenencia                      Ejemplo de función de membresía                      1                           ...
Ejercicio 5• Defina el conjunto difuso “cercano a cero”                                               49                  ...
Ejercicio 5• Defina el conjunto difuso “cercano a cero”                                               50                  ...
Ejercicio 6Definir el conjunto difuso: A = “número sensible de niños”Dado el universo discreto:U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}  ...
Ejercicio 6Definir el conjunto difuso: A = “número sensible de niños”Dado el universo discreto:U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}  ...
CONCEPTOSRELACIONADOS CONCONJUNTOS DIFUSOS                    53                     /58
Conceptos Básicos                    54                     /58
Soporte• El soporte de un conjunto difuso A en el universo de  discurso U es un conjunto crips que contiene todos los  ele...
Soporte• Si el soporte de un conjunto difuso es vacío, este es  llamado conjunto difuso vacío (empty fuzzy set).• Si el co...
Núcleo• El conjunto x, donde μA(x) alcanza el valor de 1 se  denomina núcleo (core).          μA(x)          1            ...
Altura• La altura de un conjunto difuso es el mayor valor de  membresía logrado por algún punto.• En un conjunto difuso no...
Valor Medio• Si el valor medio de todos los puntos en el cual la función  de membresía de un conjunto difuso logra su máxi...
Valor medio              60               /58
α - cut y α - cut fuerte• Dado un conjunto difuso A definido en X y un número α ∈  [0; 1] un conjunto α - cut es un conjun...
Propiedades α-cut y strong α-cut• Dado un conjunto difuso A definido en X y un par α1 y α2  ∈ [0; 1] tal que α1 < α2 enton...
Operaciones Estándar• Complemento A(x)                  A(x) = 1 - A(x)• Punto de equilibrio:  Son todos los elementos e...
Operaciones Estándar• Sean dos conjuntos difusos A y B:• Unión: t-conormas             ( A∪B ) x = max[ A(x), B(x)]• Inter...
Conjunto Crisp: Convexo•   Sea A un conjunto en Rn .•   A es un conjunto convexo si y solo si:     para todos los pares d...
Conjunto Difuso: Convexo• Un conjunto difuso es convexo si y sólo si su α-cut Aα es un  conjunto convexo para algún a en e...
Conjunto Difuso: Convexo 10.8                                 67                                  /58
Ejercicio• Un conjunto difuso A esta dado por:• A = {(2,1), (3,0.8), (4,0.6), (5,0.4), (6,0.2), (7,0.4), (8,0.6),  (9,0.8)...
Conjunto Crips: Supremo e Infimo•   Sea R un conjunto de números reais tal que:    – r es el límite superior de R    – s e...
PREGUNTAS            70             /58
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Logica difusa conceptos

  1. 1. Introducción a la Lógica Difusa Conjuntos Difusos y Conjuntos ClásicosMg. Samuel Oporto Díaz Lima, 10 Septiembre 2005
  2. 2. Tabla de Contenido• Introducción• Lógica Difusa• Conjuntos Difusos• Funciones de membresía• Ejemplos de funciones de membresía• Conceptos relacionados con los conjuntos difusos /58 2
  3. 3. Mapa Conceptual del Curso Introducción a la Lógica Difusa Conjuntos Operaciones Fusificadores y Lógica Difusa Inferencia Difusa Difusos Difusas Defusificadores Conjuntos Operaciones con Reglas de Variables Fusificadores y Difusos y Conjuntos Inferencia Lingüísticas Defusificadores Clásicos Difusos Difusas Relaciones enFunciones de Lógica Clásica y Inferencia Conjuntos membresía Lógica Difusa Difusas Difusos Principio de Extensión /58 3
  4. 4. INTRODUCCIÓN /58 4
  5. 5. Introducción1. Incertidumbre. – Se relaciona a la información (falta de información). – Cuando no se sabe cuando puede ocurrir cierto evento. – No se conoce una teoría que explique el fenómeno.2. Probabilidad. – Es una propiedad física de los objetos, determina la posibilidad de que cierto evento puede ocurrir. – Se calcula y verifica por experimentación.3. Imprecisión (ambigüedad). – Es una característica del lenguaje de comunicación humano. – Esta relacionada con el grado en que el evento ocurre. /58 5
  6. 6. 1. Incertidumbre• ¿Cuándo va ha suceder un terremoto?• ¿Aprobaré el curso?• Si tiro la moneda, ¿sale cara o sello?• ¿La respuesta a la pregunta es V o F?• A medida que se dispone de más información la incertidumbre se puede reducir.• La ausencia de incertidumbre es tener información total.• Se trabaja con niveles de creencias. /58 6
  7. 7. 1. Incertidumbre• Se trabaja con niveles de creencias.• Rango de valores [0,1]• ¿Cuándo va ha suceder un terremoto? Silencio sísmico• ¿Aprobaré el curso? ¿Estudiaste?, ¿le dedicaste tiempo?, ¿hiciste tus trabajos?• Si tiro la moneda, ¿saldrá cara o sello? ¿la moneda está sesgada?• ¿Cuál es la respuesta para una pregunta con V o F? Si sabes, responde. Si no sabes, cualquiera es buena respuesta. /58 7
  8. 8. 2. ProbabilidadRango de valores [0,1]Ejemplos:• P (X = cara) = 0.5• P (X = hombre) = 0.5 P(X=x)• P (X = ROJO) = 2/7 X ROJO AZUL VERDE /58 8
  9. 9. 3. Ambigüedad• La ambigüedad es incertidumbre determinística• Ambigüedad está relacionada con el grado con el cual los eventos ocurren sin importar la probabilidad de su ocurrencia.• Por ejemplo, el grado de juventud de una persona es un evento difuso sin importar que sea un elemento aleatorio. /58 9
  10. 10. 3. AmbigüedadEs una característica del lenguaje humano.Ejemplos:• Si estudias bastante entonces obtendrás buenas notas.• El proyecto del KDD avanza fuertemente.• Los alumnos le ponen fuerza a sus proyectos.• Profesor buena gente• Profesor mala gente• Si el profesor es buena gente entonces el examen será fácil• Si el profesor es mala gente entonces el examen será difícil 10 /58
  11. 11. Ambigüedad contra Probabilidad• Ambigüedad es una incertidumbre determinística, la probabilidad es no determinística.• La incertidumbre probabilística se disipa con el incremento del número de ocurrencias y la difusifisidad no.• La ambigüedad describe eventos ambiguos, la probabilidad describe los eventos que ocurren.• Si un evento ocurre es aleatorio. El grado con el cual ocurre es difuso. 11 /58
  12. 12. Ejercicio 1¿Es probablemente una elipse, o es ambiguamente una elipse? 12 /58
  13. 13. Ambigüedad contra Probabilidad IncertidumbreConjuntos Difusos Redes BayesianasSubjetividad en la Aleatoriedad calificación de de eventos eventos no definidos de aleatorios manera precisa 13 /58
  14. 14. LÓGICA DIFUSA 14 /58
  15. 15. Lógica Difusa• La lógica difusa es una extensión de la lógica convencional (Booleana) para manejar el concepto de verdad parcial.• La verdad parcial se presenta cuando los valores de verdad se encuentran entre “absolutamente cierto” y “absolutamente falso” V V F F Lógica booleana Lógica difusa 15 /58
  16. 16. Conjuntos Difusos y Lógica Difusa• La palabra fuzzy viene del ingles fuzz (tamo, pelusa, vello) y se traduce por difuso o borroso.• Lotfi A. Zadeh: Es el padre de toda esta teoría (Zadeh, 1965).• Importancia: En la actualidad es un campo de investigación muy importante, tanto por sus implicaciones matemáticas o teóricas como por sus aplicaciones prácticas.• Revistas Int.: Fuzzy Sets and Systems, IEEE Transactions on Fuzzy Systems...• Congresos: FUZZ-IEEE, IPMU, EUSFLAT, ESTYLF...• Bibliografía Gral.: (Kruse, 1994), (McNeill, 1994), (Mohammd, 1993), (Pedrycz, 1998)... 16 /58
  17. 17. Conjuntos Difusos y Lógica Difusa• Problemas Básicos subyacentes: – Conceptos SIN definición clara: Muchos conceptos que manejamos los humanos a menudo, no tienen una definición clara: ¿Qué es una persona alta? ¿A partir de qué edad una persona deja de ser joven? – La lógica clásica o bivaluada es demasiado restrictiva: Una afirmación puede no ser ni VERDAD (true) ni FALSA (false). • “Yo leeré El Quijote”: ¿En qué medida es cierto? Depende de quien lo diga y... • “Él es bueno en Física”: ¿Es bueno, muy bueno o un poco mejor que regular? 17 /58
  18. 18. Ejemplo 1Defina los siguientes conceptos:• Algunas mujeres jóvenes son inteligentes• Algunos hombres maduros son responsables.• Sígueme de cerca.• El carro está limpio.• Otros ejemplos . . . . . . . 18 /58
  19. 19. ¿Cuándo usar la lógica difusa?(Sur, Omron, 1997)• En procesos complejos, si no existe un modelo de solución sencillo.• En procesos no lineales.• Cuando haya que introducir la experiencia de un operador “experto” que se base en conceptos imprecisos obtenidos de su experiencia.• Cuando ciertas partes del sistema a controlar son desconocidas y no pueden medirse de forma fiable (con errores posibles).• Cuando el ajuste de una variable puede producir el desajuste de otras.• En general, cuando se quieran representar y operar con conceptos que tengan imprecisión o incertidumbre (como en las Bases de Datos Difusas). 19 /58
  20. 20. ¿Cuándo no usar la lógica difusa?• Si puedes resolver el problema con otra técnica más sencilla. 20 /58
  21. 21. Aplicaciones(Sur, Omron, 1997; Zimmermann, 1993):• Control de sistemas: Control de tráfico, control de vehículos (helicópteros...), control de compuertas en plantas hidroeléctricas, centrales térmicas, control en máquinas lavadoras, control de metros (mejora de su conducción, precisión en las paradas y ahorro de energía), ascensores...• Predicción y optimización: Predicción de terremotos, optimizar horarios...• Reconocimiento de patrones y Visión por ordenador: Seguimiento de objetos con cámara, reconocimiento de escritura manuscrita, reconocimiento de objetos, compensación de vibraciones en la cámara• Sistemas de información o conocimiento: Bases de datos, sistemas expertos 21 /58
  22. 22. CONJUNTOS DIFUSOS 22 /58
  23. 23. Conjuntos Clásicos (crisp)• El conjunto universal U (Universo de discurso) contiene todos los elementos de cada contexto ó aplicación en particular.• Los conjuntos clásicos se pueden definir de las siguientes maneras: – Método de Lista (Finito) (extensión) – Método de Regla A = {x ε U / x cumple ciertas condiciones} (comprensión) – Método de membresía (comprensión) 23 /58
  24. 24. Ejercicio 2• Defina el conjunto A mediante los tres métodos de representación de conjuntos: U L M A A B C D J F H N K 24 /58
  25. 25. Ejercicio 2Extensión:A = {A, B, C, D, F, J, H}Comprensión:A = {x / A ≤ x ≤ H & x≠E & x≠G}Membresía: 1 1 si x є {A, B, C, D, F, J, H} A(x) = 0 si x є {K, L, M, N} 0 A B C D F H J K L MN 25 /58
  26. 26. Conjuntos Clásicos (crisp)• Surgen de forma natural, por la necesidad del ser humano de clasificar objetos y conceptos.• Conjunto de Frutas: Manzana|Frutas, Lechuga|Frutas...• Función de pertenencia A(x), x ε X: – x es el Universo de Discurso. – Restricción de la Función A: X  {0,1}• Conjunto Vacío ⇒ Φ(x)=0, ∀ ε X• Conjunto Universo ⇒ U(x)=1, ∀ ε X 26 /58
  27. 27. Conjuntos Clásicos• Conjunto de Frutas: Manzana|Frutas, Lechuga|Frutas... 1 10 0 Frutas que no Manzanas Frutas que no lechugas son manzanas son lechugas Grado de pertenencia o función de membresía 27 /58
  28. 28. Conceptos sobre Conjuntos Difusos• Surgieron como una nueva forma de representar la imprecisión y la incertidumbre.• Herramientas que usa: Matemáticas, Probabilidad, Estadística, Filosofía, Psicología...• Es un puente entre dos tipos de computaciones: – C. Numérica: Usada en aplicaciones científicas, por ejemplo. – C. Simbólica: Usada en todos los campos de la Inteligencia Artificial. 28 /58
  29. 29. Conjuntos Difusos (fuzzy):• Relajan la restricción, A: X [0,1] intervalo• Un conjunto difuso en el universo U se caracteriza por la función de membresía A(x) que toma el intervalo [0,1], a diferencia de los conjuntos clásicos que toman el valor de cero o uno {0, 1}• El conjunto difuso A se puede representar por• A = { (μA (x), x) / x ε U}• A = { (μA (x) / x) / x ε U}• Donde μA(x) es el grado de pertenencia. 29 /58
  30. 30. Conjuntos Difusos (fuzzy): 30 /58
  31. 31. Conjuntos Difusos• Un conjunto difuso puede ser alternativamente denota como:• x es discreto • x es continuo• Notar que la sumatoria y la integral representan la unión de los grados de membresía y / no significa división. 31 /58
  32. 32. Ejemplo 2Sea el conjunto difuso joven.grado depertencia 1 0 edad 15 20 25 30 35 40 45 50 A = {1/10, 1/15, 1/20, 0.75/25, 0.25/30, 0/35 } A = {(1,10), (1,15), (1,20), (0.75,25), (0.25,30), (0.35,0) } 32 /58
  33. 33. Ejemplo 2Sea el conjunto difuso joven.grado depertencia 1 0 edad 15 20 25 30 35 40 45 50 A = {1/10, 1/15, 0.80/20, 0.60/25, 0.40/30, 0.20/35, 0.0/40 } A = {(10,1), (15,1), (20,0.8), (25,0.60), (30,0.40), (35,0.20), (40,0.0) } 33 /58
  34. 34. FUNCIONES DE MEMBRESIA 34 /58
  35. 35. Función de membresíaSe pueden definir como:• Una función con parámetros pk(x) del elemento x. µ A ( x) = µ A ( p1 ( x), p2 ( x),... , pn ( x))• Una enumeración de pares definidos sobre elementos discretos del conjunto A = ∑ µ ( x) / x x∈U A• donde ∑ no representa una suma, sino una agregación de pares. – µA(x)/x no representa ningún cociente, sino un par (posibilidad/elemento) 35 /58
  36. 36. Ejemplo 3• Sea el conjunto de las personas “altas” definido sobre el conjunto de la población y considerando un elemento del mismo denominado “pepe”.• ¿ pepe pertenece o no al conjunto de las personas “altas”?• Esto se puede resolver atendiendo a la medida altura(pepe) y una función que mide la posibilidad de ser considerado alto en base a la altura. µalto(altura) 1.0 0.5 µ ( pepe) = µ (altura( pepe)) Alto Alto 0.0 altura (m) 1.0 1.5 2.0 36 /58
  37. 37. Ejercicio 3• Supongamos que se desea definir lo rápido que es un carro.• Aunque se puede utilizar la velocidad limite como referencia, pocos carros alcanzan su velocidad límite en alguna ocasión, de modo que una referencia mejor puede ser utilizar la aceleración de 0 a 100 Km/hora.• Podría afirmarse entonces que cualquier carro con una aceleración de 0 a 100 km/h. en menos de 8 segundos, es rápido y los demás son lentos. 37 /58
  38. 38. Ejercicio 3La escala vertical representa la opinión de los especialistassobre lo que es rápido. El valor 1 significa que el 100 % opinaque una aceleración por debajo de los 8 segundos supone uncarro rápido. El 0 indica que por encima de los 8 segundos deaceleración, nadie cree que un carro sea rápido 38 /58
  39. 39. Ejercicio 3 grado de pertenencia 1 tiempo 0 8En ella se muestra que sólo el 50 % de los especialistasconsiderará que un tiempo por debajo de los 8 segundos esrápido. En cualquier caso, él numero entre 0 y 1 da un valorque indica rapidez de un carro, medida en una cierta escala. 39 /58
  40. 40. Ejercicio 4• Grafique el conjunto difuso cerca de 50 años 40 /58
  41. 41. Ejercicio 4• Grafique el conjunto difuso cerca de 50 años 30 50 70 30 50 70 41 /58
  42. 42. EJEMPLOS DE FUNCIONES DE MEMBRESIA 42 /58
  43. 43. Triangular 1.0 0.5 Triangular(x; 20, 60, 80) 0.0 0 50 100   x − a , c − x , 0 Triangular( x; a, b, c) = max  min     b−a c−b   43 /58
  44. 44. Trapezoidal 1.0 0.5 Trapezoidal (x; 10, 20, 60, 95) 0.0 0 50 100  x−a d − x   minTrapezoidal ( x; a, b, c, d ) = max   , 1, , 0   b−a d −c    44 /58
  45. 45. Gaussiana1.00.5 Gaussiana (x; 20, 50)0.0 0 50 100 2 −( xσ c ) −Gaussiana ( x;σ , c) = e 45 /58
  46. 46. Campana1.00.5 Campana (x; 20, 4, 50)0.0 0 50 100 1 Campana ( x; a, b, c) = x−c 2b 1+     a  46 /58
  47. 47. Sigmoide1.00.5 Sigmoide(x; 0.2, 50)0.0 0 50 100 1 Sigmoide( x; a, c) = − a( x − c) 1+ e 47 /58
  48. 48. Grau de Pertenencia Ejemplo de función de membresía 1 a1 a2 Altura(cm) Bajo Médio Alto 1 48 /58
  49. 49. Ejercicio 5• Defina el conjunto difuso “cercano a cero” 49 /58
  50. 50. Ejercicio 5• Defina el conjunto difuso “cercano a cero” 50 /58
  51. 51. Ejercicio 6Definir el conjunto difuso: A = “número sensible de niños”Dado el universo discreto:U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} 51 /58
  52. 52. Ejercicio 6Definir el conjunto difuso: A = “número sensible de niños”Dado el universo discreto:U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} A = {(0, .1), (1, .3), (2, .7), (3, 1), (4, .6), (5, .2), (6, .1)} .9 .7 .5 .3 .1 0 1 2 3 4 5 6 52 /58
  53. 53. CONCEPTOSRELACIONADOS CONCONJUNTOS DIFUSOS 53 /58
  54. 54. Conceptos Básicos 54 /58
  55. 55. Soporte• El soporte de un conjunto difuso A en el universo de discurso U es un conjunto crips que contiene todos los elementos de U que tenga valores de membresía ≠ 0 en A. Suporte(A) = {x є U / μA(x) > 0} μA(x) 1 x suporte 55 /58
  56. 56. Soporte• Si el soporte de un conjunto difuso es vacío, este es llamado conjunto difuso vacío (empty fuzzy set).• Si el conjunto soporte está representado por un solo punto en U, este se denomina singleton difuso (fuzzy singleton).• El punto de cruce μA(x) (crossover point) de 1 un conjunto difuso es el punto en U donde 0.5 el valor de membresía x en A es 0.5. Punto de cruce 56 /58
  57. 57. Núcleo• El conjunto x, donde μA(x) alcanza el valor de 1 se denomina núcleo (core). μA(x) 1 x núcleo 57 /58
  58. 58. Altura• La altura de un conjunto difuso es el mayor valor de membresía logrado por algún punto.• En un conjunto difuso normal la altura es 1. μA(x)• normal: se μA(x) = 1 altura• subnormal: se μA(x) < 1 x 58 /58
  59. 59. Valor Medio• Si el valor medio de todos los puntos en el cual la función de membresía de un conjunto difuso logra su máximo valor es finito, entonces el centro del conjunto difuso es el promedio de los valores.• Si el valor medio es infinito, entonces el centro es definido como el más pequeño entre todos los puntos que logran el máximo valor de membresía. 59 /58
  60. 60. Valor medio 60 /58
  61. 61. α - cut y α - cut fuerte• Dado un conjunto difuso A definido en X y un número α ∈ [0; 1] un conjunto α - cut es un conjunto crisp que contiene todos los elementos en U que tengan valores de membresía en A mayores o iguales que α, definido por: Aα = { x є U / μA(x) ≥ α} Aα + = { x є U / μA(x) > α} strong α - cut 61 /58
  62. 62. Propiedades α-cut y strong α-cut• Dado un conjunto difuso A definido en X y un par α1 y α2 ∈ [0; 1] tal que α1 < α2 entonces: – Aα1 ⊇ Aα2 y Aα1+ ⊇ Aα2+ – (Aα1 ∩ Aα2) = Aα2 y (Aα1+ ∩ Aα2+) = Aα2+ – (Aα1 ∪ Aα2 ) = Aα1 y (Aα1+ ∪ Aα2+) = Aα1+ 62 /58
  63. 63. Operaciones Estándar• Complemento A(x) A(x) = 1 - A(x)• Punto de equilibrio: Son todos los elementos en X donde A(x) = A(x) 63 /58
  64. 64. Operaciones Estándar• Sean dos conjuntos difusos A y B:• Unión: t-conormas ( A∪B ) x = max[ A(x), B(x)]• Intersección: t-normas ( A∩B ) x = min[ A(x), B(x)] 64 /58
  65. 65. Conjunto Crisp: Convexo• Sea A un conjunto en Rn .• A es un conjunto convexo si y solo si:  para todos los pares de puntos r y s de A  para todo numero real λ ∈ [0;1]  un punto t definido por t = λ r + (1-λ) s también está en A 65 /58
  66. 66. Conjunto Difuso: Convexo• Un conjunto difuso es convexo si y sólo si su α-cut Aα es un conjunto convexo para algún a en el intervalo (0, 1]• Un conjunto A es convexo si para algún λ en [0, 1]• μA(λx1 + (1 – λ)x2) ≥ min(μA(x1), μA(x2))• Alternativamente, A es convexo si todos los α-cuts son convexos 66 /58
  67. 67. Conjunto Difuso: Convexo 10.8 67 /58
  68. 68. Ejercicio• Un conjunto difuso A esta dado por:• A = {(2,1), (3,0.8), (4,0.6), (5,0.4), (6,0.2), (7,0.4), (8,0.6), (9,0.8), (10,1)}• Usando:• μA(λx1 + (1 – λ)x2) ≥ min(μA(x1), μA(x2))• Donde x1 = 2, x2 = 10 y λ = 0.5, buscar si el conjunto es convexo o no. Confirmar su respuesta dibujando el conjunto difuso A. 68 /58
  69. 69. Conjunto Crips: Supremo e Infimo• Sea R un conjunto de números reais tal que: – r es el límite superior de R – s es el límite inferior de R• Supremo: r = sup R• Infimo: s = inf R 69 /58
  70. 70. PREGUNTAS 70 /58

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