Secuencia Didáctica con Problemas Abiertos - Irma Noemí No - 2014

Irma Noemí No Secuencia Didáctica
1
Enseñar con TIC Matemática 2
TITULO: DESCUBRIENDO FUNCIONES
Curso: 1° año
Asignatura/Espacio curricular: Análisis Matemático I (o Cálculo I)
Propósitos de la secuencia:
● Promover un acercamiento al manejo de herramientas tecnológicas aplicadas a la
resolución de problemas, visualización de conceptos, y desarrollos alternativos para las
propuestas didácticas planteadas, respetando la empatía personal por los recursos
individualmente seleccionados.
● Invocar el uso de pensamientos de orden superior, a través de operaciones de analogía,
análisis, comparación, selección, jerarquización, adecuación, conveniencia y efectividad
en los procesos cognitivos involucrados.
● Sembrar inquietudes en el alumno por conocer, investigar, preguntar, ir más allá, pedir
ayuda, colaborar, producir y crear en libertad.
● Conmocionar al alumno por el descubrimiento de la hermosa cohesión interna y la
extensa aplicación que posee la ciencia matemática, promoviendo un aprendizaje
significativo.
Objetivos de la secuencia:
Que los alumnos:
● Incorporen hábitos de conveniencia y oportunidad, en la aplicación de propiedades de los
objetos matemáticos trabajados.

2
● Naturalicen el uso de herramientas tecnológicas para deducir, calcular, visualizar,
compartir, corroborar, reflexionar y mejorar sus producciones.
● Desarrollen habilidades de aproximación en el manejo de datos al azar.
● Descubran y fortalezcan el uso del soporte informático como en actividades ligadas a
prácticas que emergen de la realidad.
● Fortalezcan sus competencias en investigación, explorando sin temores, buscando la
mejora continua y la optimización.
● Reflexionen sobre “cuánto saben” y “cuánto hay por saber”.
Contenidos:
● Características de los grandes grupos funciones matemáticas de una variable.
● Ajuste de curvas.
● Papel gráfico semilogarítmico.
Saberes previos necesarios:
En relación a la disciplina:
● Expresión analítica de las funciones matemáticas básicas, gráficos y características.
● Propiedades algebraicas y aritméticas en el campo de los números reales.
● Cálculo de áreas bajo curvas (optativo en el arte de actividad 3).
En relación a las TIC:
● Uso de los comandos básicos de los utilitarios Geogebra y Graphmatica.
● Uso de Internet con fines de investigación.
● Uso de aula virtual.
Secuencia de actividades: (al menos 3 actividades)
Actividad 1:
Consigna
¿Cuántos puntos de la gráfica de una función se necesitan para conocer su
expresión algebraica?

3
Momento de Apertura:
Se divide a los alumnos en pequeños grupos para trabajar con la consigna.
Se sugiere el uso de programas que logren identificar entradas de puntos, para graficarlos
y realizar ajustes de curvas, además del trabajo algebraico manuscrito que consideren
necesario.
Puede resultar útil la visualización de una ayuda como:
http://www.youtube.com/watch?v=R6A8HqFuBEk
En este período se espera un cierto momento de organización de tareas, los alumnos
pueden plantear:
 “¿Por dónde empezamos?” ó
 “¿De dónde sacamos los puntos?”
Una posible INTERVENCIÓN sería enfocarlos hacia un camino creciente en dificultad, es
decir, empezar por las funciones más sencillas que conozcan, y moverse hacia otros
grupos de funciones de mayor dificultad, para explorar los requerimientos del enunciado.
Seguramente los alumnos optarán por comenzar con funciones lineales, que es un campo
conocido, en referencia a la tarea propuesta.

4
Una segunda INTERVENCIÓN invocaría la importancia del valor del ajuste, recalcando
que su valor igual a 1, indica que hallamos la fórmula exacta “para los puntos dados”, y
que si el ajuste no se puede realizar, es porque la cantidad de puntos es insuficiente, para
proponer una expresión algebraica funcional del grupo especificado en el comando
“ajuste”.
Momento de Desarrollo:
Al comenzar el análisis de funciones de mayor complejidad, será necesario para el
alumno un doble abordaje de la consigna, la correspondiente al cálculo visual soportado
por los programas informáticos, y la manuscrita con el planteo de ecuaciones surgidas de
la forma algebraica general del grupo funcional en estudio.
Algunos alumnos podrán encarar la tarea ingresando puntos cualesquiera (tal y como
ejemplifica el video), y moviéndolos en pos de lograr un mejor ajuste, otros realizarán el
recorrido inverso, ingresando puntos de una tabla de valores de una expresión específica,
partiendo entonces de un ajuste igual a “1”, para posteriormente, jugar con la cantidad
de puntos que eliminan o incorporan para que el ajuste sea posible.
También es deseable un abordaje analítico en cuanto sistema de n-ecuaciones con n-
incógnitas/parámetros de la forma algebraica de la función, para deducir la cantidad de
puntos necesarios.
Se esperan situaciones “particulares”, como la presencia de simetrías en las gráficas,
dando paso a una INTERVENCIÓN docente disparadora:
¿Todos los puntos de una gráfica aportan la misma información para el hallazgo de
la expresión algebraica?
Es natural que algún grupo sugiera por ejemplo que para hallar una expresión polinómica
cuadrática, son necesarios 3 puntos de su gráfica, mientras que otro sugiera que con dos
puntos es suficiente, se presenta entonces un importante momento de reflexión, sobre el
protagonismo de puntos destacados, como el vértice de la parábola.

5
¿Cómo demuestro que el vértice aporta doble información por situarse en el eje de
simetría de la gráfica?, Respuesta: Invocando la expresión algebraica del polinomio de
segundo grado con mención del vértice:
( ) ( )
Se abrirá entonces un camino nuevo de trabajo para algunos grupos en función de las
simetrías existentes en otras funciones polinómicas.
En el campo de las funciones trigonométricas, ante el planteo de la ausencia del “ajuste
tipo coseno” se puede INTERVENIR invocando a la revisión de la relación de
“corrimiento” entre las expresiones de las funciones seno y coseno.
Por último es esperable una situación de asombro ante las funciones exponenciales, las
cuales, siendo expresiones tan importantes, con tan sólo dos puntos logramos conocer su
expresión algebraica exacta.
Momento de Cierre:
Se invita a los alumnos a compartir sus hallazgos, y argumentar sus conclusiones.
Es esperable que surjan diferencias y queden campos inexplorados o explorados sólo en
parte.
Algunos muy puntos valiosos de rescatar por INTERVENCIÓN del docente, serían por
ejemplo: la posibilidad de expresar una misma gráfica exponencial en su base “a” o en la
base neperiana “e”.
La última INTERVENCIÓN, se orientará a brindar aliento para la continuación de la
investigación de manera domiciliaria, encarando la tarea con los dos ingredientes básicos
de los niños: “La curiosidad y el Juego”.

6
En forma domiciliaria: Los alumnos documentan digitalmente sus producciones, con los
agregados que consideren1
, y las elevan al aula virtual, construyendo un breve portafolio.
Los alumnos cuentan con un tutorial de acceso y navegación del aula virtual:
http://www.youtube.com/watch?v=9ZIITIsuruM
Tiempo previsto de cada momento: 20 minutos – 3 horas – 40 minutos
Actividad 2:
Consigna
¿Qué propiedades tienen las gráficas de las funciones cuando se muestran en una
escala semi-logarítmica?
1
Con mención de las fuentes bibliográficas y links consultados si los hubiere.

7
Se define el concepto de escala semi-logarítmica, mencionando su enorme utilidad para
visualizar datos cuyo rango de variación es muy amplio (“se observan conjuntamente
valores muy pequeños y muy grandes”).
Se indica cómo cambiar el papel gráfico en el programa Graphmatica (también disponible
en: http://www.youtube.com/watch?v=QT9_TIJpp6g ), dado que el Geogebra no posee
esa opción2
.
Los alumnos ensayan fórmulas en su nuevo papel gráfico, registrando lo observado.
Algunos grupos plantean que les falta parte de la gráfica, por lo cual es el momento de
realizar una INTERVENCIÓN sugiriendo que analicen las restricciones de dominio que
impone el uso de un papel con escala logarítmica.
2
La planilla de cálculo Microsoft Excel, también posee la propiedad de cambiar la escala de cada eje a
formato semi-logarítmico.

8
Se espera que detecten que existe una “desaceleración” en el crecimiento de las
funciones, entonces se INTERVIENE para invitarlos a pensar las propiedades
“aritméticas” del logaritmo, esperando que realicen conjeturas al respecto.
En general se observa asombro en el estudio de las funciones trigonométricas, que
parecen nunca terminar “hacia abajo”.
Una última INTERVENCIÓN los invita a realizar el camino contrario: Dada una gráfica en
escala semi-logarítmica, hallar su expresión algebraica, mediante el siguiente planteo:
¿Es posible hallar la fórmula del gráfico inicial de la actividad? ¿Será el único tipo
de función que tiene la característica de los puntos ( ( )) están alineados?
Este planteo involucra varias habilidades o destrezas como leer coordenadas desde esta
escala, hasta utilizar propiedades logarítmicas y exponenciales para despejar la expresión
original de la función y=f(x).
Momento de Cierre:
Un punto interesante de rescatar por INTERVENCIÓN del docente es: el planteo de la
posible variación o no en las conclusiones obtenidas, por la utilización de una escala
logarítmica, en otra base diferente de la utilizada.
La última INTERVENCIÓN se orientará a brindar aliento para la continuación de la
investigación de manera domiciliaria, sobre la utilidad de la escala logarítmica, programas
de tecnologías fijas y móviles que la incorporan, y otras escalas gráficas disponibles
(polar, trigonométrico, etc); mostrándoles como ejemplo la siguiente escala utilizada en
problemas de iluminación:

9
, y las elevan al aula virtual.
Tiempo previsto de cada momento: 20 minutos – 1 hora 20 min – 20 minutos.
Actividad 3:
¿Cómo hallar la expresión algebraica de un dibujo libre?
Se invita a los alumnos a utilizar el programa Geogebra para experimentar posibles
caminos de ejecución de la consigna, enfatizando la idea de libertad de creación en esta
propuesta.
Si es necesario, se INTERVIENE introduciendo para quienes lo requieran algunas
herramientas básicas de trabajo disponibles en el utilitario informático indicado (lápiz,
bosquejo, etc).
3

10
Se deja actuar libremente a los alumnos, es muy probable que intuyan la necesidad de
esbozar un gráfico de tipo funcional, ahora requieren de un ajuste algebraico para la figura
creada.
En la actividad 1, los alumnos trabajaron con ajuste de listas de puntos, por lo cual
deberán marcar puntos dentro del objeto “bosquejo” que hayan creado, para utilizar sus
conocimientos previos, en el manejo de los ajustes funcionales. Este sería el camino
estándar, si optan por otro, sería muy enriquecedor, si no encuentran cómo proceder, se
puede INTERVENIR indicándoles que revisen la actividad 1.
Se realiza entonces una INTERVENCIÓN docente proponiéndoles agregar un poco de
“arte” a su producción, colores, figuras, etc. ¿El arte y la matemática tienen relación?
Se los invita a investigar en Internet.4
Posibles producciones esperadas son colores dinámicos en el nivel de adecuación o
ajuste de la expresión algebraica al bosquejo, puntos dinámicos en el bosquejo, áreas
debajo de curvas ajustadas al bosquejo creado, etc.
Momento de Cierre:
Se les pregunta ¿Por qué creen ellos que se les presentó esta secuencia de trabajo
funcional?
Se comenta la realidad de los trabajos de campo, los laboratorios, los ensayos, en los
cuales las expresiones algebraicas surgen de esta manera, a través de múltiples
mediciones. Se muestra el video disponible en http://www.ramoptical.com/qvi-snap.jsp el
cual contiene ejemplos de medición óptica digitalizada.
4
Por ejemplo visitando:
http://web.educastur.princast.es/cpr/gijon/biblioteca/recursos/arte%20y%20matematicas.pdf

11
, y las elevan al aula virtual.
También se los invita a escribir una reflexión final sobre la secuencia6
, en un documento
colaborativo disponible en el aula virtual (formato wiki).
Tiempo previsto de cada momento: 10 minutos – 1 hora 20 minutos – 30 minutos
Recursos:
 Computadoras fijas y/o portátiles y/o dispositivos móviles con Graphmatica,
Geogebra y Microsoft Excel instalados (este último es optativo).
 Conexión a Internet.
Evaluación de la secuencia:
Considerando que los alumnos merecen un trato personalizado tanto en la enseñanza
como en la evaluación7
, y siendo ésta última una instancia decisiva en el proceso de
aprendizaje8
, consideramos la modalidad de evaluación continua la más adecuada para
el presente trabajo.
5
6
Que consta de las tres actividades.
7
Bloom, B. y otros, "La evaluación del aprendizaje ", Buenos Aires, Troquel, 1975.
8
Nirenberg, O. y otros, "Evaluar para la transformación ", Buenos Aires, Paidós, 2000.

12
El alumno podrá entregar parcialmente los resultados que ha obtenido hasta el momento,
recibiendo una devolución favorable y sin agregados, ó bien, la descripción de
sugerencias para la mejora de su actuación hasta el momento, construyendo un portafolio
digital en el aula virtual disponible.
"El saber es una construcción de la realidad a partir de una acción-operación por el
encuentro con el otro. En ese marco, la evaluación de los aprendizajes desde un enfoque
procesal y formativo permite que el discente amplíe el conocimiento de sí mismo
sirviéndole para mejorar sus propias capacidades". 9
Instrumentos de Evaluación:
 Observación directa en forma presencial.
 Portafolio digital (formado por el recorrido de producciones subidas al aula virtual)
 Participación en Wiki de cierre (aula virtual)
Escala de calificación:
Se calificará en la escala:
 Muy Pertinente (80 – 100 puntos)
 Pertinente (60 – 80 puntos)
 Poco Pertinente (40 – 60 puntos)
 No Aprobado – No Entregó ( < 40 puntos)
Criterios de evaluación :
9
Mancini, L. "La evaluación. Enfoque teórico-práctico ", Buenos Aires, Santillana, 1998.

13
En concordancia con los objetivos especificados, no nos orientamos a evaluar por
contenidos, sino por competencias (básicas, transversales, específicas y actitudinales)10
,
por lo cual los criterios seleccionados son:
 Claridad conceptual comunicada en forma coloquial ó gráfica.
 Capacidad de Argumentación adecuada para el concepto desarrollado.
 Selección válida y correcta utilización de recursos y procedimientos.
 Habilidad de autogestión de recursos e información.
 Actitud crítica ante los resultados obtenidos.
 Nivel de apropiación de recursos tecnológicos disponibles.
 Predisposición positiva y colaborativa ante la tarea propuesta.
Se marcará en cada celda una cruz, la misma indicará la presencia del aspecto analizado
en la resolución:
INDICADORES ALUMNO 1 ALUMNO 2
Act.1 Act.2 Act.3 Act.1 Act.2 Act.3
Posee claridad comunicacional
Argumenta con solidez conceptual
Selecciona adecuadamente los recursos
Demuestra autonomía en el manejo de
recursos e información
Mantiene una actitud crítica ante los
resultados obtenidos
Se apropia de los recursos tecnológicos
disponibles
Mantiene una actitud proactiva en la tarea
Acepta ayuda y colabora con pares
La valoración en base a los indicadores anteriores, otorgarán una primera escala de
calificación del alumno,
ÓPTIMO Satisface todos los indicadores, en al
10
http://www.confedi.org.ar/content/competencias-de-ingreso

14
menos 2 actividades de las tres
propuestas.
INTERMEDIO Satisface el total de indicadores en el
recorrido de las tres actividades, de manera
alternada.
ELEMENTAL Satisface al menos la mitad de los
indicadores en la mayoría de las
actividades propuestas.
Esta escala, junto con la rúbrica que se detalla a continuación, conformarán la calificación
final del alumno.
En el proceso de evaluación por rúbrica, se utilizará una grilla de seguimiento de
características similares a la siguiente:
1-Comprensión del problema
1-1 ¿Identifica los datos /variables /supuestos?
1-2 ¿Comprende las relaciones que los vinculan?
1-3 ¿Accede a una representación del Estado Inicial /Estado Final y de las operaciones
viables?
1-4 ¿Representa, grafica, diagrama? ¿Utiliza los sistemas de notificación/notación
adecuados?
1-5 ¿Reformula el problema cuando el procedimiento no promueve la solución?
2-Diseño del plan
2-1 ¿Formula una estrategia general?
2-2 ¿Recupera saberes previos, al servicio de la transferencia?
2-3 ¿Evidencia habilidad para abordar el problema sobre la base de datos conocidos?
2-4 ¿Realiza procesos inductivos pertinentes?
2-5 ¿Descompone el problema en Unidades?
2-6 ¿Realiza adecuadas generalizaciones?
3-Ejecución del plan

15
3-1 ¿Realiza adecuados procesos deductivos?
3-2¿Interactúa con pares?
3-3¿Logra argumentar su postura y debatir diferencias?
3-4¿Naturaliza el uso de herramientas tecnológicas para la resolución y análisis?
4- Verificación de los resultados
4-1 ¿Resuelve el problema de un modo diferente?
4-2 ¿Verifica las implicancias de la solución?
5- Competencias centradas en el pensamiento creativo
5-1 ¿Evidencia capacidad para reorganizar la información de un modo nuevo (original
y adecuado)?
5-2 ¿Evidencia capacidad de producción? (Fluidez ideacional, capacidad de
asociación eficaz y pertinente)
5-3 ¿Evidencia capacidad en términos de pensamiento crítico?
La evaluación contemplará en detalle el logro de los alumnos de acuerdo a la siguiente
rúbrica:
CRITERIO
Aún no
satisfactorio
Bueno Distinguido Puntaje
COMPRENSIÓN
DEL PROBLEMA
No identifica
claramente datos /
variables o
supuestos.
Desatiende
relaciones
vinculante entre
datos / variables.
No representa o
diagrama
adecuadamente
sus
procedimientos.
Notación confusa.
No logra
reformular el
problema ante
Identifica variables
y datos,
necesarios; define
relaciones válidas
entre ellos, pero
no siempre las
más convenientes
o exactas.
Expresa con
claridad en
lenguaje coloquial
y gráfico, aunque
no estrictamente
formal ó científico.
Reconoce la
existencia de
estrategias que
Reconoce las
variables, datos
e incógnitas del
problema,
establece
formalmente los
vínculos
relacionales y
funcionales que
entre ellos
existen.
Desarrolla un
camino válido y
óptimo entre los
estados inicial y
final (del
planteo a la
Hasta
20
puntos

16
eventuales
dificultades.
mejoran la
resolución del
problema
planteado.
solución) de
cada
interrogante.
Representa,
simboliza y
comunica
formalmente y
en lenguaje
científico sus
resultados y
procedimientos.
Reconoce
procedimientos
alternativos de
resolución,
seleccionando
el óptimo.
DISEÑO Y
EJECUCIÓN DE
LA
RESOLUCIÓN
El desarrollo de la
resolución no
evidencia el
seguimiento de
estrategias
adecuadas.
No transfiere
debidamente los
saberes previos al
servicio de la
resolución del
problema
planteado.
Existe confusión
entre datos
conocidos y datos
supuestos.
No logra
descomponer
adecuadamente el
problema en
subunidades de
desarrollo.
Se detectan
dificultades para
generalizar ó
Ejecuta una
estrategia de
resolución,
mediante una
transferencia
aceptable de
saberes previos,
al servicio de la
obtención de una
respuesta.
Distingue los
datos reales, de
los supuestos
propios.
Soluciona el
problema en
etapas, mediante
el planteo de
subproblemas
intermedios.
Logra argumentar,
justifica (cuando le
es requerido),
puede generalizar
y deducir, cuando
es necesario.
Desarrolla una
estrategia
integral de
resolución,
seleccionando
los saberes
previos que se
ajustan de
manera óptima
a los datos
existentes y los
objetivos que se
persiguen.
Argumenta la
pertinencia y
necesidad de
supuestos
propios,
relacionándolos
con el planteo y
los datos
reales.
Planifica las
subetapas de
resolución,
evidenciando
Hasta
40
puntos

17
deducir.
Argumenta
débilmente.
Se observan
obstáculos en el
desarrollo de
procesos
inductivos.
Encuentra
dificultades en
incorporar los
programas
informáticos a su
tarea.
Posee capacidad
de pensamiento
inductivo
(medianamente
demostrado).
Posee un manejo
adecuado de
utilitarios
informáticos para
el desarrollo de la
consigna.
una estrategia
general en el
abordaje del
problema.
Deduce,
argumenta, y
justifica sus
procedimientos
en todo
momento y de
manera formal.
Realiza
procesos
inductivos más
allá del
problema
planteado.
Incorpora
nuevas miradas
al uso
tecnológico, lo
naturaliza como
parte de la
resolución,
análisis y
corroboración
del problema.
VERIFICACIÓN
DE
RESULTADOS
No define
claramente cuál es
la respuesta o se
observan
dificultades en su
comunicación.
Existe un grado de
confusión con
respecto a la
finalización de la
tarea, es decir no
logra distinguir que
ya tiene una
solución.
No verifica la
validez de los
Responde con
claridad al
problema, sin
agregados.
Demuestra
reconocer el final
de su tarea,
aunque en el
arribo a ella
realiza algún lazo
resolutorio.
Utiliza los
resultados
parciales para
construir la
solución final,
Comunica en
lenguaje formal
las respuestas
parciales y la
respuesta final
del problema.
Finaliza las
tareas
intermedias sin
agregados,
desarrollando
exactamente lo
necesario y
suficiente para
obtener
conclusiones
Hasta
20
puntos

18
resultados
parciales, o la
respuesta final al
problema.
No corrobora
sesgos o
propagación de
posibles errores.
Confunde el
concepto de
exactitud con el de
aproximación.
Olvida considerar
las unidades de
medida en parte
de la resolución ó
en la respuesta.
No elabora
conclusiones
finales sobre los
resultados
obtenidos.
Existe ausencia de
criterio.
puede no haber
verificado alguno
de ellos, pero
verifica el ajuste
final.
Se preocupa por
sesgos aunque no
logra identificar
totalmente su
fuente o una
estrategia
mejorada.
Reconoce los
errores por
aproximación, y
conserva las
unidades de
medida en cada
resolución.
Elabora una
conclusión final,
correcta y
escueta.
Demuestra cierto
criterio en la
selección de
respuestas o la
justeza de las
mismas.
válidas.
Verifica en cada
paso la validez
de sus
resultados,
utiliza
adecuadamente
y en todo
momento las
unidades de
medida propias
del planteo.
Analiza errores
por
aproximación y
los sesgos
observados,
indicando
razones de
tolerancia y
argumentando
su presencia.
Sus
conclusiones
son correctas,
comunicadas
adecuadamente
, y las puede
extrapolar a
otras
situaciones
análogas que él
mismo plantea.
Se observa un
muy buen
criterio en la
selección de
estrategias y
ante las
soluciones
obtenidas.
PENSAMIENTO
CREATIVO
No logra organizar
la información más
Utiliza los
procedimientos
Reorganiza la
información y
Hasta
10

19
allá de las
mecánicas
aprendidas.
Su capacidad de
asociación, no se
expresa en nuevas
posibilidades de
producción, con
los datos dados y
las herramientas
disponibles.
Su análisis crítico
está ausente ó no
es constructivo en
la propuesta de
alternativas.
convencionales
con leves y
adecuadas
variantes.
Demuestra un
nivel medio de
producción
creativa, incorpora
pequeños
cambios, pero
desaprovecha
parte de la
capacidad de las
herramientas y
datos.
Analiza en forma
crítica, pero sólo
propone
alternativas
inmediatas ó
"naturales".
utiliza
procedimientos
válidos y
creativos.
Establece
diferentes
modalidades de
resolución,
alguna de ellas
muy original.
Asocia
eficazmente, y
de manera
autónoma,
estableciendo
nuevos vínculos
entre datos.
Posee un
criterio
adecuado al
campo de la
matemática,
demostrado
mediante la
propuesta de
soluciones
alternativas ó la
utilización
mejorada de
herramientas y
procedimientos.
puntos
USO DEL
TIEMPO Y
CALIDAD DE
ENTREGA
Entrega con
demoras.
La presentación
está desordenada
o desprolija.
No guarda un
formato uniforme.
No está de
acuerdo a los
estándares de
entrega fijados.
No menciona las
La entrega se
efectúa en el
tiempo acordado.
El trabajo guarda
el formato fijado
por los estándares
de entrega.
Se menciona la
bibliografía
utilizada, en algún
momento.
El trabajo guarda
La entrega es
anticipada o a
tiempo.
La calidad de
comunicación
de procederes y
resultados es
óptima, en
presentación y
prolijidad.
Las fuentes son
mencionadas
Hasta
10
puntos

20
fuentes de
consulta
bibliográfica.
las características
de un instrumento
de comunicación,
plausible de
entendimiento
entre las partes.
con detalles y
referidas en el
desarrollo.
Respeta los
estándares
fijados para la
presentación
del trabajo en
todo momento.
Fundamentación de la secuencia:
Hace algún tiempo escribí una fundamentación para la propuesta de aprendizaje basado
en problemas11
:
“Etimológicamente, problema equivale a "lanzarse hacia delante superando dificultades"
de orden cognitivo. En el año 300 a.C., Pappus desarrolló un constructo sobre el arte de
resolver problemas para enseñar a analizar y sintetizar. En el siglo XVII Descartes,
aspirando a romper con la rutina escolar, desarrolla un método para avanzar en las tareas
científicas, a través de la resolución de problemas. Correspondió a Wurzburg la
realización de las primeras investigaciones en el campo de la resolución de problemas,
que dieron lugar a la conformación de dos corrientes diferentes: el asociacionismo y la
teoría de la Gestalt. Esta última, al indagar sobre los procesos mentales, pone el acento
en la comprensión y la organización estructural del pensamiento, como habilidades que se
despliegan en el proceso de resolución de problemas12
. En vistas al desarrollo y
fortalecimiento de estas habilidades, hemos pensado en la resolución de problemas como
eje del presente trabajo.
La presentación de problemáticas concretas de carácter integrador, para la aplicación y
uso de los conocimientos adquiridos, posee un amplio sustento psicopedagógico, desde
la concepción del aprendizaje significativo, ya que, la nueva información puede
relacionarse de modo no arbitrario y sustancial con lo que el alumno ya sabe.13
Con este
basamento, el problema a resolver que se presentará en el presente trabajo, tendrá un
carácter integrador de conocimientos.
11
No, Irma N. “Informe de seguimiento del Trabajo Práctico Integrador del Ciclo Intermedio” – FI UNLZ –
Buenos Aires, Agosto 2007.
12
Mayer, R. "Pensamiento, resolución de problemas y cognición ", Barcelona, Paidós, 1986
13
Ausubel, D. "Psicología Educativa", México, Trillas, 1976

21
Los conceptos son las imágenes con que pensamos. Por consiguiente, enseñar a pensar
requiere de una intervención didáctica orientada a la formación y utilización de los
conceptos. En relación con la formación, los primeros conceptos se forman a través del
aprendizaje por descubrimiento. En las etapas posteriores el proceso de asimilación da
cuenta de la vinculación de las ideas nuevas con las existentes en la mente14
. Por estas
razones, se ha propuesto un trabajo en el cual el alumno descubra mediante la propia
experimentación en laboratorio las propiedades y relaciones del material concreto de
estudio, para luego establecer vínculos con los conceptos estudiados en cada área del
conocimiento, aplicando métodos de modelización, cálculo y resolución. Posteriormente
contrastarán los resultados obtenidos en forma teórica con los estándares reales,
haciendo hincapié en el carácter crítico del alumno ante los sesgos observados.
Un trabajo práctico individualizado, como lo hemos pensado, brinda a los alumnos la
oportunidad de aprender por medio del razonamiento analítico, creativo y/o práctico, así
como por medio de la memoria, y dado que no existe una única forma correcta de
enseñar o aprender que sirva para todos los alumnos15
, consideramos que esta propuesta
se adapta a cada intelecto en particular.
Por último, dado que la organización social de la enseñanza Universitaria es la forma de
cooperación entre el docente y el alumno, con vistas al autoaprendizaje en el ámbito
profesional, se prevé un sistema tutorial de consulta permanente, en las distintas áreas
del conocimiento, para que el alumno desarrolle personalmente y de manera asesorada
su trabajo.16
En este contexto se entiende la mediación como un proceso dialéctico que le
permite al alumno pasar de un nivel cognitivo a otro superior17
.
Aspiramos al desarrollo de un pensamiento productivo 18
del alumno, de allí que este
trabajo, sugiera situaciones en las cuales la mera estrategia reproductora de
procedimientos y saberes, no sea suficiente para la resolución de la problemática
propuesta.”
Todo lo anterior se aplica a la fundamentación de la presente secuencia, pudiendo
además agregar algunos conceptos.
14
Rogoff, B. "Aprendices del pensamiento", Barcelona, Paidós, 1993
15
Sternberg, R.; Spear-Swerling, L.; "Enseñar a Pensar ", Madrid, Santillana, 1996
16
Chevalard, Y. "La transposición Didáctica ", Buenos Aires, Aique, 1991
17
Vygotsky, L "Pensamiento y Lenguaje ". Buenos Aires, Lautaro, 1964
18
Román Sánchez, J.M. y otros "Métodos activos para enseñanzas medias y universitarias ", Madrid,
Cincel-Kapeluz, 1980.

22
La selección del tema se orientó a la aplicación de conocimientos previos, para promover
una auto-reflexión, sobre el verdadero nivel de conocimientos que poseemos, sobre
temas que consideramos “sabidos”. En otras palabras: intentamos retomar conceptos
para realizar una mirada global, enriquecedora, que invite a la reflexión sobre la
verdadera aprehensión de saberes en el ámbito matemático funcional.
La propuesta no persigue la obtención de resultados específicos, es una experiencia
exploratoria, de enriquecimiento mutuo. Es por ello que: nos orientamos a la propuesta
de enunciados “abiertos”, centrados en la producción del alumno.
También en la confección de la secuencia, se ha dado a la tecnología un papel
fundamental, convirtiéndose en parte indispensable de la resolución, la actividad
propuesta sería casi impracticable sin la incorporación de las TIC.
El uso de TIC favorece el aprendizaje basado en la revisión de errores, pues, cuando
una operación no se puede realizar, el usuario está obligado a reflexionar acerca de esta
limitación. Se fortalecen los análisis comparativos y se incrementan: el nivel, la calidad y
la cantidad de preguntas en la temática abordada. Cito textualmente19
:
“…La tecnología remite hoy no a unos aparatos, sino a nuevos modos de
percepción y comprensión de nuestro mundo y, por lo tanto, a nuevas maneras de
construirnos como sujetos, es decir, nuevas sensibilidades y subjetividades.
Estos nuevos modos de conocer se ven impactados por las características de las
tecnologías que operan en escenarios dislocados espacial y temporalmente, signados por
la fugacidad, la instantaneidad, la saturación informativa, la fragmentación, la multiplicidad
de lenguajes, etc. Estas mediaciones desarman conceptos tradicionales del saber como
verdades absolutas, duraderas a lo largo tiempo, clasificables, con márgenes certeros
entre los diferentes campos del conocimiento, con claras demarcaciones entre la teoría y
la práctica, etcétera.”
19
Roldan P. (2013). Clase 2: Evaluación como problema para pensar la inclusión digital.
Seminario Intensivo 1 Especialización docente de nivel superior en educación y TIC.
Buenos Aires: Ministerio de Educación de la Nación.

23
La evaluación por competencias parece la más adecuada para consignas de tipo
exploratorio, como las planteadas. En esta secuencia se han priorizado la socialización y
la investigación, por sobre el manejo abstracto de los contenidos en sí.
El trabajo grupal mejora la producción individual, afianza la exploración de campo y
fortalece la comunicación, ítems evaluados según los criterios expuestos en la rúbrica.
Por último, la secuencia presentada es sólo un modelo, que se adecuará a cada grupo de
alumnos, siguiendo el dinamismo propio de una enseñanza inclusiva.
Bibliografía:
 Ausubel, D. "Psicología Educativa", México, Trillas, 1976
 Bloom, B. y otros, "La evaluación del aprendizaje ", Buenos Aires, Troquel, 1975.
 Chevalard, Y. "La transposición Didáctica ", Buenos Aires, Aique, 1991
 Ferrero, María Carolina. (2013). Secuencia Didáctica 1 TIC Matemática II.
Especialización docente de nivel superior en educación y TIC. Buenos Aires:
Ministerio de Educación de la Nación.
 Mancini, L. "La evaluación. Enfoque teórico-práctico ", Buenos Aires, Santillana,
1998.
 Mayer, R. "Pensamiento, resolución de problemas y cognición ", Barcelona, Paidós,
1986
 Nirenberg, O. y otros, "Evaluar para la transformación ", Buenos Aires, Paidós,
2000.
 No, Irma N., “Informe de seguimiento del Trabajo Práctico Integrador del Ciclo
Intermedio” – FI UNLZ – Buenos Aires, Agosto 2007.
 Rogoff, B. "Aprendices del pensamiento", Barcelona, Paidós, 1993
 Roldan P. (2013). “Clase 2: Evaluación como problema para pensar la inclusión
digital”. Seminario Intensivo 1 Especialización docente de nivel superior en
educación y TIC. Buenos Aires: Ministerio de Educación de la Nación.
 Román Sánchez, J.M. y otros "Métodos activos para enseñanzas medias y
universitarias ", Madrid, Cincel-Kapeluz, 1980.
 Sternberg, R.; Spear-Swerling, L.; "Enseñar a Pensar ", Madrid, Santillana, 1996

24
 Vygotsky, L "Pensamiento y Lenguaje ". Buenos Aires, Lautaro, 1964
 http://www.geogebra.es/
 http://www.geogebra.org/cms/es/
 http://www.confedi.org.ar/content/competencias-de-ingreso
 http://www.slideshare.net/irmanoemino/articulo-completo-sanjuan20102caim

25
PRUEBA PILOTO DE LA ACTIVIDAD 1
El abordaje de todos los grupos fue a la vez manuscrito y tecnológico, en general
realizaron un recorrido por algunas expresiones de los grandes grupos funcionales. La
metodología de estudio, a grandes rasgos, se dividió en dos: Lo manuscrito
deductivamente y lo tecnológico inductivamente.
En el grupo funcional “polinómico”, asumieron que la función lineal queda determinada por
exactamente dos puntos, justificando con la frase “Por un punto pasan infinitas rectas” y
“Por dos puntos pasa una única recta”. Fácilmente demostraron que con dos puntos
podían determinar únicas: Pendiente y ordenada al origen, y por lo tanto, construir la
expresión algebraica de la recta. También observaron que en el programa GeoGebra,
dispone de un ícono específico para graficar la recta que pasa por dos puntos.
Figura 1
Uno de los equipos preguntó: Da lo mismo con el método de ajuste ¿No?, a lo que se
responde: Intenténlo, y lo hicieron:
Introduciendo los puntos ya utilizados para crear la recta con el ícono disponible, en una
planilla de cálculo y creando una lista de dos elementos, con ellos, realizando el ajuste
lineal, obtuvieron la misma recta que la expresada directamente por el programa al utilizar
el ícono anterior, pero en la versión “explícita”.
Figura 2

26
Subiendo el grado…
Polinomios de segundo grado:
Los equipos empiezan graficando funciones de segundo grado, al azar, ahora deberán
señalar puntos de la gráfica, y ver cuántos de ellos necesitan para extraer unívocamente
la expresión algebraica que, procedimentalmente, ya conocen.
En GeoGebra disponen de una herramienta para señalar puntos de una gráfica: Llamada
“Punto en Objeto”:
Figura 3
Que algunos alumnos descubren por su cuenta y otros con ayuda del docente.
Algunos alumnos señalan puntos que analíticamente verifican la ecuación ingresada.
Armando una lista con dos puntos se intenta un ajuste, polinómico de grado 2, mostrando
que es insuficiente información para hallar una expresión algebraica:
Figura 4
Un grupo que resolvía analíticamente utilizando la forma con mención de vértice,
demuestra que con el vértice y un punto más puede hallar la expresión algebraica, pero
no logra el mismo efecto gráficamente con el ajuste de GeoGebra:

27
Figura 5
Se interviene pidiéndoles que busquen una opción de ingreso de puntos “distinguidos”, ya
que el programa puede construir muchas parábolas que pasen por esos puntos. Los
alumnos no encuentran tal sentencia, pero hallan otras de interés (Coeficientes, Completa
cuadrado, polinomio (lista de puntos), parábola (foco,directriz), etc.).
Todos los grupos llegan gráfica y analíticamente a probar que tres puntos son suficientes
para determinar una expresión polinómica cuadrática única.
Figura 6

28
Otro grupo trabajó diferente, ingresó la función, puntos cualesquiera y midió el ajuste de
los puntos en la descripción de la función, luego los movía hasta cerciorarse que esos
puntos fuesen suficientes para expresar la función (valor del ajuste=1).
Figura 7
Figura 8
Figura 9

29
Polinomio de grado 3
Los alumnos demuestran gráfica y analíticamente que cuatro puntos son suficientes para
hallar la expresión analítica de una función polinómica de grado 3.
Para el grado 4, y siguientes plantean la hipótesis general, “Para hallar la expresión
algebraica de una función polinómica de grado (n), es necesario y suficiente conocer
(n+1) puntos cualesquiera de su gráfica”
Se los invita a justificar su afirmación: La mayoría, plantea la resolución de un sistema
lineal de n+1 ecuaciones con n+1 incógnitas20
, que será compatible y determinado, y cuya
solución aporta los n+1 coeficientes de la expresión algebraica deseada.
{
Figura 10
En el grupo “racionales” comenzaron por las homográficas, observando que no existe en
los programas, una sentencia de aproximación adecuada. Empiezan a ensayar como
“matemáticos” con diferentes pruebas, como tomar pares de puntos en las ramas y
construir los ajustes lineales, para ver si la división entre ellos se aproxima a la función
homográfica sin éxito en la clase, desistiendo de insistir para continuar investigando otros
campos funcionales.
20
surgido por el reemplazo de las coordenadas de los n+1 puntos en la expresión algebraica polinómica de
grado n

30
Figura 11
En el momento de estudiar el grupo de las funciones exponenciales, algunos equipos
toman formas compuestas, del tipo:
( )
Figura 12
Se interviene recordándoles la expresión:
( )
Figura 13
Siendo a un número positivo diferente de 1.
Los alumnos demuestran gráficamente que dos puntos son necesarios y suficientes para
hallar la expresión algebraica de una función exponencial. También observan que
cualquiera sea la base propuesta, existe una expresión equivalente en base “e”. En la
figura que sigue, vemos cómo los colores rojo de f(x) y azul de g(x), se funden en un

31
violeta, porque las gráficas se superponen, también observamos que e^0.69 = 1.99 es
aproximadamente 2.
Figura 14
Casi no hay que intervenir para que demuestren analíticamente que dos puntos son
suficientes para hallar una expresión algebraica exponencial, siguiendo el razonamiento
de los polinomios, plantean un sistema no lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas:
{
Figura 15
Algunos alumnos curiosean la sentencia “AjustePotencia”, poniendo y sacando puntos y
moviéndolos, ven que muchas veces la curva no pasa por los puntos, se los invita a
descubrir alguna característica de las curvas que van graficando. Descubren que con dos
puntos, no siempre el programa les propone una potencia 1 (=recta), que muchas veces
con tres puntos les queda indefinido, y que aparece el grupo de las funciones radicales:

32
Figura 16
Ajuste Logarítmico:
Algunos alumnos plantearon directamente la necesidad y suficiencia de dos puntos con
las experiencias anteriores y plantearon el sistema de ecuaciones a resolver para
determinar unívocamente la ecuación de la función:
{
( )
( )
Figura 17
Fue interesante que necesitaran rescatar sus conocimientos previos de propiedades
exponenciales y logarítmicas, como cambio de base y otras, para aplicar en la resolución
de planteos creados a partir de necesidades reales, como la búsqueda de fórmulas.
Ajuste sinusoidal:
Los alumnos descubren que no son suficientes dos puntos, ni tres, recién cuatro puntos
permiten identificar una función sinusoidal.

33
Figura 18
Esto se debe a la existencia de cuatro parámetros en la forma general de la función Seno:
( ( ))
Figura 19
Donde:
A es la amplitud
C es el desplazamiento vertical
es la frecuencia angular (=2Pi/Período)
es el desplazamiento de fase
Por lo cual serán necesarios cuatro pares ordenados (x, y) para determinar unívocamente
los cuatro parámetros de la expresión algebraica genérica de la función seno.
El ajuste “Coseno” no existe como opción, dada la relación entre Seno y Coseno:
Figura 20
Por último, si descargamos la aplicación GeoGebra móvil (disponible para Tablets, IPAD y
teléfonos inteligentes en diferentes sistemas operativos: Android, etc.), veremos la

34
potencialidad de este programa. Desde allí, con un par de puntos propusimos algunos
tipos de ajuste, y haciendo una toma de pantalla, podemos adjuntar la siguiente imagen:
Figura 21
Fin de la Actividad 1

35
PRUEBA PILOTO EVALUACIÓN
ALUMNO XXXXXXX
EVALUACIÓN
CRITERIO COMENTARIOS CALIFICACIÓN
Comprensión del
Problema
El alumno comprende y cumple los
objetivos fijados en cada tarea de la
secuencia; reconociendo variables,
datos e incógnitas, los cuales
vincula adecuadamente.
Los desarrollos demuestran una
lógica consistente y válida.
Utiliza notación formal,
demostrando fluidez en el uso de la
simbología requerida.
Plantea, en numerosas consultas,
procedimientos alternativos,
(Evidencia ejemplo: Fig. 6, 7, 8, 9)
decidiéndose finalmente por el más
adecuado a los fines de cada
consigna.
Distinguida
(20 puntos)
Diseño y
Ejecución de la
resolución
Ejecuta una estrategia de resolución
pautada, por etapas, en un orden
adecuado para la consecución de las
tareas subsiguientes y con destacada
continuidad.
(Evidencia orden creciente en dificultad)
Demuestra un buen nivel de
transferencia de los saberes previos;
solicitando ayuda y consejo a los
docentes, cuando le es necesario,
Distinguida
(40 puntos)

36
con elevada capacidad
comunicacional.
Argumenta y justifica mediante el
desarrollo teórico de las consignas y
a través de gráficos.
(Evidencia ejemplo: Fig. 10, 12, 13)
Verificación de
Resultados
Finaliza las tareas intermedias sin
agregados, utiliza adecuadamente
los recursos propios del programa
Geogebra.
Analiza errores por aproximación y
los sesgos observados, (durante las
consultas a los docentes), indicando
razones de tolerancia y
argumentando su presencia.
(Evidencia ejemplo: Fig. 14)
Sus conclusiones son correctas, y
comunicadas adecuadamente.
Distinguida
(20 puntos)
Pensamiento
Creativo
Posee un perfil orientado al
resultado, con óptimas cualidades
comunicacionales y distinguidas
condiciones personales de
dedicación y perseverancia.
(Evidencia: Observación directa )
Distinguida
(10 puntos)
Uso del tiempo y
calidad de entrega.
Ha realizado numerosas entregas
parciales, prestando dedicada
atención a las sugerencias y
correcciones, demostrando
ductilidad en su desempeño.
(Evidencia: portafolio creado)
La calidad y tiempo de entrega son
inmejorables para la presente
actividad.
Distinguida
(10 puntos)
TOTAL: 100 puntos – Muy Pertinente

37
INDICADORES ALUMNO 1
Act.1 Act.2 Act.3
Posee claridad comunicacional X
Argumenta con solidez conceptual X
Selecciona adecuadamente los recursos X
Demuestra autonomía en el manejo de
recursos e información
X
Mantiene una actitud crítica ante los
resultados obtenidos
X
Se apropia de los recursos tecnológicos
disponibles
X
Mantiene una actitud proactiva en la tarea X
Acepta ayuda y colabora con pares X
Al momento, el nivel de habilidades demostradas en forma de competencias es óptimo,
restaría evaluar el resto de las actividades de la secuencia.

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