LAS GRAFICAS UN ESPACIO DE CONSTRUCCIÓN DE ARGUMENTACIONES SOBRE VARIACIÓN Eduardo Carrasco H. Universidad de Valparaíso
Fenómeno Educativo Confundir la Gráfica de la trayectoria del móvil con la gráfica distancia tiempo No asocian la gráfica ...
Y=f(x) Registro Algebraico Registro Gráfico Af(x)+B Las gráficas son el resultado de ciertas prácticas sociales que han ge...
(Buendía, 2008) En ello se reconocen prácticas asociadas con la construcción significativa de lo periódico a partir de la ...
El comportamiento de las Gráficas es una categoría que no pertenece a la estructura matemática. Es un recurso para hablar ...
Una mirada a la Gráfica
Regla del Merton College <ul><li>To prove, however, that in the case of acceleration from rest to a finite degree [of velo...
Oresme (~1377) “ Por que no hacer un dibujo de la manera en que las cosas varían” (Boyer, 1969).” El dibujo permite incorp...
Galileo Obediente de los números, numérica las gráficas e incorpora el tiempo como variable.  Folio 81r Folio 107v Dos nue...
Las líneas se engendran mediante el movimiento de puntos   Newton   (1638) La geometría Analítica incorpora el Algebra al ...
Y=sen(1/x) Esta gráfica no se puede trabajar bajo la metáfora de la trayectoria de un punto en el espacio. Se necesito un ...
Profesores de Matemática Describiendo una Situación de Variación Días, 2007 Estudiantes de Secundaria Describiendo una Sit...
(Varela, 1998) Se considera como la “historia del acoplamiento estructural que enactúa (hace emerger) un mundo” y que ésta...
Cotidian o trabajo matemátic a  Escolar Lo virtual Conformando ideas y significados propios de cada espacio ……
Dialogo Benéfico A B C D E F G H (x,y)
En definitiva podemos reconocer <ul><li>Ambiente Gráfico de Oresme (AGO):  </li></ul><ul><li>Ambiente Gráfico de Galileo (...
Argumentos
&quot;Es como si hiciéramos un cuadrito en la primera para ver el periodo de repetición. Podemos hacer también un cuadrito...
Las líneas se engendran mediante el movimiento de puntos   “ Por número real entendemos (…) un cuociente abstracto de una ...
Dominio de Origen Dominio de llegada <ul><ul><li>Se recorre en ambos sentidos </li></ul></ul><ul><ul><li>Es homogénea </li...
EPISTEMES  DE  TIEMPO   Faceta Paramétrica Faceta  Proyectivo-Cualitativa Collage Irreversible Heterogéneo Dependiente Dis...
<ul><li>¿Cómo constituir a los ambientes de las gráficas escolares de variación en el tiempo como ámbitos de construcción ...
Permite reconocer significados y  practicas que están a la base del trabajo con graficas Formas de hacer que cada ambiente...
Objetivos de la Investigación <ul><li>Determinar el rol que tienen en la construcción del saber matemático: </li></ul><ul>...
Elementos Metodológicos
Formas de hacer genéricas que van normando el hacer en un área de actividad matemática   Actividades, que responden a una ...
Representaciones “ Son estructuras mentales cuyo contenido se compone de las frases, los conceptos, los términos que se ut...
Metáfora Como Herramienta Dominio Fuente Dominio de Llegada Restar es Quitar 5-2= -7  “ No se puede tener menos que nada ”...
“ Cuando dos variables están en proporcionalidad directa…. La gráfica es un conjunto de puntos que están sobre una línea r...
<ul><li>El trabajo acometerá la construcción de la epistemología de prácticas de las gráficas, a través de identificar div...
Primer momento <ul><li>Se focalizara en producciones históricas, un estudio epistemológico, que como señala Castañeda (200...
Segundo momento <ul><li>Explorar en estudiantes aquellas nociones que cotidianamente manejan respecto de los elementos pre...
Tercer momento <ul><li>A la luz de actividades, intencionadas por prácticas reconocidas en la primera y segunda etapa, que...
<ul><li>Finalmente a la luz de los resultado en una etapa final de sistematización se levantara un socioepistemología de p...
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    1. 1. LAS GRAFICAS UN ESPACIO DE CONSTRUCCIÓN DE ARGUMENTACIONES SOBRE VARIACIÓN Eduardo Carrasco H. Universidad de Valparaíso
    2. 2. Fenómeno Educativo Confundir la Gráfica de la trayectoria del móvil con la gráfica distancia tiempo No asocian la gráfica horizontal con un objeto estacionario No interpretan que cuando la posición de la grafica retoma el eje horizontal el objeto retorna al origen Arrieta (2002) destaca que estudiantes tienden a : t h
    3. 3. Y=f(x) Registro Algebraico Registro Gráfico Af(x)+B Las gráficas son el resultado de ciertas prácticas sociales que han generado el conocimiento del cálculo, y a partir ello propone resignificar el uso e las gráficas debatiendo entre su funcionamiento y su forma Cordero 2007
    4. 4. (Buendía, 2008) En ello se reconocen prácticas asociadas con la construcción significativa de lo periódico a partir de la visualización de la gráfica, y por tanto ella actúa como un soporte que permite construir argumentos para predecir &quot;Es como si hiciéramos un cuadrito en la primera para ver el periodo de repetición. Podemos hacer también un cuadrito para la segunda gráfica y veríamos, igual que en la primera, que el cuadrito se va repitiendo todo el tiempo igual...aunque también sube”.
    5. 5. El comportamiento de las Gráficas es una categoría que no pertenece a la estructura matemática. Es un recurso para hablar de ciertas propiedades matemáticas de las funciones y sus gráficas, es una categoría que no esta definida en los textos. Sin embargo, el individuo lo utiliza cuando se involucra en cierta actividad matemática (Buendía, 2004) Para acceder al pensamiento y lenguaje variacional se precisa entre otras cosas, el manejo de un universo de formas gráficas extenso y rico en significados por parte del que aprende. (Cantoral y Farfan 1998)
    6. 6. Una mirada a la Gráfica
    7. 7. Regla del Merton College <ul><li>To prove, however, that in the case of acceleration from rest to a finite degree [of velocity], the mean degree [of velocity] is exactly one-half the terminal degree [of velocity], it should be known that if any three terms are in continuous proportion, the ratio of the first to the second, or of the second to the third, will be the same as the ratio of the difference between the first and the middle, to the difference between the middle and the third; as when the terms are 4, 2, 1; 9, 3, 1; 9, 6, 4. For as 4 is to 2, or as 2 is to 1, so is the proportion of the difference between 4 and 2 to the difference between 2 and 1, because the difference between 4 and 2 is 2, while that between 2 and 1 is 1; and so with the other cases. </li></ul>Trabajo con argumentos respecto de series numéricas y proporcionalidad de números
    8. 8. Oresme (~1377) “ Por que no hacer un dibujo de la manera en que las cosas varían” (Boyer, 1969).” El dibujo permite incorporar argumentaciones geométricas al trabajo con el cambio I say that the line DE is one-half the li ne AB. For BC/BE=AC/AD=AB/DE, and BC=2BE. Therefore, AB=2DE, and DE=(1/2)AB. Oresme citado en Clagett, 1968, p. 95 Estas características proporcionan un uso de las gráficas que depende de las propiedades geométricas para su descripción (medidas y razones) que proporciona un funcionamiento y una forma de la gráfica diferentes a las asociadas a la representación gráfica de una función. (Suarez 2008) Estudio Histórico
    9. 9. Galileo Obediente de los números, numérica las gráficas e incorpora el tiempo como variable. Folio 81r Folio 107v Dos nuevas Ciencias CD= Distancia Recorrida AB = Tiempo demorado AG = Velocidad
    10. 10. Las líneas se engendran mediante el movimiento de puntos Newton (1638) La geometría Analítica incorpora el Algebra al trabajo con la geometría. Podemos trabajar la analiticidad de las curvas La continuidad y el limite eran dados naturalmente por el movimiento. No era necesario definirlos ni preguntarse por ellos
    11. 11. Y=sen(1/x) Esta gráfica no se puede trabajar bajo la metáfora de la trayectoria de un punto en el espacio. Se necesito un nuevo paradigma Dedekind- Weiesstras La gráfica son Conjuntos de Puntos (No hay movimiento) Continuidad y Limite ya no son naturales, hay que formalizarlos y verificarlos (x,y)
    12. 12. Profesores de Matemática Describiendo una Situación de Variación Días, 2007 Estudiantes de Secundaria Describiendo una Situación de Variación Carrasco, 2006
    13. 13. (Varela, 1998) Se considera como la “historia del acoplamiento estructural que enactúa (hace emerger) un mundo” y que ésta funciona “a través de una red de elementos interconectados capaces de cambios estructurales durante una historia ininterrumpida”. Así, el acento en el campo de las ciencias cognitivas se ha ido desplazando hacia el plano de las experiencias humanas La cognición
    14. 14. Cotidian o trabajo matemátic a Escolar Lo virtual Conformando ideas y significados propios de cada espacio ……
    15. 15. Dialogo Benéfico A B C D E F G H (x,y)
    16. 16. En definitiva podemos reconocer <ul><li>Ambiente Gráfico de Oresme (AGO): </li></ul><ul><li>Ambiente Gráfico de Galileo (AGG): </li></ul><ul><li>Ambiente Gráfico Matemático (AGM) </li></ul><ul><li>Ambiente Gráfico del Cómic (AGC). </li></ul>Escenarios Socioculturales están definidos por prácticas culturales específicas que manifiestan necesidades de tipo ideológico, psicológico, fisiológico o ambiental de los individuos que constituyen las sociedades específicas. En estos escenarios se explicitan peculiaridades históricas y cotidianas, de carácter filosófico, epistemológico, ideológico, o podemos decir más generalmente: culturales. (Crespo, 2008)
    17. 17. Argumentos
    18. 18. &quot;Es como si hiciéramos un cuadrito en la primera para ver el periodo de repetición. Podemos hacer también un cuadrito para la segunda gráfica y veríamos, igual que en la primera, que el cuadrito se va repitiendo todo el tiempo igual...aunque también sube”. … no es periódica si tomo como sistema de referencia los ejes de coordenadas propuestos, pero si yo tomo uno distinto (rotando el eje x para que coincida con la gráfica), entonces sí lo es
    19. 19. Las líneas se engendran mediante el movimiento de puntos “ Por número real entendemos (…) un cuociente abstracto de una cierta magnitud a otra tomada como unidad ” El tiempo es una distancia Continua Newton (1638) El tiempo absoluto, verdadero y matemático, en sí y por su naturaleza, fluye igualmente sin relación con nada externo “Se encuentre la palabra tiempo (…) aquella cantidad a través de cuyo incremento o flujo uniforme se expresa y mide el tiempo” El tiempo, construido a partir de una metáfora de flujo continuo, coherente con su representación como la línea continua
    20. 20. Dominio de Origen Dominio de llegada <ul><ul><li>Se recorre en ambos sentidos </li></ul></ul><ul><ul><li>Es homogénea </li></ul></ul><ul><ul><li>Es continuo </li></ul></ul><ul><ul><li>El tiempo fluye con igual intensidad </li></ul></ul><ul><ul><li>Se puede buscar lo sucedido en tiempo negativos </li></ul></ul><ul><ul><li>Es continuo y homogenio </li></ul></ul>El tiempo es una distancia (x,y)
    21. 21. EPISTEMES DE TIEMPO Faceta Paramétrica Faceta Proyectivo-Cualitativa Collage Irreversible Heterogéneo Dependiente Discreto: Números Continuo: Intervalos Irreversible Homogéneo Independiente Victimas vs Protagonistas Continuo El continuo de IR Reversible Homogéneo Independiente Una distancia en el registro gráfico SUBJETIVO Cotidianas y culturales MATEMÁTICO
    22. 22. <ul><li>¿Cómo constituir a los ambientes de las gráficas escolares de variación en el tiempo como ámbitos de construcción de argumentaciones sobre variación que amplían el repertorio de esquemas explicativos y de herramientas para construir significativamente nociones propias de la matemática del cambio? </li></ul>
    23. 23. Permite reconocer significados y practicas que están a la base del trabajo con graficas Formas de hacer que cada ambiente de graficas potencian Metáforas que están al seno de las explicaciones que se generaron De modo de dialogar en el aula, con los diferentes saberes de los estudiantes, aquellos que traen de la vida, aquellos que ya han construido en la escuela Producciones históricas Producciones Escolares Producciones Cotidianas
    24. 24. Objetivos de la Investigación <ul><li>Determinar el rol que tienen en la construcción del saber matemático: </li></ul><ul><ul><li>Determinando prácticas y significados variacionales de los elementos que están presentes en la gráfica en los diversos momentos de construcción y uso de la matemática del cambio   </li></ul></ul><ul><li>Determinar las prácticas que permiten construir ciertas distinciones en cada espacio gráfico . </li></ul><ul><li>Entender como la Evolución en los Ambientes de Trabajo Gráficos Permite resignificar elementos de la matemática del cambio: </li></ul><ul><ul><li>Tiempo, Covariación con el tiempo </li></ul></ul><ul><ul><li>Elementos de visualización de la gráfica </li></ul></ul><ul><ul><li>Relación Pendiente Velocidad </li></ul></ul><ul><ul><li>Articulación Gráfica-Algebra </li></ul></ul>
    25. 25. Elementos Metodológicos
    26. 26. Formas de hacer genéricas que van normando el hacer en un área de actividad matemática Actividades, que responden a una intencionalidad de prácticas Montiel, 2004 Práctica social Prácticas de referencia Prácticas de referencia Prácticas de referencia Prácticas de referencia … Actividades Actividades Actividades … Argumentos variacionales Argumentos variacionales Argumentos variacionales …
    27. 27. Representaciones “ Son estructuras mentales cuyo contenido se compone de las frases, los conceptos, los términos que se utilizan. La estructura, refiere a la manera en que se presenta organizado el contenido, la articulación y relación de conceptos y términos entre sí. ” (Díaz, 1999).
    28. 28. Metáfora Como Herramienta Dominio Fuente Dominio de Llegada Restar es Quitar 5-2= -7 “ No se puede tener menos que nada ” 3
    29. 29. “ Cuando dos variables están en proporcionalidad directa…. La gráfica es un conjunto de puntos que están sobre una línea recta que pasa por el origen” Lakoff y Nuñez, 2000 La traza del punto al desplazarse <ul><li>Continuidad Natural del movimiento en el espacio </li></ul><ul><li>Limite son restas de números que se hacen cero </li></ul>Conjunto de Puntos <ul><li>No hay espacio ni movimiento, no hay dirección, ni aproximación </li></ul>
    30. 30. <ul><li>El trabajo acometerá la construcción de la epistemología de prácticas de las gráficas, a través de identificar diversas producciones argumentativas claves respecto de actividades de graficación, reconociendo las metáforas subyacentes a la actividad realizada, búsqueda que se estructura a priori en tres focos de atención: </li></ul>
    31. 31. Primer momento <ul><li>Se focalizara en producciones históricas, un estudio epistemológico, que como señala Castañeda (2004) “puede proveer de explicaciones detalladas de los procesos por los que se desarrolla una idea matemática”, Se espera reconocer las diversas prácticas asociadas a los distintos espacios gráficos de trabajo, a partir de reconocer las metáforas subyacentes, tanto aquellas ya institucionalizadas a la época como aquellas nuevas que van dando luces de cómo se construyo ese saber. </li></ul>
    32. 32. Segundo momento <ul><li>Explorar en estudiantes aquellas nociones que cotidianamente manejan respecto de los elementos presentes en los trabajos con gráficas de variación en el tiempo </li></ul><ul><li>Formas cotidianas de hacer y representar el movimiento y las significaciones que se portan </li></ul><ul><li>Instrumentos </li></ul><ul><ul><li>Cuestionarios amplios que permitan que los alumnos construyan argumentos sobre la variación y la manera de comunicarla. </li></ul></ul><ul><ul><li>Identificar las metáforas que portan, construyen y comunican y por tanto reconocer sus episteme culturales que portan para el trabajo con el cambio. </li></ul></ul><ul><ul><li>Entrevistas en profundidad a estudiantes cuyas respuestas sean significativas, tanto por la cantidad de argumentos como por la calidad de sus argumentaciones. </li></ul></ul>
    33. 33. Tercer momento <ul><li>A la luz de actividades, intencionadas por prácticas reconocidas en la primera y segunda etapa, que ejercen los estudiantes, se vera como los distintos entornos Identificados actúan en la construcción de conocimiento, si logran al intencionar el uso de algunas metáforas y prácticas en el trabajo la construcción de saber matemático. </li></ul><ul><li>Esta etapa considera como base metodológica la ingeniería didáctica en cuanto a sus etapas de análisis preliminar, ejecución y contraste de conjeturas. </li></ul>
    34. 34. <ul><li>Finalmente a la luz de los resultado en una etapa final de sistematización se levantara un socioepistemología de prácticas respecto del trabajo gráfico y se propondrán orientaciones didácticas para el uso de los ambientes gráficos en la enseñanza de la matemática universitaria. </li></ul>

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