Estabilidad - Pandeo -

1. Módulo
8
Inestabilidad elástica

4. INTRODUCCIÓN
Al comienzo de este curso se estableció que la
selección de elementos estructurales se basa en tres
características: resistencia, rigidez y estabilidad.
Los procedimientos de análisis de esfuerzos y
deformaciones se estudiaron en detalle en los
capítulos anteriores. En este capítulo se tratará la
cuestión de la posible inestabilidad de sistemas
estructurales. En tales problemas se deben hallar
parámetros críticos adicionales que determinen si es
posible una configuración o patrón de
desplazamientos dado para un sistema particular.
Este problema es diferente de cualquiera de los
vistos antes. Como un ejemplo intuitivo sencillo
considérese una barra de diámetro D sometida a una
fuerza axial de compresión. Si tal barra actuando
como “columna”, fuera de longitud D no surgiría
ninguna cuestión acerca de la inestabilidad y este
miembro corto podría soportar una fuerza
considerable.

5. Por otra parte, si una misma barra tuviera una longitud de varios diámetros, al ser
sometida a una fuerza axial aún menor que la que puede soportar la pieza corta
podría llegar a ser lateralmente inestable presentándose en ella pandeo lateral y
podría fallar o sufrir colapso.
Una regla delgada ordinaria, si se somete a una compresión axial, fallará de esta
manera.
La consideración de la sola resistencia del material no es suficiente para
predecir el comportamiento de la pieza.

6. El mismo fenómeno se presenta en numerosas otras situaciones en que
existen esfuerzos de compresión. Placas delgadas completamente capaces de
resistir cargas en tracción, resultan muy ineficaces para transmitir
compresión.
Tanques de almacenamiento, así como silos metálicos, a menos que estén
apropiadamente diseñados, pueden deformarse gravemente por la presión
externa (viento) o interna (líquidos o granos) y asumir formas que difieren en
forma notable de su configuración geométrica original.
Un tubo de pared delgada puede arrugarse o plegarse como un papel de seda
cuando se somete a una torsión.
Además por lo general los fenómenos de pandeo o arrugamiento que se
observan en miembros cargados ocurren más bien repentinamente. Por esta
razón muchas de las fallas estructurales por pandeo son espectaculares y muy
peligrosas.

7. El enorme número de problemas de inestabilidad o pandeo de estructuras
sugerido por la lista anterior está fuera del alcance de este curso.
Aquí sólo se considerará el problema de la columna. Este se llevará a cabo
investigando primero el comportamiento de barras delgadas cargadas
axialmente y sometidas simultáneamente a flexión. Tales miembros se llaman
vigas columnas. Los problemas de vigas columnas, además de tener un
significado propio permiten determinar las magnitudes de cargas axiales
críticas a las que ocurre el pandeo.
A continuación se tratará el pandeo de columnas ideales cargadas
concéntricamente. Esto conduce al examen de los valores característicos (o
autovalores) de las ecuaciones diferenciales apropiadas. Las autofunciones
correspondientes dan las formas de pandeo de tales columnas. Se describirá el
pandeo elástico y se establecerán límites de validez para el caso de
comportamiento elasto-plástico y se presentará también alguna información
acerca de columnas cargadas excéntricamente.
Finalmente se hará una breve clasificación en base a ejemplos sencillos de
problemas en estabilidad elástica a los fines de dar un panorama más
completo del tema.

8. NATURALEZA DEL PROBLEMA DE LA VIGA COLUMNA
El comportamiento de vigas columnas reales se puede
entender mejor considerando primer un ejemplo
idealizado, que se muestra en la Figura.
Aquí, para simplificar, una barra perfectamente rígida
de longitud L se mantiene inicialmente en posición
vertical por medio de un resorte en A que tiene una
rigidez a la torsión k. Luego una fuerza vertical P y una
horizontal F se aplican en el extremo superior. A
diferencia del procedimiento seguido en todos los
problemas anteriores, se deben escribir ahora las
ecuaciones de equilibrio para la condición deformada.
Teniendo presente que kθ es el momento resistente que
desarrolla el resorte en A se obtiene:

9. El aspecto cualitativo de este resultado se
muestra en la Figura y la curva correspondiente
se ha marcado como la solución exacta. Es
interesante observar que cuando θ → π, siempre
que el resorte continúe funcionando, el sistema
puede soportar una fuerza muy grande P.
Para una fuerza aplicada verticalmente hacia
arriba, indicada con un sentido contrario en la
figura, el ángulo θ disminuirá cuando P aumente.
En el análisis de problemas de los capítulos
anteriores el término PL senθ no había aparecido
en lo absoluto.

10. La solución expresada por la ecuación anterior es para rotaciones
arbitrariamente grandes. En problemas complejos es muy difícil alcanzar
soluciones de tal generalidad. Además en la mayoría de las aplicaciones no se
pueden tolerar desplazamientos de gran magnitud.
Por consiguiente es posible limitar el estudio del comportamiento de
sistemas al caso de desplazamientos pequeños y moderadamente grandes.
En este problema lo anterior se puede realizar poniendo senθ≈ θ y cos θ ≈ 1.
De esta forma la ecuación anterior se simplifica a:

11. Para valores pequeños de θ esta solución es completamente aceptable. En
cambio a medida que θ aumenta, la discrepancia entre esta solución
linealizada y la solución exacta llega a ser muy grande.
Para una combinación crítica de los parámetros k, P y L, el denominador
(k - PL) en el último término de la ecuación sería cero y presumiblemente
daría lugar a una rotación θ infinita. Esto es completamente irreal y resulta de
una formulación matemática impropia del problema. No obstante, tal solución
proporciona una buena guía acerca del valor de la magnitud de la fuerza axial
P a la que las deflexiones llegan a ser intolerablemente grandes.
La asíntota correspondiente a esta solución, obtenida de la igualdad
(k - PL)=0, define la fuerza «crítica» PC como

12. Es significativo observar que en sistemas reales las grandes deformaciones
asociadas a fuerzas del mismo orden de magnitud que P por lo general causan
tensiones tan grandes que hacen inservible el sistema.
Por consiguiente, en el análisis de pandeo de miembros a compresión desempeña el
papel más importante la determinación de PC con una base simplificada, siguiendo
las líneas del método utilizado en el ejemplo anterior. A continuación se emplearán
los conceptos anteriores en la resolución de un problema de una viga-columna
elástica.
Ejemplo
Una viga columna se somete a fuerzas axiales
P, y a una fuerza transversal hacia arriba, F
en su punto medio. Determinar la ecuación
de la elástica y la fuerza axial crítica P.
(Considérese que EI es constante)

13. El diagrama de cuerpo libre de la viga columna se muestra en la Figura. Este
diagrama permite la expresión del momento flector total M, que incluye el
efecto de la fuerza axial P multiplicada por el desplazamiento v. El momento
total dividido por EI puede hacerse igual a la expresión aproximada habitual
de la curvatura para pequeñas rotaciones d2v/dx2. Debido a esto, como en el
ejemplo anterior, se obtendrán desplazamientos infinitos en las cargas
críticas.
Por lo tanto, utilizando la relación M=EIv y observando que en la mitad
izquierda de la viga M= -F/2 – Pv, se tiene

14. La solución de la homogénea (F = 0) para esta ecuación diferencial es bien
conocida y resulta de una suma de funciones armónicas (corresponde por
ejemplo a la forma del movimiento armónico simple), en tanto que la
solución particular es igual al término independiente dividido por 2. En
consecuencia, la solución completa es:

15. Sustituyendo:
El desplazamiento máximo ocurre en x=L/2, por lo que luego de algunas
simplificaciones:

16. De esto se puede concluir que el momento máximo absoluto que se produce en
el punto medio, es:
Se puede observar que las expresiones anteriores, se hacen infinitas si L/2
es múltiplo de π/2 puesto que esto hace nulo a cos(L/2) e infinito a
tan(L/2). Expresado algebraicamente, esto ocurre cuando:
donde n es un entero. Despejando P de esta
ecuación, se obtiene la magnitud de esta fuerza
que causa desplazamientos o momentos flectores
infinitos. Esto corresponde a la condición de la
fuerza axial crítica PC para esta barra:

17. Para la fuerza crítica mínima el entero n vale 1. Este resultado fue
establecido por primera vez por el matemático Leonhard Euler en 1757 y
con frecuencia se la denomina la carga de pandeo de Euler.
Es importante observar que la ecuación diferencial
es de un tipo diferente al que se utilizó para calcular los desplazamientos de
vigas con cargas transversales únicamente y por lo tanto no pueden
integrarse de la misma forma.

18. Para una más completa comprensión del problema de la viga columna
resulta instructivo deducir varias relaciones diferenciales entre las variables
involucradas. Con ese objetivo consideremos un elemento diferencial de viga
columna como se indica en Figura. Notar especialmente que el elemento se
muestra en su posición deformada. Para vigas ordinarias (comportamiento
lineal) cargadas transversalmente esto no es necesario. Por otro lado los
desplazamientos que se tratan en este análisis son pequeños en relación con
la luz de la viga columna, lo cual permite las siguientes simplificaciones:

20. En este desarrollo se puede utilizar la relación usual de la teoría de flexión, v” = M/ (EI).
Operando con las ecuaciones anteriores y haciendo uso de la relación anterior, se obtienen
dos ecuaciones diferenciales alternativas para vigas-columnas:
donde para simplificar se supuso que EI es constante y, como antes, 2= P/ (EI).
Si P = 0, las ecuaciones anteriores resultan las mismas ecuaciones vistas para vigas con
carga transversal.
Para las nuevas ecuaciones, las condiciones de borde son las mismas vistas con
anterioridad, excepto que la fuerza de corte se obtiene de la expresión
Para referencia futura, la solución homogénea y sus derivadas se listan a continuación:

21. Estas relaciones son necesarias en algunos ejemplos para expresar las condiciones
de borde, a fin de evaluar las constantes C1, C2 , C3 y C4

22. Ejemplo
Una barra delgada de EI constante se somete simultáneamente a momentos
de extremo, M y a fuerzas axiales P, como se indica en la Figura. Determinar
el desplazamiento máximo y el mayor momento flector .
Dentro del tramo no existe carga transversal alguna. Por consiguiente el
término del segundo miembro de la ecuación diferencial es nulo, y la
solución homogénea de esta ecuación dada por la (1) será la solución
completa. Las condiciones en el contorno son:

24. Es importante observar que en miembros delgados los momentos flectores
pueden aumentar substancialmente por la presencia de fuerzas axiales de
compresión. Cuando existen tales fuerzas, aumentan los desplazamientos
causados por la carga transversal. En el caso de fuerzas de tracción los
desplazamientos disminuyen.

25. ESTABILIDAD DEL EQUILIBRIO
Una aguja perfectamente recta sostenida sobre su punta puede considerarse
en equilibrio. Sin embargo, la menor perturbación de éste o la imperfección
más pequeña en su fabricación harían imposible tal estado. Se dice que esta
clase de equilibrio es inestable, y es imperativo evitar situaciones análogas en
sistemas estructurales.
Para aclarar más el problema,
consideremos de nuevo una
barra vertical rígida con un
resorte de torsión, de rigidez k,
en su base, como se mostró al
principio.
La respuesta de este sistema a
medida que aumenta la fuerza P
se indica en la Figura para una
fuerza F grande y una fuerza F
pequeña.

26. Surge entonces la siguiente pregunta:
¿Cómo se comportará este sistema si F = 0? Este es el caso límite y
corresponde al estudio del pandeo perfecto.
La barra rígida puede experimentar sólo rotación, ya que no se puede
flexionar; es decir, el sistema tiene un grado de libertad. Para una rotación
supuesta, θ, el momento en el resorte (restaurador) es kθ, y con F = 0, el
momento que produce P (perturbador) será PLsenθ ≈ PLθ, por lo tanto, si:
Exactamente en el punto de transición kθ = PLθ, el equilibrio no es estable ni
inestable sino neutro (o indiferente). La fuerza asociada a esta condición es la
carga de pandeo o crítica, que se designará por PC . Para el sistema considerado:

27. Esta condición establece el comienzo del pandeo. Con esta fuerza dos
posiciones de equilibrio son posibles, la forma vertical y una forma inclinada
infinitesimalmente próxima a ella. Por lotanto, como es posible seguir dos
ramas o caminos en la solución, a esta condición se la llama punto de
bifurcación de la solución de equilibrio. Para P > k/L el sistema es inestable.
Como la solución ha sido linealizada no hay posibilidad de que θ sea
arbitrariamente grande en PC.
Considerando grandes desplazamientos, hay siempre un punto de equilibrio
estable en θ < π. El comportamiento de columnas elásticas, cargadas
concéntricamente y perfectamente rectas, es decir columnas ideales, es
análogo al comportamiento descripto en el sencillo ejemplo anterior. A
partir de una formulación linealizada del problema se puede determinar las
cargas críticas de pandeo.

28. Las cargas críticas no describen la acción del
pandeo mismo. Utilizando una ecuación
diferencial exacta de la curva elástica para
deflexiones grandes, es posible hallar
posiciones de equilibrio más altas que PC,
correspondiente a la fuerza aplicada P. Los
resultados de tal análisis se ilustran a
continuación. Notar especialmente que
aumentando P en sólo 1,5 %PC sobre PC se
produce un desplazamiento lateral máximo
del 22 % de la longitud de la columna
Por razones prácticas, desplazamientos tan
grandes rara vez pueden ser aceptados.
Además, por lo general el material no puede
resistir los esfuerzos de flexión inducidos.
Por lo tanto, las columnas reales fallan
inelásticamente. En la gran mayoría de las
aplicaciones de ingeniería PC representa la
capacidad última de una columna recta
cargada axialmente en forma concéntrica.

29. CARGA DE PANDEO DE EULER PARA COLUMNAS CON
EXTREMOS ARTICULADOS
A fin de formular las ecuaciones diferenciales que permitan determinar la
carga de pandeo de una columna ideal, se debe permitir que ocurra un
pequeño desplazamiento lateral del eje de la columna. Para la columna con
extremos articulados e inicialmente recta de la Figura 7.a, lo anterior se
indica en la Figura 7.b.

31. Carga crítica de Euler

34. PANDEO ELÁSTICO DE COLUMNAS CON DIFERENTES RESTRICCIONES
EN SUS EXTREMOS
Procedimientos iguales a
los estudiados en la sección
anterior se pueden utilizar
para determinar las cargas
de pandeo elástico de
columnas con diferentes
condiciones de borde. Las
soluciones de tales
problemas son muy
sensibles a las restricciones
de extremo. Por ejemplo la
carga crítica de pandeo para
una columna empotrada en
su base, Figura 8.b, con una
carga vertical en su extremo
libre superior, es:

35. Las dos últimas ecuaciones indican que mediante la restricción en los extremos las
cargas de pandeo críticas van aumentando notablemente por encima del caso
fundamental.
Todas las fórmulas anteriores pueden asemejarse al caso fundamental siempre que en
vez de la longitud real de la columna se utilice la longitud efectiva de la misma. Esta
longitud resulta ser la distancia entre los puntos de inflexión de las curvas elásticas o
las articulaciones, si las hubiere.

37. La longitud efectiva de una columna Le, en el caso fundamental es igual a L,
pero en los casos anteriores es 2L, 0,7L y 0,5L, respectivamente. Para el caso
general, Le= KL, donde K es el factor de longitud efectiva, el cual depende de las
restricciones en los extremos.
En contraste con los casos clásicos que se muestran en la Figura 8, los
miembros a compresión reales rara vez están verdaderamente articulados o
completamente empotrados (fijos contra la rotación) en los extremos. Debido
a la incertidumbre respecto al grado de fijación de los extremos, a menudo las
columnas se suponen con articulaciones en dichas partes. Con excepción del
caso que se muestra en la Figura 8.b, donde no se puede utilizar, este
procedimiento es conservador.
Las ecuaciones anteriores llegan a ser completamente erróneas para el
intervalo inelástico y no se deben utilizar en la forma dada (ver fórmulas
generalizadas).

38. LIMITACIÓN DE LAS FORMULAS DE PANDEO ELÁSTICO
En las deducciones anteriores de las fórmulas de pandeo para columnas se
supuso tácitamente que el material se comportaba de manera linealmente
elástica. Para poner de manifiesto esta significativa limitación, la ecuación de
Euler puede escribirse en forma diferente. Por definición, I = Ar2, donde A es el
área de la sección transversal y r es su radio de giro. La substitución de esta
relación da:
donde la tensión crítica C, para una columna se define como un promedio en el
área transversal A de la misma, debido a la carga crítica PC . La longitud de la
columna es la longitud efectiva Le y r el radio de giro mínimo del área de la
sección, puesto que la fórmula original de Euler se da en términos del valor
mínimo de I. La relación (L/r) se llama relación de esbeltez () de la columna.

39. De la ecuación anterior se puede concluir que el límite de
proporcionalidad del material es el límite superior de la tensión con la
cual la columna pandeará elásticamente. La modificación necesaria de la
fórmula para incluir la respuesta inelástica del material se estudiará en
la siguiente sección.

41. FORMULAS GENERALIZADAS DE LA CARGA DE PANDEO DE EULER
Un diagrama típico tensión-deformación a la compresión para una probeta en la que se
impide el pandeo se puede representar como en la Figura 9.a. En el intervalo de tensiones
desde O hasta A el material se comporta elásticamente. Si la tensión en una columna en
pandeo no excede de este intervalo la columna pandeará elásticamente. La hipérbola
correspondiente a la ecuación C=2E/(L/r)2 , es aplicable en este caso. Esta porción de la
curva se indica como ST en la Figura 9.b. Es importante reconocer que esta curva no
representa el comportamiento de una columna sino más bien el de un número infinito de
columnas ideales de diferente longitud. La hipérbola que corresponde a la región situada
más allá del intervalo útil se indica en la figura por medio de una línea punteada.

44. SOLUCIÓN DE JOHNSON PARA EL PANDEO DE COLUMNAS INTERMEDIAS
A causa de las desviaciones inevitables de
la situación ideal representada por las
curvas ACE y BDF, la falla en las columnas
ocurren para valores menores que los
predictos por la teoría, en particular en las
vecindades de los puntos C y D. La
modificación más ampliamente utilizada
es la parábola propuesta por J.B. Johnson a
comienzos del S XX.
Parábola de Johnson

47. Como se puede ver en la gráfica anterior, la parábola es siempre
tangente a la curva de euler en el punto (Scr , Le/) donde.
Este punto de tangencia usualmente sirve para distinguir entre columnas
«intermedias» (zona de la parábola) y columnas «largas» (zona de Euler), las
columnas «cortas» son comunmente acotadas a aquellas con (Le/) menor a
10, en cuyo caso la carga crítica puede tomarse como Sy (en este caso se
habla de «puntales»).
Para Aceros se cumple que si: Le/  80 entonces puede aplicar Euler.
Le/  90 entonces puede aplicar Johnson.

49. COLUMNAS CARGADAS EXCÉNTRICAMENTE
En el estudio anterior del pandeo de columnas se supuso que
tales elementos eran idealmente rectos. Puesto que en
realidad todas las columnas tienen imperfecciones, las cargas
de pandeo que se obtienen para columnas ideales son las
mejores posibles. Tales análisis sólo proporcionan indicios
acerca del mejor funcionamiento posible de columnas. Por lo
tanto, no es sorprendente que el funcionamiento de columnas
haya sido explorado también con base en algunas
imperfecciones determinadas estadísticamente o en posibles
desalineamientos de las cargas aplicadas.
Como una ilustración de este enfoque, se considerará una
columna cargada excéntricamente que es un problema
importante en si mismo.
Una columna cargada excéntricamente se indica en la Figura. Esta fuerza es
equivalente a una fuerza axial concéntrica P y a momentos en en los extremos Mo= Pe.
Tal viga columna ya ha sido analizada en el ejemplo 2, donde se encontró que debido a
la flexibilidad del miembro, el máximo momento flexionante MMAX=Mosec(L/2).

50. Por lo tanto, la tensión máxima de compresión, que ocurre a la mitad de la altura en el
lado cóncavo de la columna, se puede calcular como

51. A (ec/2) se le llama usualmente relación (o ratio) de excentricidad