pandeo y estabilidad

1. MECANICA DE
MATERIALES II
2021-20

2. PANDEO Y ESTABILIDAD

3. UCONTINENTAL.edu.
pe
MSc. Ing. Misael C. Joaquín Vásquez
1887-1889.
2003-2007.
2001-2004

4. INTRODUCCION
 Las estructuras sometidas a carga pueden fallar de diversas maneras, dependiendo
del tipo de estructura, las condiciones de soporte, los tipos de cargas y materiales
empleados.
 Otro tipo de falla es el pandeo. Consideraremos en concreto el pandeo de columnas,
que son elementos estructurales largos y esbeltos, cargados axialmente en
compresión.
 Si un elemento en compresión es relativamente esbelto, se puede flexionar
lateralmente y fallar por flexión en vez de fallar por compresión directa del material
(pandeo).
 Ante una carga axial creciente, las deflexiones laterales también aumentan y la
columna termina por doblarse por completo.
 Cuando usted se coloca sobre una lata vacía de aluminio.

5. PANDEO Y ESTABILIDAD
 En la figura la estructura consiste en dos barras rígidas AB y BC, cada una con longitud
L/2, unidas en B por un pasador y mantenidas en posición vertical por un resorte
rotacional con rigidez bR.
 En esta estructura la elasticidad de la estructura idealizada está "concentrada" en el
resorte rotacional, en tanto que una columna real puede flexionarse en toda su
longitud.
 Las dos barras están perfectamente alineadas y la carga axial P tiene su línea de
acción a lo largo del eje longitudinal, en consecuencia, el resorte inicialmente no está
sometido a esfuerzo y las barras están en compresión directa.

6. PANDEO Y ESTABILIDAD
 Ahora suponga que la estructura es perturbada por alguna fuerza externa que
provoca que el punto B se mueva una distancia pequeña en sentido lateral.
 Las barras rígidas giran ángulos pequeños q y se desarrolla un momento en el resorte. El
sentido de este momento tiende a regresar la estructura a su posición recta original y,
por lo tanto, se denomina momento restitutivo. Sin embargo, al mismo tiempo la
tendencia de la fuerza axial de compresión es incrementar el desplazamiento lateral.
 Así, estas dos acciones tienen efectos opuestos: el momento restitutivo tiende a
disminuir el desplazamiento y la fuerza axial tiende a aumentarlo.
 Si la fuerza axial P es relativamente pequeña, la acción del momento restitutivo
prevalecerá sobre la acción de la fuerza axial y la estructura volverá a su posición
inicial recta. En estas condiciones, se dice que la estructura es estable. No obstante, si
la carga axial P es grande, el desplazamiento lateral del punto B aumentará y las
barras girarán ángulos cada vez mayores hasta que la estructura colapsa. Ante estas
condiciones, la estructura es inestable y falla por pandeo lateral.

7. CARGA CRITICA
 La transición entre las condiciones estable e inestable ocurre para un valor especial
de la fuerza axial conocido como carga crítica.
 Para determinar la carga critica, primero consideramos toda la estructura como un
cuerpo libre y sumamos momentos con respecto al apoyo A. Este paso conduce a la
conclusión de que no existe reacción horizontal en el apoyo C. Segundo,
consideramos la barra BC como un cuerpo libre y se observa que está sometida a la
acción de las fuerzas axiales P y al momento MB en el resorte. El momento MB es igual
a la rigidez a la rotación bR por el ángulo de rotación 2q del resorte; por lo tanto.

8. CARGA CRITICA
 Como el ángulo q es una cantidad pequeña, el desplazamiento lateral del punto
B es qL/2. Al sumar momentos con respecto al punto B para la barra BC.
 Al reemplazar MB de la ecuación anterior.

9. CARGA CRITICA
 Solucion de esta ecuación:
 q = 0, que es una solución trivial y sólo significa que la estructura se encuentra en
equilibrio cuando es perfectamente recta, sin importar la magnitud de la fuerza P.
 Una segunda solución:

10. CARGA CRITICA
 En el valor crítico de la carga la estructura se encuentra en equilibrio, cualquiera
que sea la magnitud del ángulo q (siempre que el ángulo permanezca pequeño),
Del análisis anterior se observa que la carga crítica es la única para la cual la
estructura se encontrará en equilibrio en la posición perturbada.
 En este valor de la carga, el efecto restitutivo del momento en el resorte coincide
con el efecto de pandeo de la carga axial. Por lo tanto, la carga crítica representa
la frontera entre las condiciones estable e inestable.
 Si P < Pcr, la estructura es estable.
Si P > Pcr, la estructura es inestable.

11. CARGA CRITICA
Se observa que la estabilidad de la estructura se
incrementa al aumentar su rigidez o disminuir su longitud.

12.  Cuando la carga axial es menor que la carga crítica
(0 < P < Pcr), la estructura se encuentra en equilibrio
cuando es perfectamente recta. Debido a que el
equilibrio es estable, la estructura vuelve a su posición
inicial después de ser perturbada. Por lo tanto, la
estructura se encuentra en equilibrio sólo cuando
está perfectamente recta (q=0).
 Cuando la carga axial es mayor que la carga crítica
(P > Pcr), la estructura aún se encuentra en equilibrio
cuando q=0 (dado que está en compresión directa y
no hay momento en el resorte), pero el equilibrio es
inestable y no se puede mantener, ya que la
perturbación mas ligera provocara que la estructura
se pandee.

13. COLUMNA CON EXTREMOS ARTICULADOS
 Columna cargada por una fuerza vertical P que se aplica en el centroide de la
sección transversal. La columna es perfectamente recta y está hecha de material
linealmente elástico que sigue la ley de Hooke.
 Cuando la carga axial P tiene un valor pequeño, la columna permanece
perfectamente recta y experimenta compresión axial directa. Los únicos esfuerzos
son los de compresión uniforme que se obtienen con la ecuación s=P/A.
 La columna se encuentra en equilibrio estable.

14. COLUMNA CON EXTREMOS ARTICULADOS
 Como la carga axial P aumenta gradualmente, alcanzamos una condición de
equilibrio neutro en la que la columna puede tener una forma flexionada.
 El valor correspondiente de la carga es la carga crítica Pcr. En esta carga la
columna puede experimentar deflexiones laterales pequeñas sin cambio en la
fuerza axial.
 A valores mayores de la carga, la columna es inestable y se puede colapsar
por pandeo, es decir, por flexión excesiva.
 Para el caso ideal que estamos estudiando, la columna estará en equilibrio en la
posición recta, aun cuando la fuerza axial P sea mayor que la carga crítica. Sin
embargo, como el equilibrio es inestable, la perturbación mínima imaginable
ocasionará que la columna se flexione en sentido lateral. Una vez que esto sucede,
las deflexiones aumentarán de inmediato y la columna fallará por pandeo.

15. COLUMNA CON EXTREMOS ARTICULADOS
 Por supuesto, una columna real no se comporta de esta manera idealizada,
debido a que siempre tiene imperfecciones, la columna no es perfectamente
recta y la carga no se encuentra exactamente en el centroide.

16. ECUACION DIFERENCIAL PARA EL PANDEO DE COLUMNAS
 Utilizando la ecuacion diferencial de la curva de deflexión de
una viga, debido a que la columna se flexiona como si fuera
una viga. La ecuación del momento flexionante.
 Donde M es el momento flexionante, v la deflexión lateral y El la
rigidez a la flexión en el plano.
 Del equilibrio de momentos con respecto al punto A
obtenemos.
 Donde v es la deflexión lateral

17. ECUACION DIFERENCIAL PARA EL PANDEO DE COLUMNAS
 La ecuación diferencial de la curva de deflexión.
 Ecuación diferencial de segundo orden, homogénea, lineal y con coeficientes
constantes.
 Hay una diferencia fundamental en los dos tipos de análisis. En el caso de
deflexiones de vigas, el momento flexionante M es una función sólo de las
cargas y no depende de las deflexiones de la viga. En el caso del pandeo, el
momento flexionante es una función de las propias deflexiones

18. ECUACION DIFERENCIAL PARA EL PANDEO DE COLUMNAS
 Por conveniencia introducimos la notación.
 Reescribiendo la ecuación diferencial.
 Para esta ecuación la solución general es:
 Donde C1 y C2 son constantes de integración a evaluarse a partir de las
condiciones de frontera.

19. ECUACION DIFERENCIAL PARA EL PANDEO DE COLUMNAS
 La deflexión es cero cuando x=0
  C2=0
 Por lo tanto:
 Cuando x=L
  C1 sen KL = 0

20. ECUACION DIFERENCIAL PARA EL PANDEO DE COLUMNAS
 Se concluye que: C1=0, o sen kL=0.
 Caso 1. Si la constante C1=0, la deflexión v también es cero, por lo tanto, la
columna permanece recta. Además, cuando C1=0, la ecuación se satisface
para cualquier valor de la cantidad kL. En consecuencia, la carga axial P
también puede tener cualquier valor. Esta solución es una solución trivial) está
representada por el eje vertical del diagrama carga-deflexión y proporciona el
comportamiento de una columna ideal que se encuentra en equilibrio (ya sea
estable o inestable)
 Caso 2. La segunda posibilidad para satisfacer la ecuación, está dada por la
ecuación siguiente, conocida como ecuación de pandeo:

21. ECUACION DIFERENCIAL PARA EL PANDEO DE COLUMNAS
 La ecuación de la curva de deflexión (cuando P tiene uno de los valores que
satisface la ecuación de pandeo),es:

22.  La menor carga critica para una columna con extremos articulados, se obtiene
cuando n=1:
 La forma pandeada (deformada) estaría descrita por:
CARGAS CRITICAS

23.  El tipo de pandeo descrito en esta sección se denomina pandeo de Euler, y la
carga crítica para una columna ideal elástica a menudo se denomina carga de
Euler.
 El famoso matemático Leonhard Euler (1707-1783), reconocido a menudo como
el matemático más grande de todos los tiempos, fue el primero en investigar el
pandeo de una columna esbelta y en determinar la carga crítica (Euler publicó
sus resultados en 1744).
 Al tomar valores mayores del índice n en las ecuaciones, se obtiene un número
infinito de cargas críticas y formas modales correspondientes. La forma modal
para n = 2 tiene dos semiondas. La carga crítica correspondiente es cuatro
veces mayor que la carga crítica para el caso fundamental.
 Las magnitudes de las cargas críticas son proporcionales al cuadrado de n y el
numero de semiondas en la forma pandeada es igual a n.
CARGAS CRITICAS

24.  Con frecuencia, las formas pandeadas para los modos superiores no son de
interés práctico, debido a que la columna se pandea cuando la carga axial P
alcanza su valor crítico mínimo. La única forma de obtener modos de pandeo
mayores que el primero es proporcionar un soporte lateral a la columna en pun-
tos intermedios.
CARGAS CRITICAS

26.  Un elemento tubular hueco suele ser más económico para utilizarse como una
columna que un elemento sólido con la misma área de la sección transversal.
 Al reducir el espesor de la pared de un elemento hueco y aumentar sus
dimensiones laterales (mientras se mantiene constante el área de sección
transversal) también aumenta la carga crítica, debido a que se aumenta el
momento de inercia. Sin embargo, este proceso tiene un límite práctico, ya que
al final la pared misma se vuelve inestable. Cuando eso sucede, se presenta el
pandeo localizado en forma de corrugaciones o arrugas pequeñas en las
paredes de la columna.
 Por tanto, debemos distinguir entre pandeo global de una columna, y pandeo
local de sus partes.

27.  Si la columna está soportada sólo en sus extremos y es libre de pandearse en
cualquier dirección, entonces la flexión ocurrirá con respecto al eje centroidal
principal que tenga el menor momento de inercia.
 Si la sección transversal es cuadrada o circular, todos los ejes centroidales tienen
el mismo momento de inercia y el pandeo puede ocurrir en cualquier plano
longitudinal.

28.  Para una columna prismática con extremos articulados que es libre para
pandearse en cualquier dirección lateral, con una sección transversal sólida.
 ¿Qué sección transversal da la carga crítica mayor?
 Aunque una respuesta común a esta pregunta es "la forma circular", es fácil
demostrar que una sección transversal en forma de triángulo equilátero da una
carga crítica 21% mayor que una sección transversal circular con la misma área,
y también es mayor que las cargas obtenidas para las otras formas.

29.  Donde r es el radio de giro, y L/r es la relación de esbeltez.
ESFUERZO CRITICO

30.  Valores comunes:
 30 < L/r < 150
El esfuerzo critico es el esfuerzo
de compresión promedio sobre
la sección transversal en el
instante que al carga alcanza su
valor critico.
ESFUERZO CRITICO

31.  Longitud efectiva y factor de longitud efectiva

32.  LIMITACIONES
 Además del requisito de deflexiones pequeñas, la teoría del pandeo de Euler
empleada en esta sección es válida sólo si la columna es perfectamente recta
antes de la aplicación de la carga, si la columna y sus soportes no tienen
imperfecciones y si la columna está hecha de un material linealmente elástico que
sigue la ley de Hooke.

33. PROBLEMA 01:
 Una plataforma de observación en un parque zoológico es soportada por una fila de
columnas tubulares de aluminio con longitud L = 10 ft 8 in. Y diámetro exterior d = 4 in.
Las bases de las columnas están empotradas en zapatas de concreto y sus partes
superiores están soportadas lateralmente por la plataforma.
 Las columnas se deben diseñar para soportar cargas de compresión P=22.5 kips.
 Determine el espesor mínimo requerido t de las columnas, si se desea un factor de
seguridad n = 3 con respecto al pandeo de Euler. (Para el aluminio, utilice un módulo
de elasticidad de 10,400 ksi y 70 ksi para el límite de proporcionalidad.)

34. SOLUCION 01:

35. PROBLEMA 02:
 Una columna larga y esbelta ABC está articulada en los
extremos y se comprime por una carga axial P. La
columna tiene soporte lateral en el punto medio B en el
plano de la figura. Sin embargo, sólo cuenta en los
extremos con soporte lateral perpendicular al plano de la
figura.
 La columna está construida con un perfil de acero de
patín ancho (W 200 x 34) con módulo de elasticidad E =
200 GPa y límite de proporcionalidad spl = 300 MPa.
La longitud total de la columna es L = 8 m.
 Determine la carga permisible Pperm empleando un factor
de seguridad n = 2.5 con respecto al pandeo de Euler de
la columna.

36. SOLUCION 02:

37. SOLUCION 02:

38. PROBLEMA 03:

39. SOLUCION 03:

40.  La carga axial excéntrica es equivalente a una carga céntrica P y a un par de
momento Mo = Pe
 Este momento existe desde el instante en que se aplica la carga y, por lo tanto,
la columna comienza a flexionarse al inicio de la carga. Luego la deflexión
aumenta de manera continua conforme se incrementa la carga.
 Supuestos: la columna está perfectamente recta al inicio, el material es
linealmente elástico y el plano xy es un plano de simetría.
 El momento flexionante en la columna a una distancia x del extremo inferior, es:
COLUMNAS CON CARGAS EXCENTRICAS

41. COLUMNAS CON CARGAS EXCENTRICAS

42.  La ecuación diferencial de la curva de deflexión es:
 O
 Donde:
 La solución general de esta ecuación:
 Donde C1 y C2 son constantes de integración y e es la solución particular.
COLUMNAS CON CARGAS EXCENTRICAS

43.  Condiciones de frontera:
 Para x=0 v=0
 Para x=L v=0
 
 Por lo tanto:
COLUMNAS CON CARGAS EXCENTRICAS

44.  La deflexión máxima ocurre en la mita de la columnas.
 Como:
DEFLEXION MAXIMA

45.  Como casos especiales, se observa lo siguiente:
1) 1) la deflexión d es cero cuando la excentricidad e es cero y P no es igual a Pcr
2) 2) la deflexión es cero cuando la carga axial P es cero, y
3) 3) la deflexión se vuelve infinitamente grande cuando P tiende a Pcr.
DEFLEXION MAXIMA

46. UCONTINENTAL.edu.
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DOCENTE: Misael C. Joaquín Vásquez
Email: mjoaquin@continental.edu.pe

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