Algunas distribuciones de probabilidad

1. Distribuciones de
Probabilidad
REALIZADO POR:
Antillano

2. DEFINICION DE MODELO BINOMIAL
Un experimento binomial: Es un
experimento que tiene las siguientes
propiedades:
• El experimento consiste de n ensayos idénticos.
• Cada ensayo produce uno de los dos resultados
posibles. A uno se le llama acierto, y el otro
falla.
• Los ensayos son Independientes.
• El experimento esta interesado en la variable
“Y” que representa el número de aciertos
observados en los n ensayos.

3. Se pueden registrar de dos formas:
Supóngase que existe un población de
aproximadamente 1000,000 consumidores potenciales
de una articulo producido por determinada empresa y
que una proporción desconocida p de ellos lo prefiere
sobre los producidos por la competencia. Con el
propósito de llevar a cabo un estudio del mercado, se
selecciona una muestra de 1000 compradores de
forma que cada una de los elementos de la población
tenga la misma oportunidad de ser seleccionado. A
cada comprador seleccionado se le pregunta si
prefiere el producto producido por esta empresa o no
¿Es este un experimento Binomial?

4. Distribución de Probabilidad
Binomial.
Donde y puede tomar los valores 0, 1,2…n
Su media o valor esperado es:
휇 = 푛푝
Varianza y desviación estándar es.
휎2 = 푛푝푞
휎 = 푛푝푞

5. Distribución Multinomial
El experimento multinomial se convierte en
un experimento multinomial si cada prueba
tiene más de dos resultados posibles. Por
ello la clasificación de un producto
fabricado como ligero, pesado o aceptable
y el registro de accidente en cierta zona
franca de acuerdo con el día de la semana
constituyen experimentos multinomiales.

6. Propiedades del experimento multinomial.
• El experimento consiste en n pruebas idénticas.
• El resultado de cada prueba cae en una de k clases o
casillas.
• La probabilidad de que el resultado de una sola prueba
se localice en una casilla particular, digamos casilla
i, 푒푠 푝푖 (푖 = 1,2, … . . 푘) y permanece igual de prueba en
prueba donde: 푃
1
+ 푃2 + 푃3 + 푃4 … … … . . +푃
푘
= 1
• La pruebas son independientes.
• Las variables aleatorias estudiadas son
푌
1
, 푌2, 푌3, 푌4 … … … . . , 푌
푘
en donde 푌푖 푖 = 1,2,3 … … . 푘 es
igual al numero de pruebas en las cuales el resultado
cae en la casilla i, donde: 푌
1
+ 푌2 + 푌3 +
푌4 … … … . . +푌
푘
= 푛

7. Definición:
Si una prueba dada puede conducir a k resultados
퐸1, 퐸2, … … … , 퐸푘 , con probabilidades
푝1, 푝2, … … … , 푝푘 , entonces la distribución de
probabilidad de las variables aleatorias
푌1, 푌2, … … … , 푌푘 que representa el numero de
ocurrencia parta 퐸1, 퐸2, … … … , 퐸푘 en n pruebas
independientes es:
• 푝 푦1,푦2, … . 푦푘, =
푛푙
푦1! 푦2!….푦푘!
푝푦11 푝푦22 푝푦33 … 푝푘
푦푘

8. Ejemplo
De acuerdo con los datos ajustados del censo de
1990, las proporciones de adultos (las personas de
mas de 18 años) en Nicaragua, clasificados en
cinco categorías de edad, son como sigue:
Edad Proporción
18-24 0.18
25-34 0.23
35-44 0.16
45-64 0.27
65 a más. 0.16
Si se selecciona al azar cinco adultos de esta población,
encuentre la probabilidad de que la muestra contenga a
una persona entre las edades de 18 a 24, dos entre las
edades de 25-34 y dos entre las edades de 45-64

9. Distribución de Poisson.
Los experimentos que dan valores numéricos de una
variable aleatoria X, el número de resultados que ocurren
durante un intervalo dado o en una región especifica, se
llaman Experimento de Poisson. El intervalo dado puede se
de cualquier longitud, como un minuto, un dia, una
semana, un mes o incluso un año. Por ello un experimento
de Poisson puede generar observaciones para la variable
aleatoria X que representa el numero de llamadas
telefónicas por hora que recibe una oficina, el numero de
días que una escuela esta cerrada debido a la fuerte lluvia
durante el invierno. La región específica podría ser un
segmento de línea.

10. Propiedades del proceso de Poisson.
• El numero de resultados que ocurren en un intervalo o
región especifica es independiente del numero que ocurre
en cualquier otro intervalo o región del espacio disjunto. Por
lo cual el proceso de Poisson no tiene antecedentes.
• La probabilidad de que ocurra un solo resultado durante un
intervalo muy corto o en una región pequeña es
proporcional a la longitud del intervalo o al tamaño de la
región y no depende del numero de resultados que ocurren
fuera de este intervalo o región.
• La probabilidad de que ocurra mas de un resultado en tal
intervalo corto o que caiga en tal región pequeña es
insignificante .

11. Ejemplos
Los siguientes casos son ejemplos de experimentos en los
cuales la variable aleatoria “y” puede ser considerada como
de Poisson.
• El numero de llamadas recibidas en un conmutador telefónico durante
un periodo corto de tiempo.
• El numero de reclamaciones contra Unión Fenosa durante una
semana.
• El numero de llegadas tardes a clases por parte de los profesores
durante un día determinado.
• El numero de ventas hechas por un agente de Seguros en la capital
en un determinado día. El numero de ventas realizadas por una
dependiente del mercado Oriental durante el mes.
• En cada caso, “y” representa el numero de eventos raros que ocurren
durante un periodo de tiempo en el cual se espera que un promedio
de ellos ocurra.

12. La distribución de probabilidad de la variable
aleatoria de Poisson X, que representa el número
de resultados que ocurren en un intervalo dado o
región especifica que se denota con t, es.
푝 푥; 푡 =
푒−푡 푡
푥!
푥 = 0,1,2 … . .
Donde ; es el número promedio de resultados por
unidad de tiempo o región
Media ==np
Varianza. ퟐ =  = 퐧퐩
Desviación Estándar. ퟐ =
 = 풏풑
 =  = 퐧퐩

13. Ejemplo:
El gerente local de una empresa de renta de automóviles
en Mangua compra neumáticos en lotes de 500 para
aprovechar los descuentos por compras al mayoreo. El
gerente sabe por experiencias anteriores, que el 1% de
los neumáticos nuevos adquiridos en un determinado
almacén salen defectuosos y se deben reemplazar
durante la primera semana de uso. Cuantos neumáticos
espera encontrar defectuoso el gerente, Encuentre la
probabilidad de que en un envío de 500 neumáticos haya
solamente uno defectuoso. No mas de tres neumáticos
defectuosos, ningún neumático defectuoso, más de
cuatro neumáticas defectuoso.

14. Distribución Normal
La distribución continua de probabilidad más importante en
todo el campo de la estadística es la distribución normal.
Su gráfica que se denomina curva norma o gausiana en
forma de campana. La cual describe muchos fenómenos
que ocurren en la naturaleza, industria, economía y la
investigación
Una variable aleatoria normal continua X que tiene la
distribución en forma de campana, se llama variable
aleatoria normal. La ecuación matemática para la
distribución depende de dos parámetros  푦 , su media y
desviación estándar. De aquí, denotamos los valores de la
densidad de X con ( , )

15. Propiedades de la curva Normal
La distribución continua de probabilidad más importante en
todo el campo de la estadística es la distribución normal.
Su gráfica que se denomina curva norma o gausiana en
forma de campana. La cual describe muchos fenómenos
que ocurren en la naturaleza, industria, economía y la
investigación
Una variable aleatoria normal continua X que tiene la
distribución en forma de campana, se llama variable
aleatoria normal. La ecuación matemática para la
distribución depende de dos parámetros  푦 , su media y
desviación estándar. De aquí, denotamos los valores de la
densidad de X con ( , )

16. Curva Normal

17. Además de la distribución normal,
existen otras distribuciones como lo
son, la t de student, F de Fisher, Chi-cuadrado.