CLASE 05 ECONOMIA PARA INGENIEROS - 2015

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MATEMATICA FINANCIERA

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CLASE 05 ECONOMIA PARA INGENIEROS - 2015

  1. 1. FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL IX CICLO – 2015 - I CLASE Nº 05 Docente: ING. MAG. M. HAMILTON WILSON HUAMANCHUMO Email: mhamwil@gmail.com Blog: htpp:/inghamiltonwilson.blogspot.com E - mail: mhamwil@peru.com Teléf.. (51) (056) - 225924
  2. 2. LAS SERIES DE GRADIENTE Y EL PRESENTE Las series de gradiente se basan en la suposición teórica de que una cifra, como el costo de mantenimiento de un automóvil, aumentará cada año en una cantidad exactamente igual al periodo anterior, y que esto se mantendrá durante cierto número de periodos. Se dice que la situación es teórica pues en la práctica es imposible que se puedan prever aumentos o disminuciones graduales por exactamente la misma cantidad. Sin embargo, se han desarrollado fórmulas especiales para resolver este tipo de problemas. A la cantidad igual en la cual se incrementa un flujo de efectivo se le llama gradiente y se le representa con la letra G. Doc. Mag. Ing. M. Hamilton Wilson H. 2
  3. 3. 400 350 300 250 200 150 0 1 2 3 4 5 6 P = ? CASO 9. Una persona adquirió un auto; espera que el costo de mantenimiento sea de S/. 150 al finalizar el primer año y que en los subsecuentes aumente a razón de S/. 50 anuales. Si la tasa de interés es de 8% capitalizada cada año, ¿Cuál es el valor presente de esta serie de pagos durante un periodo de 6 años? SOLUCION. Los datos del problema son: P = ?; i = 8 %; n = 6; primer pago = 150; G = 50. El diagrama de flujo del problema es el de la gráfica. Doc. Mag. Ing. M. Hamilton Wilson H. 3
  4. 4. Utilizando la fórmula básica se tiene: En este tipo de problemas se pueden observar ciertas particularidades. Por ejemplo, la gráfica se puede dividir en dos, como se muestra en la siguiente gráfica; ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )654321 08.01 400 08.01 350 08.01 300 08.01 250 08.01 200 08.01 150 + + + + + + + + + + + =P 60.1219 5869.1 400 4693.1 350 3605.1 300 2597.1 250 1664.1 200 08.1 150 =+++++=P Doc. Mag. Ing. M. Hamilton Wilson H. 4
  5. 5. 250 200 150 100 50 0 0 1 2 3 4 5 6 = P " 400 350 300 250 200 150 0 1 2 3 4 5 6 P = ? 150 150 150 150 150 150 0 1 2 3 4 5 6 + P' Doc. Mag. Ing. M. Hamilton Wilson H. 5
  6. 6. A+(n-1)G (n-1)G A+2G 2G A+G A A A A G A 0 0 0 0 1 2 n-1 n + 1 2 3 n = 1 2 3 n P' P " P Al incremento constante se le denota por G, esta gráfica, en forma generalizada y con literales, es la siguiente grafica; Cuando se trabaja con Series Gradiente siempre se tiene: 1. Un número de A igual a n. 2. Un número de G en el mismo diagrama de (n-1) ya que en el periodo 1 todavía no existe el incremento debido a G. 3. Se pueden obtener dos presentes, P' y P ", cuya suma es la P del diagrama original. Para, calcular el presente P = P'+ P ", se pueden calcular P' y P " como: Doc. Mag. Ing. M. Hamilton Wilson H. 6
  7. 7. Para calcular el presente P = P'+ P ", se pueden calcular P' y P " como: La fórmula para calcular P'; y la fórmula para calcular P" sí es nueva, y no se presenta su deducción por las razones ya expuestas con anterioridad. En este caso, aparentemente haber dividido el problema en dos partes parece más complicado que la solución ofrecida. Sin embargo, si el número de n es elevado, puede ser más cómodo utilizar las fórmulas para resolver este tipo de problemas. ( ) ( )       + −+ = n n ii i AP 1 11´ ( ) ( )       +       − −+ = n n i n i i i G P 1 111" Doc. Mag. Ing. M. Hamilton Wilson H. 7
  8. 8. CASO 10. Resuélvase el caso anterior mediante el empleo de las fórmulas de Gradiente. SOLUCION. Los datos del problema son: A = 150; G = 50; i = 8 %; n = 6. Sustituyendo en las fórmulas se tiene: ( ) ( ) ( ) ( ) 60.1219 08.01 1 6 08.0 108.01 08.0 50 08.0108.0 108.01 150 6 6 6 6 =      +       − −+ +      + −+ =P El uso de las fórmulas de series gradiente también es adecuado cuando éste es decreciente. Doc. Mag. Ing. M. Hamilton Wilson H. 8
  9. 9. 900 850 800 750 700 650 600 550 500 450 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 = P CASO 11. Una comercializadora vende computadoras personales bajo las siguientes condiciones: Se hace un primer pago de S/. 900 un mes después de la fecha de adquisición y nueve pagos mensuales adicionales, cada uno de los cuales disminuye en S/. 50 el pago del mes anterior (el segundo mes se pagarán S/. 850, el tercer mes S/. 800, etc.), Si el interés que carga la comercializadora es de 1 % capitalizado mensualmente, ¿cuál será el valor a pagar de contado por la compra de la PC? SOLUCION. En este caso existe un gradiente negativo que se representa mediante la gráfica; Doc. Mag. Ing. M. Hamilton Wilson H. 9
  10. 10. 900 850 800 750 700 650 600 550 500 450 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 = P 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 = P " 900 900 900 900 900 900 900 900 900 900 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 + P' Doc. Mag. Ing. M. Hamilton Wilson H. 10
  11. 11. SOLUCION. Los datos son: A =900; G = 50; i = 1%; n = 10; P = P' - P" Si se usa la fórmula básica, de la gráfica se obtiene: ( ) ( ) ( ) ( )       +       − −+ −      + −+ = 10 10 10 10 01.01 1 10 01.0 101.01 01.0 50 01.0101.0 101.01 900P ( ) ( ) 64328431.41504713.9900 =−=P ( ) ( ) ( ) ( ) 6432 01.01 450 01.01 500 ............. 01.01 850 01.01 900 10921 = + + + ++ + + + =P Doc. Mag. Ing. M. Hamilton Wilson H. 11
  12. 12. USO DE NOTACION SIMPLIFICADA Y TABLAS DE FACTORES Se tiene dos fórmulas básicas que se pueden reescribir como sigue: ( ) )......(....................1 AiPF n += ( ) ).........(.................... 1 B i F P n + = A la porción de la fórmula dentro del paréntesis cuadrado se le llama factor; a la de la fórmula (A) se le llamaría "factor para calcular un futuro si se conoce el presente", o en forma simplificada (F/P, i, n ), que puede leerse como "factor de un futuro dado un presente, a determinadas i y n". Doc. Mag. Ing. M. Hamilton Wilson H. 12
  13. 13. Por lo tanto la fórmula (A) se puede anotar como sigue: A esta última también se le numeró como (A) debido a que es exactamente la misma fórmula original pero con notación simplificada. Procediendo de una manera similar, al factor de la fórmula (B) se le puede llamar "factor de un presente dado un futuro" y puede escribirse como: ( ) ( )niPFPFAiPF n ,,/)......(....................1 =⇒+= ( ) ( )niFPFPB i F P n ,,/)........(.................... 1 =⇒ + = Doc. Mag. Ing. M. Hamilton Wilson H. 13
  14. 14. Formula Original Notacion Simplificada Nombre del Factor ( )[ ]nn iPF += 1 = P (F/P, i, n) Futuro dado un Presente (A) ( )       + = n i FP 1 1 = F(P/F, i, n) Presente dado un Futuro (B) ( ) ( )       −+ + = 11 1 n n i ii PA = P (A/P, i, n) Pago Uniforme dado un Presente (C) Las Fórmulas son sólo derivaciones de las formulas básicas (A) y (B); esas fórmulas adicionales pueden facilitar los cálculos de cierta manera y para ellas también se ha aceptado la notación simplificada. A continuación se presentan las fórmulas originales y su notación simplificada, haciendo énfasis en que los factores son la parte de cada una encerrada en el paréntesis cuadrado de la fórmula y del paréntesis de la notación simplificada Doc. Mag. Ing. M. Hamilton Wilson H. 14
  15. 15. Formula Original Notacion Simplificada Nombre del Factor ( ) ( )       + −+ = n n ii i AP 1 11 = A (P/A, i, n) Presente dado un Pago Uniforme (D) ( )       −+ = i i AF n 11 = A (F/A, i, n) Futuro dado un Pago Uniforme (E) ( )       −+ = 11 n i i FA = F (A/F, i, n) Pago Uniforme dado un Futuro (F) ( ) ( )       +       − −+     = n n i n i i i GP 1 1111 = G (P/G, i, n) Presente dado un Gradiente (G) ( )       − −+     = n i i i GF n 111 = G (F/G, i, n) Futuro dado un Gradiente (H) ( )       −+ −= 11 1 n i n i GA = G (A/G, i, n) Pago Uniforme dado un Gradiente (I) ... Continuación Doc. Mag. Ing. M. Hamilton Wilson H. 15
  16. 16. Por lo tanto la fórmula (A) se puede anotar como sigue: A esta última también se le numeró como (A) debido a que es exactamente la misma fórmula original pero con notación simplificada. Procediendo de una manera similar, al factor de la fórmula (B) se le puede llamar "factor de un presente dado un futuro" y puede escribirse como: ( ) ( )niPFPFAiPF n ,,/)......(....................1 =⇒+= ( ) ( )niFPFPB i F P n ,,/)........(.................... 1 =⇒ + = METODOLOGIA DE CALCULO CON EL USO DE LA TABLA DE FACTORES Doc. Mag. Ing. M. Hamilton Wilson H. 16
  17. 17. TABLAS DE FACTORES Fórmula Original Notación Simplificada Nombre del Factor ( )[ ]nn iPF += 1 = P (F/P, i, n) Futuro dado un Presente (A) ( )       + = n i FP 1 1 = F(P/F, i, n) Presente dado un Futuro (B) ( ) ( )       −+ + = 11 1 n n i ii PA = P (A/P, i, n) Pago Uniforme dado un Presente (C) ( ) ( )       + −+ = n n ii i AP 1 11 = A (P/A, i, n) Presente dado un Pago Uniforme (D) ( )       −+ = i i AF n 11 = A (F/A, i, n) Futuro dado un Pago Uniforme (E) ( )       −+ = 11 n i i FA = F (A/F, i, n) Pago Uniforme dado un Futuro (F) ( ) ( )       +       − −+     = n n i n i i i GP 1 1111 = G (P/G, i, n) Presente dado un Gradiente (G) ( )       − −+     = n i i i GF n 111 = G (F/G, i, n) Futuro dado un Gradiente (H) ( )       −+ −= 11 1 n i n i GA = G (A/G, i, n) Pago Uniforme dado un Gradiente (I) Doc. Mag. Ing. M. Hamilton Wilson H. 17
  18. 18. ( ) ( ) 096422.0 108.01 08.0108.0 23 23 =      −+ + Aplicación: Ahora bien, si se desea usar las tablas, he aquí un ejemplo de cómo hacerlo. Supóngase que en determinado problema se desea calcular el Pago Uniforme dado un Presente utilizando el factor (A/P, i, n) con los siguientes datos: i = 8 % y n = 23. El cálculo es: Presente dado un Pago Uniforme A (P/A, i, n) Si; el Valor Presente es de S/. 1,500.00 determine la amortización A: ( ) ( ) APA 096422.0 108.01 08.0108.0 23 23 =      −+ + = PA 096422.0= ( ) A=1500096422.0 A = 144.633 Si utilizamos las tablas de factores, localizamos primero la Tasa de interés del 8% a continuación la columna del factor (A/P) y buscamos hacia abajo hasta intersectar con n=23. El Valor de la tabla es de 0.0964 y aplicamos la deducción de la formula: PA 0964.0= A = 144.6 ( ) ( )       −+ + = 11 1 n n i ii PA Doc. Mag. Ing. M. Hamilton Wilson H. 18
  19. 19. ( ) ( ) 096422.0 108.01 08.0108.0 23 23 =      −+ + La notación simplificada permite el uso de las tablas de factores de interés capitalizado que aparecen en los diferentes Textos. Con fines didácticos y cuando sólo se cuenta con una calculadora de bolsillo poco potente, el uso de las tablas es recomendable, sin embargo, en la actualidad hay calculadoras de bolsillo no sólo potentes sino programables o ya programadas para realizar cálculos de este tipo; en caso de que se domine el concepto implícito en las fórmulas y se cuente con una buena calculadora, será mejor usar esta última y no las tablas. Ahora bien, si se desea usar las tablas, he aquí un ejemplo de cómo hacerlo. Supóngase que en determinado problema se desea calcular el factor (A/P, i, n) con los siguientes datos: i = 8 % y n = 23. El cálculo es: Doc. Mag. Ing. M. Hamilton Wilson H. 19
  20. 20. Doc. Mag. Ing. M. Hamilton Wilson H. 20
  21. 21. DENOMINACION TABLAS DE FACTORES DE INTERES DISCRETO (F/P, i, n) Factor de una cantidad capitalizada (P/F, i, n) Factor de una cantidad descontada o traída al presente (A/P, i, n) Factor de Recuperación de Capital (P/A, i, n) Factor de Descuento de series Uniformes (F/A, i, n) Factor de Series Uniforme Capitalizado (A/F, i, n) Factor de un Fondo de Series Uniformes que se capitaliza en el Futuro (P/G, i, n) Factor para descontar series Gradiente Nomenclatura Utilizada: Doc. Mag. Ing. M. Hamilton Wilson H. 21
  22. 22. . M. Hamilton Wilson H. 22
  23. 23. EL CONCEPTO Y USO DE EQUIVALENCIA DEL DINERO A TRAVÉS DEL TIEMPO El término equivalencia significa tener igual valor o comparar en condiciones similares un valor. Dado el fenómeno inflacionario presente en cualquier tipo de economía, ya sea de un país avanzado o de uno en vías de desarrollo, una unidad monetaria actual no tiene el mismo poder adquisitivo que tendrá dentro de un año, es decir, no son equivalentes pues no se están comparando bajo las mismas condiciones. Dado que lo único que hace diferente en poder adquisitivo a esa unidad monetaria es el tiempo, una base lógica y adecuada de comparación podría ser medir el valor de ese dinero en un solo instante, ya sea el día de hoy, dentro de un año o en cualquier instante, pero que sea el mismo instante de tiempo. Doc. Mag. Ing. M. Hamilton Wilson H. 23
  24. 24. 80 80 70 70 60 0 1 2 3 4 5 B B Supóngase que se originan una serie de flujos de efectivo en una empresa, que pueden representarse como se muestra en la gráfica: ¿Se desea conocer las cantidades B? Veamos que las cantidades de arriba del diagrama no son iguales y las de la parte inferior, siendo iguales, no están ni en el mismo tiempo ni en periodos consecutivos*. *El concepto de equivalencia la tasa de interés es determinante, ya que B = 164 sólo es cierto si la tasa de Interés es del 10 %. Doc. Mag. Ing. M. Hamilton Wilson H. 24
  25. 25. En el diagrama de flujo de la situación bajo análisis, se puede declarar el siguiente teorema fundamental: Por tanto, para obtener una ecuación que resuelva el problema de la gráfica deberán trasladarse todos los flujos (de arriba y de abajo) a un solo instante de tiempo (usualmente el presente o el futuro) e igualar la ecuación que traslade los flujos de arriba con la que traslade los flujos de abajo. “Lo que está arriba es igual a lo que está abajo, comparado en un mismo instante” Doc. Mag. Ing. M. Hamilton Wilson H. 25
  26. 26. Todo problema puede ser resuelto si se siguen estos pasos: Dibújese el diagrama de flujo del problema. a) Recuérdese que cuando dos entidades intercambian dinero, el diagrama de flujo de una es contrario al diagrama de flujo de la otra. b) Por ejemplo, si una persona deposita dinero en un banco, para la persona el depósito es un flujo negativo, mientras que para el banco, es positivo. Los flujos de efectivo se invierten cuando se hace un retiro. c) Sin importar la referencia, considérese "ARRIBA" los flujos que hayan quedado por encima de la línea del diagrama de flujo, y "ABAJO" los flujos que hayan quedado por debajo de la misma línea. d) El teorema fundamental simplemente declara que, ya obtenido el diagrama de flujo, se iguale lo de "arriba" a lo de "abajo", tomando como referencia cualquier periodo de tiempo, es decir, igualar a su valor equivalente. Doc. Mag. Ing. M. Hamilton Wilson H. 26
  27. 27. Para este cálculo, se utilizaron las fórmulas básicas Este resultado ha obtener muestra que efectivamente: “Lo que está arriba es igual a lo que está abajo, comparado en un mismo instante", Para ser considerado como el teorema fundamental de la Ingeniería Económica, será siempre que el diagrama de flujo sea correctamente trazado y que se aplique sin error las fórmulas básicas: ( )n iPF += 1 ( )n i F P + = 1 Formulas que trasladan el valor del dinero a través del tiempo, a sus valores equivalentes. Doc. Mag. Ing. M. Hamilton Wilson H. 27
  28. 28. Resuélvase B para cada una de las igualdades planteadas. Resolviendo el problema planteado en la gráfica se tiene: Abajo Periodo de referencia: año 0 Arriba ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5432131 1.01 80 1.01 70 1.01 60 1.01 80 1.01 70 1.011.01 + + + + + + + + + = + + + BB Abajo Periodo de referencia: año 1 Arriba ( ) ( ) ( ) ( ) ( )43212 1.01 80 1.01 70 1.01 60 1.01 80 70 1.01 + + + + + + + += + + B B Abajo Periodo de referencia: año 2 Arriba ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )321 1 1 1 1.01 80 1.01 70 1.01 60 801.0170 1.01 1.01 + + + + + +++= + ++ B B Doc. Mag. Ing. M. Hamilton Wilson H. 28
  29. 29. Abajo Periodo de referencia: año 3 Arriba Abajo Periodo de referencia: año 4 Arriba Abajo Periodo de referencia: año 5 Arriba ( ) ( ) ( ) ( ) ( )21 122 1.01 80 1.01 70 601.01801.01701.01 + + + +++++=++ BB ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 12313 1.01 80 701.01601.01801.01701.011.01 + +++++++=+++ BB ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 801.01701.01601.01801.01701.011.01 123424 ++++++++=+++ BB En todas, B será igual a 164. Doc. Mag. Ing. M. Hamilton Wilson H. 29
  30. 30. INTERÉS NOMINAL E INTERÉS EFECTIVO En este curso se ha considerado a un año como el periodo más usual en que se puede cobrar un interés, sin embargo, en la vida cotidiana hay periodos mucho más cortos, en los cuales es posible ganar interés. Estos periodos pueden ser: semestrales, trimestrales, mensuales, de acuerdo con sus necesidades. Cuando se presentan situaciones de este tipo, puede manejarse varios conceptos respecto de las tasas de interés. Por ejemplo: Un banco paga a sus depositarios 12 % de interés anual capitalizado cada año. En este caso al 12 % se le llama tasa nominal anual y/o tasa efectiva anual, puesto que sólo después de transcurrido un año es posible cobrar ese interés. Doc. Mag. Ing. M. Hamilton Wilson H. 30
  31. 31. Un banco paga a sus depositarios 12 % de interés anual capitalizado cada tres meses. En este caso, 12% sigue siendo la tasa nominal anual, pero dado que se capitaliza en periodos menores a un año, existe una tasa efectiva por periodo (trimestral, en este caso), y una tasa efectiva anual. La tasa efectiva por periodo iefectiva trimestral (en este caso) se obtiene dividiendo la tasa nominal anual entre el número de periodos que tenga el año. Por tanto:       = periodosdenumero i i anualalno periodoporefectiva __ _min __ En este caso, 03.0 4 12.0 _ =      =trimestralefectivai o sea 3% Doc. Mag. Ing. M. Hamilton Wilson H. 31
  32. 32. La tasa efectiva anual se obtiene cuando se aplica la siguiente fórmula: En este caso seria: ( )[ ] 10011 ____ ___ xii añoporperiododenumero periodoporefectivaAnualefectiva −+= ( )[ ] %55.12100103.01 4 _ =−+= xi Anualefectiva Obsérvese que el hecho de capitalizar en periodos menores de un año hace que la tasa efectiva anual sea ligeramente mayor que la tasa nominal anual. Así, la fórmula puede reescribirse de la siguiente manera: 1001 ____ 1 ____ _min _ x añoporperiodosdenumero i i añoporperiododenumero anualalno Anualefectiva         −      += Con la fórmula se calculará el interés efectivo anual para observar cómo, mientras el periodo de capitalización se hace más corto, el interés efectivo anual crece. Doc. Mag. Ing. M. Hamilton Wilson H. 32
  33. 33. Periodo de Capitalizacion Calculo de interes efecitvo anual Interes nominal anual Interes efectivo por periodo Semestral %36.121001 2 12.0 1 2 =         −      += xief 12% 06.0 2 12.0 ==efsemi Cuatrimestral %486.121001 3 12.0 1 3 =         −      += xief 12% 04.0 3 12.0 . ==efcuati Trimestral %551.121001 4 12.0 1 4 =         −      += xief 12% 03.0 4 12.0 . ==eftrimi Se toma como base el interés anual igual al 12 %. Aplicamos la formula; Doc. Mag. Ing. M. Hamilton Wilson H. 33
  34. 34. P e ri o d o d e C a p it aliz a ci o n C a l c u l o d e i nt er e s ef e citv o a n u a l I nt e r e s n o m i n al a n u a l I nt e r e s ef e c ti v o p o r p e rio d o M e n s u al %683.121001 12 12.0 1 12 =         −      += xief 1 2 % 01.0 12 12.0 . ==efmensi S e m a n al %734.121001 52 12.0 1 52 =         −      += xief 1 2 % 0023.0 52 12.0 ==efsemanali D i a ri o %7447.121001 365 12.0 1 365 =         −      += xief 1 2 % 000328.0 365 12.0 ==efdiai C a d a 8 h o r a s %748.121001 3365 12.0 1 3365 =         −      += x x i x ef 1 2 % 000109.0 1095 12.0 .8 ==hsefi ........ Continua; Doc. Mag. Ing. M. Hamilton Wilson H. 34
  35. 35. INTERÉS CONTINUO Si se continuaran haciéndose cálculos sobre periodos cada vez más cortos, por ejemplo, capitalización cada hora, cada minuto..., se llegaría a un límite que se puede escribir como: Limite iefectivo cuando numero de periodos por año → ∞ 1001 ____ 1 ____ _min _ x añoporperiodosdenumero i i añoporperiododenumero anualalno Anualefectiva         −      += y esto a su vez puede escribirse como: ( )( ) [ ] 1001_min_ _ xei nanualalnoi Anualefectiva −= donde n = número de años Doc. Mag. Ing. M. Hamilton Wilson H. 35
  36. 36. calculando para: ¡nominal anual = 12 % y n = 1 (un año) se tiene: Con las fórmulas anteriores se comprueba que, conforme se reduce el periodo de capitalización, la tasa efectiva anual aumenta hasta un límite que es la capitalización continua, calculada con la fórmula. [ ] %74968.121001112.0 _ =−= xei x Anualefectiva Doc. Mag. Ing. M. Hamilton Wilson H. 36
  37. 37. CONCLUSIONES Se han presentado los conceptos fundamentales dé la ingeniería económica, de hecho, existen dos fórmulas básicas, e incluso se puede afirmar que es una sola fórmula la que gobierna el traslado del dinero a través del tiempo. La demostración es tan clara que las demás fórmulas son derivaciones de ésta. Así, es posible resolver cualquier tipo de problemas con esta fórmula básica y con la aplicación del teorema fundamental: lo que está arriba es igual a lo que está abajo comparado en un solo instante. Traducido a un lenguaje económico, el teorema fundamental significaría: lo que yo debo, es exactamente igual a lo que debo pagar. Doc. Mag. Ing. M. Hamilton Wilson H. 37
  38. 38. Si pago de contado, las cantidades son exactamente las mismas; si lo hago a plazos, las cantidades parecerán distintas por los intereses que se pagarán, pero, nuevamente, si esas cantidades con intereses se trasladan a un solo instante de tiempo, como el presente, las cantidades que se deben y que se pagarán, serán exactamente las mismas. Una violación de este teorema fundamental implicaría pagar más de lo que debemos, o bien, que nos cobrarán menos de nuestra deuda. Por tanto, el teorema es inviolable, como justos deben ser los cobros de una deuda como esperan todos los que piden prestado en la vida real*. *Al margen de lo anterior cabe mencionar que en los diagramas propuestos para solucionar los ejemplos, el sentido de las flechas podría invertirse, con lo que se mostraría el punto de vista del comprador o de la contraparte que ejecuta la acción económica del problema. .......... Continua: Doc. Mag. Ing. M. Hamilton Wilson H. 38
  39. 39. 0 1 2 3 4 5 P PROBLEMA Nº 01 Determine el valor de P en la grafica mostrada, si la i = 10%. SOLUCION. P = ?; i = 10 %; n = 5 ( )n iPF += 1 ( )n i F P + = 1 Formulas que trasladan el valor del dinero a través del tiempo, a sus valores equivalentes. Doc. Mag. Ing. M. Hamilton Wilson H. 39
  40. 40. SOLUCION 1A. Aplicamos llevar directamente y por separado las cantidades de los periodos 4 y 5 hasta el periodo cero. P= 30 (P/F, 10%, 4) + 40 (P/F, 10%, 5) ( )       + = n i FP 1 1 F (P/F, i, n) Formula simplificada del calculo del Presente dado un Futuro ( ) ( ) ( ) ( ) 32.45 1.01 40 1.01 30 10.01 1 40 10.01 1 30 5454 = + + + =      + +      + =P Reemplazando; P = 45.32 Doc. Mag. Ing. M. Hamilton Wilson H. 40
  41. 41. Doc. Mag. Ing. M. Hamilton Wilson H. 41
  42. 42. Doc. Mag. Ing. M. Hamilton Wilson H. 42
  43. 43. Doc. Mag. Ing. M. Hamilton Wilson H. 43
  44. 44. Doc. Mag. Ing. M. Hamilton Wilson H. 44
  45. 45. Doc. Mag. Ing. M. Hamilton Wilson H. 45
  46. 46. Doc. Mag. Ing. M. Hamilton Wilson H. 46
  47. 47. Doc. Mag. Ing. M. Hamilton Wilson H. 47
  48. 48. Doc. Mag. Ing. M. Hamilton Wilson H. 48
  49. 49. Doc. Mag. Ing. M. Hamilton Wilson H. 49
  50. 50. Doc. Mag. Ing. M. Hamilton Wilson H. 50
  51. 51. Doc. Mag. Ing. M. Hamilton Wilson H. 51
  52. 52. 52 ! GRACIAS POR SU ATENCION ! !Seguimos trabajando hasta la Próxima Clase! Doc. Mag. Ing. M. Hamilton Wilson H. 52

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