ESCUELA SECUNDARIA    TECNICA 118      NOMBRE: Jimenez Perez Brisa         “NUMEROS AUREOS”       Profre: Luis Miguel Vill...
INTRODUCCION   En este trabajo hablaremos sobre los numeros Aureos su  relacion con la naturaleza y otras aplicaciones Ya ...
El número áureo o de oro (también llamado razónextrema y media,1 razón áurea, razón dorada,media áurea, proporción áurea y...
Puede hallarse en elementos geométricos, en lasnervaduras de las hojas de algunos árboles, en elgrosor de las ramas, en el...
El número áureo es el valor numérico de laproporción que guardan entre sí dos segmentos derecta a y b que cumplen la sigui...
Serie Fibonacci…HistoriaLa sucesión de Fibonacci en términos de conejos.Antes de que Fibonacci escribiera su trabajo, la s...
Fin                                            1+1=2         La pareja A da a luz a la pareja B.del                       ...
compositores con tanto renombre como Béla Bartók,Olivier Messiaen y Delia Derbyshire la han utilizado parala creación de a...
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Esta fórmula se le atribuye a Édouard Lucas, y esfácilmente demostrable por inducción matemática. Apesar de que la sucesió...
Al construir bloques cuya longitud de lado sean númerosde Fibonacci se obtiene un dibujo que asemeja alrectángulo áureo (v...
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Actividad… Sopa de letrasA   f   t   j   i   w   d   f   Y   c   a   o   i   u   f   v   mf   j   y   M   n   s   g   r   ...
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  1. 1. ESCUELA SECUNDARIA TECNICA 118 NOMBRE: Jimenez Perez Brisa “NUMEROS AUREOS” Profre: Luis Miguel Villarreal Grupo: 3 B Fecha: 25/10/12Que es un numero “Áureo”…
  2. 2. INTRODUCCION En este trabajo hablaremos sobre los numeros Aureos su relacion con la naturaleza y otras aplicaciones Ya que en cualquier cosa u objetopodemos encontrar este numeroy lo mas importante La Serie de Fibonnacci.
  3. 3. El número áureo o de oro (también llamado razónextrema y media,1 razón áurea, razón dorada,media áurea, proporción áurea y divina proporción)representado por la letra griega φ (fi) (enminúscula) o Φ (fi) (en mayúscula), en honor alescultor griego Fidias, es un número irracional:2Se trata de un número algebraico irracional(decimal infinito no periódico) que posee muchaspropiedades interesantes y que fue descubierto enla antigüedad, no como “unidad” Sino como relación o proporción entre segmentosde rectas. Esta proporción se encuentra tanto enalgunas figuras geométricas como en la naturaleza.
  4. 4. Puede hallarse en elementos geométricos, en lasnervaduras de las hojas de algunos árboles, en elgrosor de las ramas, en el caparazón de uncaracol, en los flósculos de los girasoles, etc. Asimismo, se atribuye un carácter estético a los objetos cuyas medidas guardan la proporción áurea. Algunos incluso creen que posee unaimportancia mística. A lo largo de la historia, se ha atribuido su inclusión en el diseño de diversasobras de arquitectura y otras artes, aunque algunos de estos casos han sido cuestionados por los estudiosos de las matemáticas y el arte.
  5. 5. El número áureo es el valor numérico de laproporción que guardan entre sí dos segmentos derecta a y b que cumplen la siguiente relación:El segmento menor es b. El cociente es el valor del número áureo: φ.Cálculo del valor del número áureo:Dos números a y b están en proporción áurea si secumple:Si al número menor (b) le asignamos el valor 1, laigualdad será:multiplicando ambos miembros por a, obtenemos:La solución positiva de la ecuación de segundo grado es:que es el valor del número áureo, equivalente a larelación
  6. 6. Serie Fibonacci…HistoriaLa sucesión de Fibonacci en términos de conejos.Antes de que Fibonacci escribiera su trabajo, la sucesiónde los números de Fibonacci había sido descubierta pormatemáticos indios tales como Pingala (200 a.c.), Gopala(antes de 1135) y Hemachandra (c. 1150), quieneshabían investigado los patrones rítmicos que se formabancon sílabas o notas de uno o dos pulsos. El número detales ritmos (teniendo juntos una cantidad n de pulsos)era , que produce explícitamente los números 1, 1, 2, 3, 5,8, 13, 21, etc.1La sucesión fue descrita por Fibonacci como la solución aun problema de la cría de conejos: "Cierto hombre teníauna pareja de conejos juntos en un lugar cerrado y unodesea saber cuántos son creados a partir de este par enun año cuando es su naturaleza parir otro par en unsimple mes, y en el segundo mes los nacidos parirtambién".2 ParejasNúme dero de Explicación de la genealogía conejo Mes s totalesFin 0del 0 conejos vivos. parejasmes 0 en total.Comie 1nzo Nace una pareja de conejos parejadel (pareja A). en total.mes 1Fin 1+0=1 La pareja A tiene un mes de edad.del pareja Se cruza la pareja A.mes 1 en total.
  7. 7. Fin 1+1=2 La pareja A da a luz a la pareja B.del parejas Se vuelve a cruzar la pareja A.mes 2 en total.Fin La pareja A da a luz a la pareja C. 2+1=3del La pareja B cumple 1 mes. Se parejasmes 3 cruzan las parejas A y B. en total.Fin Las parejas A y B dan a luz a D y 3+2=5del E. La pareja C cumple 1 mes. Se parejasmes 4 cruzan las parejas A, B y C. en total.Fin A, B y C dan a luz a F, G y H. D y 5+3=8del E cumplen un mes. Se cruzan A, parejasmes 5 B, C, D y E. en total.Fin A, B, C, D y E dan a luz a I, J, K, L 8+5=13del y M. F, G y H cumplen un mes. Se parejasmes 6 cruzan A, B, C, D, E, F, G y H. en total.... ... ...Findel ... ...mes12Nota: al contar la cantidad de letras distintas en cadames, se puede saber la cantidad de parejas totales quehay hasta ese mes.De esta manera Fibonacci presentó la sucesión en sulibro Liber Abaci, publicado en 1202. Muchas propiedadesde la sucesión de Fibonacci fueron descubiertas porÉdouard Lucas, responsable de haberla denominadocomo se la conoce en la actualidad.3También Kepler describió los números de Fibonacci, y elmatemático escocés Robert Simson descubrió en 1753que la relación entre dos números de Fibonacci sucesivosse acerca a la relación áurea fi () cuanto más se acerquea infinito; es más: el cociente de dos términos sucesivosde toda sucesión recurrente de orden dos tiende al mismolímite. Esta serie ha tenido popularidad en el siglo XXespecialmente en el ámbito musical, en el que
  8. 8. compositores con tanto renombre como Béla Bartók,Olivier Messiaen y Delia Derbyshire la han utilizado parala creación de acordes y de nuevas estructuras de frasesmusicales.Definición recursivaChimenea con la secuencia de FibonacciLos números de Fibonacci quedan definidos por lasecuacionesEsto produce los númerosEsta manera de definir, de hecho considerada algorítmica,es usual en Matemática discreta.[editar]Representaciones alternativasPara analizar la sucesión de Fibonacci (y, en general,cualquier sucesión) es conveniente obtener otrasmaneras de representarla matemáticamente.[editar]Función generadoraUna función generadora para una sucesión cualquiera esla función , es decir, una serie formal de potencias dondecada coeficiente es un elemento de la sucesión. Losnúmeros de Fibonacci tienen la función generadora (4)
  9. 9. Cuando esta función se expande en potencias de , loscoeficientes resultan ser la sucesión de Fibonacci:[editar]Fórmula explícitaLa definición de la sucesión de Fibonacci es recurrente;es decir que se necesitan calcular varios términosanteriores para poder calcular un término específico. Sepuede obtener una fórmula explícita de la sucesión deFibonacci (que no requiere calcular términos anteriores)notando que las ecuaciones (1), (2) y (3) definen larelación de recurrenciacon las condiciones iniciales yEl polinomio característico de esta relación de recurrenciaes , y sus raíces sonDe esta manera, la fórmula explícita de la sucesión deFibonacci tendrá la formaSi se toman en cuenta las condiciones iniciales, entonceslas constantes y satisfacen la ecuación anterior cuandoy , es decir que satisfacen el sistema de ecuacionesAl resolver este sistema de ecuaciones se obtienePor lo tanto, cada número de la sucesión de Fibonaccipuede ser expresado como (5)Para simplificar aún más es necesario considerar elnúmero áureode manera que la ecuación (5) se reduce a (6)
  10. 10. Esta fórmula se le atribuye a Édouard Lucas, y esfácilmente demostrable por inducción matemática. Apesar de que la sucesión de Fibonacci consta únicamentede números naturales, su fórmula explícita incluye alnúmero irracional . De hecho, la relación con este númeroes estrecha.[editar]Forma matricialOtra manera de obtener la sucesión de Fibonacci esconsiderando el sistema lineal de ecuacionesEste sistema se puede representar mediante su notaciónmatricial comoConociendo a y , al aplicar la fórmula anterior veces seobtiene (7)Una vez aquí, simplemente tenemos que diagonalizar lamatriz, facilitando así la operación de potenciación, yobteniendo por tanto la fórmula explícita para la sucesiónque se especificó arriba.y más aún (8)Estas igualdades pueden probarse mediante inducciónmatemática.[editar]Propiedades de la sucesión
  11. 11. Al construir bloques cuya longitud de lado sean númerosde Fibonacci se obtiene un dibujo que asemeja alrectángulo áureo (véase Número áureo).Los números de Fibonacci aparecen en numerosasaplicaciones de diferentes áreas. Por ejemplo, enmodelos de la crianza de conejos o de plantas, al contarel número de cadenas de bits de longitud que no tienenceros consecutivos y en una vasta cantidad de contextosdiferentes. De hecho, existe una publicaciónespecializada llamada Fibonacci Quarterly4 dedicada alestudio de la sucesión de Fibonacci y temas afines. Setrata de un tributo a cuán ampliamente los números deFibonacci aparecen en matemáticas y sus aplicaciones enotras áreas. Algunas de las propiedades de esta sucesiónson las siguientes: La razón o cociente entre un término y el inmediatamente anterior varía continuamente, pero se estabiliza en el número áureo. Es decir:Este límite no es privativo de la Sucesión de Fibonacci.Cualquier sucesión recurrente de orden 2, como lasucesión 3, 4, 7, 11, 18,..., lleva al mismo límite. Esto fuedemostrado por Barr y Schooling en una carta publicadaen la revista londinense "The Field" del 14 de diciembrede 1912. Los cocientes son oscilantes; es decir, que uncociente es menor al límite y el siguiente es mayor. Loscocientes pueden ordenarse en dos sucesiones que seaproximan asintóticamente por exceso y por defecto alvalor límite. Cualquier número natural se puede escribir mediante la suma de un número limitado de términos de la sucesión de Fibonacci, cada uno de ellos distinto a los demás. Por ejemplo, , . Tan sólo un término de cada tres es par, uno de cada cuatro es múltiplo de 3, uno de cada cinco es múltiplo de 5, etc. Esto se puede generalizar, de forma que la sucesión de Fibonacci es periódica en las congruencias módulo , para cualquier . La sucesión puede expresarse mediante otra fórmula
  12. 12. explícita llamada forma de Binet (de Jacques Binet). Si y , entoncesy Cada número de Fibonacci es el promedio del término que se encuentra dos posiciones antes y el término que se encuentra una posición después. Es decirLo anterior también puede expresarse así: calcular el siguiente número a uno dado es 2 veces éste número menos el número 2 posiciones más atrás.La suma de los primeros números es igual al número que ocupa la posición menos uno. Es decirOtras identidades interesantes incluyen las siguientes:
  13. 13. Actividad… Sopa de letrasA f t j i w d f Y c a o i u f v mf j y M n s g r g U t m l w z x Ke r t y a u r e o h i o s a h m nz f w r t m q p t m f d x n l p ñw v g i r a s o l j w y u n p y al c s w t y u i b m d a e f u e da q e v b g j 8 0 m h w o p d n zi s u c e s i o n l u c a s j c bd t s h s b j k e r e c v g h u yi w r b d a s y t j a v h a s v ng a a l e a l g o r i t m o t e ra d f c g r y i a v z m h e t u wn g a z x b k d e s j e z r y l an m s r m u l a e x p l i c i t a a) Aureo b) Fibonnancci c) Formula explicita d) Forma marcial e) Sucesion lucas f) Algoritmos

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