teoremas de conjuntos

1. (Haga click con el ratón para avanzar)
A
A c
U
∉ ∈

2. PODEMOS
DEFINIRLOS
DE DOS FORMAS:
Nombrando cada uno de sus
elementos.
V={a, e, i, o, u}
S={lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo}
E={do, re, mi, fa, sol, la, si, do}
Citando alguna propiedad que identifique
inequívocamente a sus elementos.
V={letras vocales}
S={días de la semana}
E={notas de la escala musical}
Se nombran siempre
con letras
mayúsculas
1. Por enumeración:
2. Por descripción:

3. Es la relación que se establece entre un conjunto y un
elemento
SÍMBOLOS
:
∈: pertenece ∉: no pertenece
V
a
e
i
o
u
b
m a ∈ V
u ∈ V
b ∉ V
P={números pares}
2 ∈ P
8 ∈ P
7 ∉ P Los conjuntos suelen representarse
también por medio de unas líneas
cerradas llamadas diagramas de Venn

4. Es la relación que se establece entre dos conjuntos
SÍMBOLO
S:
⊂: está incluido ⊄: no está incluido
A={letras del abecedario}
V={letras vocales}
V ⊂
A
A
V
Se lee: V es subconjunto de A o está incluido
en A
Cualquier conjunto es
subconjunto de sí mismo
A ⊂ A
V ⊂ V
X ⊂ X
Etc.

5. CONJUNTO
UNIVERSAL
Contiene a todos los conjuntos que
se analizan en un determinado
contexto.
CONJUNTO
VACÍO
Es el conjunto que no tiene
elementos. Se representa por el
símbolo . φ
Se representa por la letra:
Cualquier conjunto es subconjunto
del conjunto universal:
El conjunto vacío es subconjunto de
cualquier conjunto
A ⊂ U
Aφ ⊂
U

6. Es el conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos de
un conjunto dado.
Si A = {a, b, c}, los subconjuntos que pueden obtenerse son los siguientes:
Conjuntos de 0 elementos:
Conjuntos de 1 elemento:
Conjuntos de 2 elementos:
Conjuntos de 3 elementos:
El conjunto de las partes de A se expresa por P(A) y es el siguiente:
φ
{a} {b} {c}
{a, b} {a, c} {b, c}
{a, b, c}, es decir, A
P(A)={φ, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, A}
Si A tiene n elementos, el conjunto P(A) tiene 2n
elementos.

7. Unión de dos conjuntos A y B es el conjunto que tiene como
elementos los que pertenecen al conjunto A o al conjunto B
SÍMBOLO DE LA
UNIÓN:
U
{ }
{ }
A= a, b, c, d
B= c, d, e, f
a
b
c
d e
f
A B
{ }A B= a, b, c, d, e, fU
Los elementos de son elementos de A o de BA BU
A =AφU
Para cualquier conjunto A: Si A B⊂
A B=BU

8. Intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto que tiene como
elementos los que pertenecen al conjunto A y al conjunto B.
SÍMBOLO DE LA INTERSECCIÓN: I
{ }
{ }
A= a, b, c, d
B= c, d, e, f
a
b c
d
e
f
A B
{ }A B= c, dI
Los elementos de son elementos de A y de BA BI
CONJUNTOS
DISJUNTOS:
Son los que no tienen
elementos comunes
P
I
p a r e s
n ú m e r o s n ú m e r o s
im p a r e s
P I=φI
A A=AI
Si A B entonces A B=A⊂ I
(Para cualquier conjunto A)

9. Complementario de un conjunto A es el formado por los
elementos del conjunto universal que no pertenecen a A.
SÍMBOLO DEL COMPLEMENTARIO DE A:
c
A
A
A c
U
{ }A= letras vocales { }= letras del abecedarioU
c
A A =U U
c c
(A ) A=c
A A φ=I
{ }c
A = letras consonantes

10. Diferencia de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por
los elementos de A que no pertenecen a B.
LA DIFERENCIA DE A Y B SE REPRESENTA CON EL SÍMBOLO: A B–
A
B
A – B
{ }
{ }
A= a, b, c, d
B= c, d, e, f
{ }A B= a, b–
A B =φ–
Si A B⊂
A B B A≠– –En general,
A
B
A – B B – A

11. c
A B=A BI–
c c c
(A B) =A BU I
c c c
(A B) =A BI U
A – B
A B
La zona roja es la misma que
la zona rayada dos veces
(Primera ley de Morgan)
(Segunda ley de Morgan)
c
A B =A BI– Es una consecuencia
de la relación anterior

12. Sólo nos queda:Sólo nos queda:
CARDINAL DE UN CONJUNTO A:
Es el número de elementos que tiene. Se expresa así: #(Α)
CARDINAL DE LA UNIÓN DE DOS CONJUNTOS A Y B:
#(A B)=#(A)+#(B) – #(A B)U I
#(A B)=#(A – B)+#(B – A)+#(A B)U I
A
B
A BI

14. Si U es el conjunto universal de un contexto dado,
entonces cualquier conjunto A de dicho contexto cumple:
a) A ∈ U
b) A ⊂ U
c) A = U
Solución:
U
A
En el conjunto universal se encuentran todos
los conjuntos de un determinado contexto
A ⊂ U

15. El conjunto A ∩ Ac
es igual a:
a) A
β) φ
c) El conjunto universal U
Solución:
A
Ac
U
Conjunto Ac
: zona amarilla.
Como no tienen nada común la intersección es el conjunto vacío
Conjunto A: zona verde.

16. El conjunto (A – B ) ∪ (A – Bc
) es igual a:
a) φ
b) A
c) El conjunto universal
Solución:
Sabemos que A – B = A ∩ Bc
Y como consecuencia, A – Bc
= A∩B
A – B A∩B
A
B
Por tanto, (A – B ) ∪ (A – Bc
) =A

17. Si #(A∪B) = 10 , #(A∩B) = 5 y #(A) = 6 entonces
a) #(B) es igual a 10
b) #(B) es igual a 9
c) No es posible calcular #(B) sin más datos.
La fórmula que se tiene que aplicar para hallar el cardinal de
la unión de dos conjuntos es la siguiente:
#(A∪B = #(A)+ #(B) – #(A∩B)
10 6 x 5
10 = 6 + x – 5 es decir, 10 – 6 + 5 = x; 9 = x
#(B) es igual a 9

18. Si #(A) = 9 y #(A−B) = 5, entonces #(A∩B) es igual
a:
a) 14
b) Faltan datos para calcularlo.
c) 4
A B
A B− A B∩
Solución:
# (A) = # (A−B) + # (A∩B)
9 5 x
9 5 x= +
9 5 x− =
4 x=