1. ¿Es la dimensión del Universo, una dimensión fraccionaria o decimal?
2. La dificultad …
Uno de los conceptos matemáticos que presenta mayor dificultad en el
avance de los y las estudiantes, en la educación básica, es el de las
fracciones.
Este obstáculo incluso se arrastra y llega a ser insuperable en la vida adulta.
“El aprendizaje de las fracciones está inmerso en procesos de parcelación y descontextualización
histórica-epistemológica. Las continuas dificultades en torno al aprendizaje de este concepto (Newstead
y Murray, 1998) y su presencia como uno de los mayores obstáculos para la maduración matemática de
los estudiantes (Behr, Lesh, Post y Silver, 1983), las han transformado en uno de los temas más
estudiados en la matemática educativa (Fandiño, 2005) y han llevado a preguntarse por la propia
naturaleza del concepto.” (Peña y Rojas, 2013)
3. Mapa de la
Capacitación:
Fracciones
Conjuntos Numéricos
Connotaciones de Q
Historia
Notación Actual
Babilonios
Egipcios
Hindúes
Al-Jwarizmi y Leonardo de Pisa
Emerger de las Fracciones
(Distintas Construcciones de las Fracciones)
5 Significados Principales (Modelo Kier 1988)
1)Fracción como parte-todo o partes de una
unidad (ampliado).
2) Fracción como división o cociente.
3) Fracción como resultado de una medida.
4) Fracción como operador.
5) Fracción como razón.
Fracciones en el Currículum
Campos de Problemas
Método SINGAPUR
Fracciones y Decimales
Estudio de Casos
4. Conjuntos
Numéricos
Conjunto Símbolo Imagen Comentarios
Naturales IN Numeros que usamos “naturalmente” para
contar.
Cardinales INo
Enteros Z
Racionales Q
Irracionales Q* Los que NO pueden expresarse como fracciones.
Reales IR El contínuo
Imaginarios II
Complejos C
8. Cultura Egipcia
“En el papiro del Rhin, o papiro de
Ahmés, documento de hace casi 4.000 años, es
posible apreciar la costumbre egipcia de expresar
toda fracción como una suma de fracciones
unitarias (de numerador uno)
.
9. Cultura Hindú
“Fueron los hindúes quienes resolvieron el problema de la
notación, escribiendo el numerador sobre el denominador. De hecho, los
antecedentes más antiguos acerca de la resolución de operaciones con
números fraccionarios data de Aryabhata, en el siglo VI d.C. y de
Bramagputa , en el siglo VII d.C.” (Peña y Rojas, 2013)
Al-Jwãrizmi y Leonardo de Pisa o Fibonacci.
“No es sino hasta el siglo XII que la obra de Aljwärizmi es
traducida al latín, y uno de sus grandes difusores –Leonardo
de Pisa- comienza a hacer uso de la línea horizontal para
representar divisiones originando la notación actual.” (Peña y
Rojas, 2013)
Notación ACTUAL:
10. Emerger de las Fracciones (Construcción de
Fracciones)
“Varios autores han señalado la multitud de significados en que el objeto
fracción se ve involucrado, y los problemas de aprendizaje que esta
polisemia trae consigo (Kieren, 1976). En un estudio reciente, Flores 2001)
sistematiza diversos modelos o concepciones de las fracciones con los que
se ha estado trabajando en las últimas décadas, señalando que existen
hasta 14 significados de fracción en el discurso matemático escolar. Sin
embargo, es el modelo propuesto por Kieren (1988) el que concentra los
principales significados de fracción, sobre la base de comprensión del
número racional. Este modelo contempla 5 significados principales.” (Peña
y Rojas, 2013)
11. Modelo de Kieren (1988)
Nombre del Modelo Descripción
Modelo 1 Fracción como parte-todo o partes de una unidad.
Modelo 2 Fracción como división o cuociente.
Modelo 3 Fracción como resultado de una medida.
Modelo 4 Fracción como operador. La fracción es un objeto que modifica un valor multiplicándolo por “a” y
dividiéndolo por “b”, en que a y b son números enteros positivos.
Modelo 5 Fracción como razón.
12. Mapa Fracciones Enseñanza
Básica1ro 2do 3ro 4to 5to 6to
Reparto
Equitativo
Demostrar que
comprenden las
fracciones de uso
común: 1/4 , 1/3 ,
1/2 , 2/3 , 3/4 :
* explicando que
una fracción
representa la parte
de un todo4, de
manera concreta,
pictórica, simbólica,
de forma manual
y/o con software
educativo
* describiendo
situaciones, en las
cuales se puede usar
fracciones
comparando
fracciones de un
mismo todo, de
igual denominador
Demostrar que comprende las fracciones con
denominadores 100, 12, 10, 8, 6, 5, 4, 3, 2:
* explicando que una fracción representa la
parte de un todo o de un grupo de elementos
y un lugar en la recta numérica
* describiendo situaciones en las cuales se
puede usar fracciones
* mostrando que una fracción puede tener
representaciones diferentes
* comparando y ordenando fracciones (por
ejemplo: 1/100, 1/8, 1/5, 1/4, 1/2) con
material concreto y pictórico
Resolver adiciones y sustracciones de
fracciones con igual denominador
(denominadores 100, 12, 10, 8, 6, 5, 4, 3, 2) de
manera concreta y pictórica en el contexto de
la resolución de problemas.
Identificar, escribir y representar fracciones
propias y los números mixtos hasta el 5 de
manera concreta, pictórica y simbólica, en el
contexto de la resolución de problemas.
Describir y representar decimales (décimos y
centésimos):
* representándolos en forma concreta,
pictórica y simbólica, de manera manual y/o
con software educativo
* comparándolos y ordenándolos hasta la
centésima
Identificar, escribir y representar fracciones
propias y los números mixtos hasta el 5 de
manera concreta, pictórica y simbólica, en el
contexto de la resolución de problemas.
Demostrar que comprenden las fracciones propias4:
* representándolas de manera concreta, pictórica y
simbólica
* creando grupos de fracciones equivalentes –
simplificando y amplificando– de manera
concreta, pictórica y simbólica, de forma manual y/o con
software educativo
* comparando fracciones propias con igual y distinto
denominador de manera concreta,
pictórica y simbólica.
Demostrar que comprenden las fracciones impropias de
uso común de denominadores 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12 y los
números mixtos asociados:
* usando material concreto y pictórico para representarlas,
de manera manual y/o con
software educativo
* identificando y determinando equivalencias entre
fracciones impropias y números mixtos
* representando estas fracciones y estos números mixtos
en la recta numérica
Resolver adiciones y sustracciones con fracciones propias
con denominadores menores o iguales a 12:
* de manera pictórica y simbólica
* amplificando o simplificando
Determinar el decimal que corresponde a fracciones con
denominador 2, 4, 5 y 10.
Comparar y ordenar decimales hasta la milésima.
Resolver adiciones y sustracciones de decimales,
empleando el valor posicional hasta la milésima.
Resolver problemas rutinarios y no rutinarios, aplicando
adiciones y sustracciones de fracciones
Demostrar que comprenden el concepto de
razón de manera concreta, pictórica y simbólica,
en forma manual y/o usando software
educativo.
Demostrar que comprenden el concepto de
porcentaje de manera concreta, pictórica y
simbólica, de forma manual y/o usando
software educativo.
Demostrar que comprenden las fracciones y
números mixtos:
* identificando y determinando equivalencias
entre fracciones impropias y números
mixtos, usando material concreto y
representaciones pictóricas de manera manual
y/o con software educativo
* representando estos números en la recta
numérica
Resolver adiciones y sustracciones de fracciones
propias e impropias y números mixtos con
numeradores y denominadores de hasta dos
dígitos.
Demostrar que comprenden la multiplicación y
la división de decimales por números
naturales de un dígito, múltiplos de 10 y
decimales hasta la milésima de manera
concreta, pictórica y simbólica.
Resolver problemas rutinarios y no rutinarios
que involucren adiciones y sustracciones de
fracciones propias, impropias, números mixtos o
decimales hasta la milésima.
13. Tercero
Básico:
Demostrar que comprenden las fracciones de
uso común: 1/4 , 1/3 , 1/2 , 2/3 , 3/4: o
explicando que una fracción representa la
parte de un todo, de manera concreta,
pictórica y simbólica, de forma manual y/o
con software educativo o describiendo
situaciones en las cuales se puede usar
fracciones o comparando fracciones de un
mismo todo, de igual denominador.
14. Campos de
Fracciones:“… recoger, integrar y articular distintos tipos de tareas con sus
respectivas técnicas y conceptos, constituye un verdadero
“Terreno de trabajo” denominado campo.” (Espinoza y
Mitrovich, 2001).
Familias de Problemas:
“Un conjunto amplio de problemas puede estar relacionado
con una misma tarea matemática. A este conjunto de
problemas le llamaremos Familia de Problemas” (Espinoza y
Mitrovich, 2001).
MAGNITUD: es todo aquello susceptible de aumentar o disminuir.
CANTIDAD: es cada estado particular de la magnitud mensurable (lo que ocurre en un momento determinado).
EJEMPLOS: Magnitud: asistentes a los partidos de fútbol del R. Madrid. Cantidad: asistentes al último partido de la liga
jugado por el R. Madrid.
15. Tareas en torno a las Fracciones (Hasta 4to.
Básico):Tareas: Sub-Tareas:
T1: Partir Equitativamente una (o varias)
cantidad de magnitud en un número de
partes.
T11: Partir en partes iguales una cantidad de magnitud dada.
T12: Identificar en notación fraccionaria, que parte de la unidad representa una o más partes de
ella.
T13: Identificar, en notación fraccionaria, qué parte de la unidad representa una o más partes de
una parte de ella.
T2: Comparar por diferencia distintas
Cantidades.
T21: Ordenar dos o más fracciones que correspondan a las medidas de ciertas cantidades de una
misma magnitud.
T22: Comparar las medidas de distintas cantidades de magnitud, y cuantificar las diferencias
entre las cantidades dadas.
T3: Representar gráficamente distintas
fracciones en la recta numérica.
T31: Ubicar una o más fracciones en la recta numérica.
T32: Representar en la recta numérica un intervalo que cumpla una determinada condición.
T4: Cuantificar la cantidad de magnitud
que corresponde a una parte de ella.
T41: Calcular la cantidad de magnitud total que se tiene cuando es conocida la cantidad de
magnitud que corresponde a una fracción de ella.
T42: Calcular la cantidad de magnitud que corresponde a una fracción de una cantidad total
conocida.
T43: Dadas ciertas cantidades de magnitud de una cantidad conocida, calcular la fracción que
corresponde a la cantidad de magnitud restante (complemento de la unidad).
T5: Determinar fracciones que cumplen
ciertas condiciones de orden respecto de
otras dadas.
T51: Intercalar fracciones en un intervalo dado de extremos enteros o fraccionarios.
T52: Dada una o más fracciones, determinar intervalos que las contengan con una determinada
precisión.
T6: Transformar unidades de medidas. T61: Dadas ciertas cantidades de una misma magnitud en unidades de medida distinta,
transformarlas a la misma unidad.
Espinoza, L. y Mitrovich, D. (2001)
16. Matriz de
Técnicas:
Es el conjunto de gestos que se realizan para abordar y resolver
un problema. Más que un algoritmo o rutina es una “manera de
hacer”.
Técnicas relativas a Fracciones hasta 8avo. básico
T1 Operaciones con Fracciones
T2 Fraccionar
T3 Fracciones Equivalentes
T4 Comparar por cociente
T5 Complemento a la unidad
T6 Comparación de Fracciones
T7 Ecuaciones lineales de primer grado
T8 Cambio de unidad de medida
T9 Intercalar fracciones
T10 Cociente
T11 Transformar a escritura equivalente
17. Método
SINGAPUR
• El Método SINGAPUR trabaja bastante menos contenidos que el
currículum chileno, pero en profundidad.
• Según mi opinión personal, el Método SINGAPUR está orientado,
esencialmente, a una cierta efectividad en el testeo
Nacional/Internacional.
El método Singapur es un
sincretismo de visiones de
Psicología Cognitiva y Didácticas
que tienen ya historia, podríamos
decir que es una mixtura de
elementos relevantes y probos en
estas materias. Tres pensadores
en el ámbito de lo educativo
tienen especial relevancia en el
método Singapur.
21. Un estudio de casos:
• Andrea: Señorita yo entendí que 1/2 es equivalente a 2/4, porque si un entero lo dividimos en cuartos, dos de esos cuartos es la mitad del
entero.
• Carmen Luz: ¿Y qué es lo que no entiendes Andrea?
• Andrea: Es que antes, cuando yo decía es igual a, poníamos un signo igual. Si yo decía cuatro menos 3 es 1, escribía cuatro-menos-tres-igual-
1.
• Carmen Luz: Eso está perfecto, pero ¿cuál es tu duda?
• Andrea: Mi duda es que si dos cuartos es un medio, y escribo uno-partido-dos-igualdos-partido-cuatro, ¿por qué decimos equivalentes?, ¿por
qué el signo igual, en este caso, se lee como equivalente?, ¿por qué no decimos igual?
• Carmen Luz: Es que es cierto que son el mismo número, un medio y dos cuartos, pero como fracciones son distintas.
• Andrea: Eso no lo entiendo. Como fracción un medio es distinto de dos cuartos, pero como número son el mismo. ¿Es decir la fracción un
medio no es lo mismo que el número un medio?
• Carmen Luz: Exacto. El número un medio y la fracción un medio, son cosas distintas. Por eso decimos que las fracciones son equivalentes y
que los números son iguales.
• Andrea: Entonces cuando escribimos uno-partido-dos-igual-dos-partido-cuatro, estamos pensando las fracciones como números, pero de
todos modos decimos equivalentes. Es raro ¿no? Entonces, si yo no digo en qué estoy pensando, si en números o en fracciones, es correcto
decir un medio es igual a dos cuartos.
• Carmen Luz: Eso es. La profesora, ya cansada y viendo las caras de aburridos del resto del curso, remata: Si te queda alguna duda, me puedes
buscar en la sala de profesores de matemáticas.
22. Bibliografía:
1) Peña, R. P. y Rojas S. F. (2013) Resignificación del algoritmo para operar aditivamente con fracciones. Instituto Politécnico
de México y Centro Felix Klein.
2) Stewart, I. (2013) Historia de las Matemáticas –en los últimos 10.000 años. CRÍTICA – Barcelona. Drakontos.
3) Espinoza, L. y Mitrovich, D. (2001) Colaboradores Barbé, J. ; Gálvez, G. ; Venegas, M. Estudiar Matemáticas en el segundo
ciclo Básico: Campos de problemas en torno a las fracciones. Programa P-900, Ministerio de Educación, República de
Chile.
4) Reyes, C. (2011) Estudio de casos en la formación de profesores de matemáticas: Integrando matemáticas y pedagogía.
J.C. Sáez editor. Dirección del Proyecto Fondef D051-10211. Herramientas para la Formación de Profesores de
Matemáticas.
5) Fong Ho Kheong, Dr. (2011). Pensar sin Límites – Matemática Método Singapur - ·B Libro del alumno. Marshall Cavendish
Education, Galileo Educación, SBS Software and Books Solutions.
6) MATEMATICA, Programa de Estudio, 1ro. a 6to. Básico, Decreto Nro. 2960/2012, Unidad de Currículum y
Evaluación, Enero 2013, MINEDUC.
