1. Congruencias y semejanzas de figuras planas Srta. Yanira Castro Lizana

2. ¿Cómo son las figuras mostradas? Son idénticas

5. Criterios de congruencia

17. PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS

19. TEOREMA DE THALES

20. TEOREMA DE THALES

22. A B C BASE MEDIA PROPIEDAD M N

23. FIGURAS SEMEJANTES

24. ¿Cómo son las figuras mostradas? Son proporcionales Son semejantes

27. Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los ángulos iguales. El cociente se llama razón de semejanza.

29. SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

32. Dado un triángulo de lados 4m, 5m y 6m. Multiplica cada uno de los lados por 3. Los lados del triángulo se han triplicado. x 3 4m 5m 6m A B C 18m 15m 12m P Q R

33. Identificamos algunos elementos : RAZÓN DE SEMEJANZA : 3 LADOS HOMÓLOGOS : AB BC AC Si la altura relativa al lado AC mide a, podemos afirmar que la altura relativa a su lado homólogo PR mide 3a. Además: Cualquier longitud (lados y líneas notables) en el triángulo ABC se triplica en el triángulo PQR. PQ QR PR

34.  ¿Cuál es el símbolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triángulos?

35. Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del árbol y el de la vara de longitud conocida.

37. CASOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

40. SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS POSTULADOS DE SEMEJANZA Criterio AA de semejanza. Teorema: “ Si dos triángulos tienen sus dos ángulos correspondientes congruentes, entonces el tercero también será congruente y los triángulos son semejantes”. Criterio LAL de semejanza. Teorema: “ Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo congruente comprendido entre lados proporcionales”. Criterio LLL de semejanza. Teorema: "Si los lados correspondientes de dos triángulos son proporcionales, entonces los triángulos son semejantes".

42. Ejemplo ¿Son los siguientes triángulos semejantes? ¡SI! Por que al tener dos de sus ángulos congruentes, cumplen con el criterio AA 25 65 25 65

44. Ejemplo Determine si los triángulos ABC y PQR son semejantes Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales = = Efectivamente , así es, ya que los productos “cruzados” son iguales 1,5 • 7 = 3 • 3,5 = 10,5 3,5 • 10 = 7 • 5 = 35 Por lo tanto Triángulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL A B C P Q R 1,5 3,5 5 3 7 10 1,5 3 3,5 7 5 10

46. Ejemplo ¿Son los triángulos ABC y DEF semejantes? Veamos si dos de sus lados son proporcionales = 4 Efectivamente así es, ya que los productos “cruzados” son iguales 3 • 12 = 4 • 9 ¿Los ángulos formados por estos dos lados son congruentes? Por criterio LAL Triángulos ABC y DEF son SEMEJANTES Efectivamente, porque, tal como se señala en el dibujo, ambos son rectos A B C 4 3 D E F 9 12 3 9 12

47. Algunas aplicaciones de estos conceptos

50. Los lados de un triángulo miden 30, 40 y 50 centímetros respectivamente. Los lados de un segundo triángulo miden 12, 16 y 20 centímetros. ¿Son semejantes?. En caso afirmativo, ¿cual es la razón de semejanza?. 30 12 = 40 16 50 20 = Para calcular la razón de semejanza se calcula una de las razones 50 : 20 = 2,5 Para comprobar la proporcionalidad podemos efectuar los productos “cruzados” 30x16=480 y 40x12=480 además 40x20=800 y 16x50=800 Comprobemos que las medidas de los lados homólogos son proporcionales 50 30 40 12 16 20

51. Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros; ¿qué altura tiene un árbol que a la misma hora proyecta una sombra de 4,5 metros?(Haz un dibujo del problema). Los triángulos definidos por el poste y su sombra y el árbol y su sombra son semejantes, por lo tanto De donde = 6,75m Formamos la proporción 4,5m x 3m 2m sombra poste Son semejantes por que cumplen el criterio AA , tienen iguales el ángulo recto y el ángulo de elevación que forman los rayos solares con el suelo = 3 x 2 4,5 X = 3 • 4,5 2

52. Para terminar una pequeña demostración

53. Demostración Por ser ángulos alternos internos entre // Por ser Ángulos alternos internos entre // Por lo tanto al tener dos ángulos congruentes, se cumple al criterio AA , luego, los triángulos ABC y DEC son semejantes Demuestre: Si L 1 // L 2 , , entonces ΔABC ~ΔDEC C A B D E Afirmaciones Razones