NOCIONES BASICAS DE FUNCIONES POR WILDERD CABANILLAS CAMPOS

1. FuncionesFunciones
1. Coordenadas en el plano
2. Ejes de coordenadas. Cuadrantes
3. Relación dada por tablas
4. Relación dada por gráficas
5. Relaciones dada por fórmulas
6. Idea de función
7. Representación gráfica de funciones
8. La función lineal o de proporcionalidad directa
9. Funciones afines
10. Funciones cuadráticas
CONTENIDOS DEL TEMA
11. Funciones de proporcionalidad inversa
12. Resolución de problemas

2. FuncionesFunciones
1. Coordenadas en el plano
Observa:
– La catedral está en el punto (1, 3).
– El ayuntamiento en el punto (4, 1).
Para situar un punto en el plano se necesitan dos
rectas perpendiculares que se llaman ejes de
coordenadas.
El punto de corte de los ejes se llama origen.
• La primera se mide sobre el eje horizontal o
de abscisas; se llama abscisa del punto.
• La segunda se mide sobre el eje vertical o
de ordenadas; se llama ordenada del punto.
Eje de ordenadas
Eje de abscisasOrigen
– El jardín botánico en el punto (7, 2).
Este plano es el de una ciudad.
Cualquier punto tiene dos coordenadas.
O

3. FuncionesFunciones
Eje de abscisas
Eje de ordenadas
I cuadrante
IV cuadrante
III cuadrante
II cuadrante
O
Origen
Tomamos una cuadrícula y trazamos los ejes de coordenadas. Se tendrá:
2. Los ejes de coordenadas: cuadrantes (I)

4. FuncionesFunciones
2. Los ejes de coordenadas: cuadrantes (II)
Primer
cuadrante
Cuarto
cuadrante
Tercer
cuadrante
Segundo
cuadrante
O
Los ejes de coordenadas dividen el plano en cuatro cuadrantes.
(+, +)(– , +)
(– , – ) (+, – )
• Los puntos del primer cuadrante
tienen abscisa y ordenada positivas.
• Los del segundo cuadrante tienen
abscisa negativa y ordenada positiva.
• Los del tercer cuadrante tienen
abscisa y ordenada negativas.
• Los del cuarto cuadrante tienen
abscisa positiva y ordenada negativa.
X
Y

5. FuncionesFunciones
Cada punto del plano se designa por un par ordenado de números que
se llaman coordenadas del punto.
Así: A (4, 1); B (-2, 1); C (0, 5);
D (-3, -4); E (5, -5)
El primer número se llama abscisa; el segundo, ordenada.
Las abscisas positivas están
a la derecha del origen.
Las negativas, a la izquierda.
Las ordenadas positivas están
por encima del origen.
Las negativas, por debajo.
A(4, 1)B(-2, 1)
C(0, 5)
D(-3, -4)
E(5, -5)
O
2. Los ejes de coordenadas: cuadrantes (III)

6. FuncionesFunciones
Una función puede darse mediante una tabla.
Ejemplo: en la tabla siguiente se da la
medida de un feto (en cm) dependiendo del
tiempo de gestación (en meses).
Edad
(meses)
Longitud
(cm)
2 4
3 8
4 15
6 29
7 34
8 38
9 42
A cada mes de gestación le corresponde una
longitud determinada.
(2, 4) significa que cuando el feto tiene 2 meses,
mide 4 cm.
(6, 29) indica que a los 6 meses el feto mide 29 cm.
La longitud del feto está en función de su tiempo de gestación.
3. Relaciones dadas por tablas (I)

7. FuncionesFunciones
3. Relaciones dadas por tablas (II)
El nivel de agua que se alcanza en un recipiente depende del tiempo que el
grifo esté goteando.
Esta dependencia o relación se expresa en la siguiente tabla:
Tiempo
(minutos)
Nivel de
agua (cm)
0 0
15 10
30 14
45 17
60 19
A la variable tiempo se le llama variable independiente, y a la variable
nivel de agua, variable dependiente.
La dependencia entre dos variables puede expresarse mediante una tabla.

8. FuncionesFunciones
4. Relaciones dadas por gráficas (I)
En una etapa de la vuelta ciclista, a cada distancia del punto de salida le
corresponde una determinada altitud.
Esta dependencia o relación se expresa por la siguiente gráfica:
A la variable kilómetros recorridos se le llama variable independiente,
y a la variable altura en metros, variable dependiente.
La dependencia entre dos variables puede expresarse mediante una gráfica.
Cuando llevan 100 km
recorridos es cuando están
a mayor altitud.

9. FuncionesFunciones
Una función puede darse mediante una gráfica.
Ejemplo: En la gráfica siguiente se da el consumo de gasolina de un
automóvil según la velocidad a la que circula.
Si el automóvil va a 130
km/h, consume,
aproximadamente, 8 litros
cada 100 km
El consumo mínimo se
consigue a 60 km/h:
punto (60, 4)
El consumo de gasolina depende (o está en función)
de la velocidad del automóvil.
4. Relaciones dadas por gráficas (II)

10. FuncionesFunciones
Si conoces el lado de un cuadrado puedes hallar su área.
1 cm 2 cm
3 cm
l cm
1 cm2
4 cm2 9 cm2 l 2
cm2
A cada valor del lado le corresponde un área.
El área es función del lado: S = l 2
Lado
Área
S = l 2
A la variable lado l se le llama variable independiente,
y a la variable área, variable dependiente.
5. Relaciones dadas por fórmulas

11. FuncionesFunciones
Consideremos otra relación dada por una fórmula: y = 2x +1
Si x vale -2, y = 2·(-2) +1 = -3. Par (-2, -3)
Si x vale -1, y = 2·(-1) +1 = -1. Par (-1, -1)
Si x vale 2, y = 2·2 +1 = 5. Par (2, 5)
Observa que a cada número x le corresponde
un único número y.
El número y depende del valor dado a x.
O también: y está en función de x.
A x se le llama variable independiente.
En este caso puede tomar cualquier valor
A y se le llama variable dependiente.
Toma valores que dependen de la x: y = 2x +1
Las relaciones de
este tipo se llaman
funciones.
En una función,
la correspondencia
entre las variables
debe ser única
6. Idea de función (I)

12. FuncionesFunciones
6. Idea de función (II)
• Función: es una relación o correspondencia entre dos magnitudes, de
manera que a cada valor de la primera le corresponde un único valor de la
segunda, que llamamos imagen o transformado.
• Variable independiente: la que se fija previamente.
• Variable dependiente: la que se deduce de la variable independiente.
La fórmula f(x) = 3x2
+ 1 define una función.
f(x) = 3x2
+ 1
x es la variable independiente
f(x) es la variable dependiente
Fijada la variable independiente, por ejemplo x = 5, el valor que toma la
variable dependiente es f(5) = 3 · 52
+ 1 = 76.
(La imagen de 5 es 76; y es única, pues la operación 3 · 52
+ 1 es única.)
Si x = 0, f(0) = 1. Si x = 1, f(1) = 4. Si x = –2, f(–2) = 13.
En toda función a cada valor de la variable independiente le corresponde
un solo valor de la variable dependiente.

13. FuncionesFunciones
La fórmula que expresa el área de un cuadrado
en función de su lado es S = l 2
Para representarla gráficamente:
Primero: formamos la tabla de valores
Lado: l Área: l 2
0 0
1 1
1,5 2,25
2 4
2,5 6,25
3 9
4 16
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
0 1 2 3 4
Segundo: representamos los pares
asociados, uniendo los puntos.
Ejemplo:
(2, 4)
(3, 9)
(4, 16)
7. Representación gráfica de funciones (I)

14. FuncionesFunciones
El precio del revelado de 36 fotos es de 1,50 soles y por cada
foto cobran 0,35 soles Representa la gráfica de esta función.
Primero: formamos la tabla de valores
Número
de fotos l
Importe
en soles
0 1,50
1 1,85
2 2,20
3 2,55
4 2,90
5 3,25
6 3,60
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6
fotos
soles
Segundo: representamos los
pares asociados.
Ejem
plo:
(En este caso no
tiene sentido
unir los puntos:
no se revelan
fracciones de
fotos.)
Variable
dependiente
Variable independiente
7. Representación gráfica de funciones (II)

15. FuncionesFunciones
7. Representación gráfica de funciones (III)
Una planta ha ido creciendo con el tiempo según se indica en la tabla:
Para representarla gráficamente:
representamos los pares de valores sobre
unos ejes de coordenadas y obtenemos
distintos puntos de la gráfica.
Tiempo
(meses)
Longitud
(cm)
0 2
1 6
2 11
3 17
4 21
5 24
6 26
7 27
8 28 0
5
10
15
20
25
30
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Tiempo (meses)
Longitud(cm)
(2, 11)
(6, 26)
Uniendo los puntos se obtiene la gráfica de la función.

16. FuncionesFunciones
7. Representación gráfica de funciones (IV)
Consideremos la función f que asigna a cada número entero el doble más 1.
Para representarla gráficamente:
x y = f(x)
–3 –5
–2 –3
–1 –1
0 1
1 3
2 5
En este caso no se pueden unir los
puntos ya que la función está definida
únicamente para los números enteros.
Es decir, f(x) = 2x + 1.
1. Formamos la tabla de valores. 2. Representamos los pares de valores
sobre unos ejes de coordenadas
(2, 5)
O
(–3, –5)

17. FuncionesFunciones
Ejemplo: Si el precio de un kilo de naranjas es de 1,2 soles:
(a) forma una tabla que relacione
peso con precio.
0
1.2
2.4
3.6
4.8
6
7.2
8.4
9.6
0 1 2 3 4 5 6 7
Peso en kilossoles
(b) representa la gráfica de la
función asociada.
Peso
(kilos)
Coste
(soles)
1 1,2
2 2,4
3 3,6
4 4,8
8 9,6
10 12
35 42
Multiplicando por 1,2 el número
de kilos, se tiene:
Trazando los pares (1, 1,2),
(2, 2,4), … (7, 8,4), se tiene:
La fórmula de
esta función es:
y = 1,2x
Las funciones cuyas
gráficas son rectas que pasan
por el origen se llaman
funciones lineales o de
proporcionalidad
directa
8. Función lineal o de proporcionalidad directa (I)

18. FuncionesFunciones
Vamos a representar gráficamente otras funciones lineales.
51
y = 5x
–5–1
21
y = 2x
42
– 44
y = – x
3–3
00
y = 0,2x
15
x y
x yx y
x y
8. Función lineal o de proporcionalidad directa (II)
Representa las siguientes funciones: a) y = x; b) y = –5x; c) y = 2x ; d) y = –x

19. FuncionesFunciones
8. Función lineal o de proporcionalidad directa (III)
Al comprar en el supermercado un trozo de queso nos hemos fijado en la
etiqueta del paquete que reproducimos:
Peso en kg Precio por kg en S/. Total en S/.
0,820 5,12 4,20
Las magnitudes precio y peso son
directamente proporcionales.
Si x es el peso en kg, e y el
precio, la expresión que da el
precio en soles es y = 5,12x.
0,5 1 1,5
7
6
5
4
3
2
1
Calculamos valores, representamos
y unimos los puntos.
Las funciones se la forma
y = mx se llaman funciones lineales.
Son rectas que pasan por el origen.
· m es la pendiente o inclinación de la recta.
y = 5,12x
Peso (kg)
Soles

20. FuncionesFunciones
9. Funciones afines (I).
Representa las siguientes funciones:
a) y = x +1 ; b) y = x – 3; c) y = 2x +3; d) y = 2x – 4
–30
y = x – 3
14
–40
y = 2x – 4
23
10
y = x + 1
43
30
y = 2x + 3
–3–3
x y
x yx y
x y

21. FuncionesFunciones
9. Funciones afines (II)
Cuando un espeleólogo se adentra hacia el interior de la tierra, la temperatura
aumenta con arreglo a la siguiente fórmula:
Formamos la tabla de valores: Representamos gráficamente
la función:
t = 0,01 d + 15, (t es la temperatura en ºC; d, la profundidad en m)
d t
0 15
150 16,5
600 21
1050 25,5
… …
400 800 1200
18
12
6
O
24
Temperatura(ºC)
Profundidad (m)
t = 0,01d + 15
Las funciones de la forma y = mx + n (n ≠ 0)
se llaman funciones afines.
Son rectas que no pasan por el origen.
· m es la pendiente o inclinación de la recta.
· n es la ordenada para x = 0, y se llama ordenada en el origen.

22. FuncionesFunciones
10. Funciones cuadráticas (I)
0
20
40
60
80
100
0 190 5 10 15 20
Con una cuerda de 40 cm se pueden formar distintos rectángulos. ¿Cuánto
valdrá su área?
Representamos los pares obtenidos:Formamos la tabla de valores:
(al área le llamamos y)
x y
1 19
3 51
8 96
10 100
12 96
14 84
17 51
19 19
2x + 2h = 40
x
h
x + h = 20
A = xh = x(20 –
x)
A = 20x – x2
Perímetro:
Área:
h = 20 – x
0
20
40
60
80
100
0 5 10 15 20
Unimos los puntos y se obtiene la gráfica.

23. FuncionesFunciones
10. Funciones cuadráticas (II)
La gráfica de las funciones cuadráticas se llama parábola.
Las funciones y = 20x – x2
, vista anteriormente, se llama función cuadrática.
Las funciones cuadráticas son de la forma y = ax2
+ bx + c con a ≠ 0.
Si a > 0 la parábola está abierta hacia arriba.
Si a < 0 la parábola está abierta hacia abajo.
y = x2
y = x2
– 4x
y = –x2
+ 2
y = –x2
y = –x2
– 3
a > 0 a < 0

24. FuncionesFunciones
11. Función de proporcionalidad inversa (I)
Si el producto de dos números es 24, ¿qué valores pueden tomar esos números?
Representamos los pares obtenidos
y unimos los puntos:
Formamos la tabla de valores:
x
2 12
4 6
6 4
12 2
–12 –2
–6 4
–4 –6
–2 –12
x
y
24
=
x
24
y =x · y = 24

25. FuncionesFunciones
11. Función de proporcionalidad inversa (II)
x
y
2
=
x
y
10
=
x
y
12−
=
Si el producto de los valores correspondientes de dos magnitudes x e y es
constante, se dice que las magnitudes son inversamente proporcionales.
La gráfica de las funciones de
proporcionalidad inversa se llama hipérbola.
x
k
y =x · y = k o bien
Las funciones de la forma se llaman
funciones de proporcionalidad inversa.
x
k
y =

26. FuncionesFunciones
Problema: Un caracol se desliza por el borde de una piscina a razón de
5 cm por minuto.
(a) Encuentra la ecuación asociada a las magnitudes espacio recorrido y tiempo.
(b) representa esta función.
3º. La fórmula de esta función es: y = 5x
(c) ¿cuánto tiempo tardará en recorrer 23 cm?
Tiempo (min): 1 2 3 4 5 6 …
Espacio (cm): 5 10 15 20 25 30 …
1º. Hacemos la tabla
2º. Observamos que las magnitudes
son directamente proporcionales:
51
102
5xx
1 por 5
2 por 5
x por 5
y = 5x es una función de
proporcionalidad directa.
12. Resolución de problemas (I)

27. FuncionesFunciones
0
5
10
15
20
25
0 1 2 3 4 5
tiempo
espacio
(2, 10)
(1, 5)
23
4,6
4ª Representamos los puntos: (1, 5), (2, 10)...
5º. En recorrer 23 cm tardará 23 : 5 = 4,6 min
Si y = 23, entonces 23 = 5x, luego x = 23 : 5
Observa que las escalas de los ejes son
distintas
Problema: Un caracol se desliza por el borde de una piscina a razón de
5 cm por minuto.
(a) Encuentra la ecuación asociada a las magnitudes espacio recorrido y tiempo.
(b) representa esta función. (c) ¿cuánto tiempo tardará en recorrer 23 cm?
Ya hemos visto que la función asociada es y = 5x
12. Resolución de problemas (II)