ecuaciones diferenciales

1. Cálculo diferencial e integral de una variable
1
Ecuaciones
diferenciales.

2. Cálculo diferencial e integral de una variable
2
Habilidades
1. Reconoce una ecuación diferencial de la forma
y’= f(x,y).
Verifica si una función f(x) es solución de una ecuación
diferencial.
3. Obtiene la solución de una ecuación diferencial.
4. Describe mediante una ecuación diferencial la
Interpretación de modelos.

3. Cálculo diferencial e integral de una variable
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Ecuaciones diferenciales
Una ecuación diferencial es aquélla que contiene una función
desconocida y una o más de sus derivadas.
El orden de una ecuación diferencial es el correspondiente
a la derivada de orden más alto que se tenga en la ecuación.
Una función f es una solución de una ecuación diferencial, si
ésta se cumple cuando se sustituyen y = f(x) y sus derivadas en
ella, para todos los valores de x en algún intervalo I.
Resolver una ecuación diferencial es hallar todas las soluciones
posibles de ella, es decir, hallar la solución general de ella.
Definición

4. Cálculo diferencial e integral de una variable
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Ecuaciones diferenciales
Resolver un problema con valor inicial es hallar una solución de
una ecuación diferencial que cumpla una condición inicial,
y(x0) = y0.
La forma general de una ecuación diferencial de primer orden
es:
Forma general
( )yx,fy' =

5. Cálculo diferencial e integral de una variable
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Ecuaciones diferenciales
Una ecuación diferencial de variables separables es una
ecuación diferencial de primer orden en la cual la expresión para
dy/dx se puede factorizar como:
Ecuaciones de variables separables
( ) ( )ygxf
dx
dy
=
también como:
( )
( )yg
xf
dx
dy
= si g(y) 0.≠

6. Cálculo diferencial e integral de una variable
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Ecuaciones diferenciales
Escribimos la ecuación separable en forma diferencial:
Resolución de ecuaciones separables
( )
( )dxxfdy
yg
1
=
o también como:
( ) ( )dxxfdyyg =
según sea el caso. Luego integramos, con respecto a y en el
miembro izquierdo y con respecto a x en el miembro derecho.
si g(y) 0.≠

7. Cálculo diferencial e integral de una variable
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Ecuaciones diferenciales
Crecimiento poblacional
Ecuación diferencial que modela:
Ay,k,ky
dt
dy
=>= (0)0
Función de crecimiento poblacional:
kt
Aety =)(
Se considera que en condiciones de ambiente y suministro
alimenticio ilimitados, la rapidez con la cual crece una
población es proporcional al tamaño presente de dicha
población. Sea A la población inicial.

8. Cálculo diferencial e integral de una variable
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Ecuaciones diferenciales
Desintegración radiactiva
Ecuación diferencial que modela:
0(0)0 mm,k,km
dt
dm
=<=
Función de desintegración radiactiva:
kt
emtm 0)( =
Se considera que la rapidez con la cual se desintegra un
material radiactivo es proporcional a la masa presente de
dicho material. Sea m0 la masa inicial del material radiactivo.

9. Cálculo diferencial e integral de una variable
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Ecuaciones diferenciales
na trayectoria ortogonal de una familia de curvas es una curva que
terseca a cada una de las curvas de dicha familia de forma tal que
s rectas tangentes son mutuamente perpendiculares en cada punto
e intersección.
Trayectorias ortogonales
dxy
cyx
=
=− 22
Familias de trayectorias
ortogonales

10. Cálculo diferencial e integral de una variable
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Ecuaciones diferenciales
i las pendientes de las rectas tangentes de una familia están
epresentadas por y1’ y las pendientes de las rectas tangentes de la
tra familia están representadas por y2’, luego:
121 −='y'y
Procedimiento
Encuentre y1’ de la primera familia, expresándola únicamente
en términos de x e y. Reemplázela en la ecuación anterior y
luego despeje y2’. Por último encuentre y2, resolviendo la
ecuación diferencial que se obtiene.

11. Cálculo diferencial e integral de una variable
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Ecuaciones diferenciales
Un problema típico de mezclado comprende un tanque de capacidad
fija V, lleno con una una solución completamente mezclada de una
una sustancia con una cantidad y0.
Una solución de concentración c entra al tanque a una razón fija v y
la mezcla, por completo agitada, sale del mismo a la misma razón.
Mezclas
c
v
v
V
y0

12. Cálculo diferencial e integral de una variable
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Ecuaciones diferenciales
Si y(t) denota la cantidad de la sustancia en el tanque en el instante
t, entonces dy/dt es la razón a la cual se agrega esa sustancia
menos la razón a la cual se extrae:
)()( salidaderazónentradaderazón
dt
dy
−=
Razón de entrada: (masa por unidad de volumen entrante) x
(volumen por unidad de tiempo) = cv.
Razón de salida: (masa por unidad de volumen saliente) x
(volumen por unidad de tiempo) = .v
V
ty )(
Ecuación diferencial que modela:
0(0)
)(
yy,v
V
ty
c
dt
dy
=





−=

13. Cálculo diferencial e integral de una variable
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Ecuaciones diferenciales
Una ecuación diferencial lineal es aquella que puede expresarse
en la forma:
Ecuaciones lineales
)()( xQyxP
dx
dy
=+
donde P y Q son funciones continuas sobre un intervalo I. Para
resolverla multiplicamos sus dos lados por el factor de
integración e integramos ambos lados,
observando que el lado izquierdo es la derivada de un producto.
∫=
dxxP
exI
)(
)(

14. Cálculo diferencial e integral de una variable
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Bibliografía
“Cálculo de una variable”
Cuarta edición
James Stewart
Secciones 9.1, 9.3, 9.4, 9.6
Ejercicios 9.1 pág 585:
1-12.
Ejercicios 9.3 pág 600:
1-18, 23-40.
Ejercicios 9.4 pág 610:
1-4, 8-15, 19, 20.
Ejercicios 9.6 pág 626:
1-4, 8-15, 19, 33, 34.