Material de apoyo para la sesión de inecuaciones

1. INECUACIONES
Mag.
Wilderd Alejandro
Cabanillas Campos

2. 29/09/2012
DEFINICIÓN:
 Una inecuación es un enunciado que incluye
alguna de las relaciones de orden:
 “mayor que” > ……………. 2x + 4 >3x – 9
 “menor que”< ……………. 3(x+4) < 2x + 1
4
 “mayor o igual que” …….. x 2 1 2 x
3
 “menor o igual que” …….. m 2 m 8
4
2

3. 29/09/2012
INECUACIONES LINEALES
 Son aquellas en las cuales la variable tiene
grado uno.
 Se resuelven con un procedimiento muy
similar al de las ecuaciones lineales, es
decir, dejando las variables a un lado y los
números al otro, pasando a efectuar la
operación contraria.
 Se debe invertir la desigualdad si se pasa un
número negativo a multiplicar o dividir.
3

4. 29/09/2012
Intervalos
Desigualdad Notación Gráfica
a x b x [a;b
a b
a x b x [a ; b[
a b
a x b x ]a ; b
a b
a x b x ]a ; b a b
4

5. 29/09/2012
Desigualdad Notación Gráfica
x a x a; [
a
x a x ]- ;a
a
x a x ] a; [ a
x a x ]- ; a[ a
5

6. 29/09/2012
UNIÓN E INTERSECCIÓN
Sean: A= ]-3; 7] y B = [0; [
A B
A B
-3 0 7
A B
A B
-3 0 7
6

7. 29/09/2012
EJEMPLO:
4( x 1) 2 x 8
4x 4 2x 8
4x 2x 8 4 S , 6
2x 12
12
x
2 -6
x 6
7

8. 29/09/2012
Solución de la inecuación
Es el conjunto de valores de la variable que hacen
verdadera la desigualdad.
Estrategia de resolución
Ejemplo: Resuelva: 2x + 1 > 2 + (x - 3)
Despeje la incógnita 2x + 1 > 2 + x – 3
aplicando propiedades. x>-2
Represente gráficamente
la solución. -2
Exprese el C.S en forma
de intervalo C.S 2;
8

9. 29/09/2012
Ejemplo:
x 1 1
Resuelva: 2x
2 4 3
4x 2 6x 1
12 x 6 24 x 4
Despeje la incógnita 4 3
aplicando propiedades.
5
12 x 10 x
6
Represente gráficamente
la solución.
5
6
Exprese el C.S en forma 5
C.S ;
de intervalo 6
9

10. 29/09/2012
TENER PRESENTE:
Cuando en una inecuación CUIDAD
O
se pasa a multiplicar o a
dividir un número negativo
al otro lado, se debe invertir
la desigualdad
10

11. 29/09/2012
EJEMPLO
2x 1 1 3 5x
1
3 2 2
2(2 x 1) 3 6 3(3 5x) S
8
,
6 6 11
4x + 2 + 3 < 6 – 9 + 15x
4x – 15x < 6 – 9 – 2 – 3
–11x < –8
x >8 8
11
11
11

12. EJEMPLO
Sean las inecuaciones:
1.- 2 + x ≥ 4 2.- 2x ≤ x -5 3.- x >x+2
SOLUCIONES:
1.- 2+x ≥4  x ≥4–2  x ≥2
Solución = [ 2, + ∞ )
2.- 2x < x -5  2x – x < - 5  x <-5
Solución = ( - ∞, - 5 )
3.- x > x + 2  x - x > 2  0 > 2
FALSO
Solución = Ø (Conjunto vacío)

13. EJEMPLO
Sea la inecuación:
2–x x–3
-------- – ----------- + 2 > x
5 6
SOLUCIÓN:
2–x x–3
-------- – ----------- + 2 > x
5 6
6(2 – x) – 5( x – 3 )
----------------------------- + 2 >x
30
12 – 6x – 5x + 15 + 60 > 30x
87 > 41x  x < 87/41
Solución = (- ∞ , 87/41)

14. EJEMPLO
Sean las inecuaciones:
x–1 x
------------ + 2 < ------
5 3
SOLUCIONES:
3.(x – 1) + 30 5.x
----------------------- < ---------
15 15
3.(x – 1) + 30 < 5.x
3.x – 3 + 30 < 5.x
– 3 + 30 < 5.x – 3.x
27 < 2.x  x > 13,5
Solución = ( 13,5 ; ∞ )

15. 29/09/2012
Inecuaciones Cuadráticas
Una inecuación de segundo grado con una incógnita es
aquella desigualdad condicional que reducida a su más
simple expresión tiene la forma
ax 2 bx c 0 ax 2 bx c 0
ax 2 bx c 0 ax 2 bx c 0 a 0
En cualquiera de los casos se debe tener en cuenta la
solución de la ecuación
ax 2 bx c 0
Procedimiento
La solución de la inecuación depende del sentido de la
desigualdad.
15

16. 29/09/2012
INECUACIÓN CUADRÁTICA
Previa Factorización
(x a)( x b) 0 (x a)( x b) 0
Unión de intervalos
señalados con signo Intervalo con signo
positivos negativo
a b a b
C.S = ]- ;a] [b; [ C.S = [a; b]
16

17. EJERCICIOS
29/09/2012
Encuentre el conjunto solución de las siguientes
inecuaciones:
2
a) x x 6 0
b) x 2 x 13 2x 3
c) x 2 3x 2 0
2
d) x 4x 4 0
e) 5 x 4 2x2 0
2
f)x 4x 4 0
g) x2 x 13 2x 3
h) 3x 2 x 6 0
17

18. 29/09/2012
INECUACIONES SIMULTÁNEAS
 Son aquellas en las cuales la variable está
entre dos valores “a” y “b”
 Ejemplo
4 x 7
S 4,7 -4 7
18

19. 29/09/2012
EJEMPLO:
x 12 3x 20 x
x 12 3x 3x < 20 + x
12 3x x 3x – x < 20
2x < 20
12 2x x < 10
6 x S 6,10
6 10
19

20. 29/09/2012
EJEMPLO:
3x 2 2x 1 x 6
3x+2 > 2x + 1 2x 1 x 6
3x – 2x > 1 – 2 2x x 6 1
x > –1 x 7
S 1,
-7 -1
20

21. 29/09/2012
EJEMPLO:
2x 4 x 5 2x
2x 4 x 5
x 5 2x
2x x 5 4 5 2x x
x 9 5 x
S
-9 -5
21

22. 29/09/2012
Encontrar el número entero X que cumple con la siguiente igualdad
𝑥 12 𝑥+1
< <
𝑥 + 1 19 𝑥+2
𝑥 12 12 𝑥+1
< <
19 𝑥+2
𝑥 + 1 19
12𝑥 + 24 < 19𝑥 + 19
19𝑥 < 12𝑥 + 12
−7𝑥 < −5
7𝑥 < 12
5
12 𝑥>
𝑥< 5 12 7
7 < 𝑥<
7 7
𝑥𝑒𝑠 1
22

23. 29/09/2012
EJEMPLO:
3𝑥 𝑥 40𝑥 − 10 + 15𝑥 − 8 + 2𝑥
1− 1− >2
2 4 40
𝑥− − >2
4 5
SOLUCIÓN 57𝑥 > 80 + 18
2−3𝑥 4−𝑥
2 4 57𝑥 > 98
𝑥− − >2
4 5 98
𝑥>
57
2 − 3𝑥 4 − 𝑥
𝑥− − >2
8 20
1,7 ∞
23

24. EJEMPLO: 29/09/2012
Se desea contar cierto lote de vacunas contra la gripe AH1-N1, al
hacerlo se conto de 4 en 4 no pudiendo completar 23 grupos,
cuando se hizo de 9 en 9 se completo 10 grupos y quedo un
sobrante ¿Cuántas vacunas tiene el lote?
SOLUCIÓN
𝑥
X = número de vacunas
< 23 → 𝑥 < 92
4
𝑥
> 10 → 𝑥 > 90
9
90 < 𝑥 < 92
𝑥 = 91
24

25. 29/09/2012
Rubí dispone de e32 soles para ir al cine con sus primas;
si compra entradas de S/. 5:00 le falta dinero y si compra
entradas de S/. 4:00 le sobra dinero ¿Cuál es el número de
primas que invito Rubí?
SOLUCIÓN
De I y II se deduce que debe ser un número
5𝑥 > 32 Le falta dinero entero
32 6,4 < 𝑥 < 8
𝑥>
5 𝑥=7
……
𝑥 > 6,4 .I 𝑥−1=6
Le sobra
4𝑥 < 32 dinero
Menos Rubí
32
𝑥< N° de primas es
4 6
𝑥<8 …….I
I
25

26. 29/09/2012
OPCIONAL
26

27. 29/09/2012
INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
 I Caso:
valor absoluto “menor que” 0 tiene S =
Ejemplos:
1. 2 x 4 0
2
2. 3x 6 x 4 0
S
S
27

28. 29/09/2012
 II Caso: valor absoluto “menor o igual que”
0
 Tiene solución resolviendo la ecuación igual
a cero porque no puede ser negativo.
 Ejemplos:
28

29. 29/09/2012
1. 3x 5 0
3x 5 0
3x 5 5
5 S
x 3
3
29

30. 29/09/2012
2
2. x 4x 3 0
2
x 4x 3 0
( x 3)( x 1) 0 S 3, 1
x 3, x 1
30

31. 29/09/2012
 III Caso: valor absoluto “mayor o igual que” 0
 Tiene solución S = R
 Esto significa que cualquier número real sirve para
su solución, dado que siempre va a dar un resultado
mayor o igual que 0
31

32. 29/09/2012
EJEMPLOS:
1. 3x 2 0 2
2. 4 x 8x 1 0
S
S
32

33. 29/09/2012
 IV Caso: valor absoluto “mayor que” 0
 Tiene soluciónS x / xanulaelvalorabsoluto
 Esto significa que para cualquier número real
se tiene una solución mayor que 0, pero
deben eliminarse los valores donde se hace
igual a cero.
33

34. 29/09/2012
EJEMPLOS:
1. x 2 0
x+2=0
S 2
x=–2
34

35. 29/09/2012
2
2. x 4x 5 0
x 2
4x 5 0 S 1,5
x 5 x 1 0
x 5, x 1
35

36. 29/09/2012
 V Caso: valor absoluto “menor que” o
“menor o igual que” un número negativo.
 Tiene solución S
 Esto significa que ningún número hace
posible que un valor absoluto sea negativo.
36

37. 29/09/2012
EJEMPLOS:
1. 2 x 4 3
2
2. 4x 8 7
S
S
37

38. 29/09/2012
 VI Caso: valor absoluto “mayor que” o
“mayor o igual que” un número negativo.
 Tiene solución S = R
 Esto significa que cualquier número real
siempre tiene valor absoluto que no puede
ser negativo.
38

39. 29/09/2012
EJEMPLOS:
1. 3x 8 4
2. 2 x 9 1
S=R
S=R
39

40. 29/09/2012
 VII Caso: valor absoluto “menor que” o
“menor o igual que” un número positivo.
 Se elimina el valor absoluto y se resuelven
las inecuaciones simultáneas entre el
negativo y el positivo.
 La solución es un intervalo.
40

41. 29/09/2012
EJEMPLOS:
1. 2x 4 3
3 2x 4 3 -7/2 -1/2
3 4 2x 3 4 7 1
7 2x 1 S ,
2 2
7 1
x
2 2
41

42. 29/09/2012
2. x 1 2
2 x 1 2 -1 3
2 1 x 2 1
S 1,3
1 x 3
42

43. 29/09/2012
 VIII Caso: valor absoluto “mayor que” o
“mayor o igual que” un número positivo.
 Se resuelven dos inecuaciones: una mayor
que el positivo y otra menor que el negativo.
 La solución son dos intervalos.
43

44. 29/09/2012
EJEMPLOS:
1. 2 x 3 1
2x 3 1 2x 3 1
2x 1 3 2x 1 3
2x 4
2x 2
4
x
2 x
2 2
x 1 x 2
44

45. 29/09/2012
x 2 x 1
-2 -1
S , 2U 1,
45

46. 29/09/2012
6x 9
2. 2
3
6x 9
2 6x 9
3 2
3
2x 3 2 2x 3 2
2x 2 3 2x 2 3
2x 1 2x 5
1 5
x x
2 2
46

47. 29/09/2012
5 1
x x
2 2
-5/2 -1/2
5 1
S , U ,
2 2
47

48. 29/09/2012
RESUMEN:
S
<0
< negativo
negativo
48

49. 29/09/2012
S
0
negativo
> negativo
49

50. 29/09/2012
S = números que lo hacen cero
0
S = R – números que lo hacen cero
>0
50

51. 29/09/2012
S = un intervalo
< positivo
positivo
Recuerde: se quita el valor absoluto y se
resuelven las inecuaciones simultáneas
entre el negativo y el positivo.
51

52. 29/09/2012
S = dos intervalos
> positivo
positivo
Recuerde: Se resuelven dos inecuaciones
independientes, mayor que el positivo y
menor que el negativo.
52

53. RESUELVE Y TRAZA LA GRÁFICA
29/09/2012
DE LA SOLUCIÓN
 |x- 2| ≥ 3
 5x 3 < 4
2
 | -2x + 2 | - 1 > 5
 |x-7| ≤ 5
2
 | -3x + 6 | + 8 > 1
 | 2x | + 5 < 3
53