El documento explica las inecuaciones, que son desigualdades donde hay una o más cantidades desconocidas. Describe las propiedades de las desigualdades y cómo resolver inecuaciones lineales, cuadráticas, fraccionarias e irracionales. Explica el método de los puntos críticos para resolver inecuaciones polinomiales.
1. INECUACIONES
Es una desigualdad en la que hay una o mas cantidades desconocidas
(incógnitas) y que solo se verifica para determinados valores de las
incógnitas, o tal vez nunca se verifica.
e Desigualda d
x3 2 x
Inecuación
y seny y
Conjunto Solución (C.S.)
Ejemplos:
1) 2x + 1 > 7
x>3 C.S. = 3 ; +
2) x2 + (x + 1)2 + (x + 2)2 + … + (x + 100)2 + 3 > 0 C.S. = R
1
2. PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES
1.Si a los dos miembros de una desigualdad se les suma o resta una
misma cantidad el sentido de la desigualdad no varía.
Si a>b=> a c > b c
2.Si a los dos miembros de una desigualdad se les multiplica o divide
por una misma cantidad positiva, el sentido de la desigualdad no
varía.
Si a > b y c > 0
3. Si a los dos miembros de una desigualdad se les multiplica o divide
por una misma cantidad negativa, el sentido de la desigualdad se
invierte.
ac bc
4. Si a > b y c < 0
a/c b/c
2
3. 5. Si de tres cantidades, la primera es mayor que la segunda y la
segunda mayor que la tercera, entonces la primera es mayor que la
tercera.
Si a > b y b > c a > b > c a > c
6. Si se suman miembro a miembro dos o varias desigualdades del
mismo sentido, como resultado se obtiene una desigualdad del mismo
sentido.
Si a > b y c < d a – c > b + d
7 .Si se restan miembro a miembro dos desigualdades de sentido
contrario, como resultado se obtiene una desigualdad del mismo
sentido que la desigualdad minuendo.
Si a>b y c < d a-c > b-d
8. Si se multiplica miembro a miembro dos o varias desigualdades del
mismo sentido cuyos miembros son positivos, como resultado se
obtiene una desigualdad, del mismo sentido.
Si a > b siendo b > 0 y c > d siendo d > 0 ac > bd 3
En consecuencia: Si a > b siendo b > O => an > bn
4. 9. Si se dividen miembro a miembro dos desigualdades de sentido
contrario, cuyos miembros son positivos, como resultados se obtiene
a b
una desigualdad del mismo sentido que la desigualdad dividiendo.
c d
Si a > b siendo b > 0 y c < d siendo c > 0
10.Si los dos miembros de una desigualdad se eleva a una misma
potencia de grado impar, el sentido de la desigualdad no varía.
Si a > b ^ a2n+1>b2n+l
11.Si se eleva a una misma potencia par los dos miembros de una
desigualdad en la cual sus dos miembros son negativos, se obtiene
una desigualdad de sentido contrario.
Si a > b siendo
12.Si se eleva a una misma potencia par los miembros de una
desigualdad en la cual uno de sus miembros es positivo y uno
negativo, no se puede predecir el sentido de la desigualdad.
Si a > b siendo
13.Si a los dos miembros de una desigualdad se le extrae una misma
4
raíz de grado impar,nel sentido de la desigualdad no varía.
2n 1
Si a > b
a 2 1b
5. Punto Crítico
En la inecuación:
P( x ) 0 ó P( x ) 0 ó P( x ) 0 ó P( x ) 0
P(x) : Polinomios
Los puntos críticos son las raíces de P (x), es decir:
" " es punto crítico P( x ) 0
Ejemplo:
P(x) = (x + 3)(x + 4)(x – 2) < 0
Puntos Críticos: -3 ; -4 ; 2 5
6. MÉTODO DE LOS PUNTOS CRÍTICOS
En la inecuación polinomial
a(x – x1)(x – x2) …… (x – xn) > 0
1) Garantizar que coeficiente principal = a > 0; en caso contrario, multiplicar por -1.
2) Hallamos los puntos críticos y los ubicamos ordenados en la recta.
+ +
......
xn x3 x2 x1
Si : P( x ) 0 Si : P( x ) 0
ZONA ZONA
ó C.S. ó C.S.
POSITIVA ( ) NEGATIVA ( )
P( x ) 0 P( x ) 0
6
9. Ejemplo:
2 2
a x + b < b x +a
Si: 0< a < b a–b<0
Solución:
( ) ( )
(a b)(a b) x (a b)
(a b )x 1
1
x
a b
INECUACIÓN CUADRATICA
P( x ) ax 2 bx c 0 ; a 0
Resolución:
1) 0 TRINOMIO CUADRADOPERFECTO
Donde: : discriminante 9
= b2 – 4ac
11. 2) 0 METODO DE LOS PUNTOS CRITICOS
Ejemplos:
2
1) x – 13x + 36 < 0 (x – 4)(x – 9) < 0 C.S. = 4 ; 9
x -9
x -4
+ +
4 9
2
2) x – 2x – 2 0
2
= 12 > 0. Hallamos los puntos críticos: x – 2x – 2 = 0
2 12
x
+ + 2
1 3
1 3 1 3
11
C.S. = - ;1 3 1+ 3;+
12. INECUACION FRACCIONARIA
P( x )
0
Q( x )
Resolución:
1) C. A
V. : Q(x) 0
Conjunto de v alores
Admisibles
P( x ) 2
2) 2
Q( x ) 0.Q (X)
Q( x )
P( x ) Q( x ) 0
12
13. Ejemplos: Resolver las siguientes inecuaciones:
x 2
1) 0
x 3
. C.V.A. : x -3
x 2
. (x 3)2 0 (x 3)2
x 3
(x – 2)(x + 3) 0
C.S.* = -3 ; 2
. C.S. = C.V.A C.S.*
C.S. = -3 ; 2
(x 1)( x 2)
2) 0
( x 3)
. x -3
+ +
-3 -1 2 13
C.S. = -3 ; -1 2,+
19. 7. Se desea contar cierto lote de vacunas, al hacerlo se conto de 4 en 4,
no pudiendo completar 23 grupos, cuando se hizo de9 en 9 se
completaron 10 grupos y quedo un sobrante ¿Cuántas vacunas tiene
el lote?
SOLUCIÓN
X = N de vacunas
En el intervalo X solo puede tomar un
valor en el conjunto de los números
enteros 19
20. 8. Rubí dispone de S/.32.00 nuevos soles para asistir al cine con sus
primas, si compra entradas de S/.5.00 le falta dinero y si compra
entradas de S/.4.00 le sobra dinero. ¿Cuál es número de primas que
invito Rubí?
SOLUCIÓN:
Supongamos que el N de personas que asisten al cine son “x”
Si compra entradas de S/.5.00 le falta dinero
Si compra entradas de S/.4.00 le sobra dinero
De lo anterior se observa que “x” pertenece al intervalo
El único número entero en el intervalo es:
Por tanto se afirma que: 20
RESPUESTA: Rubí invito 6 primas
21. PROBLEMAS PARA LA CLASE
01) Sean:
A = {x R / x -2 v x 3}
B = {x R / -2 x 3}
Hallar A U B
02) Del problema anterior, hallar A B
03) Si a + 3 0. calcular el mínimo valor de (a + 5)
04) Resolver le inecuación: x +8 < 3x + 4
05) Hallar el mayor valor de “x” verifica: 4x – 56 16 – 2x
21