Particiones con repetición o composición de enteros

PARTICIONES CON REPETICIÓN –COMPOSICIÓN DE ENTEROS
(Obtención a partir de sus valores suma)
(Segunda exploración complementaria)
Enrique R. Acosta R. Diciembre 2017

PARTICIONES CON REPETICIÓN O COMPOSICIÓN DE ENTEROS
Particiones de un número entero m, ( 𝒎 ≥ 𝟎)
La partición de un número entero m, es la forma de descomponerlo en forma de suma, con uno o
más sumandos positivos (a los que se les conoce como partes). La permutación de los sumandos
se considera como la misma partición. Por ejemplo, el número 4 tiene 5 particiones: 4, 3+1, 2+2,
2+1+1 y1+1+1+1.Engeneral la permutación de los sumandos se considera como la misma partición
(el orden no tiene relevancia).
Las particiones de m en sí, pueden considerarse como grupos de números enteros o de cifras
significativas (c.s.), cuya suma constante es igual a m.
Así p. ej. las particiones de 6, corresponden a los siguientes grupos de valores, que hemos
organizado en la tabla que se muestra a continuación:
Cifras significativas (c.s) Particiones de 6 totales
1 6 1
2 1.5
2.4
3.3
3
3 1.1.4
1.2.3
2.2.2
3
4 1.1.1.3
1.1.2.2
2
5 1.1.1.1.2 1
6 1.1.1.1.1.1 1
Total de particiones de 6 11
Donde los elementos de cada grupo posible, suman siempre 6
A la función que da como resultado la cantidad de particiones para un número m se le conoce
como función partición y está representado por P (m). Por convención, P (0) = 1 y P (m) = 0,
para m< 0. Así para m=6, sería: 𝑃(6) = 11

Particiones de un número entero m, (𝒎 ≥ 𝟎), en r enteros
La cantidad de particiones correspondientes a los diferentes casos posibles de las particiones de
un entero m, en grupos de r cifras significativas que pueden variar entre 1 y m, podemos
identificarlos mediante la expresión 𝑷 𝒓( 𝒎), donde r podría ir variando sucesivamente desde r=1
hasta r=m. Así p.ej. en nuestro caso para m=6, tendríamos:
(r) Particiones de 6 𝑃𝑟(6)
1 6 1
2 1.5
2.4
3.3
3
3 1.1.4
1.2.3
2.2.2
3
4 1.1.1.3
1.1.2.2
2
5 1.1.1.1.2 1
6 1.1.1.1.1.1 1
Total de particiones de 6 11
DE donde se deduce que: 𝑃(6) = ∑ 𝑃𝑟(6)6
𝑟=1 = 1+3+3+2+1+1=11, y en forma general se tiene:
𝑷( 𝒎) = ∑ 𝑷 𝒓( 𝒎)
𝒎
𝒓=𝟏
Particiones Discretas
Particiones Discretas de un entero m, (𝒎 ≥ 𝟎), en r cifras (𝟎 < 𝒓 ≤ 𝒎)
Denominamos así, aquellas particiones de un entero m, (𝑚 ≥ 0), en grupos todos de r cifras c/u,
cuyos valores pueden variar entre 0 y m, pero que en conjunto en cada grupo suman m, y donde
si el número de cifras significativas (c.s.) que lo verifican en un grupo, es menor que r, los lugares o
valores faltantes para completar los r elementos del grupo, se asumen como ceros. Por ejemplo,
las particiones Discretas de 6 en 4, estarán dadas por los siguientes grupos que se muestran en la
tabla a continuación;

Cifras Significativas (c.s.) Particiones Discretas totales
1 0.0.0.6 1
2 0.0.1.5
0.0.2.4
0.0.3.3 3
3 0.1.1.4
0.1.2.3
0.2.2.2 3
4 1.1.1.3
1.1.2.2 2
Total Particiones Discretas de 6 en 4 𝑃4(6) = 9
En total el número de particiones discretas de 6 en 4, será:
𝑃4(6) = 1 + 3 + 3 + 2 = 9, cuya valor es numéricamente igual a la suma de los primeros 4 casos
de 𝑃(6)
Este tipo de particiones es esencial al considerar la obtención de los coeficientes multinomiales
básicos (C.B), de un polinomio potenciado tal como ( 𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥 𝑟) 𝑚
, y para determinar el n⁰
de veces en que dichos Coeficientes Básicos se repiten en el desarrollo de dicho polinomio
potenciado, como hemos ya estudiado en 2 trabajos anteriores (ver Bibliografía).
Para evitar la ambigüedad y posibles confusiones, hemos considerado más conveniente, que al
número de Particiones Discretas de m en r, siendo r el n⁰ fijo de cifras o elementos de cada grupo
o partición, que puede incluir al cero, las denominemos de ahora en adelante como 𝑷𝑫 𝒓( 𝒎), para
diferenciarlas de las particiones comunes de m en r , 𝑷 𝒓(m).
En dichos trabajos, hemos desarrollado diversos métodos para la determinación y el cálculo de las
Particiones Discretas para cualquier par de valores enteros positivos m, y r, siendo 𝑟 ≤ 𝑚, basados
en su determinación por ciclos de columnas, o por secuencias internas de una secuencia principal,
etc. Pero la “joya de la corona”, lo constituye la tabla triangular del número de Particiones
Discretas de m en r, con r cifras significativas para cada caso 𝒐 < 𝒓 ≤ 𝒎, que podemos extender
fácilmente hasta el valor de m que queramos. La tabla permite obtener de forma inmediata y
sencilla, cualquiera de los tres tipos de particiones que hemos definido previamente:
Particiones totales de m, P(m) ,las Particiones de m en r cifras significativas, 𝑷 𝒓(𝒎), y
por supuesto, las Particiones Discretas de m en r, 𝑷𝑫 𝒓( 𝒎) ,como se muestra en los
ejemplos al pie de la tabla.
Por considerarlo un ítem excepcional, incluimos dicha tabla con un anexo explicativo de
su construcción a partir del valor inicial 𝑷( 𝟎) = 𝟏

TABLA DEL N⁰ DE PARTICIONES DE m EN r, CON r CIFRAS SIGNIFICATIVAS PARA CADA CASO DE
𝟎 < 𝒓 ≤ 𝒎
PARA 𝒎 = 𝟎, 𝒉𝒂𝒔𝒕𝒂 𝒎 = 𝟏𝟓
r
m
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 N⁰T
P.D.
0 1 1
1 1 1
2 1 1 2
3 1 1 1 3
4 1 2 1 1 5
5 1 2 2 1 1 7
6 1 3 3 2 1 1 11
7 1 3 4 3 2 1 1 15
8 1 4 5 5 3 2 1 1 22
9 1 4 7 6 5 3 2 1 1 30
10 1 5 8 9 7 5 3 2 1 1 42
11 1 5 10 11 10 7 5 3 2 1 1 56
12 1 6 12 15 13 11 7 5 3 2 1 1 77
13 1 6 14 18 18 14 11 7 5 3 2 1 1 101
14 1 7 16 23 23 20 15 11 7 5 3 2 1 1 135
15 1 7 19 27 30 26 21 15 11 7 5 3 2 1 1 176
Ejemplos:
Si 𝒓 = 𝒎, resulta: 𝑷(𝒎) = 𝑷𝑫 𝒓(𝒎), p.ej. para m= r =8, 𝑷(𝟖) = 𝑷𝑫 𝟖(𝟖) = ∑ 𝑷 𝒓(𝟖)𝟖
𝒓=𝟏 = 𝟏 + 𝟒 + 𝟓 +
𝟓 + 𝟑 + 𝟐 + 𝟏 + 𝟏 = 𝟐𝟐
Si 𝒓 < 𝒎, p.ej. 𝒓 = 𝟒, 𝒚 𝒎 = 𝟖, entonces, 𝑷 𝟒(𝟖) = 𝟓, corresponde al 4⁰ valor en la fila 8
Mientras que 𝑷𝑫 𝟒(𝟖) = 𝟏 + 𝟒 + 𝟓 + 𝟓 = 𝟏𝟓, corresponde a la suma de los primeros 4 valores de la fila 8
Analizando la tabla, notamos las siguientes propiedades:
1. Los elementos de la primera columna, son todos iguales a la unidad
2. Los elementos de la segunda columna, aumentan secuencialmente una unidad cada dos
filas, siguiendo los valores de la sucesión natural 1,2,3, … , 𝑛, a partir de 𝑚 = 2
3. Los elementos de las 2 primeras diagonales son todos unitarios
4. Cada una de las diagonales siguientes comienzan con la unidad y contienen valores
constantes, que aparecen en ellas, al avanzar diagonalmente un número de lugares que
sigue la sucesión natural 1,2,3,… .Los dos valores que preceden en cada una de estas
diagonales al valor constante, forman con este, una sucesión aritmética de razón igual a la
unidad.

5. Los valores constantes en cada diagonal, forman una sucesión cuyos valores coinciden con
los valores correspondientes a la sucesión de valores totales de Particiones Discretas para
cada caso de 𝑟 = 𝑚, es decir: 1,1,2,3,5,7,11,15,22, …resaltados en verde en la tabla.
6. Como podemos comprobar de esta tabla se pueden obtener el total de P.D de los casos
donde 𝑟 ≤ 𝑚, así para el caso de nuestro ejemplo anterior, las Particiones Discretas de 15,
en 5, ( 𝑷 𝟓( 𝟏𝟓) ), se obtienen al sumar los primeros 5 valores de la fila correspondiente a
m=15, es decir: 𝑷 𝟓( 𝟏𝟓) = 𝟏 + 𝟕 + 𝟏𝟗 + 𝟐𝟕 + 𝟑𝟎 = 𝟖𝟒, como ya habíamos calculado
previamente al desarrollar nuestras expresiones de cálculo por secuencias internas.
7. La propiedad fundamental, que nos permite construir de manera inmediata la tabla, o
triángulo de valores de las Particiones Discretas de m, en r ( 𝑃𝑟( 𝑚)), es la siguiente:
La suma de los valores del número de P.D. de r cifras significativas contenidos en cada fila
horizontal correspondientes a cada valor de m, según el número de columnas que
consideremos, da como resultado una sucesión de valores que se corresponden con los
valores constitutivos de la columna de igual número o valor de r, siempre comenzando
dicha columna en 𝒎 = 𝒓
Esta misma propiedad puede expresarse también de esta manera equivalente:
El resultado de sumar los primeros r elementos de una fila 𝒎, se corresponde con el valor
del elemento de lugar r, de la fila 𝒎 + 𝒓.
Así p.ej. Si sumamos los primeros 4 elementos de la fila m= 6, obtenemos el valor
1+3+3+2= 9, que corresponde al valor del 4⁰ elemento de la fila m=6+4=10
Esta última propiedad, permite desarrollar, o construir el triángulo de valores de P.D de
m en r, contenidos en la tabla, hasta cualquier valor entero de 𝒓 ≤ 𝒎, de manera
sistemática e inmediata. Siendo conveniente la utilización de un sencillo programa de
computación “Ad hoc” cuando se trate de números enteros de cierta envergadura.
Estos resultados además, nos permiten obtener el número de Coeficientes Básicos de un
Polinomio Potenciado, tal como ( 𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 + ⋯ + 𝒙 𝒓) 𝒎
, de una manera sencilla e inmediata, sin
necesidad de desarrollarlo.
ANEXO I
Explicación del contenido de la tabla y del procedimiento para la construcción del triángulo de
valores de P.D. de m en r ( 𝑷 𝒓( 𝒎) ), con r cifras significativas ( c.s ), para cada caso de 𝟎 < 𝒓 ≤ 𝒎

Ejemplo de contenidos, para para los valores correspondientes a cada caso de r posible, para
𝑚 = 0, hasta 𝑚 = 5
( 𝑟, 𝑚) 𝑃. 𝐷. 𝑟 ( 𝑚) N⁰c.s 𝑁0
𝑃. 𝐷𝑟( 𝑚) Total 𝑑𝑒
𝑃. 𝐷. 𝑟 ( 𝑚)
(1,0) 1 1 1 1
(1,1) 1 1 1 1
(1,2)
(2,2)
2
1.1
1
2
1
1 2
(1,3)
(2,3)
(3,3)
3
1.2
1.1.1
1
2
3
1
1
1 3
(1,4)
(2,4)
(3,4)
(4,4)
4 1 1
5
1.3
2.2
2
22
1.1.1 3 1
1.1.1.1 4 1
(1,5)
(2,5)
(3,5)
(4,5)
(5,5)
5 1 1
7
1.4
2.3
2
22
1.1.3
1.2.2
3
23
1.1.1.2 4 1
1.1.1.1.1 5 1
La penúltima columna de esta tabla se corresponde con los valores contenidos en las primeras 6
filas del triángulo de valores de P.D. de m en r ( 𝑃𝑟( 𝑚) ), desde 𝑚 = 0, hasta 𝑚 = 5, y la última
columna, se corresponde con la última columna del triángulo o columna de valores totales de P.D
de cada caso de m, igualmente, desde 𝑚 = 0, hasta 𝑚 = 5
La construcción por columnas del triángulo de 𝑷𝑫 𝒓( 𝒎), se realiza de la
manera siguiente:
La primera columna, como ya hemos establecido, está constituida por valores todos iguales a la
unidad, independientemente del caso de 𝑚 ≥ 0. Pero por razones didácticas vamos a proceder a
su construcción solo partiendo del valor convenido 𝑷( 𝟎) = 𝑷 𝟏(𝟎) = 𝟏, correspondiente a r=1 y
m=0.
Para calcular el valor que corresponde a la primera columna (r=1), para m=1, sumamos todos los
valores contenidos en la primera fila (m=0), hasta la 1ª columna, con lo cual obtenemos en este
caso, un solo valor igual a la unidad. Este valor será el primer valor que corresponde a la primera
columna para m=1

De manera similar, procedemos a sumar todos los valores contenidos en la 2ª fila (m=1), hasta la 1ª
columna, con lo cual, de nuevo obtenemos un solo valor igual a la unidad. Este valor será el segundo
valor que corresponde a la 1ª columna, para m=2
Siguiendo este procedimiento, encontraremos que todos y c/u de los valores de la primera columna
son iguales a la unidad, para cualquier valor de 𝑚 ≥ 0.
Conocidos los valores de esta1ª columna, para construir la 2ª columna aplicamos un procedimiento
totalmente análogo:
Para ello, partimos de los valores contenidos en la1ª fila del triángulo (m=0), hasta la segunda
columna (r=2), cuya suma nos da de nuevo un valor igual a 1 + 0 = 1. Este valor, será el primer
valor de la 2ª columna, correspondiente a m=2, y r=2
A continuación, sumamos los valores contenidos en la 2ª fila del triángulo (m=1), hasta la 2ª
columna, con lo cual obtenemos un valor igual a 1 + 0 = 1. Este valor, será el segundo valor de la
2ª columna, correspondiente a m=3, y r=2
Ahora, sumamos los valores contenidos en la 3ª fila del triángulo (m=2), hasta la segunda columna,
con lo cual, obtenemos un valor igual a 1 + 1 = 2. Este valor, será el tercer valor de la 2ª columna,
correspondiente a m=4, y r=2
Aplicando este mismo procedimiento, podemos obtener todos los valores de la2ª columna, hasta el
m considerado, y conocidos los valores de la 1ª y 2ª columnas, podemos de manera recurrente,
aplicar el mismo procedimiento anterior para obtener los valores de la tercera columna.
Este método, puede aplicarse sucesivamente para obtener cada uno de los valores de las columnas
restantes de la tabla, y de este modo completar la construcción del triángulo de P.D. de m en r
, (𝑃𝑟( 𝑚) ), hasta el valor de m considerado.
La construcción de la tabla nos permite determinar “A priori”, cuantas Particiones Discretas de
1,2,…, r cifras significativas, corresponden al total de cada caso de m. Así p.ej. para m=5, tendremos:
r c.s P.D N⁰ P.D.
1 1 5 1
2 2 1.4
2.3 2
3 3 1.1.3
1.2.2 2
4 4 1.1.1.2 1
5 5 1.1.1.1.1 1
Total de P.D. para m=5 y r=5 7

Así mismo, nos permite determinar el n⁰ de P.D. de cualquier caso de m, donde 𝑟 ≤ 𝑚, por ejemplo,
para m=5, el número de P.D hasta r=3, será : 1+2+2=5, (ver tabla), lo cual se corresponde con el n⁰
de C.B. del polinomio potenciado ( 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3)5
, cuyos 5 valores son: 1, 5, 10, 20, 30, dados por:
P.D. C.B.
0.0.5 5! 0! 0! 5!⁄ = 1
0.1.4 5! 0! 1! 4! = 5⁄
0.2.3 5! 0! 2! 3!⁄ = 10
1.1.3 5! 1! 1! 3!⁄ = 20
1.2.2 5! 1! 2! 2!⁄ = 30
Para continuar con nuestra búsqueda, necesitamos recurrir de nuevo a nuestra fuente original: las
tablas de Valores Suma (V.S.), y los números de grupos ordenados por cada caso de m, y r ( N⁰𝑮 𝒓
𝒎
),
pero en esta ocasión, analizaremos cada caso, considerando todas las posibilidades adicionales
debidas a la permutación de los grupos resultantes
Valores Suma (VS), y Número de Grupos ordenados por cada caso de m y r ( N⁰𝑮 𝒓
𝒎
)
Se trata en este caso de obtener métodos y expresiones matemáticas que nos permitan determinar
cuáles, y calcular cuántos grupos (N⁰𝑮 𝒓
𝒎
) de r ≤ 𝑚 elementos c/u, pueden formarse con los
números del conjunto de los m primeros números naturales (𝑈 𝑚).donde dos grupos básicos se
diferencian al menos en un elemento y cada grupo, se caracteriza por el igual valor suma (VS) de sus
elementos.
Para cada valor de 𝑟 ≤ 𝑚, los [( 𝑚 − 1) 𝑟 + 1] valores suma diferente y posible de cada caso
considerado de r y m, podrán variar entre un VS mínimo igual a r, y un VS máximo igual a mxr
Inicialmente para su estudio, consideraremos el conjunto 𝑈9 = {1,2,3, … ,9}, entonces r podrá
tomar los valores r=1,2,3,...,9, y se tendrá: N⁰𝐺1
9
= 9, y N⁰𝐺9
9
= 1
Para sistematizar la obtención directa de resultados, hemos desarrollado un conjunto de cuadros o
tablas correspondientes a los grupos básicos ordenados y clasificados según sea la cantidad de sus
elementos constituyentes iguales o diferentes. Estos grupos básicos se originan a partir de todas
las permutaciones posibles o permutaciones con repetición de m elementos tomados r a r.
Tablas de Grupos, sus Valores Suma (VS), y Número de Grupos por cada caso (N⁰G)
CASO: m=9 ,y r=2
Valores suma posibles: (m-1)r+1= 8x2 +1 = 17 casos
𝑉𝑆 𝑚í𝑛 = 2 , 𝑉𝑆 𝑚á𝑥 = 18 ,
𝑉𝑆 𝑚á𝑥
𝑉𝑆 𝑚í𝑛
= 9
9 grupos con dos elementos iguales y sus valores suma (VS): 𝒎 = 𝟗
VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO
2 1,1 4 2,2 6 3,3 8 4,4 10 5,5 12 6,6 14 7,7 16 8,8 18 9,9

Resumen Totales
VS 2 4 6 8 10 12 14 16 18 (9)
N⁰G 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (9)
Cada uno de estos casos genera 𝑷 𝟐,𝟐=1 posibilidad (el propio grupo) Total :9x1=9
36 grupos con dos elementos diferentes entre sí y sus valores suma (VS): m(m-1)/2= 9x4=36
VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO Totales
3 1,2 1
4 1,3 5 2,3 2
5 1,4 6 2,4 7 3,4 3
6 1,5 7 2,5 8 3,5 9 4,5 4
7 1,6 8 2,6 9 3,6 10 4,6 11 5,6 5
8 1,7 9 2,7 10 3,7 11 4,7 12 5,7 13 6,7 6
9 1,8 10 2,8 11 3,8 12 4,8 13 5,8 14 6,8 15 7,8 7
10 1,9 11 2,9 12 3,9 13 4,9 14 5,9 15 6,9 16 7,9 17 8,9 8
Total de grupos : 𝑛(𝑛 − 1) 2⁄ = 36
Resumen Totales
VS 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 (15)
N⁰ Grupos 1 1 2 2 3 3 4 4 4 3 3 2 2 1 1 (36)
Cada uno de estos grupos genera 𝑷 𝟐 = 𝟐! = 𝟐 posibilidades o permutaciones. Total: 36x2=72
El total general de grupos del caso corresponde a: 9+72=81=𝟗 𝟐
CASO: m=9 , y r=3
Valores suma posibles: (m-1)r + 1 =8x3 +1=25 casos
𝑉𝑆 𝑚í𝑛 = 3 , 𝑉𝑆 𝑚á𝑥 = 27 ,
𝑉𝑆 𝑚á𝑥
𝑉𝑆 𝑚í𝑛
= 9
9 grupos con tres elementos iguales y sus valores suma (VS): m = 𝟗
3 1,1,1 6 2,2,2 9 3,3,3 12 4,4,4 15 5,5,5 18 6,6,6 21 7,7,7 24 8,8,8 27 9,9,9
Resumen Totales
VS 3 6 9 12 15 18 21 24 27 (9)
N⁰G 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (9)
Cada uno de estos grupos genera 𝑷 𝟑,𝟑=1 posibilidad (el propio grupo) Total: 9x1=9
72 grupos con dos elementos iguales y uno diferente y sus valores suma (VS): m(m-1)=9x8=72
4 1,1,2 5 2,2,1 7 3,3,1 9 4,4,1 11 5,5,1 13 6,6,1 15 7,7,1 17 8,8,1 19 9,9,1
5 1,1,3 7 2,2,3 8 3,3,2 10 4,4,2 12 5,5,2 14 6,6,2 16 7,7,2 18 8,8,2 20 9,9,2
6 1,1,4 8 2,2,4 10 3,3,4 11 4,4,3 13 5,5,3 15 6,6,3 17 7,7,3 19 8,8,3 21 9,9,3
7 1,1,5 9 2,2,5 11 3,3,5 13 4,4,5 14 5,5,4 16 6,6,4 18 7,7,4 20 8,8,4 22 9,9,4
8 1,1,6 10 2,2,6 12 3,3,6 14 4,4,6 16 5,5,6 17 6,6,5 19 7,7,5 21 8,8,5 23 9,9,5
9 1,1,7 11 2,2,7 13 3,3,7 15 4,4,7 17 5,5,7 19 6,6,7 20 7,7,6 22 8,8,6 24 9,9,6
10 1,1,8 12 2,2,8 14 3,3,8 16 4,4,8 18 5,5,8 20 6,6,8 22 7,7,8 23 8,8,7 25 9,9,7
11 1,1,9 13 2,2,9 15 3,3,9 17 4,4,9 19 5,5,9 21 6,6,9 23 7,7,9 25 8,8,9 26 9,9,8
Resumen Totales
VS 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 (23)
N⁰G 1 2 1 3 3 3 4 5 3 5 4 4 4 5 3 5 4 3 3 3 1 2 1 (72)
Cada uno de estos casos genera 𝑷 𝟑,𝟐,𝟏 = 𝟑 posibilidades o permutaciones. Total: 72x3=216
84 grupos con tres elementos, al menos con un elemento diferente, y sus valores suma (VS):
𝑪 𝟗,𝟑 = 𝟖𝟒 (Combinaciones)

VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO Totales
6 1,2,3 1
7 1,2,4 8 1,3,4 2
8 1,2,5 9 1,3,5 10 1,4,5 3
9 1,2,6 10 1,3,6 11 1,4,6 12 1,5,6 4
10 1,2,7 11 1,3,7 12 1,4,7 13 1,5,7 14 1,6,7 5
11 1,2,8 12 1,3,8 13 1,4,8 14 1,5,8 15 1,6,8 16 1,7,8 6
12 1,2,9 13 1,3,9 14 1,4,9 15 1,5,9 16 1,6,9 17 1,7,9 18 1,8,9 7 28
9 2,3,4 1
10 2,3,5 11 2,4,5 2
11 2,3,6 12 2,4,6 13 2,5,6 3
12 2,3,7 13 2,4,7 14 2,5,7 15 2,6,7 4
13 2,3,8 14 2,4,8 15 2,5,8 16 2,6,8 17 2,7,8 5
14 2,3,9 15 2,4,9 16 2,5,9 17 2,6,9 18 2,7,9 19 2,8,9 6 21
12 3,4,5 1
13 3,4,6 14 3,5,6 2
14 3,4,7 15 3,5,7 16 3,6,7 3
15 3,4,8 16 3,5,8 17 3,6,8 18 3,7,8 4
16 3,4,9 17 3,5,9 18 3,6,9 19 3,7,9 20 3,8,9 5 15
15 4,5,6 1
16 4,5,7 17 4,6,7 2
17 4,5,8 18 4,6,8 19 4,7,8 3
18 4,5,9 19 4,6,9 20 4,7,9 21 4,8,9 4 10
18 5,6,7 1
19 5,6,8 20 5,7,8 2
20 5,6,9 21 5,7,9 22 5,8,9 3 6
21 6,7,8 1
22 6,7,9 23 6,8,9 2 3
24 7,8,9 1 1
Total de grupos : 84
Resumen Totales
VS 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 (19)
N⁰G 1 1 2 3 4 5 7 7 8 8 8 7 7 5 4 3 2 1 1 (84)
Cada uno de estos grupos genera 𝑷 𝟑=3!=6 posibilidades o permutaciones. Total:
𝑪 𝟗,𝟑x6=84x6=50 (variaciones)
El total general de grupos del caso corresponde a: 9+216+504=729=𝟗 𝟑
CASO: m=9 , y r=4
Valores suma posibles: (m-1)r + 1=8x4 +1=33
𝑉𝑆 𝑚í𝑛 = 4 , 𝑉𝑆 𝑚á𝑥 = 36 ,
𝑉𝑆 𝑚á𝑥
𝑉𝑆 𝑚í𝑛
= 9
9 grupos con cuatro elementos iguales y sus valores suma (VS) 𝒎 = 𝟗
4 1,1,1,1 8 2,2,2,2 12 3,3,3,3 16 4,4,4,4 20 5,5,5,5 24 6,6,6,6 28 7,7,7,7 32 8,8,8,8 36 9,9,9,9
Resumen Totales
VS 4 8 12 16 20 24 28 32 36 (9)
N⁰G 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (9)
Cada uno de estos grupos genera 𝑷 𝟒,𝟒=1 posibilidad (el propio grupo) Total 𝑪 𝟗,𝟏 𝒙𝟏 = 𝟗𝒙𝟏 = 𝟗

36 grupos con dos pares de elementos iguales y sus valores suma (VS): 𝒎 (𝒎 − 𝟏)/𝟐 = 𝟑𝟔
VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO Totales
6 1,1,2,2 1
8 1,1,3,3 10 2,2,3,3 2
10 1,1,4,4 12 2,2,4,4 14 3,3,4,4 3
12 1,1,5,5 14 2,2,5,5 16 3,3,5,5 18 4,4,5,5 4
14 1,1,6,6 16 2,2,6,6 18 3,3,6,6 20 4,4,6,6 22 5,5,6,6 5
16 1,1,7,7 18 2,2,7,7 20 3,3,7,7 22 4,4,7,7 24 5,5,7,7 26 6,6,7,7 6
18 1,1,8,8 20 2,2,8,8 22 3,3,8,8 24 4,4,8,8 26 5,5,8,8 28 6,6,8,8 30 7,7,8,8 7
20 1,1,9,9 22 2,2,9,9 24 3,3,9,9 26 4,4,9,9 28 5,5,9,9 30 6,6,9,9 32 7,7,9,9 34 8,8,9,9 8
Total de grupos : 𝑛(𝑛 − 1) 2⁄ = 36
Resumen Totales
VS 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 (15)
N⁰G 1 1 2 2 3 3 4 4 4 3 3 2 2 1 1 (36)
Cada uno de estos grupos genera 𝑷 𝟒,𝟐,𝟐=6 posibilidades o permutaciones Total: = 𝟑𝟔𝒙𝟔 = 𝟐𝟏𝟔
72 grupos con tres elementos iguales y uno diferente, y sus valores suma (VS) : m(m-1)= 9x8=72
5 1,1,1,2 7 2,2,2,1 10 3,3,3,1 13 4,4,4,1 16 5,5,5,1 19 6,6,6,1 22 7,7,7,1 25 8,8,8,1 28 9,9,9,1
6 1,1,1,3 9 2,2,2,3 11 3,3,3,2 14 4,4,4,2 17 5,5,5,2 20 6,6,6,2 23 7,7,7,2 26 8,8,8,2 29 9,9,9,2
7 1,1,1,4 10 2,2,2,4 13 3,3,3,4 15 4,4,4,3 18 5,5,5,3 21 6,6,6,3 24 7,7,7,3 27 8,8,8,3 30 9,9,9,3
8 1,1,1,5 11 2,2,2,5 14 3,3,3,5 17 4,4,4,5 19 5,5,5,4 22 6,6,6,4 25 7,7,7,4 28 8,8,8,4 31 9,9,9,4
9 1,1,1,6 12 2,2,2,6 15 3,3,3,6 18 4,4,4,6 21 5,5,5,6 23 6,6,6,5 26 7,7,7,5 29 8,8,8,5 32 9,9,9,5
10 1,1,1,7 13 2,2,2,7 16 3,3,3,7 19 4,4,4,7 22 5,5,5,7 25 6,6,6,7 27 7,7,7,6 30 8,8,8,6 33 9,9,9,6
11 1,1,1,8 14 2,2,2,8 17 3,3,3,8 20 4,4,4,8 23 5,5,5,8 26 6,6,6,8 29 7,7,7,8 31 8,8,8,7 34 9,9,9,7
12 1,1,1,9 15 2,2,2,9 18 3,3,3,9 21 4,4,4,9 24 5,5,5,9 27 6,6,6,9 30 7,7,7,9 33 8,8,8,9 35 9,9,9,8
Resumen Totales
VS 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 (31)
N⁰G 1 1 2 1 2 3 3 2 3 3 3 2 3 3 3 2 3 3 3 2 3 3 3 2 3 3 2 1 2 1 1 (72)
Cada uno de estos grupos genera 𝑷 𝟒,𝟑,𝟏 = 𝟒 posibilidades o permutaciones. Total: 72x4=288
252 grupos con dos elementos iguales y dos diferentes y sus valores suma (VS):
m(m-1)(m-2)/2=9x8x7/2= 9x28=252
VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO Totales
7 1,1,2,3 1
8 1,1,2,4 9 1,1,3,4 2
9 1,1,2,5 10 1,1,3,5 11 1,1,4,5 3
10 1,1,2,6 11 1,1,3,6 12 1,1,4,6 13 1,1,5,6 4
11 1,1,2,7 12 1,1,3,7 13 1,1,4,7 14 1,1,5,7 15 1,1,6,7 5
12 1,1,2,8 13 1,1,3,8 14 1,1,4,8 15 1,1,5,8 16 1,1,6,8 17 1,1,7,8 6
13 1,1,2,9 14 1,1,3,9 15 1,1,4,9 16 1,1,5,9 17 1,1,6,9 18 1,1,7,9 19 1,1,8,9 7 28
8 2,2,1,3 1
9 2,2,1,4 11 2,2,3,4 2
10 2,2,1,5 12 2,2,3,5 13 2,2,4,5 3
11 2,2,1,6 13 2,2,3,6 14 2,2,4,6 15 2,2,5,6 4
12 2,2,1,7 14 2,2,3,7 15 2,2,4,7 16 2,2,5,7 17 2,2,6,7 5
13 2,2,1,8 15 2,2,3,8 16 2,2,4,8 17 2,2,5,8 18 2,2,6,8 19 2,2,7,8 6
14 2,2,1,9 16 2,2,3,9 17 2,2,4,9 18 2,2,5,9 19 2,2,6,9 20 2,2,7,9 21 2,2,8,9 7 28
9 3,3,1,2 1
11 3,3,1,4 12 3,3,2,4 2

12 3,3,1,5 13 3,3,2,5 15 3,3,4,5 3
13 3,3,1,6 14 3,3,2,6 16 3,3,4,6 17 3,3,5,6 4
14 3,3,1,7 15 3,3,2,7 17 3,3,4,7 18 3,3,5,7 19 3,3,6,7 5
15 3,3,1,8 16 3,3,2,8 18 3,3,4,8 19 3,3,5,8 20 3,3,6,8 21 3,3,7,8 6
16 3,3,1,9 17 3,3,2,9 19 3,3,4,9 20 3,3,5,9 21 3,3,6,9 22 3,3,7,9 23 3,3,8,9 7 28
11 4,4,1,2 1
12 4,4,1,3 13 4,4,2,3 2
14 4,4,1,5 15 4,4,2,5 16 4,4,3,5 3
15 4,4,1,6 16 4,4,2,6 17 4,4,3,6 19 4,4,5,6 4
16 4,4,1,7 17 4,4,2,7 18 4,4,3,7 20 4,4,5,7 21 4,4,6, 5
17 4,4,1,8 18 4,4,2,8 19 4,4,3,8 21 4,4,5,8 22 4,4,6, 23 4,4,7,8 6
18 4,4,1,9 19 4,4,2,9 20 4,4,3,9 22 4,4,5,9 23 4,4,6, 24 4,4,7,9 25 4,4,8,9 7 28
13 5,5,1,2 1
14 5,5,1,3 15 5,5,2,3 2
15 5,5,1,4 16 5,5,2,4 17 5,5,3,4 3
17 5,5,1,6 18 5,5,2,6 19 5,5,3,6 20 5,5,4,6 4
18 5,5,1,7 19 5,5,2,7 20 5,5,3,7 21 5,5,4,7 23 5,5,6,7 5
19 5,5,1,8 20 5,5,2,8 21 5,5,3,8 22 5,5,4,8 24 5,5,6,8 25 5,5,7,8 6
20 5,5,1,9 21 5,5,2,9 22 5,5,3,9 23 5,5,4,9 25 5,5,6,9 26 5,5,7,9 27 5,5,8,9 7 28
15 6,6,1,2 1
16 6,6,1,3 17 6,6,2,3 2
17 6,6,1,4 18 6,6,2,4 19 6,6,3,4 3
18 6,6,1,5 19 6,6,2,5 20 6,6,3,5 21 6,6,4,5 4
20 6,6,1,7 21 6,6,2,7 22 6,6,3,7 23 6,6,4,7 24 6,6,5,7 5
21 6,6,1,8 22 6,6,2,8 23 6,6,3,8 24 6,6,4,8 25 6,6,5,8 27 6,6,7,8 6
22 6,6,1,9 23 6,6,2,9 24 6,6,3,9 25 6,6,4,9 26 6,6,5,9 28 6,6,7,9 29 6,6,8,9 7 28
17 7,7,1,2 1
18 7,7,1,3 19 7,7,2,3 2
19 7,7,1,4 20 7,7,2,4 21 7,7,3,4 3
20 7,7,1,5 21 7,7,2,5 22 7,7,3,5 23 7,7,4,5 4
21 7,7,1,6 22 7,7,2,6 23 7,7,3,6 24 7,7,4,6 25 7,7,5,6 5
23 7,7,1,8 24 7,7,2,8 25 7,7,3,8 26 7,7,4,8 27 7,7,5,8 28 7,7,6,8 6
24 7,7,1,9 25 7,7,2,9 26 7,7,3,9 27 7,7,4,9 28 7,7,5,9 29 7,7,6,9 31 7,7,8,9 7 28
19 8,8,1,2 1
20 8,8,1,3 21 8,8,2,3 2
21 8,8,1,4 22 8,8,2,4 23 8,8,3,4 3
22 8,8,1,5 23 8,8,2,5 24 8,8,3,5 25 8,8,4,5 4
23 8,8,1,6 24 8,8,2,6 25 8,8,3,6 26 8,8,4,6 27 8,8,5,6 5
24 8,8,1,7 25 8,8,2,7 26 8,8,3,7 27 8,8,4,7 28 8,8,5,7 29 8,8,6,7 6
26 8,8,1,9 27 8,8,2,9 28 8,8,3,9 29 8,8,4,9 30 8,8,5,9 31 8,8,6,9 32 8,8,7,9 7 28
21 9,9,1,2 1
22 9,9,1,3 23 9,9,2,3 2
23 9,9,1,4 24 9,9,2,4 25 9,9,3,4 3
24 9,9,1,5 25 9,9,2,5 26 9,9,3,5 27 9,9,4,5 4
25 9,9,1,6 26 9,9,2,6 27 9,9,3,6 28 9,9,4,6 29 9,9,5,6 5
26 9,9,1,7 27 9,9,2,7 28 9,9,3,7 29 9,9,4,7 30 9,9,5,7 31 9,9,6,7 6
27 9,9,1,8 28 9,9,2,8 29 9,9,3,8 30 9,9,4,8 31 9,9,5,8 32 9,9,6,8 33 9,9,7,8 7 28
Total de grupos: 9x28= 252
Resumen Totales
VS 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 (27)
N⁰G 1 2 4 3 7 8 11 10 14 13 16 13 17 14 17 13 16 13 14 10 11 8 7 3 4 2 1 (252)
Cada uno de estos grupos genera 𝑷 𝟒,𝟐,𝟏,𝟏=12 posibilidades o permutaciones .Total: 252x12=3024
126 grupos con sus cuatro elementos diferentes y sus valores suma (VS): 𝑪 𝟗,𝟒 = 𝟏𝟐𝟔
VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO Totales
10 1,2,3,4 1
11 1,2,3,5 12 1,2,4,5 2
12 1,2,3,6 13 1,2,4,6 14 1,2,5,6 3
13 1,2,3,7 14 1,2,4,7 15 1,2,5,7 16 1,2,6,7 4
14 1,2,3,8 15 1,2,4,8 16 1,2,5,8 17 1,2,6,8 18 1,2,7,8 5

15 1,2,3,9 16 1,2,4,9 17 1,2,5,9 18 1,2,6,9 19 1,2,7,9 20 1,2,8,9 6 21
13 1,3,4,5 1
14 1,3,4,6 15 1,3,5,6 2
15 1,3,4,7 16 1,3,5,7 17 1,3,6,7 3
16 1,3,4,8 17 1,3,5,8 18 1,3,6,8 19 1,3,7,8 4
17 1,3,4,9 18 1,3,5,9 19 1,3,6,9 20 1,3,7,9 21 1,3,8,9 5 15
16 1,4,5,6 1
17 1,4,5,7 18 1,4,6,7 2
18 1,4,5,8 19 1,4,6,8 20 1,4,7,8 3
19 1,4,5,9 20 1,4,6,9 21 1,4,7,9 22 1,4,8,9 4 10
19 1,5,6,7 1
20 1,5,6,8 21 1,5,7,8 2
21 1,5,6,9 22 1,5,7,9 23 1,5,8,9 3 6
22 1,6,7,8 1
23 1,6,7,9 24 1,6,8,9 2 3
25 1,7,8,9 1 1 56
14 2,3,4,5 1
15 2,3,4,6 16 2,3,5,6 2
16 2,3,4,7 17 2,3,5,7 18 2,3,6,7 3
17 2,3,4,8 18 2,3,5,8 19 2,3,6,8 20 2,3,7,8 4
18 2,3,4,9 19 2,3,5,9 20 2,3,6,9 21 2,3,7,9 22 2,3,8,9 5 15
17 2,4,5,6 1
18 2,4,5,7 19 2,4,6,7 2
19 2,4,5,8 20 2,4,6,8 21 2,4,7,8 3
20 2,4,5,9 21 2,4,6,9 22 2,4,7,9 23 2,4,8,9 4 10
20 2,5,6,7 1
21 2,5,6,8 22 2,5,7,8 2
22 2,5,6,9 23 2,5,7,9 24 2,5,8,9 3 6
23 2,6,7,8 1
24 2,6,7,9 25 2,6,8,9 2 3
26 2,7,8,9 1 1 35
18 3,4,5,6 1
19 3,4,5,7 20 3,4,6,7 2
20 3,4,5,8 21 3,4,6,8 22 3,4,7,8 3
21 3,4,5,9 22 3,4,6,9 23 3,4,7,9 24 3,4,8,9 4 10
21 3,5,6,7 1
22 3,5,6,8 23 3,5,7,8 2
23 3,5,6,9 24 3,5,7,9 25 3,5,8,9 3 6
24 3,6,7,8 1
25 3,6,7,9 26 3,6,8,9 2 3
27 3,7,8,9 1 1 20
22 4,5,6,7 1
23 4,5,6,8 24 4,5,7,8 2
24 4,5,6,9 25 4,5,7,9 26 4,5,8,9 3 6
25 4,6,7,8 1
26 4,6,7,9 27 4,6,8,9 2 3
28 4,7,8,9 1 1 10
26 5,6,7,8 1
27 5,6,7,9 28 5,6,8,9 2 3
29 5,7,8,9 1 1 4
30 6,7,8,9 1 1 1
Total de grupos: 126
Cada uno de estos grupos genera 𝑷 𝟒 = 𝟒! = 𝟐𝟒 posibilidades o permutaciones .Total: 126x24=3024

El total general de grupos del caso corresponde a: 9+216+288+3024+3024=6561=𝟗 𝟒
Las casillas sombreadas en los cuadros resumen, corresponden a la simetría encontrada:
 Los valores suma equidistantes siempre suman el doble que el valor central.
 Los n⁰s de grupos equidistantes del valor central siempre tienen igual valor
Es evidente que para un caso cualquiera de m y r, el total general de grupos
posibles resultará: 𝑵⁰𝑮 𝒓
𝒎
= 𝒎 𝒓
, que puede demostrarse por inducción.
TABLAS DE RESULTADOS
Estos cuadros, nos permiten recopilar en unas “Tablas de resultados” los valores o coeficientes
parciales correspondientes a los distintos factores de permutación simple o con repetición, que
intervienen en la determinación del número total de grupos (N⁰G) para cada valor suma posible,
en cada uno de los casos estudiados m=1,2,3 y 4.
TABLAS DE RESULTADOS DE VALORES SUMA Vs NÚMERO DE GRUPOS POSIBLES
Caso m=9 y r=1 (caso trivial)
V.S. 𝑷 𝟏 N⁰𝑮 𝟏
𝟗 r.i
1 1 1 0
2 1 1 0
3 1 1 0
4 1 1 0
5 1 1 0
6 1 1 0
7 1 1 0
8 1 1 0
9 1 1
∑= 45 9 9=𝟗 𝟏

Caso m=9 y r=2
Los valores suma propios del caso van desde V.S.=2, hasta V.S.=18
V.S 𝑷 𝟐,𝟐 𝑷 𝟐 N⁰𝑮 𝟐
𝟗 r.i
1 0 0 0 1
2 1 0 1 1
3 0 1 2 1
4 1 1 3 1
5 0 2 4 1
6 1 2 5 1
7 0 3 6 1
8 1 3 7 1
9 0 4 8 1
10 1 4 9 -1
11 0 4 8 -1
12 1 3 7 -1
13 0 3 6 -1
14 1 2 5 -1
15 0 2 4 -1
16 1 1 3 -1
17 0 1 2 -1
18 1 0 1
∑= 170 9 36 𝟖𝟏 = 𝟗 𝟐

Notas:
1.) r.i es abreviatura de razón incremental
2.) El eje de simetría corresponde al valor de 𝑽. 𝑺. = 𝒓(𝟏 + 𝒎)/𝟐. En este caso a V.S.=5r=10
que resulta el de mayor valor de 𝑵⁰𝑮 𝒓
𝒎
en la tabla (9)
3.) Los factores de multiplicación son respectivamente: 𝑷 𝟐,𝟐 = 𝟏 , y 𝑷 𝟐 = 𝟐
Caso m=9 y r=3
V.S. 𝑷 𝟑,𝟑 𝑷 𝟑 𝑷 𝟑,𝟐,𝟏 N⁰𝑮 𝟑
𝟗 r.i. r.i
1 0 0 0 0 0 0
2 0 0 0 0 0 0
3 1 0 0 1 2 1
4 0 0 1 3 3 1
5 0 0 2 6 4 1
6 1 1 1 10 5 1
7 0 1 3 15 6 1
8 0 2 3 21 7 1
9 1 3 3 28 8 1
10 0 4 4 36 9 -2
11 0 5 5 45 7 -2
12 1 7 3 52 5 -2
13 0 7 5 57 3 -2
14 0 8 4 60 1 -2
15 1 8 4 61 -1 -2
16 0 8 4 60 -3 -2
17 0 7 5 57 -5 -2
18 1 7 3 52 -7 -2
19 0 5 5 45 -9 1
20 0 4 4 36 -8 1
21 1 3 3 28 -7 1
22 0 2 3 21 -6 1
23 0 1 3 15 -5 1
24 1 1 1 10 -4 1
25 0 0 2 6 -3 1
26 0 0 1 3 -2
27 1 0 0 1
∑= 375 9 84 72 𝟕𝟐𝟗 = 𝟗 𝟑

Notas:
1.) En este caso habrán dos columnas de razones incrementales
𝒎
en la tabla (61)
3.) Los factores de multiplicación son respectivamente: 𝑷 𝟑,𝟑 = 𝟏, 𝑷 𝟑 = 𝟔, y 𝑷 𝟑,𝟐,𝟏 = 𝟑
Caso m=9 y r=4
V.S. 𝑷 𝟒,𝟒 𝑷 𝟒 𝑷 𝟒,𝟑,𝟏 𝑷 𝟒,𝟐,𝟏,𝟏 𝑷 𝟒,𝟐,𝟐 N⁰𝑮 𝟒
𝟗 r.i r.i r.i.
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2 0 0 0 0 0 0 0 0 0
3 0 0 0 0 0 0 0 3 0
4 1 0 0 0 0 1 3 3 1
5 0 0 1 0 0 4 6 4 1
6 0 0 1 0 1 10 10 5 1
7 0 0 2 1 0 20 15 6 1
8 1 0 1 2 1 35 21 7 1
9 0 0 2 4 0 56 28 8 1
10 0 1 3 3 2 84 36 9 -3
11 0 1 3 7 0 120 45 6 -3
12 1 2 2 8 2 165 51 3 -3
13 0 3 3 11 0 216 54 0 -3
14 0 5 3 10 3 270 54 -3 -3
15 0 6 3 14 0 324 51 -6 -3
16 1 8 2 13 3 375 45 -9 -3
17 0 9 3 16 0 420 36 -12 -3
18 0 11 3 13 4 456 24 -15 -3
19 0 11 3 17 0 480 9 -18 3
20 1 12 2 14 4 489 -9 -15 3
21 0 11 3 17 0 480 -24 -12 3
22 0 11 3 13 4 456 -36 -9 3
23 0 9 3 16 0 420 -45 -6 3
24 1 8 2 13 3 375 -51 -3 3
25 0 6 3 14 0 324 -54 0 3
26 0 5 3 10 3 270 -54 3 3
27 0 3 3 11 0 216 -51 6 3
28 1 2 2 8 2 165 -45 9 -1
29 0 1 3 7 0 120 -36 8 -1
30 0 1 3 3 2 84 -28 7 -1
31 0 0 2 4 0 56 -21 6 -1

32 1 0 1 2 1 35 -15 5 -1
33 0 0 2 1 0 20 -10 4 -1
34 0 0 1 0 1 10 -6 3
35 0 0 1 0 0 4 -3
36 1 0 0 0 0 1
∑=660 9 126 72 252 36 𝟔𝟓𝟔𝟏 = 𝟗 𝟒
Notas:
1.) En este caso habrán tres columnas de razones incrementales
𝒎
en la tabla (489)
3.) Los factores de multiplicación son respectivamente: 𝑷 𝟒,𝟒 = 𝟏, 𝑷 𝟒 = 𝟐𝟒, 𝑷 𝟒,𝟑,𝟏 = 𝟒,
𝑷 𝟒,𝟐,𝟏,𝟏 = 𝟏𝟐, y 𝑷 𝟒,𝟐,𝟐 = 𝟔
Particiones con repetición o Composición de Enteros
Cuando a la permutación de los elementos de una partición se le considera como una nueva y
diferente partición (el orden si tiene relevancia), en lugar de particiones, hablamos de composición
de enteros, y cuando se permite el uso del cero en la composición, se le denomina composición
débil. Así p.ej. el número 4 tiene 8 composiciones: 4, 3.1, 2.2, 2.1.1, 1.3, 1.2.1, 1.1.2, 1.1.1.1.
Donde los elementos de cada grupo o composición posible, suman siempre 4.
La cantidad de composiciones para un número entero 𝑚 ≥ 1, está dada por∶
𝑪(𝒎) = 𝟐 𝒎−𝟏
, y al igual que con las particiones, por convención, existe una composición para el
cero 𝐶(0) = 1, y ninguna para números negativos 𝐶( 𝑚) = 0, si 𝑚 < 0. En el caso del ejemplo
anterior tendríamos: C(4)=24−1
=23
= 8 composiciomes.
Composiciones de m en r
De manera análoga al caso de las particiones, podemos definir como composiciones de m en r, a
las composiciones de un entero m ≥ 0, en grupos de una cantidad fija de r cifras significativas, que
en cada grupo sumen siempre m.
Podemos inferir fácilmente de la construcción de las tablas de resultados, que el 𝑵⁰𝑮 𝒓
𝒎
para un
determinado valor suma (V.S.) para un caso de m, y r, representa el n⁰ de Composiciones de dicho
valor suma (entero positivo) en r, ya que cuantifica el número de particiones de r cifras
significativas, y sus permutaciones posibles, que suman siempre dicho V.S.
Así p.ej. deducimos de la tabla de resultados, correspondiente a m=9 y r=2, que el N⁰G. de dos cifras
significativas, que tengan como valor suma 8, estará dado por:

1x𝑷 𝟐,𝟐 + 3x𝑷 𝟐 =𝟏𝒙𝟏 + 𝟑𝒙𝟐 = 𝟏 + 𝟔 = 𝟕, lo cual se corresponde con la composición de 8 en 2,
es decir: 𝑪 𝟐( 𝟖) = 𝟕 (ver fila sombreada en amarillo en la tabla correspondiente)
Dichas 7 composiciones de 8 en 2, serían las siguientes:
1.7, 7.1, 2.6, 6.2, 3.5, 5.3, y 4.4
De la tabla de resultados para m=9 y r=3, determinamos que el N⁰G de tres cifras significativas,
que tengan como valor suma 12, estará dado por:
𝟏𝒙𝑷 𝟑,𝟑 + 𝟕𝒙𝑷 𝟑 + 𝟑𝒙𝑷 𝟑,𝟐,𝟏 = 𝟏𝒙𝟏 + 𝟕𝒙𝟔 + 𝟑𝒙𝟑 = 𝟏 + 𝟒𝟐 + 𝟗 = 𝟓𝟐, lo cual se corresponde con
la composición de 12 en 3, es decir: 𝑪 𝟑( 𝟏𝟐) = 𝟓𝟐 (ver fila sombreada en azul en la tabla
correspondiente)
Así mismo, notamos la existencia de un eje de simetría numérica, en cada tabla de resultados,
correspondiente a la fila del valor medio de los V.S. entre el mínimo y el máximo V.S de cada caso
de m y r. Para 𝑚 = 9, 𝑦 𝑟 = 2, estará dado por el valor:
V.S.= (2+18)/2=10, y para 𝑚 = 9, 𝑦 𝑟 = 3, estará dado por el valor: V.S.=(3+27)/2=15
Por otra parte, la recopilación del N⁰G resultante para cada valor suma en dichas tablas de
resultados, nos ha permitido determinar la secuencia de formación de estos valores, que resultan
inter relacionados a través de sucesiones aritméticas de primer orden para m =2, de segundo orden
para m = 3, y de tercer orden para m = 4, (podríamos inferir que serán de orden m-1, para un valor
dado m).
Una observación minuciosa de los resultados obtenidos al construir estas tablas, nos han permitido
encontrar las relaciones internas entre ellas, y desarrollar una tabla que pone en evidencia la
secuencia de formación de los 𝑵⁰𝑮 𝒓
𝒎
sucesivos para cualquier 𝒓 ≤ 𝒎, en este caso limitados por
el valor máximo escogido de m = 9.
Por razones prácticas y limitaciones de espacio, presentamos a continuación la tabla que nos
permite obtener los valores sucesivos de 𝑵⁰𝑮 𝒓
𝒎
, y por ende las composiciones de enteros (V.S.)
en r, solo para m =9 y r = 1,2,3,4,5
En primer lugar hemos separado e iniciado la presentación de estas tablas, así como su
explicación, por la secuencia que nos permite pasar de los 𝑵⁰𝑮 𝟏
𝟗
, a los 𝑵⁰𝑮 𝟐
𝟗

TABLA DE SECUENCIAS DE FORMACIÓN DE LOS 𝑵⁰𝑮 𝒓
𝒎
SUCESIVOS
Desde r=1, hasta r=2, para m=9
V.S. 𝑵⁰𝑮 𝟏
𝟗
1⁰ 2⁰ 3⁰ 4⁰ 5⁰ 𝑵⁰𝑮 𝟐
𝟗
1 1 (-) 0 (=) 1 (+) 0
2 1 0 1 1
3 1 0 1 2
4 1 0 1 3
5 1 0 1 4
6 1 0 1 5
7 1 0 1 6
8 1 0 1 7
9 1 0 1 8
10 0 1 -1 9
11 0 1 -1 8
12 0 1 -1 7
13 0 1 -1 6
14 0 1 -1 5
15 0 1 -1 4
16 0 1 -1 3
17 0 1 -1 2
18 0 1 -1 1
Explicación de las secuencias:
1. En la 1⁰columna, colocamos los 18 V.S. correspondientes al caso de m=9, y r=2
2. En la 2⁰columna, colocamos los valores correspondientes de 𝑵⁰𝑮 𝟏
𝟗
, para cada V.S., en este
caso los valores unitarios, de las primeras 9 filas. El resto de lugares en las filas siguientes
, es decir de la fila 10, hasta la 18, no habiendo valores de grupo para estos casos, se
asumen como 0 (cero)
3. La 3⁰columna, solo indica, que en la columna siguiente (4⁰), se colocará el resultado de
restar de la columna de 𝑵⁰𝑮 𝟏
𝟗
, los valores de la 2⁰columna
4. Conociendo que para cualquier 𝑵⁰𝑮 𝒓
𝒎
, el primer valor distinto de cero, será igual a la
unidad, y corresponderá al caso V.S= r, la quinta columna (5⁰), solo indica que debemos
sumar los valores resultantes del paso 3. , ya recogidos en la 4⁰columna, con los valores
sucesivos que van resultando de 𝑵⁰𝑮 𝟐
𝟗
, valores que conformaran dicha columna (lo cual
se indica con la flecha vertical hacia abajo).
Así por ejemplo: Por lo explicado anteriormente, conocemos que la columna de 𝑵⁰𝑮 𝟐
𝟗
,
comienza con valores 0, hasta la fila correspondiente al V.S.=2. Luego, sumamos el primer
valor contenido en 4⁰, con el primer valor contenido en 𝑵⁰𝑮 𝟐
𝟗
, es decir: 1+0=1, y este

resultado se coloca a continuación como el segundo valor de la columna de 𝑵⁰𝑮 𝟐
𝟗
, a
continuación sumamos el segundo valor de la columna 4⁰, con el resultado obtenido
previamente, o segundo valor de 𝑵⁰𝑮 𝟐
𝟗
, es decir: 1+1=2, y este resultado se coloca como
el tercer valor de la columna de los 𝑵⁰𝑮 𝟐
𝟗
, el procedimiento se repite hasta la fila 17 para
obtener como último resultado de 𝑵⁰𝑮 𝟐
𝟗
, el valor 1 correspondiente a la fila 18 (aunque
los valores también pueden obtenerse al considerar las simetrías ya descritas
anteriormente)
TABLA DE SECUENCIAS DE FORMACIÓN DE LOS 𝑵⁰𝑮 𝒓
𝒎
SUCESIVOS
Desde r=2, hasta r=5, para m=9
V.S. 𝑵⁰𝑮 𝟐
𝟗 1⁰ 2⁰ 3⁰ 4⁰ 5⁰ 𝑵⁰𝑮 𝟑
𝟗 1⁰ 2⁰ 3⁰ 4⁰ 5⁰ 𝑵⁰𝑮 𝟒
𝟗 1⁰ 2⁰ 3⁰ 4⁰ 5⁰ 𝑵⁰𝑮 𝟓
𝟗
1 0 (-) 0 = 0 (+) 0 (-) 0 = 0 (+) 0 (-) 0 = 0 (+) 0
2 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0
3 2 0 2 1 0 1 0 0 0 0
4 3 0 3 3 0 3 1 0 1 0
5 4 0 4 6 0 6 4 0 4 1
6 5 0 5 10 0 10 10 0 10 5
7 6 0 6 15 0 15 20 0 20 15
8 7 0 7 21 0 21 35 0 35 35
9 8 0 8 28 0 28 56 0 56 70
10 9 0 9 36 0 36 84 0 84 126
11 8 1 7 45 0 45 120 0 120 210
12 7 2 5 52 1 51 165 0 165 330
13 6 3 3 57 3 54 216 1 215 495
14 5 4 1 60 6 54 270 4 266 710
15 4 5 -1 61 10 51 324 10 314 976
16 3 6 -3 60 15 45 375 20 355 1290
17 2 7 -5 57 21 36 420 35 385 1645
18 1 8 -7 52 28 24 456 56 400 2030

19 0 9 -9 45 36 9 480 84 396 2430
20 0 8 -8 36 45 -9 489 120 369 2826
21 0 7 -7 28 52 -24 480 165 315 3195
22 0 6 -6 21 57 -36 456 216 240 3510
23 0 5 -5 15 60 -45 420 270 150 3750
24 0 4 -4 10 61 -51 375 324 51 3900
25 0 3 -3 6 60 -54 324 375 -51 3951
26 0 2 -2 3 57 -54 270 420 -150 3900
27 0 1 -1 1 52 -51 216 456 -240 3750
28 0 0 0 0 45 -45 165 480 -315 3510
29 0 36 -36 120 489 -369 3195
30 0 28 -28 84 480 -396 2826
31 0 21 -21 56 456 -400 2430
32 0 15 -15 35 420 -385 2030
33 0 10 -10 20 375 -355 1645
34 0 6 -6 10 324 -314 1290
35 0 3 -3 4 270 -266 976
36 0 1 -1 1 216 -215 710
37 0 0 0 0 165 -165 495
38 0 120 -120 330
39 0 84 -84 210
40 0 56 -56 126
41 0 35 -35 70
42 0 20 -20 35
43 0 10 -10 15
44 0 4 -4 5
45 0 1 -1 1
46 0 0 0 0

47
Como podemos notar hemos obtenido los valores para 𝑵⁰𝑮 𝟓
𝟗
, o Composiciones de
cualquier valor suma entre 1, y 45 en grupos de 5 cifras significativas, sin desarrollar una
tabla de resultados, específica para ese caso, sino, aplicando los 5 pasos recogidos en las
5 columnas previas a dicho caso, o siguientes al caso de 𝑵⁰𝑮 𝟒
𝟗
, y que hemos descrito para
el caso inicial al pasar de 𝑵⁰𝑮 𝟏
𝟗
, a 𝑵⁰𝑮 𝟐
𝟗
.
La limitación de las tablas mostradas anteriormente está dada, porque han sido
desarrolladas, en base a un valor fijo m=9. Pero el procedimiento y sus resultados
inferimos que son extensibles a valores de enteros positivos mayores que 9.
Con estas definiciones, procedimientos y tablas de resultados y secuencias, concluimos
esta segunda exploración complementaria en el interesante campo de las particiones y
composiciones de enteros positivos.
Enrique R. Acosta R. Diciembre 2017
Bibliografía:
1. Particiones Discretas de m, en r. Coeficientes polinomiales y su cadena valor 2017
2. Particiones Discretas de m en r. Formulaciones Matemáticas 2017

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