Este documento describe las matrices inversas y los espacios vectoriales. Explica que la matriz inversa de una matriz A es igual a su matriz adjunta dividida por su determinante, siempre que el determinante de A sea distinto de cero. También define un espacio vectorial como un conjunto con dos operaciones, suma y producto, que cumplen propiedades como asociatividad, distributividad e identidad. Finalmente, enumera algunos ejemplos de conjuntos que son espacios vectoriales, como Rn y las funciones continuas sobre un intervalo.

1. ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
ÁLGEBRA LINEAL • RESUMEN NO. 05
DETERMINANTES
Semestre 2019 A Departamento de Formación Básica
5. INVERSA DE UNA MATRIZ
Sea A ∈ Kn×n. La matriz de cofactores de A, que se denota por cof(A), es la
matriz de Kn×n que está formada por los cofactores de A, es decir,
cof(A) = (Cij) =






C11 C12 · · · C1n
C21 C22 · · · C2n
...
...
...
...
Cn1 Cn2 · · · Cnn






.
DEFINICIÓN 1: Matriz de cofactoresDEFINICIÓN 1: Matriz de cofactores
Sea A ∈ Kn×n. La matriz adjunta de A, que se denota por adj(A), es la matriz
de Kn×n que está formada por los cofactores de A, es decir,
adj(A) = cof(A)⊺
.
DEFINICIÓN 2DEFINICIÓN 2
Sea A ∈ Kn×n, entonces
A(adj(A)) = (adj(A))A = det(A)In.
TEOREMA 1TEOREMA 1
COROLARIO 2. Sea A ∈ Kn×n. Si det(A) = 0, entonces A es invertible y
A−1
=
1
det(A)
adj(A).
PROPOSICIÓN 3. Sea A ∈ Kn×n. Una matriz A es no singular si y sólo si
det(A) = 0.
1

2. Departamento de Formación Básica Resumen no. 05
PROPOSICIÓN 4. Sea A ∈ Kn×n. El sistema homogéneo Ax = 0 tiene una
solución no trivial si y sólo si det(A) = 0.
PROPOSICIÓN 5. Sean A ∈ Kn×n y b ∈ Kn. El sistema Ax = b tiene una
solución única si y sólo si det(A) = 0 y su solución es
A−1
b.
Sea A ∈ Kn×n, se tienen que las siguientes son equivalentes:
1. A es no singular;
2. el sistema Ax = 0 tiene solamente la solución trivial;
3. A es equivalente por filas a In;
4. rang(A) = n;
5. el sistema lineal Ax = b tiene una solución única para cada vector b ∈
Kn; y
6. det(A) = 0.
TEOREMA 6: Equivalencias no singularesTEOREMA 6: Equivalencias no singulares
6. ESPACIOS VECTORIALES
Dados un campo K, un conjunto no vacío E y dos operaciones
⊕: E × E −→ E
(x, y) −→ x ⊕ y,
y
⊙: K × E −→ E
(α, x) −→ α ⊙ x
llamadas suma y producto, respectivamente; se dice que (E, ⊕, ⊙, K) es un
espacio vectorial si cumplen las siguientes propiedades
1. asociativa de la suma: para todo x, y, z ∈ E se tiene que
(x ⊕ y) ⊕ z = x ⊕ (y ⊕ z);
DEFINICIÓN 3: Espacio VectorialDEFINICIÓN 3: Espacio Vectorial
2

3. Resumen no. 05 Departamento de Formación Básica
2. conmutativa de la suma: para todo x, y ∈ E se tiene que
x ⊕ y = y ⊕ x;
3. elemento neutro de la suma: existe un elemento de E, denotado por 0E
o simplemente 0, tal que para todo x ∈ E se tiene que
x ⊕ 0 = 0 ⊕ x = x;
4. inverso de la suma: para todo x ∈ E, existe un elemento de E, denotado
por −x, tal que
x ⊕ (−x) = 0;
5. distributiva del producto I: para todo x, y ∈ E y todo α ∈ K se tiene
que
α ⊙ (x ⊕ y) = α ⊙ x + α ⊙ y
6. distributiva del producto II: para todo x ∈ E y todo α, β ∈ K se tiene
que
(α + β) ⊙ x = α ⊙ x ⊕ β ⊙ x;
7. asociativa del producto: para todo x ∈ E y todo α, β ∈ K se tiene que
(αβ) ⊙ x = α ⊙ (β ⊙ x);
8. elemento neutro del producto: para todo x ∈ E se tiene que
1 ⊙ x = x,
donde 1 ∈ K es el elemento neutro multiplicativo de K
Utilizamos los símbolos ⊕ y ⊙ para enfatizar el hecho de que, en general, las
operaciones definidas no son la suma y el producto estándar que utilizamos.
Si no existe riesgo de confusión, utilizaremos la notación
x ⊕ y = x + y y α ⊙ x = αx
y diremos que el espacio vectorial es (E, +, ·, K), es más, en caso de que no
exista ambigüedad en las operaciones utilizadas se dirá simplemente que E
es un espacio vectorial.
3

4. Departamento de Formación Básica Resumen no. 05
PROPOSICIÓN 7. Los siguientes conjuntos son espacios vectoriales en el cam-
po R:
• Rn, con n ∈ N∗;
• Rm×n, con m, n ∈ N∗;
• F(I) = {f : I → R : f es una función}, con I ⊆ R.
• C(I) = {f : I → R : f es continua en I}, con I ⊆ R.
• Ck(I) = {f : I → R : f es k veces derivable en I y f k ∈ Ck(I)}, con
I ⊆ R.
• Rn[x] el conjunto de todos los polinomio de grado menor igual que n
en la variable x, con n ∈ N;
Sea (E, +, ·, K) un espacio vectorial, se tiene que para todo u ∈ E y todo
α ∈ K, se tiene que
1. 0u = 0;
2. α0 = 0;
3. si αu = 0 entonces α = 0 o u = 0;
4. (−1)u = −u.
TEOREMA 8TEOREMA 8
4