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SOLUCIÓN DE PROBLEMAS – ESTADÍSTICA
DESCRIPTIVA (Rufino Moya C.)

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO FACULTAD DE INGENIERÍA QUÍMICA
ESTADÍSTICA GENERAL Página 2
PROBLEMAS 4 – 1
PROBLEMAS 4 – 2
PROBLEMAS 4 – 4
1. Una compañía importadora tiene 9 empleados cuyos ingresos (xi)
mensuales en dólares son: 100, 100, 100, 100, 200, 200, 400, 800
y 1600. Se pide
a. Dibujar la curva de Lorenz o curva de concentración.
b. Calcular índice de Gini.
Solución:
Ingresos (xi)
$
Nº de trab.
ni
Fi *100% xini
[xini/
∑ xini]*100%
pi=∑ fi*100%
qi=∑(xini/
∑ xini)*100%
100 4 44,5 400 11,1 44,5 11,1
200 2 22,2 400 11,1 66,7 22,2
400 1 11,1 400 11,1 77,8 33,3
800 1 11,1 800 22 88,9 55,5
1600 1 11,1 1600 45 100 100
9 100 3600 100
La curva de Lorenz.
El índice de Gini.
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
%acumuladodeingresos(qi)
% acumulado de trabajadores (pi)
Fig. 4.1 Curva de Lorenz:ingresosmensuales

𝐺 =
∑(𝑝𝑖−𝑞 𝑖)
∑ 𝑝𝑖
=
155,9
277,9
= 0,5609
2. Una empresa aduanera emplea 8 trabajadores cuyos ingresos (xi)
en dólares son: 100, 100, 100, 100, 400, 800, 1600 y 3200
mensuales. Determinar
a. La curva de Lorenz.
b. El índice de Gini.
Solución:
Ingresos
(xi) $
Nº de trab.
ni
Fi *100% xini [𝐱 𝐢 𝐧𝐢/
∑ 𝐱 𝐢 𝐧𝐢]*100%
pi=∑ 𝐟𝐢*100% qi=∑(𝐱 𝐢 𝐧𝐢/
∑ 𝐱 𝐢 𝐧𝐢)*100%
100 4 50 400 6,25 50 6,25
400 1 12,5 400 6,25 62,5 12,5
800 1 12,5 800 12,5 75 25
1600 1 12,5 1600 25 87,5 50
3200 1 12,5 3200 50 100 100
n=8 100 6400 100
La curva de Lorenz.
pi - qi pi
44,5 – 11,1 = 33,4 44,5
66,7 – 22,2 = 44,5 66,7
77,8 – 33,2 = 44,6 77,8
88,9 – 55,5 = 33,4 88,9
∑ = 𝟏𝟓𝟓, 𝟗 ∑ =277,9

El índice de Gini.
𝐺 =
∑ 𝑝𝑖
=
181,25
275
= 0,659
3. Para el cuadro estadístico que se da a continuación se pide:
a. Dibujar en una misma figura la curva de Lorenz para el total
ENNIV, área urbana y área rural.
b. Calcular el índice de Gini en cada caso.
PERÚ: DISTRIBUCIÓN DEL INGRESO POR ÁREA URBANA Y RURAL SEGÚN DECILES DE
HOGARES (PERIODO JUL.85 – JUL.86)
HOGARES INGRESO TOTAL DEL HOGAR (% )
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Fig. 4.2 Curva de Lorenz: ingresos
pi - qi pi
50 – 6,25 = 43,75 50,0
62,5 – 12,5 = 50 62,5
75 – 25 = 50 75,0
87,5 – 50 = 37,5 87,5
∑ = 𝟏𝟖𝟏, 𝟐𝟓 ∑ =275

TOTAL
ENNIV
ÁREA URBANA ÁREA RURAL
% % Acum. % % Acum. % % Acum. % % Acum.
10 10 0.45 0.45 0.62 0.62 1.32 1.32
10 20 2.63 3.09 3.21 3.82 3.05 4.35
10 30 3.68 6.77 4.22 8.04 4.05 8.40
10 40 4.90 11.67 5.22 13.26 5.58 13.98
10 50 5.96 17.62 6.40 19.66 6.34 20.32
10 60 7.31 24.93 7.90 27.56 7.72 28.04
10 70 9.15 34.08 9.76 37.32 10.02 38.06
10 80 11.88 45.96 12.45 49.78 12.05 50.11
10 90 16.78 62.73 16.14 65.92 13.81 63.92
10 100 37.27 100.00 34.08 100.00 36.08 100.00
5 95 12.99 75.72 14.09 80.01 12.51 76.43
5 100 24.28 100.00 19.99 100.00 23.57 100.00
FUENTE: INTITUTO NACIONAL DE ESTADÍSTICA - Encuesta Nacional sobreMedición de Niveles de Vida
(ENNIV).
Solución:
a. Curva de Lorenzpara el total ENNIV,áreaurbanay área rural.
b. El índice de Gini
 Para total ENNIV
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
% acumulado de hogaress (pi)
Fig. 4.3 Curva de Lorenz para el total ENNIV, área urbanay área
rural.
TOTAL ENNIV
ÁREA URBANA
ÁREA RURAL

pi qi pi -qi
10 0,45 9,55
20 3,09 16,91
30 6,77 23,23
40 11,67 28,33
50 17,62 32,38
60 24,93 35,07
70 34,08 35,92
80 45,96 34,04
90 62,73 27,27
95 75,72 19,28
=545 =261,98
 Pata área urbana
pi qi pi -qi
10 0,62 9,38
20 3,82 16,18
30 8,04 21,96
40 13,26 26,74
50 19,66 30,34
60 27,56 32,44
70 37,32 32,68
80 49,78 30,22
90 65,92 24,08
95 80,01 14,99
=545 =239,01
 Para área rural
pi qi pi -qi
10 0,45 9,55
20 3,09 16,91
30 6,77 23,23
40 11,67 28,33
50 17,62 32,38
60 24,93 35,07
70 34,08 35,92
80 45,96 34,04
90 62,73 27,27
95 75,72 19,28
=545 =240.07
4. Para los datos del ejemplo 4.28, determinar el índice de Gini y
su curva de Lorenz.
𝐺 =
∑ 𝑝𝑖
=
261,98
545
= 0,4807
𝐺 =
∑ 𝑝𝑖
=
240,07
545
= 0,4405
𝐺 =
∑ 𝑝𝑖
=
239,01
545
= 0,4385

Solución:
Salarios
(xi) $
Nº de trab.
ni
∑ 𝐱 𝐢 𝐧𝐢]*100%
∑ 𝐱 𝐢 𝐧𝐢)*100%
100 3 12 300 4,1 12 4,1
200 7 28 1400 19,2 40 23,3
300 8 32 2400 32,9 72 56,2
400 4 16 1600 21,9 88 78,1
500 2 8 1000 13,7 96 91,8
600 1 4 600 8,2 100 100
n=25 100 7300 100
El índice de Gini
Curva de Lorenz
5. Los salarios mensuales (en soles) de los obreros de una compañía
se distribuye como sigue:
Salario mensual 140 - 160 160 - 180 180 - 200 200 - 220 220 - 240 240 - 260
Nº de 7 20 33 25 11 4
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
%acumuladodesalarios(qi)
Fig. 4.4 Curva de Lorenz: salarios
pi qi pi - qi
12 4,1 7,9
40 23,3 16,7
72 56,2 15,8
88 78,1 9,9
96 91,8 4,2
=308 =54,5
𝐺 =
∑ 𝑝𝑖
=
54,5
308
= 0,177

trabajadores
Hallar el índice de Gini
Solución:
Salarios
(xi) S/.
Nº de obr.
ni
∑ 𝐱 𝐢 𝐧𝐢]*100%
∑ 𝐱 𝐢 𝐧𝐢)*100%
150 7 7 1050 5,38 7 5,38
170 20 20 3400 17,44 27 22,82
190 33 33 6270 32,15 60 54,97
210 25 25 5250 26,93 85 81,90
230 11 11 2530 12,97 96 94,87
250 4 4 1000 5,13 100 100
n=100 100 19500 100
El índice de Gini
PROBLEMAS 5 – 1
1. Se han obtenido los siguientes puntajes en matemáticas y
lenguaje de 80 alumnos en un colegio.
Alumno 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
P.
matemática
43 50 83 90 53 59 71 59 31 50 72 65 75 79
pi qi pi - qi
7 5,38 1,62
27 22,82 4,18
60 54,97 5,03
85 81,90 3,1
96 94,87 1,13
=275 =15,06
𝐺 =
∑ 𝑝𝑖
=
15,06
275
= 0,0548

P. lenguaje 36 42 63 86 44 61 72 63 35 51 54 52 67 62
Alumno 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28
P.
matemática
58 83 72 67 35 61 52 76 93 49 72 60 82 57
P. lenguaje 56 72 76 42 33 53 55 65 96 55 55 56 66 45
Alumno 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42
P.
matemática
62 41 39 32 55 61 58 72 66 81 73 50 45 72
P. lenguaje 58 35 50 32 56 54 56 71 69 84 60 52 43 69
Alumno 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56
P.
matemática
62 59 41 93 65 71 78 64 45 56 55 52 66 82
P. lenguaje 71 78 34 91 63 64 67 72 42 45 43 60 65 86
Alumno 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
P.
matemática
46 52 62 68 42 51 66 72 36 56 52 66 68 61
P. lenguaje 42 54 66 75 44 56 59 69 40 45 39 65 71 67
Alumno 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
P.
matemática
65 67 51 36 63 35 39 71 81 36
P. lenguaje 64 70 55 41 61 34 35 73 76 42
a) Construya la tabla bidimensional de frecuencias absolutas y
relativas, eligiendo clases de amplitud constante c=10.
Tabla 5.1 tabla bidimensional de frecuencias absolutas
Leng.
Mat.
[32-42> [42-52> [52-62> [62-72> [72-82> [82-92> [92-102> Total = ni.
[31-41> 7 2 0 0 0 0 0 9

[41-51> 3 6 2 0 0 0 0 11
[51-61> 1 6 10 1 0 0 0 18
[61-71> 0 1 6 10 2 0 0 19
[71-81> 0 0 3 8 3 0 0 14
[81-91> 0 0 0 2 2 3 0 7
[91-101> 0 0 0 0 0 1 1 2
Total= n.j 11 15 21 21 7 4 1 80
Tabla 5.2 tabla bidimensional de frecuencias relativas
Leng.
Mat.
[32-42> [42-52> [52-62> [62-72> [72-82> [82-92> [92-102> Total = ni.
[31-41> 0,0875 0,025 0 0 0 0 0 0,1125
[41-51> 0,0375 0,075 0,025 0 0 0 0 0,1375
[51-61> 0,0125 0,075 0,125 0,0125 0 0 0 0,225
[61-71> 0 0,0125 0,075 0,125 0,025 0 0 0,2375
[71-81> 0 0 0,0375 0,1 0,0375 0 0 0,175
[81-91> 0 0 0 0,025 0,025 0,0375 0 0,0875
[91-101> 0 0 0 0 0 0,0125 0,0125 0,025
Total= n.j 0,1375 0,1875 0,2625 0,2625 0,0875 0,05 0,0125 1
b) Confeccione una lista de las:
i. Marcas de clases (Xi) y (Yi)
𝑋1 =
31 + 41
2
= 36 𝑌1 =
32 + 42
2
= 37
𝑋2 =
41 + 51
2
= 46 𝑌2 =
42 + 52
2
= 47
𝑋3 =
51 + 61
2
= 56 𝑌3 =
52 + 62
2
= 57

𝑋4 =
61 + 71
2
= 66 𝑌4 =
62 + 72
2
= 67
𝑋5 =
71 + 81
2
= 76 𝑌5 =
72 + 82
2
= 77
𝑋6 =
81 + 91
2
= 86 𝑌6 =
82 + 92
2
= 87
𝑋7 =
91 + 101
2
= 96 𝑌7 =
92 + 102
2
= 97
ii. Frecuencias absolutas acumuladas.(Nij)
Leng.
Mat.
[32-42> [42-52> [52-62> [62-72> [72-82> [82-92> [92-102>
[31-41> 7 9 9 9 9 9 9
[41-51> 10 18 20 20 20 20 20
[51-61> 11 25 37 38 38 38 38
[61-71> 11 26 44 55 57 57 57
[71-81> 11 26 47 66 71 71 71
[81-91> 11 26 47 68 75 78 78
[91-101> 11 26 47 68 75 79 80
Calcule:
c) Las frecuencias absolutas marginales.
Frecuenciasabsolutasmarginalesde X Frecuenciasabsolutasmarginalesde Y
Xi ni. Ni.
6 9 9
46 11 20
56 18 38
66 19 57
76 14 71
86 7 78
96 2 80

80
d) Las frecuencias
condicionales.
Leng.
Mat.
nx/y=[32-42>=nij Fx/y=[32-42>=
𝒏 𝒊𝒋
𝒏.𝒋
[31-41> 7 7/11
[41-51> 3 3/11
[51-61> 1 1/11
[61-71> 0 0/11
[71-81> 0 0/11
[81-91> 0 0/11
[91-101> 0 0/11
Total 11 1
e) 𝑥̅, 𝑦̅, 𝑆𝑥
2
, 𝑆 𝑦
2
.
𝑥̅ =
∑ 𝑥𝑖 𝑛𝑖.7
𝑖=7
𝑛
=
4950
80
= 61,88
𝑦̅ =
∑ 𝑦𝑖 𝑛. 𝑗7
𝑖=7
𝑛
=
4700
80
= 58,75
𝑆 𝑥
2
=
∑ ( 𝑥𝑖 − 𝑥̅)2
𝑛𝑖.7
𝑖=7
𝑛 − 1
=
18938,76
79
= 239,73
Xi ni. Ni.
36 11 11
46 15 26
56 21 47
66 21 68
76 7 75
86 4 79
96 1 80
80

𝑆 𝑦
2
=
∑ ( 𝑦𝑖 − 𝑦̅)2
𝑛. 𝑗7
𝑖=7
𝑛 − 1
=
15757
79
= 199,45
f) Cov(x, y); V(x + y); V(x - y).
𝐶𝑜𝑣( 𝑥, 𝑦) =
1
𝑛
∑ ∑ 𝑥𝑖 𝑦𝑖 𝑛𝑖𝑗
7
𝑗=1
− 𝑥̅ 𝑦̅
7
𝑖=1
=
1
80
(304458) − 3635,45 = 170,28
V(x + y) = 𝑆𝑥
2
+ 𝑆 𝑦
2
+ 2(𝐶𝑜𝑣( 𝑥, 𝑦))
= 239,73+ 199,45 + 2(170,28)
= 779,74
V(x − y) = 𝑆𝑥
2
+ 𝑆 𝑦
2
− 2(𝐶𝑜𝑣( 𝑥, 𝑦))
= 239,73+ 199,45 − 2(170,28)
= 98,62
2. En un estudio para conocer la relación entre el sexo y
delincuencia, se toma una muestra de 522 personas, los
resultados se presenta en la tabla siguiente:
Hombre Mujer Total
Delincuente 122 112 234
No delincuente 210 78 288
Total 332 190 522
a. Represente gráficamente la distribución de frecuencias
absolutas y relativas.

b. Represente la gráfica del sexo respecto de la delincuencia.
3. La tabla de frecuencias que se presenta a continuación es el
resultado de una muestra aleatoria de parejas de padre e hijo.
0
50
100
150
200
250
300
350
Delincuente No delincuente
tab.5.4 Sexo respecto a la delincuencia
Hombre
Mujer
Mujer
Hombre
0
50
100
150
200
250
Delincuente
No
delincuente
Mujer 112 78
Hombre 122 210
tab. 5.2 Distribución de frecuencias
absolutas
Mujer
Hombre
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
0.45
Delincuente
No
delincuente
Mujer 0.21 0.15
Hombre 0.23 0.40
tab. 5.3 Distribución de frecuencias
relativas

Padre
Hijo
Menos de 1.60 m De 1.60 a 1.80 m Más de 1.80 m
Menos de 1.60 m 50 400 10
De 1.60 a 1.80 m 150 2000 200
Más de 1.80 m 5 300 60
Hallar:
a. La distribución marginal
Distribución marginal para el hijo Distribución marginal para el padre
b. L
a tabla de distribución absoluta acumulada.
Padre
Hijo
150 m 170 m 190 m
150 m 50 450 460
170 m 200 2600 3115
190 m 205 2905 3175
c. 𝑥̅, 𝑦̅, 𝑆 𝑥 , 𝑆 𝑦 y Cov(x, y) si es posible.
𝑥̅ =
∑ 𝑥𝑖 𝑛𝑖.7
𝑖=7
𝑛
=
537850
3175
= 169,4
𝑦̅ =
∑ 𝑦𝑖 𝑛. 𝑗7
𝑖=7
𝑛
=
541050
3175
= 170,41
𝑆 𝑥
2
=
∑ ( 𝑥𝑖 − 𝑥̅)2
𝑛𝑖.7
𝑖=7
𝑛 − 1
=
328863
3174
= 103,61
𝑆 𝑥 = √ 𝑆 𝑥
2 = √103,61 =10,18
Padre ni. fi.
150 205 0,065
170 2700 0,850
180 270 0,085
total 3175 1,00
Hijo ni. fi.
150 460 0,145
170 2350 0,740
180 365 0,115
total 3175 1,00

𝑆 𝑦
2
=
∑ ( 𝑦𝑖 − 𝑦̅)2
𝑛. 𝑗7
𝑖=7
𝑛 − 1
=
15757
3174
= 199,45
𝑆 𝑦 = √𝑆 𝑦
2 = √59,77 =7,73
4. Se conocen las varianzas de la suma y la diferencia de dos
variables:
V(x + y) = 8.3 y V(x - y) = 10.1
Hallar la covarianza de ambas variables.
 Sabemos que :
V(x + y) = 𝑆𝑥
2
+ 𝑆 𝑦
2
+ 2(𝐶𝑜𝑣( 𝑥, 𝑦))….(1)
V(x − y) = 𝑆𝑥
2
+ 𝑆 𝑦
2
− 2(𝐶𝑜𝑣( 𝑥, 𝑦))….(2)
 Resolviendo el sistema tenemos :
𝑆𝑥
2
+ 𝑆 𝑦
2
=
(V(x+ y) + V(x− y))
2
 Reemplazando datos del problema:
𝑆 𝑥
2
+ 𝑆 𝑦
2
=
(8,3 + 10,1)
2
𝑆𝑥
2
+ 𝑆 𝑦
2
= 9,2….(3)
 Reemplazando (3) en (1)
8,3 = 9,2+ 2(𝐶𝑜𝑣( 𝑥, 𝑦))

𝐶𝑜𝑣( 𝑥, 𝑦) = −0,45

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