Este documento presenta 10 problemas relacionados con el cálculo de valores futuros y presentes de series de pagos con tasas de interés variables. Los problemas involucran determinar valores de depósitos, créditos, ahorros y activos utilizando fórmulas financieras como el valor futuro, valor presente y tasas de interés compuestas y efectivas aplicadas a períodos como años, meses y semestres.

1. Problemas propuestos
1.- Determinar el valor futuro de una serie de depósitos anuales, durante 10 años, si el primero es
de 5000 y la tasa de crecimiento anual es del 5%. Suponer la tasa de interés del 8% efectivo.
VF = 88.338,40
A1 =5000 VF= 𝐴1 ∗ [
(1+𝑖 𝑟) 𝑛−(1+𝑖) 𝑛
(1+𝑖 𝑟)−(1+𝑖)
]
n= 10
m= 1 VF =5000 ∗ [
(1+5%)10−(1+8%)10
(1+5%)−(1+8%)
]
i= 8%
i r =5% VF =5000 ∗ [
1,62889427−2,15894997
1,05−1,08
]=88.338,40
2.- Un crédito, se acuerda cancelar con un primer pago de 500 al final del primer mes y con
incrementos mensuales de 10. Si el plazo del crédito es 3 años y la tasa de interés del 9%
capitalizable mensualmente, determinar el valor del crédito.
VA = 20.973,33
A1 =500 VA= 𝐴1 ∗ [
1−(1+𝑖)−𝑛
𝑖
] +
𝑑
𝑖
∗ {[
1−(1+𝑖)−𝑛
𝑖
] − 𝑛 ∗ (1 + 𝑖)−𝑛
}
n= 3
m= 12 ; n*m= 36 VA= 500 ∗ [
1−(1+0,0075)−36
0,0075
] +
10
0,0075
∗ {[
1−(1+0,0075)−36
0,0075
] − 36 ∗ (1 + 0,0075)−36
}
i= 9% ; i/m= 0,0075
d =10 VA= 500 ∗ [31,4468052] + 1333,333 ∗ {[31,4468052] − 36 ∗ 0,76414896}
VA= 20.973,33
3.- Determinar el valor del primer depósito, de una serie creciente de depósitos mensuales, que se
incrementarán al 2% mensual, si el valor futuro se establece que será del 100000, en 5 años.
Considerar la tasa del 12% capitalizable mensualmente.
VF= 100000 VF= 𝐴1 ∗ [
(1+𝑖 𝑟) 𝑛−(1+𝑖) 𝑛
(1+𝑖 𝑟)−(1+𝑖)
]
m = 12
i = 12% ; i/m =0.01 𝐴1= VF ∗ [
(1+𝑖 𝑟)−(1+𝑖)
(1+𝑖 𝑟)
𝑛
−(1+𝑖)
𝑛]
ir = 2%
n = 5 ; n*m= 60 𝐴1= 100000 ∗ [
(1+0.02)−(1+0.01)
(1+0.02)60−(1+0.01)60
]= 682.9043

2. 4.- Una empresa desea acumular 200000 en 5 años, mediante depósitos trimestrales crecientes, a
la tasa del 5% trimestral. Si la tasa de interés es del 16% capitalizable trimestralmente, determinar
el valor del primer depósito.
A1 = 4.327,37
VF= 200000 VF= 𝐴1 ∗ [
(1+𝑖 𝑟) 𝑛−(1+𝑖) 𝑛
(1+𝑖 𝑟)−(1+𝑖)
]
m = 4
i = 16% ; i/m =0.04 𝐴1= VF ∗ [
(1+𝑖 𝑟)−(1+𝑖)
(1+𝑖 𝑟)
𝑛
−(1+𝑖)
𝑛]
ir = 5%
n = 5 ; n*m= 20 𝐴1= 200000 ∗ [
(1+0.05)−(1+0.04)
(1+0.05)
20
−(1+0.04)
20]= 43.327,37
5.- La sociedad BXW depositó 40000 al final del primer año y luego incrementó cada año el valor
de los mismos a una determinada tasa. Si el dinero depositado en una cuenta bancaria reconoce
una tasa de interés igual a la tasa de crecimiento de los depósitos, determinar la tasa si el valor
futuro alcanzará a 400000, al término de 5 años.
i = 0.189207
𝐴1= 40000 VF= 𝐴1 ∗ 𝑛 ∗ (1 + 𝑖 𝑟) 𝑛−1
m = 1
i =? ; 400000= 40000 ∗ 5 ∗ (1 + 𝑖)4
n = 5
VF= 400000 √
400000
200000
4
= √(1 + 𝑖)44
𝑖 = √2
4
− 1= 0.189207115
6.- Determinar el valor futuro de una serie de depósitos anuales de 20000 cada uno, durante 5
años; seguido de 5 depósitos anuales crecientes, con un primer depósito de 20000 y con un
incremento anual de 5000. Suponer una tasa del 8% efectivo.
VF = 343.893,81
Primer flujo
A1 =20000 VF= 𝐴1 ∗ [
(1+𝑖) 𝑛−1
𝑖
]
n= 5
m= 1 ; n*m= 5 VFaño5= 20000 ∗ [
(1+0,08)5−1
0,08
]= 117,332.02
i= 8% ; i/m= 8%

3. Segundo flujo
A1 =20000 VF= 𝐴1 ∗ [
(1+𝑖) 𝑛−1
𝑖
] +
𝑑
𝑖
∗ {[
(1+𝑖) 𝑛−1
𝑖
] − 𝑛}
n= 5
m= 1 ; n*m= 5 VF= 20000 ∗ [
(1+0,08)5−1
0,08
] +
5000
0,08
∗ {[
(1+0,08)5−1
0,08
] − 5}
i= 8% ; i/m= 8%
d= 5000 VF pa= 20000 ∗ [
(1+0,08)5−1
0,08
] +
5000
0,08
∗ {[
(1+0,08)5−1
0,08
] − 5}
VF pa = 171,495.7
Llevando el VFaño5 VF AÑO 10
VF año10=[117,332.02 ∗ (1 + 𝑖) 𝑛] ; VF año10=117,332.02 ∗ (1 + 0.08)5
= 172399.23
Suma entre: VF pa y VF año10= 171,495.7 + 172399.23 = 343.893,81
7.- Determinar el valor de un activo, adquirido a 10 años plazo, si debe cancelarse 20000 al final de
cada semestre, durante 4 años; y, a continuación pagos semestrales crecientes a una tasa del 6%
por semestre, con un primer pago de 40000. Suponer la tasa de interés del 10% capitalizable
semestralmente.
VA = 343.201,54
Primer flujo
A1 =20000 VA= 𝐴1 ∗ [
1−(1+𝑖)−𝑛
𝑖
]
n= 4
m= 2 ; n*m= 8 VAaño4= 20000 ∗ [
1−(1+0,05)−8
0,05
]= 117.332,02
i= 10% ; i/m= 0.05
Segundo flujo
A5 =40000 VA= {𝐴5 ∗ [
(1+𝑖 𝑟) 𝑛−(1+𝑖) 𝑛
(1+𝑖 𝑟)−(1+𝑖)
]} ∗ (1 + 𝑖)−𝑛
n= 6
m= 2; n*m= 12 VA= {40000 ∗ [
(1+0,06)12−(1+0.05)12
(1+0,06)−(1+0.05)
]} ∗ (1 + 0,05)−12
i= 10%; i/m= 0.05
ir= 0,06 VAPG=865360 ∗ (1 + 0,05)−12= 481.865,8282

4. Llevando el VFPG VF INICIO
VF inicio=[481865,8282 ∗ (1 + 𝑖)−𝑛] ; VF inicio=481865,8282 ∗ (1 + 0.05)−8
= 326145,0829
Suma entre: VAaño4y VF inicio= 117,332.02+ 326145,0829= 455.409,34
8.- AA decide realizar ahorros mensuales, durante 5 años, siendo el depósito inicial de 50, en una
institución financiera que reconoce el 9% capitalizable mensualmente. Si el primer depósito lo
hará luego de transcurridos 7 meses; y, el incremento mensual será de 10. Determinar el valor que
dispondrá luego de a) 3 años; y, b) 5 años, de realizar los depósitos.
VF = 8.927,92 VF = 24.336,72
a) Luego de tres años
A1 =50 VF= 𝐴1 ∗ [
(1+𝑖) 𝑛−1
𝑖
] +
𝑑
𝑖
∗ {[
(1+𝑖) 𝑛−1
𝑖
] − 𝑛}
n= 3
m= 12; n*m= 60 VF= 50 ∗ [
(1+0,0075)36−1
0,0075
] +
10
0,0075
∗ {[
(1+0,0075)36−1
0,0075
] − 36}
i= 9%; i/m= 0.0075
d= 10 VF= 50 ∗ [41,15271613] + 1333,33 ∗ {[41,15271613] − 36}
VF= 8,927.92
b) Luego de cinco años
A1 =50 VF= 𝐴1 ∗ [
(1+𝑖) 𝑛−1
𝑖
] +
𝑑
𝑖
∗ {[
(1+𝑖) 𝑛−1
𝑖
] − 𝑛}
n= 3
m= 12; n*m= 60 VF= 50 ∗ [
(1+0,0075)60−1
0,0075
] +
10
0,0075
∗ {[
(1+0,0075)60−1
0,0075
] − 60}
i= 9%; i/m= 0,0075
d= 10 VF= 50 ∗ [75,42413693] + 1333,33 ∗ {[75,42413693] − 60}
VF= 24.336,7176

5. 9.- Determinar el valor presente de una serie de pagos anuales creciente, durante los primeros 5
años, desde 5000 que corresponde al primer pago, con variación de 5000, hasta 25000; seguido de
pagos iguales de 25000 durante los 5 años siguientes; y, en los 5 años siguientes, pagos
decrecientes desde 25000 a 5000, con 5000 de diferencia entre uno y otro. Considerar la tasa del
12% capitalizable semestralmente.
VA = 117.331,27
Primer flujo
i= 12% VA= 𝐴1 ∗ [
1−(1+𝑖)−𝑛
𝑖
] +
𝑑
𝑖
∗ {[
1−(1+𝑖)−𝑛
𝑖
] − 𝑛 ∗ (1 + 𝑖)−𝑛
}
A1 =5000
n= 5 VA= 5000 ∗ [
1−(1+0,1236)−5
0,1236
] +
5000
0,1236
∗ {[
1−(1+0,1236)−5
0,1236
] − 5 ∗ (1 + 0,1236)−5
}
m= 1 ; n*m= 5
d =5000 VA= 5000 ∗ [3,572858] + 40.453,07 ∗ {[3,572858] − 2,79195}
VA= 49453,4438
Segundo flujo
A1 =25000 VA= 𝐴1 ∗ [
1−(1+𝑖)−𝑛
𝑖
]
n= 5
m= 1 ; n*m= 5 VA= 25000 ∗ [
1−(1+0,1236)−5
0,1236
]
i= 12% ; i/m= 0,1236
VA= 25000 ∗ [3,572858]
VA= 89.321,44 El cual llevo a valor actual del inicio VA= 𝐴1 ∗ (1 + 𝑖)−𝑛
VA= 89.321,44 ∗ (1 + 0,1236)−5
= 49.876,63
Tercer flujo
A1 =25000 VA= 𝐴1 ∗ [
1−(1+𝑖)−𝑛
𝑖
] +
𝑑
𝑖
∗ {[
1−(1+𝑖)−𝑛
𝑖
] − 𝑛 ∗ (1 + 𝑖)−𝑛
}
n= 5
m= 1 ; n*m= 5 VA= 25000 ∗ [
1−(1+0,1236)−5
0,1236
] −
5000
0,1236
∗ {[
1−(1+0,1236)−5
0,1236
] − 5 ∗ (1 + 0,1236)−5
}
i= 12% ; i/m= 0,1236
d =-5000 VA= 25000 ∗ [3,572858] − 40.453,07 ∗ {[3,572858] − 2,79195}
VA= 57.732,29 El cual llevo a valor actual del inicio VA= 𝐴1 ∗ (1 + 𝑖)−𝑛
VA= 57.732,29 ∗ (1 + 0,1236)−10
= 18001,20

6. Suma de va de todos los flujos= 49.453,4458 + 49.876,63 + 18.001,20= 117.331,27
10.- Determinar el valor futuro de dos series de pagos consecutivos, de 6 años cada uno, cuyo
comportamientos se repite; si el primer pago es de 5000 y el último de 10000, con una variación
anual de 1000. Suponer la tasa del 10% capitalizable semestralmente. VF = 156.669,79
Primera serie
A1 =5000 VF= 𝐴1 ∗ [
(1+𝑖) 𝑛−1
𝑖
] +
𝑑
𝑖
∗ {[
(1+𝑖) 𝑛−1
𝑖
] − 𝑛}
n= 6
m= 1; n*m= 6 VF= 5000 ∗ [
(1+0,01025)6−1
0,1025
] +
1000
0,1025
∗ {[
(1+0,1025)6−1
0,1025
] − 6}
i=10%; i/m= 0.1025
d= 1000 VF= 50 ∗ [7,764452] + 9756,097561 ∗ {[7,764452] − 6}
VF= 56.036,4253 El cual llevo a valor futuro del año 10 VA= 𝐴1 ∗ (1 + 𝑖) 𝑛
VA= 56.036,4253 ∗ (1 + 0,1025)6
= 100.533,3688
Segunda serie
A1 =5000 VF= 𝐴1 ∗ [
(1+𝑖) 𝑛−1
𝑖
] +
𝑑
𝑖
∗ {[
(1+𝑖) 𝑛−1
𝑖
] − 𝑛}
n= 6
m= 1; n*m= 6 VF= 5000 ∗ [
(1+0,01025)6−1
0,1025
] +
1000
0,1025
∗ {[
(1+0,1025)6−1
0,1025
] − 6}
i=10%; i/m= 0.1025
d= 1000 VF= 50 ∗ [7,764452] + 9756,097561 ∗ {[7,764452] − 6}
VF= 56.036,4253
Suma de va de todas las series = 100.533,3688 + 56.036,4253= 156.669,79

7. 11.- Determinar el valor actual de una serie de depósitos trimestrales, durante 5 años, si el
primero es de 10000 y la diferencia entre dos pagos consecutivos es de 500. Suponer la tasa de
interés del 12% capitalizable trimestralmente.
A1 =10000 VA= 𝐴1 ∗ [
1−(1+𝑖)−𝑛
𝑖
] +
𝑑
𝑖
∗ {[
1−(1+𝑖)−𝑛
𝑖
] − 𝑛 ∗ (1 + 𝑖)−𝑛
}
n= 5
m= 4 ; n*m= 20 VA= 10000 ∗ [
1−(1+0,03)−20
0,03
] +
500
0,03
∗ {[
1−(1+0,03)−20
0,03
] − 20 ∗ (1 + 0,03)−20
}
i= 12% ; i/m= 0,03
d =500 VA= 10000 ∗ [
1−(1+0,03)−20
0,03
] +
500
0,03
∗ {[
1−(1+0.03)−20
0.03
] − 20 ∗ (1 + 0.03)−20
}
VA= 10000 ∗ [14,8774749] + 16666,666 ∗ {[14,8774749] − (200 ∗ 0,554)}
VA= 212.174,08
12.- Determinar el valor futuro de una serie de depósitos mensuales, durante 3 años, si el primero
es de 250 y la diferencia entre dos pagos consecutivos es de 10. Suponer la tasa de interés del 9%
capitalizable mensualmente.
A1 =250 VF= 𝐴1 ∗ [
(1+𝑖) 𝑛−1
𝑖
] +
𝑑
𝑖
∗ {[
(1+𝑖) 𝑛−1
𝑖
] − 𝑛}
n= 3
m= 12; n*m= 36 VF= 250 ∗ [
(1+0,0075)36−1
0,0075
] +
10
0,0075
∗ {[
(1+0,0075)36−1
0,0075
] − 36}
i= 9%; i/m= 0,0075
d= 10 VF= VF= 250 ∗ [41,15271613] + 1333,33 ∗ {[41,15271613] − 36}
VF= 17.158,4672
13.- Determinar el valor actual de una serie de depósitos mensuales, durante 6 años, si el primero
es de 10000 y la tasa de variación entre dos pagos consecutivos es del 1%. Suponer la tasa de
interés del 9% capitalizable mensualmente.
A5 =10000 VA= {𝐴5 ∗ [
(1+𝑖 𝑟) 𝑛−(1+𝑖) 𝑛
(1+𝑖 𝑟)−(1+𝑖)
]} ∗ (1 + 𝑖)−𝑛
n= 6
m= 12 ; n*m= 72 VA= {10000 ∗ [
(1+0,01)72−(1+0.0075)72
(1+0,01)−(1+0.0075)
]} ∗ (1 + 0,0075)−72
i= 9% ; i/m= 0,0075
ir= 0,01 VA= {10000 ∗ [
(1+0,01)72−(1+0.0075)72
(1+0,01)−(1+0.0075)
]} ∗ (1 + 0,0075)−72
VA= {10000 ∗ [133,818642]} ∗ (1 + 0,0075)−72
=781.398,68

8. 14.- Determinar el valor actual de una serie de depósitos anuales, durante 10 años, si el primero es
de 10000, el segundo de 12000 y los restantes de 14000. Suponer la tasa de interés del 8%
capitalizable anualmente.
Primer depósito
A1 =10000 VA= 𝐴1 ∗ [
1−(1+𝑖)−𝑛
𝑖
]
n= 1
m= 1; n*m= 1 VAaño1= 10000 ∗ [
1−(1+0,08)−1
0,08
]= 9.259,26
i= 8% ; i/m= 0,08
Segundo depósito
A1 =12000 VA= 𝐴1 ∗ [
1−(1+𝑖)−𝑛
𝑖
]
n= 2
m= 1; n*m= 2 VAaño2= 12000 ∗ [
1−(1+0,08)−2
0,08
]= 21.399,18
i= 8%; i/m= 0,08
El resto de depósitos
A =14000 VA= 𝐴1 ∗ [
1−(1+𝑖)−𝑛
𝑖
]
n= 8 VA= 14000 ∗ [
1−(1+0,08)−8
0,08
]= 80.452,95
m= 1; n*m= 8
i= 8% ; i/m= 0,08 suma de VAaño1+ VAaño2 + VA = 111.111,38
15.- Determinar el valor futuro de una serie de depósitos anuales, durante 8 años, si el primero es
de 6000, el segundo de 8000 y los restantes de 10000. Suponer la tasa de interés del 10%
capitalizable anualmente.
PAGO 1
TASA
Primer deposito
A1 =6000 VF= 𝐴1 ∗ [
(1+𝑖) 𝑛−1
𝑖
]
n= 8
m= 1; n*m= 8 VAaño8= 6000 ∗ [
(1+0,1)8−1
0,1
]= 68.615,33
i= 10% ; i/m= 0,10ANUAL
NÚMERO
CAPITALIZ.
TASA

9. Segundo deposito
A1 =6000 VF= 𝐴1 ∗ [
(1+𝑖) 𝑛−1
𝑖
]
n= 7
m= 1; n*m= 7 VFaño7= 8000 ∗ [
(1+0,1)7−1
0,1
]= 75.897,37
i= 10% ; i/m= 0,10ANUAL
EFECTIVA AÑ
VF
El resto de depósitos
A1 =6000 VF= 𝐴1 ∗ [
(1+𝑖) 𝑛−1
𝑖
]
n= 6
m= 1; n*m= 6 VF= 10000 ∗ [
(1+0,1)7−1
0,1
]= 77.156,10
i= 10% ; i/m= 0,10ANUAL
Suma de Vfaño8+ Vfaño7+ VF = 221.668,80