Conceptos y aplicaciones resueltas y propuestas del movimiento.

1. LUIS ANÍBAL PANTOJA LOPEZ
MECANICA
TERMODINAMICA
EVENTOSONDULATORIOS
ELECTRICIDADY MAGNETISMO
MECANICA
COMPONENTES: (SABERES)

2. EJEMPLO: Si un auto va con velocidad
constante y desde su radiador cae una
gota de agua cada segundo, en el piso
las marcas del agua se verían así:
X(m)
t (s)
Como la velocidad es constante , no
hay cambio de velocidad, es decir su
aceleración a=0
a(m/s2)
t
Su velocidad es constante, no cambia
3
1
9
6
2 3
t=0
v=3m/s
t=2s
v=3m/s
t=1s
v=3m/s
t=4s
v=3m/s
t=3s
v=3m/s
Recorre espacios (distancia) iguales en tiempos iguales
V(mt/s)
t (s)
1 2 3
3
Pag:157

3. EJEMPLO: Si un auto va con MUA+ desde su
radiador cae una gota de agua cada segundo,
en el piso las marcas del agua se verían como
muestra el vehículo así:
Recorre espacios (distancia) cada vez mayores
cuando transcurre el tiempo
Como la aceleración o aumento de la
velocidad es constante 5m/s por cada sg.
a(m/s2)
t (s)
Su velocidad cambia aumentando constantemente
con el tiempo
V(mt/S)
t (s)1 2 3
10
5
20
15
4
1 2 3
5
1 2 3
t=0
v=0
t=1
v=5
t=2 sg
v=10m/s
t=3 sg
v=15m/s
t=4 sg
v=20m/s
x(m)
t (sg)
Pag:160

4. EJEMPLO: Si un auto va con
MUA- desde su radiador cae una
gota de agua cada segundo, en el
piso las marcas del agua se verían
así:
Recorre espacios (distancia) cada vez menores
cuando transcurre el tiempo
V(m/S)
t (s)
Si la a=- 4m/s2 significa disminución de la
velocidad es constante-4m/s por cada s.
a(m/s2)
t (s)
Su velocidad cambia disminuyendo constantemente con el t
1 2 3
8
4
16
12
4
x(m)
t
(sg)
1 2 3
- 4
1 2 3 4
t=1 sg
v=12m/s
t=2 sg
v=8m/s
t=3
v=4
t=4
v=0
t=0 sg
v=16m/s
4
Pag:160

5. V(mt/s)
t (s)
X(m)
t (s)
a(m/s2)
t
V(mt/S)
t (s)
x(m)
t (sg)
a(m/s2)
t (s)
V(m/S)
t (s)
x(m)
t (sg) a(m/s2)
t (s)
MU: V CONSTANTE, DISTANCIAS X IGUALES ENT IGUALES, NO HAY CAMBIO DEV : a=0
MUA+: V AUMENTA, DISTANCIAS X CADAVEZ MAYORES ENT IGUALES, GANAV = a+
MUA-: PIERDEV, DISTANCIAS X CADAVEZ MENORES ENT IGUALES, PIERDE V = a -
Pag:179

6. Pag:160

9. Aceleración: por cada segundo, cuanto
aumenta o disminuye su velocidad?
v(m/s)
t (s)
18
3
v(m/s)
t (s)
8
2
v(m/s)
t (s)
12
3
v(m/s)
t (s)
3
1
Aceleración a = 6m/s2
Aceleración a = - 4 m/s2
Aceleración a = 4m/s2
Aceleración a = 3 m/s2

10. 72 km/h = 72000 mt/3600sg= 20 mt/sg
90kmt/h = 90000m/ 3600sg= 25 mt/sg
Vt = 45 mt/sg ( de la suma) a esta
velocidad se acercan
Ecuación: x = v. t
X = t
V
360 m = t
45 m/s
8 sg= t es lo q tardan en encontrarse
Ecuación: xA = vA. tA
X A = VA . tA
X A = 20m/s . 8 sg
X A = 160 mt
Mas los 4mt de la longitud de el
mismo auto =164 m
Dos automóviles están separados una
distancia de 360m y viajan en sentido
contrario por carriles separados
VA
VB
4m
360m 5m
La distancia recorrida por el automóvil
que viaja hacia la derecha hasta el punto en el
que pasa completamente al otro carro es
A) 160m B) 200m C) 164m D)196m
5

11. Ecuaciones para cuando la velocidad aumente o disminuya
a =
vf – v0
t
x = v0.t +
2
at2
2ax = vf
2 – v0
2

12. Un automóvil se mueve de acuerdo con la siguientes graficas:
X V
12
t 2 t
-2
Cual es su ecuación de posición es:
a. 3t2
b. -2 +2t2
c. -2 + 3t2
d. - 2 + 6t2
La aceleración de la gráfica 2 es de 6
m/s2 ya que por cada segundo
aumenta su velocidad en 6 mt/s, y
si remplazamos en:
Tenemos:
X = 3 t2
pero de la primera grafica vemos
que arranco a acelerar estando 2
metros atrás de cero. Por ello
La clave es CCLAVE C
x = v0.t +
2
at2
x =
2
6t2
Pag:163

13. Un cuerpo se lanza verticalmente hacia arriba con velocidad de
30mt/s. ¿Cuánto tiempo tarda en llegar a la altura máxima?
Solución tradicional
Datos:
Vf = 0m/s……….cuando llega arriba se detiene
VO = 30m/s…….cuando sale
a = -10m/s2 . cuando va hacia arriba pierde
velocidad de 10 en 10 m/s por cada segundo
Ecuación: Despejando:
t =
-v0
a
t = -30 m/s
-10 m/s2
=3 s
Tarda 3 s en llegar al punto más alto de
trayectoria
a =
vf – v0
t
0
1
2
3
Si explicamos mejor el cuadro: cuando sale de la
mano que lo lanza lleva una velocidad de 30m/s; un
segundo después lleva una velocidad de 20 m/s
(diez menos), porque recuerda que por cada segundo
le disminuyo 10 m/s a la velocidad; dos segundos
después de empezar a subir lleva una velocidad de
10 m/s (diez m/s menos) y finalmente otro segundo
después, es decir , tres segundos después de
empezar a subir, el cuerpo se detiene v= 0m/s
…….se detuvo, su velocidad final es cero.
Solución recomendada
TIEMPO VELOCIDAD
Reemplazo:
O s 30 m/ s
1 s 20 m/ s
10 m/ s
0 m/ s3 s
2 s
Pag:165

14. Calculemos la altura alcanzada por el cuerpo que fue lanzado
hacia arriba con velocidad de 30 mt /s
 FORMATRADICIONAL
 F1.

 F2.
F.3.FORMA RECOMENDADA
ECUACION DEANIBAL X=V.T / 2 :
conVF OVO=0
X= 30.3
2
X= 45mt,
F4
2ax = vf
2 – v0
2
x = v0.t +
2
at2
x = 2.a
-Vo
2
x =
2.(-10)
-(302)
x = 45 mt
x = 30 . 3 -
2
10. 32
x = 90 - 45
X = 45 mt 0
1
2
3
TIEMPO VELOCIDAD ALTURA
Total
=45mt
0
25 mt
15 mt
5 mt
1 sg
2 sg
3 sg
30 m/s
20 m/s
10 m/s
0 m/s
Pag:166

16. CAIDA LIBRE
Tiempo de
caída ( s)
Velocidad
(mt/sg)
0
10
20
30
40
0
1
2
3
4
Pag:1167

17. CAIDA LIBRE
Tiempo de
caída ( s)
velocidad Distancia
en cada
segundo
0
1
2
3
4
0
10
20
30
40
5
15
25
35
Pag:167

18. CAIDA LIBRE
Tiempo de
caída ( s)
velocidad Distancia
en cada
segundo
Distancia
total hasta
ese tiempo
0
1
2
3
4
0
10
20
30
40
5
15
25
35
5mt = 1. 5
20mt = 4. 5
45 mt= 9. 5
80 mt= 16. 5
20 mt
5 mt
45 mt
80 mt
Pag:167

19. CAIDA LIBRE
Tiempo de
caída ( sg)
Velocidad
(mt/s)
Distancia
en cada
segundo
Distancia
total hasta
ese tiempo
0
1
2
3
4
0
10
20
30
40
5
15
25
35
5mt
20mt
45 mt
80mt
5mt = 1. 5
20mt = 4. 5
45 mt= 9. 5
80 mt= 16. 5
Altura 2
Y =V.t +a.t /2
Y = 5.t2
Pag:1167

20.  desde el piso 20 de un
edificio Aníbal deja caer
un cuerpo A y otro
cuerpo B del doble de
masa que el primero;
con respecto a las
velocidades de choque
contra el piso VA Y VB
de los 2 cuerpos de los
cuerpos A y B
respectivamente
podemos afirmar:
 a. VA = VB
 b.VA < VB
 c.VA > VB
 d. .VA = 2/3VB
En caída libre sin tener
en cuenta la
resistencia del aire no
importa la masa,
todos los cuerpos
caen con la misma
rapidez
A B
CLAVE A

21.  desde el piso 20 de un
edificio Aníbal deja caer
un cuerpo A y justo
cuando pasa el cuerpo
A por el piso 10 Beto
deja caer otro cuerpo B
del doble de masa que
el primero ; respecto a
las velocidades de
choque contra el piso VA
Y VB de los 2 cuerpos
podemos decir
 a. VA = VB
 b.VA < VB
 c.VA > VB
 d. .VA = 2VB
Puesto que A tiene mas
tiempo t para ganar
velocidad
A
B
CLAVE C

22.  desde el piso 20 de un
edificio Aníbal deja caer un
cuerpo A y justo cuando
pasa el cuerpo por el piso 10
Beto deja caer otro cuerpo
B ; respecto a las
aceleraciones de los
cuerpos aAY aB de los 2
cuerpos podemos decir
 a. aA = aB
 b. aA < aB
 c. aA > aB
 d. aA = 2aB
La aceleración para
todo cuerpo es de 10
m/s 2 en nuestro
planeta, y no importa
la altura siempre
ganara su velocidad
por cada segundo,
10mt/s
A
B
CLAVE A

24. Cual es el valor de la aceleración
mientras el cuerpo desciende por la
rampa mostrada con coeficiente de
rozamiento µ
F = m . a
- Fr + wX = m . a
- µ.m.g.cos Ø + m.g. sen Ø = m. a
- µ.g. cos Ø + g. sen Ø = a
θ
a. Tang θ
b. g . Sen θ
c. -µ.g. sen Ø + g. cos Ø
d. - µ.g. cos Ø + g. sen Ø
m
θ
CLAVE D
m
19
Pag:199-200

25. Cual es el valor del coeficiente de
rozamiento µ mientras el cuerpo
permanece en equilibrio
F = m . a
- Fr + wX = 0
- µ.m.g.cos Ø + m.g.sen Ø = 0
- µ. cos Ø + sen Ø = 0
sen Ø = µ. cos Ø
sen Ø = µ
cos Ø
tng Ø = µ
θ
a. Tang θ
b. g . Sen θ
c. -µ.g. sen Ø + g. cos Ø
d. - µ.g. cos Ø + g. sen Ø
m
θ
CLAVE A
m
a = 0, no hay
movimiento
20
Pag:200

28. ANALISIS LEY DE GRAVITACION UNIVERSAL
F =
Si las dos
cargas
estan a
una
distancia
d F La fuerza
es F
F
20
15
10
5
d/4 d/2 3d/4 d
Si las dos
cargas están a
una distancia
d F La fuerza es F
Si la distancia es
2d
2d
Si las dos
cargas están a
una distancia
d F La fuerza es F
Si la distancia es
2d
2d F/4 La fuerza se
reduce a la cuarta
parte
Si las dos
cargas están a
una distancia
d F La fuerza es F
Si la distancia es
2d
2d F/4 La fuerza se
reduce a la cuarta
parte
3d
Si las dos
cargas están a
una distancia
d F La fuerza es F
Si la distancia es
2d
2d F/4 La fuerza se
reduce a la cuarta
parte
3d F/9
Si la distancia se
reduce a la
mitad
d/2
Si las dos
masas están a
una distancia
d F La fuerza es F
Si la distancia
es 2d
2d F/4 La fuerza se
reduce a la cuarta
parte
3d F/9
Si la distancia
se reduce a la
mitad
d/2 4 F La fuerza
aumenta al
cuádruple
d/4 16F
𝐺 . 𝑚1. 𝑚2
𝑑2
Pag:204

29. MOVIMIENTO SEMIPARABÓLICO
Pag:169
10m/s
20m/s
30m/s

30. MOVIMIENTOSEMIPARABOLICO
A
C
B
D
S
G
El tiempo que tarda la rosada
en ir desde A-C es igual al que
tarda la verde en ir de A a D y
también es igual al tiempo
que tarda la verde en ir de A –
D:
la Rosada : M:U:
laVerde: M.U.A
la Azul: tiene los dos en el
eje x es MU y en el eje y es
MUA
Pag:169

31. d
y
2d
?
a. y
b. y/2
c. 2y
d. 4y
3d
9y
4Y
Recuerda en x: es MU: 1 , 2, 3, 4
En el eje y es MUA: 1, 4, 9, 16
CLAVE D
4d
16y

32. VELOCIDADES
20m/s
-20m/s
-30 m/s -10m/s
-30m/s
10m/s
Vx =V . cosθ
Vy=V.senθ
Vx =V . cosθ
Vx =V . cosθ
Vx =V . cosθ
Vx =V . cosθ
Vx =V . cosθ
Vx =V . cosθ
Pag:173

33. VELOCIDADES
En el punto mas alto de la trayectoria la velocidad es nula?:
Vx = v. cos θ
Pag:173

34. VELOCIDADES
En el punto mas alto de la trayectoria la velocidad es nula?:
CLAVE C : ya que en el punto más alto no se mueve hacia arriba , pero si se mueve
hacia el frente. Con un valor deVx =V . Cos θ
a. Nula b. máxima c. v. cos θ d. V.senθ
Vx = v. cos θ
Pag:173

35. VELOCIDADES
En el punto mas alto de la trayectoria la velocidad vertical tiene un valor de:
a. cero b. máximo c. v. cos θ d. V.senθ
20m/s
-20m/s
-30 m/s -10m/s
-30m/s
10m/s
CLAVE A : ya que en el punto más alto a perdido toda su velocidad en el eje y por la
acción de gravedad terrestre

36. VELOCIDADES
La gráfica de la velocidad vertical es:
a. B c. d.
20m/s
-20m/s
-30 m/s -10m/s
-30m/s
10m/s
VyVy VyVy
t t
t t
CLAVE A: Los valores de la velocidad son , 30, 20 , 10 , 0 , -10, -20, -30
Vx =V . cosθ

37. VELOCIDADES
20m/s
-20m/s
-30 m/s -10m/s
-30m/s
10m/s
Vx =V . cosθ
Vy=V.senθ
Vx =V . cosθ
Vx =V . cosθ
Vx =V . cosθ
Vx =V . cosθ
Vx =V . cosθ
Vx =V . cosθ

38. ANGULOS
El máximo alcance horizontal se consigue con un
ángulo de: a. 45º b. 60º c. 30º d. 90º CLAVE A
Pag:174

39. ACELERACION
Como en x el movimiento es MU , no hay aceleración, pero en el eje y por cada segundo de
subida pierde 10 m/s en su velocidad y cuando baja también gana 10m/s, es decir , la
aceleración es la de la gravedad y vectorialmente siempre se dibuja hacia el centro de la
tierra.
Pag:174

40. FUERZAS
Para que exista fuerza es suficiente con un cuerpo?
F
W WW
N N
Fr
¡NO¡ hacen falta 2 quien ejerce y quien recibe la fuerza
¡siempre deben estar en contacto quien ejerce y quien recibe la fuerza?
¡NO siempre¡ existen fuerzas a distancia como las gravitatorias (tierra –luna), magnéticas
(imán-puntilla) o eléctricas que no necesitan estar en contacto para ejercer una fuerza
Después de que el guayo deja el
contacto con el balón ya no existe la
fuerza F de contacto, es decir
cuando va rodando el balón es un
error dibujar la fuerza hacia
adelante, allí solo existe w,NY Fr, allí
se mueve por inercia
Error: no hay F A MENOSQ
HAYA CHALACA
Pag:197

41. FUERZAS
Para que exista fuerza es suficiente con un cuerpo?
F
W WW
N N
Fr
¡NO¡ hacen falta 2 quien ejerce y quien recibe la fuerza
¡siempre deben estar en contacto quien ejerce y quien recibe la fuerza?
¡NO siempre¡ existen fuerzas a distancia como las gravitatorias (tierra –luna),
magnéticas (imán-puntilla) o eléctricas que no necesitan estar en contacto para
ejercer una fuerza
Después de que el guayo deja el
contacto con el balón ya no existe la
Fuerza F de contacto, es decir
cuando va rodando el balón es un
error dibujar la fuerza hacia
adelante, allí solo existe w,NY Fr, allí
se mueve por inerciaPag:197

43. CLAVE D
Un hombre sostiene sobre sus manos, en una posición fija,
una caja de masa M a una altura h sobre el piso
Con respecto al trabajo que realiza el hombre puede decirse que
A) Es mayor, si M aumenta.
B) Es mayor, si h aumenta.
C) Depende de My h.
D) Es nulo.
23

44. El rayo McQueen pesa 500 kg y esta a 10 mt
de profundidad y la grúa debe sacarlo pero
solo puede efectuar un trabajo de 10 000
julios, cuantas grúas de las mismas
características pueden hacer el trabajo?
 A. 4
 B. 5
 C. 6
 D. 1
10m
CLAVE B
W = f. x
W =m g.x
W = 500k.10m/s2 . 10mt
W = 50000 julios
N0 de grúas =50000/ 10000
N0 de grúas =5

47. Energía
t
Ep
100
Un cuerpo de 1 kg que cae desde una altura de 10 mt .
EC
Et otalLa energía es igual
en cualquier punto.
EA =EB = EM = ED
A
B
M
D
Pag:235

48.  un carro de mas “m” en una montaña
rusa como se muestra en la figura
empieza a caer y cuando llega al resorte
de longitud L se detiene cuando lo
comprime hasta su mitad ¿Cuánto vale
H?
a. kL2 b.√ mgL
2
c . kL2 d. kL2
2mg 8mg
m
H
h L
CLAVE D: SOLUCIÓN
EA = EB
mgH = KX2
2
H = KX2
2mg
PERO X=L/2 se encogió la mitad de L
H = K ( L/2)2 =
2mg
H = 1 / 4K L2
2mg
H = KL2
8mg
A
B
Pag:236
B

49. aplicaciones
 un carro de mas “m” en una montaña rusa
como se muestra en la figura empieza a caer y
cuando llega al resorte de longitud L se detiene
cuando lo comprime hasta su mitad ¿Cuánto
vale su velocidad en en punto Q?
a. la velocidad en Q?
a .mv2 b.√ 2gH
c . gh d. √ g(H-h)
m
H
h L
Q
K
CLAVE B:
EA = EQ
mgH = m. v2
2
gH = v2
2
2 gH = v2
√ 2 gH = v
CLAVE B
Método Aníbal: dejar
caer un cuerpo hasta Q:
Vo = 0
X = H
a = g
2.a. x = Vf
2 -Vo
2
√ 2.g H = vf
Pag:

50.  un carro de mas “m” en una montaña
rusa como se muestra en la figura
empieza a caer y cuando llega al resorte
de longitud L, se detiene cuando lo
comprime hasta su mitad ¿Cuánto vale su
velocidad en punto K?
a. la velocidad en K?
a .mv2 b.√ 2gH
c . mgh d. √2g(H-h)
m
H
h L
Q
K
CLAVE D:
EA = Ek
mgH = mgh + m. v2
2
gH = gh + v2
2
gH - gh = v2
2
g (H - h ) = v2
2
2 g ( H- h) = v2
√ 2 g ( H - h ) = v
CLAVE D
Método Aníbal: dejar caer
un cuerpo hasta K:
Vo = 0
X = H - h
a = g
2.a.x = Vf
2 -Vo
2
√ 2.g (H – h) = vf
Pag:237

51. CLAVE D:
EA = Ek
mgH = mgh + m. v2
2
gH = gh + v2
2
gH - gh = v2
2
g (H - h ) = v2
2
2 g ( H- h) = v2
√ 2 g ( H - h ) = v

52.  Una masa m se deja caer en el péndulo
como se muestra en la figura en A, en el
punto “o” sale vertical a la superficie de
papel del libro un travesaño ( un madero)
donde se empieza a envolver el péndulo
de longitud 3 mt. En su primer giro cual
es la velocidad de la masa en el punto
“B”, de su primer giro?
a. √ 5 c. 2√ 10
b. √ 20 d. √ 10
m
0
1 mt
B
CLAVE B:
EA = EB
mgH = mgh + m. v2
2
gh = gh + v2
2
gH - gh = v2
2
10.3 - 10.2 = v2
2
30 - 20 = v2
2
10 = v2
2
20 = v2
√ 20 = v
CLAVE C
Método Aníbal: dejar
caer un cuerpo hasta B
Vo = 0
X = 1 mt
A = g = 10 m/s 2
2.a.x = Vf
2 -Vo
2
√ 2.10.1 = v

53. CLAVE D….
Como el empuje es igual al
peso del liquido desalojado:
a medida que se sumerge
aumenta el liquido
desalojado por lo tanto
aumenta su empuje y luego
de sumergirse totalmente
ya no desaloja más agua
por eso el empuje sigue
siendo constante
Un bloque de madera de altura L se sumerge en agua tal como
muestra la figura
La gráfica del empuje € en función de la
profundidad (P) a la que se sumerge el bloque es
33
Pag:216-218

58. Un automóvil se mueve de acuerdo con la siguientes graficas:
X V
12
-6 t 3 t
Cual es su ecuación de
posición es:
a. 2t2
b. -6 +2t2
c. 5t2
d. -6 +5t2 CLAVE B

59. Caída libre
 desde el piso 10 de un edificio
Aníbal deja caer un cuerpo A y
justo cuando pasa el cuerpo por el
piso 5 Beto deja caer otro cuerpo
B ; respecto a las aceleraciones de
los 2 cuerpos podemos decir
 A. son iguales
 B. la de A es mayor que la de B
 C.la de B es mayor que la de A
 D. no es posible saberlo.
CLAVE A

60. Caida libre
 desde el piso 20 de un edificio Aníbal
deja caer un cuerpo A y justo cuando
pasa el cuerpo por el piso 10 Beto
deja caer otro cuerpo B ;
 respecto a los tiempos de caída
empleado en recorrer los
últimos 3 pisos de descenso
podemos decir:
 A. son iguales
 B. el de A es mayor que el de B
 C. el de B es mayor que el de A
 D. no es posible saberlo
CLAVE C

61. 3. un cuerpo de masa m se desliza por
una pista sin fricción como se
muestra
la energía mecánica en B?
a .mv2/2 b.mgh c . gH
d.0
H
h
m
B
CLAVE A

62. 3. un cuerpo de masa m se desliza por
una pista sin fricción como se
muestra
la velocidad en D?
a .mv2/2 b.√ 2g(H-h)
c . mgh d. √ 2gh
H
h
m
B
D
CLAVE B

63. con la siguiente información .La gráfica muestra
la variación de velocidad vs. tiempo de un
cuerpo de 1 kg que se mueve a lo largo de una
superficie horizontal.
 1. Cual es su gráfica :a-t?
 A a b. a
 C. a d a
v(mt/s)
t (s)
2 4
4
6
I
II
III
4
CLAVE C

64. conlasiguienteinformación.Lagráficamuestrala
variacióndevelocidadvs.tiempodeuncuerpode1kgque
semuevealolargodeunasuperficiehorizontal.
5La fuerza desarrollada en el
primer segundo es:
a.2 N
b.4N
c.6N
d.8N.
v(mt/s)
t (s)
2 4 6
I
II
III
4
CLAVE A

65. conlasiguienteinformación.Lagráficamuestrala
variacióndevelocidadvs.tiempodeuncuerpode1kgque
semuevealolargodeunasuperficiehorizontal.
El trabajo desarrollado en el
primer segundo es:
a.16
b.4
c.0
d.8
v(mt/s)
t (s)
2 4 6
I
II
III
4
CLAVE D

66. conlasiguienteinformación.Lagráficamuestrala
variacióndevelocidadvs.tiempodeuncuerpode1kg
quesemuevealolargodeunasuperficiehorizontal.
El trabajo total en julios
desarrollado es:
a.16
b.4
c.0
d.8
v(mt/s)
t (s)
2 4 6
I
II
III
4
CLAVE C

67. conlasiguienteinformación.Lagráficamuestrala
variacióndevelocidadvs.tiempodeuncuerpode1kgque
semuevealolargodeunasuperficiehorizontal.
 9.cual es la distancia total
recorrida?
 A. 16mt b.6m
 c.8m d.12mt

v(mt/s)
t (s)
2 4 6
I
II
III
4
CLAVE A

68. GRACIAS POR SU ATENCION
DIOS NO JUEGA A
LOS DADOS