Resumen faro

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RESUMEN FARO 10°
Prof: Elmer Pinto Alfaro
RESUMEN DE FÍSICA
FARO 2020
ELABORADO POR:
ELMER PINTO ALFARO

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RESUMEN FARO 10°
RESUMEN FARO
FÍSICA
II UNIDAD: MOVIMIENTO DE UNA PARTÍCULA
CONCEPTOS GENERALES
Cinemática: estudio de movimiento sin preocuparse de las causas que los producen.
Movimiento: El movimiento de un cuerpo es relativo, es decir depende del punto de referencia en el
cual se halla ubicado el observador
Concepto de magnitud: Cantidad física formada por un número y una unidad de medida. Ejm: 25 m, 40L,
50 kg, etc
Cantidad escalar: Tiene solamente magnitud, eso quiere decir que queda completamente determinada
por un número y una unidad de medida. Ejm: masa (M, m), tiempo (t), volumen (V), rapidez (V), distancia
(d), temperatura (T), etc
Cantidad vectorial: cantidad física que queda totalmente determinada, sólo cuando se indica su valor
(magnitud) y su dirección. Se pueden representar por letras minúsculas o mayúsculas con una flechita
sobre ella (𝐹⃗, 𝑓⃗). Ejm: Fuerzas (𝐹⃗, 𝑓⃗), Peso (𝑃⃗⃗), desplazamiento (𝑑⃗), velocidad (𝑣⃗), aceleración (𝑎⃗), etc
DIFERENCIA ENTRE DESPLAZAMIENTO, POSICIÓN, TRAYECTORA Y
DISTANCIA RECORRIDA.
Posición: punto de ubicación que ocupa un cuerpo en determinado instante. Se representa con una “d” y
puede ser posición inicial (di ) o posición final (df).
Trayectoria: es la curva o línea que me describe el recorrido de un cuerpo. Existen ciertas trayectorias
en donde no se produce ningún desplazamiento, por ejemplo, la trayectoria circular, y la trayectoria que
describe un móvil en un viaje de ida i vuelta a un mismo punto.
Distancia recorrida: (d) Sería la magnitud de la trayectoria. Es una cantidad escalar, pues con sólo
indicar su valor numérico queda completamente definida. Ejm: “El auto recorrió 240 km”.

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RESUMEN FARO 10°
Desplazamiento:(𝒅⃗⃗⃗) Cambio de posición de un cuerpo definido por un segmento de recta, que une la
posición inicial con la final de una trayectoria. Es una cantidad vectorial, por lo tanto es necesario
indicarle la magnitud y la dirección o sentido. Se representa por una (𝒅⃗⃗⃗), y se calcula restando la posición
final y la inicial:
𝑑⃗ = 𝑑 𝑓 − 𝑑𝑖
DIFERENCIA ENTRE RAPIDEZ MEDIA Y VELOCIDAD MEDIA
Entenderemos que la rapidez y la velocidad, como tales, corresponden a valores instantáneos
RAPIDEZ MEDIA (𝑽) VELOCIDAD MEDIA (𝑽⃗⃗⃗)
• Es una cantidad escalar (no requiere dirección)
• se obtiene dividiendo la distancia TOTAL
recorrida entre el tiempo TOTAL transcurrido:
𝑉 =
𝑑
𝑡
• Es una cantidad vectorial
(requiere de dirección)
• se obtiene dividiendo el desplazamiento
TOTAL recorrido entre el tiempo TOTAL
transcurrido:
𝑉⃗⃗ =
𝑑⃗
𝑡
EJEMPLO 1

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EJEMPLO 2
EJEMPLO 3
EJEMPLO 4

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EJEMPLO 5
EJEMPLO 6

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EJEMPLO 7
EJEMPLO 8
EJEMPLO 9

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EJEMPLO 10
Vanessa, Claudia y Anibal se trasladan caminando cada día desde sus casas al colegio. Anibal
prefiere pasar por Claudia y luego juntos pasar por Vanessan y llegar juntos al colegio
De las siguientes situaciones, y tomando como referencia el lugar de partida de cada estudiante, al
llegar al colegio, es correcto afirmar que
A) Anibal realizó un desplazamiento de 370 metros
B) Claudia es la que realiza el mayor desplazamiento
C) Anibal es quien presenta el mayor desplazamiento
D) Vanessa realiza un desplazamiento mayor que Claudia.
EJEMPLO 11

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EJEMPL0 12
EJEMPLO 13

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EJEMPLO 14
EJEMPLO 15

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EJEMPLO 16
EJEMPLO 17

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GRÁFICOS
GRÁFICAS d-t
En una gráfica d-t (distancia – tiempo), se puede determinar el valor de la velocidad que lleva el móvil en
los diferentes intervalos de tiempo al determinar el valor de la pendiente (grado de inclinación de una
recta, se simboliza con la letra m) en un gráfico.
Analicemos ahora el siguiente gráfico de d-t donde “d” representa la posición del auto en cada “t”.
d(km) eje Y
80
20 m
0 1 2 3 4 5 t (h) eje X
Gráfico N°1: posición de un auto en los diferentes tiempos
Donde:
d = cambio de posición (desplazamiento que numéricamente es igual a la distancia recorrida)
d= df – di ó y2 – y1
t = cambio de tiempo (tiempo transcurrido)
t = tf- ti ó x2 – x1
V = velocidad, que es igual a la pendiente m
12
12
xx
yy
m
−
−
=
𝑉⃗⃗ =
𝑑 𝑓 − 𝑑𝑖
𝑡 𝑓 − 𝑡𝑖

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RESUMEN FARO 10°

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RESUMEN FARO 10°
EJEMPLO 1
EJEMPLO 2

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EJEMPLO 3
EJEMPLO 4
De acuerdo con la gráfica adjunta, la rapidez del móvil, en el intervalo de 5s a 16s es
A) 33 m/s d(m)
B) 66 m/s 9
C)0,5 m/s 3
D)0,8 m/s
0 5 16 t (s)
EJEMPLO 5 d(m)
De acuerdo con la siguiente gráfica 100
0 2 5 t (s)
El desplazamiento resultante en esos 5 s tendrá un valor de
A) 0 m
B) 20m
C)100 m
D)200m

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EJEMPLO 6
De acuerdo con la gráfica adjunta, de los 0 s los 10 s, la rapidez media del móvil es
A) 0,1 m/s d (m)
B) 5,0 m/s
C) 10 m/s 100
D) 0 m/s
0 10 t(s)
EJEMPLO 7
Con base en el siguiente gráfico podemos afirmar lo siguiente:
d(m)
II
10
I
0 2 6 t(s)
A) En la II parte la velocidad vale 2,5 m/s
B) En la I parte la velocidad es de 5 m/s
C) En la II parte el cuerpo se movió con una velocidad constante de 10 m/s
D) En la I parte el auto no se movió.

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MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTE ACELERADO (M.R.U.A.)
Aceleración: es el cambio de velocidad en cada unidad de tiempo.
Como la velocidad es un vector, el cambio de la velocidad puede producirse en su magnitud o en su
dirección, o sea que un movimiento es acelerado si la velocidad cambia, sólo su magnitud, sólo su dirección
o ambas.
Hablamos de aceleración constante o uniforme cuando un cuerpo experimenta el mismo aumento o
disminución en la velocidad, en intervalos de tiempo iguales en una cierta trayectoria. Por ejemplo
que un auto aumenta su velocidad 30 km/h cada hora.
La aceleración es una cantidad vectorial y se expresa:
Aceleración = cambio de velocidad
Tiempo
Simbólicamente:
a = V
t
t
VV
a
if −
=
Donde:
a = aceleración Vf = velocidad final (m/s)
Vi = velocidad inicial (m/s) t = tiempo (s)
UNIDADES DE ACELERACIÓN: En el S.I. es el m/s2
. Otras unidades de aceleración con cm/s2
o km/h2
,
min/s2
, etc.
Casos:
FÓRMULAS DEL M.R.U.A
1)
t
VV
a
if −
= 2)
( )
t
VV
d
fi

+
=
2
3) tV
ta
d i +

=
2
2
4)
a
VV
d
if

−
=
2
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EJEMPLO 1
EJEMPLO 2
Una partícula acelerando uniformemente recorrió 300 m en línea recta; si el recorrido lo inició con 10
m/s y lo terminó con 2 m/s, el tiempo que tardó fue
A) 2 s
B) 25 s
C)50 s
D)37,5 s
EJEMPLO 3
Una joven en su bicicleta logra desarrollar una aceleración de 0,4 m/s2. Si partió del reposo y
mantiene un movimiento uniformemente acelerado, al cabo de 6 segundos la magnitud de su
velocidad será
A) 15 m/s
B) 0,1 m/s
C)1,2 m/s
D)2,4 m/s
EJEMPLO 4
Partiendo del reposo un móvil acelera a razón de 5 m/s2
; al cabo de 11,5 segundos su rapidez será
A) 22,5 m/s
B) 57,5 m/s
C)0,3 m/s
D)6,5 m/s

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EJEMPLO 5
Un móvil parte del reposo y acelera uniformemente a razón de 4 m/s2
durante 10 s; la distancia
recorrida en ese lapso es
A) 20 m
B) 40 m
C)200 m
D)210 m
EJEMPLO 6
Un auto parte del reposo y acelera uniformemente a razón de 5 2
s
m
, durante 10 s. el valor de la
aceleración a los 5 s es:
A) 15
𝑚
𝑠2
B) 5
𝑚
𝑠2
C) 35
𝑚
𝑠2
D) 25
𝑚
𝑠2
EJEMPLO 7
Un auto se mueve con una rapidez de 20 m/s cuando el conductor aplica los frenos haciendo que el
auto se detenga al cabo de 5 segundos. La aceleración que los frenos le imprimen al auto es:
A) -4 m/s2
B) -80 m/s2
C)-500 m/s2
D)-0,25 m/s2
EJEMPLO 8
Lea cuidadosamente el siguiente enunciado:
Un automóvil arranca y después de 2 s su velocidad es de 30 km/h, 2s después es de 60
km/h y 2 s después es de 75 km/h.
Podemos afirmar que:
A) El auto acelera de forma uniforme
B) La aceleración fue variada
C)No acelera
D)La distancia total recorrida es de 165 km

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RESUMEN FARO 10°
GRÁFICOS v-t:
En un gráfico de velocidad- tiempo (v-t) podemos determinar el valor de la distancia recorrida por el
móvil al calcular la área bajo la recta. Además se puede determinar el valor de la aceleración que lleva
el móvil en diferentes intervalos de tiempo; al calcular el valor de la pendiente (grado de inclinación de
la recta), como se muestra a continuación
V (km./h)
100
0 2.0 6.0 8.0 9.0 t(h)
Gráfico: velocidad de un auto en función del tiempo

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EJEMPLO 1
EJEMPLO 2

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EJEMPLO 3
EJEMPLO 4

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EJEMPLO 5
EJEMPLO 6

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CAIDA LIBRE
Al movimiento de caída de los cuerpos en el vacío o en el aire, cuando se desprecia la resistencia de este
último, se denomina caída libre.
La aceleración recibe el nombre de gravedad, se representa con la letra g y tiene un mismo valor para
todos los cuerpos:
g : -9,8 m/s2
Es decir cuando un cuerpo está en caída libre su velocidad aumenta 9,8 m/s cada segundo. Utilizaremos
el valor de la gravedad positivo (9,8 m/s2
)
Si el cuerpo es lanzado en dirección vertical, hacia arriba su velocidad disminuye 9,8 m/s cada
segundo. Utilizaremos la gravedad negativa (-9,8 m/s2
)
CONSIDERACIONES DE LA CAÍDA LIBRE
1) Cuando un cuerpo se lanza verticalmente hacia arriba, en el punto de altura máxima su velocidad vale
cero.
2) Si el cuerpo se lanza verticalmente hacia arriba, el tiempo de ascenso es igual al tiempo de descenso,
y el tiempo de vuelo (tiempo que el objeto permanece en el aire) es la suma del tiempo de subida más el
tiempo de bajada.
3) Cuando el cuerpo se lanza verticalmente hacia arriba, la magnitud de la velocidad con que se lanza es
igual a la magnitud de la velocidad con que regresa al punto del que fue lanzado.
4) Si el cuerpo se deja caer o es lanzado hacia abajo el tiempo de vuelo es igual al tiempo de bajada.
5) Cuando un cuerpo es lanzado verticalmente hacia arriba, la velocidad inicial nunca es cero.
6) Las fórmulas que se utilizan para trabajar los problemas de caída libre son semejantes a las del
M.R.U.A. la diferencia está en que cambia la d por la h (altura) y la a por la g (gravedad)
FÓRMULAS DE LA CAÍDA LIBRE
1)
t
VV
g
if −
= 2)
( )
t
VV
h
fi

+
=
2
3) tV
tg
h i +

=
2
2
4)
g
VV
h
if

−
=
2
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EJEMPLO 1
EJEMPLO 2

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EJEMPLO 3
EJEMPLO 4
Desde el suelo, una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba y luego regresa al suelo
despreciando la resistencia del aire,
A) mientras baja, la aceleración aumenta.
B) mientras sube, la aceleración disminuye.
C) llega al suelo con la misma rapidez con que salió.
D) el tiempo de subida de la pelota es diferente del de bajada.
EJEMPLO 5
Si una manzana se desprende de lo alto de un árbol y tarda 3,00 s en llegar al suelo, suponiendo
que se desprecia la resistencia del aire podríamos afirmar que se estrelló con una rapidez de
A) 29,4 m/s
B) 12,8 m/s
C) 6,8 m/s
D) 3,27 m/s
EJEMPLO 6
Cuando lanzamos un verticalmente hacia arriba, si alcanza la altura máxima en un tiempo t,
despreciando la resistencia del aire, podemos asegurar que su tiempo de vuelo es
A) t/2
B) t+2
C) 2t
D) T

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RESUMEN FARO 10°
MOVIMIENTO PARABÓLICO O MOVIMIENTO DE UN PROYÉCTIL
Tomando como punto de partida el siguiente dibujo, analizaremos este tipo de movimiento de manera
cualitativa.
Figura 1
Movimiento horizontal o en el eje X Movimiento vertical o en el eje Y
Este movimiento es el del tipo rectilíneo
uniforme (M.R.U) (a = 0 m/s2
)
Este es un movimiento acelerado del tipo de
caída libre (a = g = 9,8 m/s2
)
La velocidad en el eje X no cambia su magnitud
en toda la trayectoria.
La velocidad disminuye uniformemente
conforme el cuerpo asciende, se hace cero en
el punto más alto de la curva y aumenta de
forma uniforme conforme desciende.
No hay intervención de fuerza alguna, se da
por inercia
Es necesaria la intervención de la fuerza
gravitacional, para que caiga el cuerpo
CONSIDERACIONES DEL MOVIMIENTO DE UN PROYÉCTIL
a) Al igual que en el movimiento de caída libre la rapidez con la que empieza a ascender es igual a la
rapidez con la que termina su descenso.
b) La simetría que se aprecia en la parte derecha e izquierda de la parábola nos permite concluir que el
tiempo de ascenso es igual al tiempo de descenso.
c) El mayor alcance horizontal en el lanzamiento de un proyectil se produce cuando el objeto se lanza en
un ángulo de 45° (por la expresión tvD i = cos , que permite calcular el alcance horizontal máximo).

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RESUMEN FARO 10°
d) Los lanzamientos hechos en ángulos complementarios (por ejemplo: 30° y 60°, 40° y 50°) producen el
mismo alcance horizontal . (ver figura 2)
Figura 2
e) En los movimientos semiparabólicos podemos observar que si desde la misma altura es lanzado
horizontalmente, mientras que al mismo tiempo se está dejando caer otro objeto verticalmente, ambos
llegan al suelo al mismo tiempo.
f) Supongamos que se diera l caso de que se lanzaran disparos sucesivos desde la misma altura, con
distintas velocidades horizontales, entonces, lo único que variaría sería el alcance horizontal, por la
llegada al suelo de los diferentes disparos se producirían al mismo tiempo (recordemos que la distancia
vertical recorrida es igual para todas las flechas), y además, llegarían con la misma velocidad final
vertical.
EJEMPLO 1

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RESUMEN FARO 10°
EJEMPLO 2
EJEMPLO 3

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EJEMPLO 4
EJEMPLO 5
Desde el suelo se lanza una piedra con un ángulo de elevación de 30º con la horizontal. Si vuelve
al suelo 16 s después de lanzada, él ángulo que forma la velocidad con respecto a la horizontal en
el momento de caer y el tiempo que tarda únicamente mientras desciende son, respectivamente,
A) 30º y 16 s
B) 60º y 16 s
C) 30º y 8 s
D) 60º y 8 s
EJEMPLO 6
Un objeto que es lanzado con cierto ángulo de inclinación con respecto a la horizontal, si se
desprecia la resistencia del aire, podemos afirmar que el mayor alcance horizontal se produce
cuando el ángulo de lanzamiento es
A) 30º
B) 0º
C) 45º
D) 90º

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RESUMEN FARO 10°
EJEMPLO 7
Un objeto es lanzado con un ángulo de inclinación de 35º con respecto al suelo y realiza un alcance
horizontal máximo de 450 m, en condiciones ideales, o sea, despreciando la resistencia del aire,
para que se produzca el mismo alcance horizontal, otro cuerpo que se lance a la misma velocidad
debería de utilizar un ángulo con respecto a la horizontal igual a
A) 45º
B) 65º
C) 55º
D) 30º
EJEMPLO 8
Si despreciando la resistencia del aire, un carro sale de una superficie horizontal con una velocidad
de 30 m/s, podemos asegurar lo siguiente
A) la aceleración horizontal es la misma durante todo el recorrido y es igual a 9,8m/s2
.
B) La velocidad vertical también es 30 m/s en el momento en que se desprende de la superficie.
C) La aceleración vertical es igual a 0 m/s2.
D) La velocidad horizontal es 30 m/s al llegar al suelo.
EJEMPLO 9
Desde cierta altura un proyectil es lanzado horizontalmente con velocidad Vi si se desprecia la
resistencia del aire, a partir del instante en el que el proyectil fue lanzado y hasta llegar al suelo el
valor de la aceleración horizontal es
A) 0 m/s2
B) 4,9 m/s2
C) 9,8 m/s2
D) 19,6 m/s2
EJEMPLO 10
Desde cierta altura un proyectil es lanzado horizontalmente con velocidad inicial Vi. Si se desprecia
la resistencia del aire, a partir del instante en que el objeto fue lanzado su
A) Aceleración horizontal es constante y diferente de cero.
B) Aceleración vertical es constante y diferente de cero
C) Velocidad horizontal es variable.
D) Velocidad vertical es constante

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RESUMEN FARO 10°
III UNIDAD: FUERZAS Y MOVIMIENTO
En esta sección vamos a iniciar el estudio de la dinámica, la cual se define como la rama de la
Física que se encarga del estudio del movimiento, preocupándose de las causas que la provocan.
Fuerza: Es una cantidad vectorial que posee magnitud (valor) y dirección (o sea, se indica hacia
donde se dirige). Además es la acción capaz de realizar un trabajo, provocar movimiento o reposo,
deformación y presión.
TIPOS DE FUERZA:
Fuerza de contacto:
Llamaremos fuerza da contacto a la fuerza que un cuerpo hace sobre otro, debido al solo
contacto real entre los dos cuerpos y entre ellas tenemos la:
A) Fuerza elástica: en el caso del resorte es ejercida por el mismo cuando una fuerza
aplicada lo estira o lo comprime. Esta fuerza siempre tiende a restaurar la longitud de
equilibrio del resorte.
B) La Fuerza de tensión de una cuerda es la fuerza con la cual la cuerda tira del objeto
al cual está unida. La fuerza de tensión siempre tira, nunca empuja, y tira por igual en
ambos extremos de la cuerda
C) Fuerza normal: es la fuerza que ejerce una superficie estable de soporte, sobre
otra superficie que descansa sobre ella. La fuerza normal es siempre perpendicular a la
superficie que soporta el objeto.
D) Fuerza de rozamiento: Fuerza que se opone a la tendencia al movimiento de los
cuerpos sobre una superficie, y se debe, entre otras causas a la existencia de pequeñas
irregularidades en la superficie que están en contacto o a la resistencia que opone el
aire a los objetos que viajan inmersos en este.
Fuerzas a distancia:
Son fuerzas que se producen sin que haya contacto entre los cuerpos, entre ellas tenemos las:
A) Fuerzas electromagnéticas: que se descomponen en:
Fuerza eléctrica: Fuerza de atracción o repulsión entre dos cuerpos debido a que ambos
poseen una cualidad que llamamos carga eléctrica y que se encuentran en reposo.

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RESUMEN FARO 10°
Fuerza magnética: fuerza adicional a la anterior cuando las cargas están en movimiento
B) Fuerzas nucleares: Fuerzas que aparecen cuando la distancia de los cuerpos es menor
que 10-15
m y desaparecen cuando esta distancia aumenta. Estas fuerzas explican
porque las partículas dentro del núcleo del átomo se mantienen unidas.
FUERZAS FUNDAMENTALES DE LA NATURALEZA
La mayoría de los fenómenos que ocurren en la naturaleza pueden ser explicados a través de
cuatro interacciones que ocurren en la naturaleza.
En la naturaleza, existe la interacción de cuatro fuerzas a saber: la fuerza gravitacional, la
fuerza nuclear fuerte, la fuerza electromagnética y la nuclear débil.
➢ Fuerza gravitacional: Todos los cuerpos son atraídos por una fuerza que es directamente
proporcional a sus masas, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los
separa. La fuerza gravitacional es la causante de que los cuerpos caigan y del
movimiento de los cuerpos celestes que se encuentran en el universo: planetas, satélites,
estrellas, galaxias, cometas, entre otros. Su partícula mediadora es el gravitón. Posee
un radio de acción infinito.
➢ Fuerza electromagnética: Es considerada la fuerza que actúa sobre las partículas con
carga eléctrica. Toda carga en movimiento produce un campo magnético a su alrededor
y es de naturaleza atractiva o repulsiva, dependiendo de las cargas. La partícula
mediadora es el fotón. Al igual que la interacción gravitacional, posee un radio de acción
infinito.
➢ Fuerza nuclear fuerte: Es la interacción más fuerte que existe y permite mantener los
nucleones (protones y neutrones), en interacción. Se refiere a la interacción que
mantiene unidos a los quarks para formar hadrones, (protones, neutrones y mesones), por
lo tanto permite mantener el núcleo unidos. Esta fuerza es la responsable de la
estabilidad en toda la materia. La partícula mediadora en esta interacción es el gluón.
Son fuerzas de corto alcance, actúan sólo a distancias que tienen las dimensiones del
núcleo atómico.
➢ Fuerza nuclear débil: Este tipo de fuerza es responsable de la desintegración beta de
los núcleos de los átomos. Esta interacción es de corto alcance, es decir, distancias
menores que las dimensiones del núcleo.
Es la interacción responsable de que un quark de un tipo se transforme en un quark de
otro tipo como ocurre en la desintegración Beta de los núcleos. La partícula mediadora
son los bosones.

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RESUMEN FARO 10°
CONCEPTOS IMPORTANTES:
El peso se expresa matemáticamente como:
gmP

=
Donde:
P = vector peso del cuerpo
m = masa del cuerpo
g = aceleración gravitacional dirigida hacia abajo
La unidad para el peso es la misma que para cualquier fuerza, el Newton (N)
1N = 1 Kg m/s2
, o sea, 1N es la fuerza que al actuar sobre una masa de un 1Kg, le
imprime una aceleración de 1 m/s2
. (ver figura N° 3.6a)
F a= 1m/s2
1kg

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RESUMEN FARO 10°
Podemos mencionar también, que la aceleración de la gravedad sufre variaciones cuando nos
desplazamos de un lugar a otro de la superficie de la Tierra. En las cercanías de los polos por
ejemplo, el valor de g es mayor que en las proximidades del ecuador. (ver tabla N° 1)
Concluimos entonces que el valor del Peso, P, de u cuerpo también sufrirá cambios debido a las
variaciones que se observan en g.
Tabla N° 1: Variación de g con la latitud (al nivel del mar)
Latitud
0°
20°
40°
60°
80°
90°
g (m/s2
)
9.780
9.786
9.802
9.819
9.831
9.832

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RESUMEN FARO 10°
LEYES DE NEWTON
I LEY DE NEWTON
NOTA: a parte de la definición convencional de masa que se estudio algunas páginas atrás,
podemos definirla como la cantidad de inercia que posee un cuerpo, por lo que a mayor masa
mayor inercia y viceversa.
III LEY DE NEWTON
En sus estudios de dinámica, Newton se dio cuenta de que las fuerzas siempre aparecen como
resultado de la interacción de dos cuerpos y en esta interacción las fuerzas siempre aparecen
en pares, para cada acción de un cuerpo sobre otro siempre existirá una reacción de éste sobre
la primera.
Estas observaciones se enuncian en su tercera ley de acción – reacción; y la cual dice:
“La fuerza con que un cuerpo actúa sobre otro es igual en magnitud y de dirección
contraria a la que el otro objeto hace sobre el primero.”

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RESUMEN FARO 10°
Características de las fuerzas de la tercera ley de Newton:
1) Como vectores ambas fuerzas no son iguales
2) Poseen siempre la misma magnitud
3) Las fuerzas se producen simultáneamente.
4) Actúan sobre cuerpos diferentes (2 cuerpos)
5) Nunca se suman
6) Nunca se anulan
EJEMPLOS:
Si un imana atrae a un clavo, éste atraerá al imán con una fuerza igual y contraria
Al girar, la hélice del bote empuja el agua hacia atrás. El agua reacciona y empuja la hélice
hacia delante, haciendo que la lancha se mueva.

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RESUMEN FARO 10°
II LEY DE NEWTON O LEY FUNDAMENTAL DE LA DINÁMICA.
La aceleración que experimenta un cuerpo es directamente proporcional a la fuerza sobre él
e inversamente proporcional a la masa (inercial). La fuerza neta o resultante es diferente de
cero. La fuerza resultante recibe el nombre de fuerza no equilibrada.
Simbólicamente
a  F (aceleración directamente proporcional a la fuerza)
a 
m
1
(aceleración inversamente proporcional a la masa)
La fórmula para la fuerza es
amF =
Directamente proporcional: quiere decir que cuando una cantidad aumenta la otra también
aumenta, o que cuando una cantidad disminuye la otra también disminuye.
Inversamente proporcional: Significa que cuando una cantidad aumenta la otra disminuye o
que cuando una cantidad disminuye la otra aumenta.
Cuando actúan dos o más fuerzas podemos utilizar cualquiera de las siguientes expresiones:
F = FR
 = amF
Esta ley es válida únicamente cuando la masa es constante, debido al hecho de que la relatividad
la masa de un cuerpo puede cambiar al viajar éste a velocidades muy cercanas a la velocidad
de la luz (300000 km/s); la masa que varía con la velocidad recibe el nombre de masa
relativista.

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RESUMEN FARO 10°

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EJEMPLO 1
EJEMPLO 2

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RESUMEN FARO 10°
EJEMPLO 3
EJEMPLO 4

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RESUMEN FARO 10°
EJEMPLO 5
EJEMPLO 6

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EJEMPLO 7
EJEMPLO 8

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EJEMPLO 9
EJEMPLO 10

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RESUMEN FARO 10°
EJEMPLO 11
EJEMPLO 12

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EJEMPLO 13
EJEMPLO 14

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RESUMEN FARO 10°
EJEMPLO 15
EJEMPLO 16

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EJEMPLO 17
EJEMPLO 18

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RESUMEN FARO 10°
EJEMPLO 19

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LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL
El enunciado de la ley es el siguiente:
“La fuerza de atracción gravitacional entre dos cuerpos es directamente proporcional al
producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los
separa "
dicha fuerza cumple con los siguientes requisitos:
F  m (la fuerza es directamente proporcional a la masa del planeta)
F  M (la fuerza es directamente proporcional a la masa del Sol)
F 2
1
r
 (la fuerza es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia de separación entre
las dos masas)
De modo que:
F 2
r
Mm

O bien:
2
r
GMm
F = 2
21
r
mGm
F

=
Donde:
F = fuerza gravitacional (N)
M y m o m1 y m2= masas (Kg)
r = distancia de la separación entre los cuerpos (m).
G = Constante de gravitación universal, cuyo valor es 6,67 x 10-11
2
2
kg
Nm

51
RESUMEN FARO 10°
NOTAS IMPORTANTES:
La fuerza es una "fuerza de atracción " entre las dos masas. Cada masa experimenta una
fuerza dirigida a lo largo de la línea que une sus centros; ambas fuerzas son de igual magnitud
y tiene dirección opuesta, por lo que forman un par Acción – Reacción
r
Esta ley se aplica a cualquier par de cuerpos que tengan una masa.
CAMPO GRAVITACIONAL
Sabemos que la aceleración de la gravedad, g, varía de una punto a otro dentro de la Tierra,
además estas variaciones de g podrían entenderse, como veremos, por medio de la ley de la
gravitación universal.
2
r
MG
g

=
Así llegamos a una expresión que permite calcular la aceleración de la gravedad en un punto en
proximidades de la superficie terrestre, cuando conocemos G, la masa de la Tierra y la
distancia de este punto al centro de la Tierra.
NOTAS IMPORTANTES:
➢ Obsérvese que el valor de la masa m del cuerpo que se coloca a cierta altura desde la
superficie terrestre no aparece en la ecuación, o sea, el valor de g no dependen de m.
➢ La gravedad es directamente proporcional a M (masa que pone a girar). g  M.
➢ La gravedad es inversamente proporcional a r (distancia total de separación) 𝑔 ∝
1
𝑟2
m
1
F
F
m
2

52
RESUMEN FARO 10°
➢ La distancia total de separación r es igual a la suma del Radio del planeta o masa mayor
más la altura sobre el planeta (h) o sea, r = R + h
VELOCIDAD DE SATELITES ARTIFICIALES Y NATURALES:
El primer satélite artificial, el Sputnik 1, lo puso en órbita la Unión Soviética en 1957. Para
poner en órbita un satélite debe de elevarse, mediante poderosos cohetes, hasta la altura h
deseada, el valor de h, la altura no debe de ser inferior a unos, 150 Km, porque a esa altura el
rozamiento no interfiere con el movimiento del satélite. Lograda la altura, los cohetes impulsan
al satélite con una velocidad horizontal, V, paralela a la superficie terrestre, que será la
velocidad que mantendrá en su órbita, en una trayectoria aproximadamente circular debido a
la atracción terrestre.
r
GM
V =
NOTAS IMPORTANTES:
➢ Entre mayor sea la distancia de separación ( r ), menor velocidad ( V ) tendrá el satélite
y mayor será el periodo de rotación. ( tiempo en dar una vuelta completa (T) ).
➢ Entre menor sea la distancia total de separación ( r ), mayor se la velocidad ( V ) que
tendrá el satélite y menor será el periodo de rotación. ( tiempo en dar una vuelta
completa (T) ).
➢ La velocidad del satélite no depende de la masa del satélite, sino de la masa que lo pone
a girar.
➢ Esta fórmula no solo se aplica a un satélite y un planeta, sino que se puede aplicar a
cualquier para de cuerpos, siempre y cuando uno gire alrededor del otro y se encuentren
separados una distancia r.

53
RESUMEN FARO 10°
EJEMPLO 1
EJEMPLO 2

54
RESUMEN FARO 10°
EJEMPL0 3
EJEMPLO 4

55
RESUMEN FARO 10°
EJEMPLO 5
EJEMPLO 6

56
RESUMEN FARO 10°
EJEMPLO 7
La masa de Júpiter es 1,90 x 1027
Kg. La intensidad de su campo gravitatorio a una altura de dos
radios a partir de su superficie es (RJupiter = 7 x 107
m)
A) 2,87 m/s2
B) 24,8 m/s2
C) 1,66 m/s2
D) 6,20 m/s2
EJEMPLO 8
De los satélites naturales del Sol, el más cercano es Mercurio con periodo de giro TM y una velocidad
tangencial de magnitud VM, y el más lejano es Plutón con periodo de giro TP y una velocidad
tangencial de magnitud VP. ¿Cuál es la relación entre sus periodos de giro y sus magnitudes de la
velocidad tangencial?
A) TM › TP y VM › Vp
B) TM › TP y VM ‹ Vp
C) TM ‹ TP y VM › Vp
D) TM ‹ TP y VM ‹ Vp
EJEMPLO 9
La masa y el radio ecuatorial de Venus son 4,87 x 1024
kg y 6,05 x 106
m, respectivamente. La
magnitud de su campo gravitacional en un punto situado a dos radios a partir de su superficie, es
A) 8,87 m/s2
B) 1,79 m/s2
C) 2,22 m/s2
D) 0,986 m/s2
EJEMPLO 10
Dos cuerpos de masas m1 y m2, separados por una distancia r1, experimentan una fuerza
gravitacional de magnitud F. Para que la fuerza entre esas masas sea 4F, la nueva distancia de
separación, comparada con r1, debe ser
A)
𝑟1
2
B)
𝑟1
4
C) 2r1
D) 4r1

57
RESUMEN FARO 10°
EJEMPLO 11
Dos esferas de piedra poseen masas de 5,0 x103
kg y 4,0 x 103
kg y están separadas por una
distancia de 3,5 m desde su centro de masa. ¿Cuál es la fuerza gravitacional entre ambas esferas?
A) 1,1 x10-4
N, de repulsión
B) 1,1 x 10-4
N, de atracción
C) 3,8 x 10-4
N, de repulsión.
D) 3,8 x 10-4
N, de atracción
EJEMPLO 12
La intensidad del campo gravitatorio generado por un planeta en el punto P1, a una distancia r de
su centro de masa, es 0,40 m/s2
, como muestra la figura.
0,40 m/s2
P2
r P1 r
En el punto P2, a una distancia 2r, de su centro de masa, la intensidad del campo gravitatorio
generado por el planeta es:
A) 0,10 m/s2
B) 0,20 m/s2
C) 0,80 m/s2
D) 1,60 m/s2

58
RESUMEN FARO 10°
IV UNIDAD: TRABAJO Y ENERGÍA
Físicamente se define energía como la capacidad para realizar trabajo.
TRABAJO:
Es el producto de la magnitud de la componente de la fuerza y la magnitud del desplazamiento,
siempre que la componente de la fuerza y el desplazamiento estén en la misma dirección.
dFW

=
Donde:
W = trabajo
F = magnitud de la fuerza (N ó dyn)
d = magnitud del desplazamiento (m)
UNIDADES:
En el S.I. es el Nm que recibe el nombre de Joule (J), así:
1 J = 1 Nm
1 J = 1 kgm/s2
. m
1 J = 1 kgm2
/s2
El trabajo es una cantidad escalar pues carece de dirección y de sentido.
Sobre un cuerpo pueden intervenir una o varias fuerzas, pero si el cuerpo no se desplazó, el
trabajo de esa o esas fuerzas es cero; para que una fuerza produzca trabajo, es necesario
que el cuerpo sobre el que actúa esa fuerza recorra una distancia determinada.
En la ecuación anterior es fácil observar que el trabajo es directamente proporcional tanto a
la fuerza como a la distancia, (W  F; W  d), esto quiere decir que, cuanto mayor sean
ambas mayor será el trabajo realizado.
Pero, ¿qué sucede con el trabajo cuando la fuerza aplicada no está en la misma
dirección en la que el cuerpo se desplaza?

59
RESUMEN FARO 10°
En la figura N° 1, la fuerza F, es aplicada sobre el objeto, formando un ángulo con la dirección
del desplazamiento, que es horizontal; en este caso la fuerza que actúa en la misma dirección
del desplazamiento es Fx y como Fx = Fcos ( = 0 = trabajo máximo), el trabajo se calcula
con la expresión:
dFW

= cos
Figura N°1
EXAMINAREMOS AHORA DOS CASOS PARTICULARES:
a) Si  = 90°: cuando la fuerza es perpendicular al desplazamiento, el trabajo es nulo (ver
figura N°2 )
Figura N° 2
b) Si  = 180°: donde la fuerza es opuesta a la dirección del desplazamiento; el cuerpo se
mueve en una dirección y la fuerza actúa en dirección contraria; o sea, retarda el movimiento,
lo obstaculiza es el caso de las fuerzas de fricción, que actúan siempre en dirección opuesta
al movimiento (ver figura N° 2)
Figura N° 2
Por lo tanto, concluimos que el trabajo de una fuerza opuesta al desplazamiento siempre es
negativo y mínimo.

60
RESUMEN FARO 10°
POTENCIA
El concepto de potencia se halla en función del tiempo en el que se realiza el trabajo; así,
desarrolla mayor potencia el obrero que tarda menos tiempo en realizar el trabajo. Por otra
parte, el concepto de potencia nos sirve para conocer la capacidad de una máquina para realizar
trabajo, así como para conocer el consumo de energía. La potencia se define como el trabajo
realizado en unidad de tiempo:
t
W
P = VFP = cos
Donde :
P = potencia
W = Trabajo (J)
t: tiempo (s)
F: fuerza que impulsa el cuerpo (N)
V: velocidad del dispositivo al realizar el trabajo (m/s)
θ: ángulo que se forma entre la fuerza y la velocidad
UNIDADES:
La unidad de potencia en el S. I. Es el watt y se abrevia W; equivale a 1J/s; así una potencia
de 1 w equivale a un trabajo de 1 J cada segundo.
1 w = 1 J/s
1 w = 1 kgm2
/s3

61
RESUMEN FARO 10°
ENERGÍA
Es la capacidad de producir trabajo, ya sea levantar o transportar cargas y personas. La
energía es una cantidad escalar, y sus unidades son las mismas con las que se mide el trabajo,
o sea, Joules o ergios
ENERGÍA POTENCIAL GRAVITACIONAL
Se conoce como una energía almacenada, en espera de ser utilizada. Particularmente, la
energía potencial gravitacional es aquella que todo objeto posee, en virtud de su masa y su
posición, con respecto a un nivel de referencia; dentro del campo gravitacional.
hgmEp =
Donde =
Ep = energía potencial (J)
m = masa (Kg)
g = aceleración de la gravedad (9,8 m/s2
)
h = altura (m)
TEOREMA TRABAJO – ENERGÍA POTENCIAL:
Un cambio en la energía potencial de un cuerpo (  Ep) debido a un cambio en su posición ( h)
es equivalente al trabajo que realiza un cuerpo para cambiar de posición (ver figura N°3)
Figura N° 3
pEW =
pipf EEW −=
if hgmhgmW −=
( ))if hhgmW −=
hgmW =

62
RESUMEN FARO 10°
ENERGÍA POTENCIAL ELÁSTICA:
Es la energía que todo cuerpo elástico comprimido (o estirado), posee almacenada, y que estará
en la capacidad de entregar a otro sistema, si se le permite descomprimirse.
2
2
xK
Ep

=
Donde
Ep= energía potencial elástica (J)
K = constante del resorte (N/m)
x = elongación o compresión del resorte (m)
Figura N° 4
“La fuerza ejercida por un resorte es directamente proporcional a su deformación, o
sea, F x”
Este resultado se conoce como Ley de Hooke, pues fue Robert Hooke, un científico inglés,
quién observó por primera vez esta propiedad de los resortes.
Dado que la fuerza externa es igual a la fuerza de reacción (tercera ley de Newton), la ley
de Hooke garantiza que la fuerza del resorte es :
F = -K.x
El signo negativo (-) indica que la fuerza del resorte y el desplazamiento de la masa tiene
direcciones opuestas.

63
RESUMEN FARO 10°
ENERGÍA CINÉTICA:
Es la capacidad que tiene un cuerpo para producir un trabajo en virtud de su movimiento, o
sea en virtud de su masa y su rapidez.
2
2
Vm
Ec

=
TEOREMA DE TRABAJO – ENERGÍA CINÉTICA:
Un cambio en la energía cinética de un cuerpo (  Ec) debido a un cambio en su velocidad y
por acción de una fuerza ( V), es equivalente al trabajo que realiza un cuerpo al cambiar
de una rapidez a otra.
TIPOS DE FUERZAS
FUERZAS CONSERVATIVAS
Son fuerzas conservativas, las que actúan sobre una partícula que se desplaza del punto
A hasta un Punto B, realizan el mismo trabajo sin importar la trayectoria seguida de A
a B. Esto quiere decir que el trabajo de una fuerza conservativa depende únicamente de
la posición inicial y la final. Ejemplo: las fuerzas gravitacionales y elásticas.
FUERZAS DISIPATIVAS:
Una fuerza es disipativa cuando el trabajo de esa fuerza depende de la trayectoria del
objeto sobre el que actúa, sí intervienen en la variación del movimiento de un cuerpo y
provocan pérdida de energía mecánica (realizan trabajo negativo), específicamente pérdida
de energía cinética. Es el caso de las fuerzas de rozamiento que intervienen a lo largo del
recorrido; mientras se desplaza el objeto, a mayor distancia mayor trabajo realizan tales
cEW =
cicf EEW −=
22
22
if VmVm
W

−

=
( )
2
22
if VVm
W
−
=
2
2
Vm
W

=

64
RESUMEN FARO 10°
fuerzas, lo cual garantiza que el trabajo de éstas depende de la longitud de la trayectoria y
del tipo de superficie.
ENERGÍA MECÁNICA
Es la suma de las energías cinética y potencial de un cuerpo (o un sistema)
Em = Ec + Ep
LEY DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA
La ley de conservación de la energía sostiene que antes y después de un fenómeno, la cantidad
total de energía permanece constante, no se crea ni se destruye, solo se transforma de una
forma o de otra.
“Durante el movimiento de un cuerpo o un sistema de cuerpos, en el que solo intervienen
fuerzas conservativas, la suma de las energías cinética y potencial, en cualquier punto
de la trayectoria se mantiene constante”
Ec + Ep = constante
Esta última expresión, para un objeto que se mueve en un campo de fuerzas conservativas,
desde un punto A hasta un punto B, adopta la forma:
ECA + EPA = ECB + EPB
Esta es aplicable únicamente en aquellos casos en los que no hay transformación de la energía
mecánica en otras formas de energía, y se idealiza en el sentido de que se ignoran fuerzas
como la del rozamiento, que en la realidad son inevitables. Existen casos particulares en los
que esta ley es aplicable, los constituyen los siguientes movimientos: el de la caída libre, el
deslizamiento sin fricción por un plano inclinado, la oscilación de un péndulo simple y el de la
masa atada a un resorte que se estira o comprime.

65
RESUMEN FARO 10°
EJEMPLO 1
EJEMPLO 2

66
RESUMEN FARO 10°
EJEMPLO 3
EJEMPLO 4
Un automóvil viene en una carretera sin fricción y cambio su velocidad de 15 m/s a 20 m/s, si la
masa del automóvil es de 800 kg, el trabajo que se hizo para lograr realizar ese cambio de velocidad
es:
A) 7,00 x 104 J
B) 2,00 x 104 J
C) -7,00 x 104 J
D) 1,40 x 104
J
EJEMPLO 5
En cierto punto de una trayectoria Un avión posee una velocidad de 120 m/s y una masa de 9072
kg además se encuentra en ese punto a 4500 m de altura, sus energías cinética, potencial
gravitacional y mecánica son respectivamente:
A) 5,44 x105
J; 4,00 x108
J; 4.00 x 108
J
B) 6,53 x 107
J; 4,00 x 108
J; 4,65 x 108
J
C) 4,00 x 108
J; 6,53 x 107
J; 4,65 x 108
J
D) 3,24 x 107
J; 5,29 x 106
J; 3,77 x 107
J

67
RESUMEN FARO 10°
EJEMPLO 6
Para subir verticalmente un saco de cemento que tiene un peso de 450 N, se aplica una fuerza de
800 N, si lo suben una distancia de 3m, el trabajo realizado por la fuerza resultante que actúo sobre
el cuerpo es:
A) 1050 J
B) 2400 J
C) 1350 J
D) 0 J
EJEMPLO 7
Para levantar hasta el segundo piso de un edificio en construcción un carga de 1000 kg, se utilizan
dos grúas industriales. La grúa A, lo hace en 20 s, mientras que la grúa B lo hace en la mitad del
tiempo. Según esto podemos asegurar lo siguiente:
A) La grúa A hace el doble de trabajo que la grúa B
B) La grúa A tiene la misma potencia que la grúa B
C) La grúa B tiene menos potencia que la grúa A
D) La grúa B realiza el mismo trabajo que la grúa A
EJEMPLO 8
Lea cuidadosamente los siguientes enunciados:
I. No provocan pérdida de la energía mecánica.
II. Dependen del tipo de trayectoria seguida por el cuerpo
III. son ejemplo de ellas la fuerza gravitacional y la elástica.
De los enunciados anteriores se refieren al concepto de fuerzas conservativas las siguientes:
A) I y II
B) Solo la I
C) Solo la III
D) I y III
EJEMPLO 9
En una máquina de pinball, un resorte de constante elástica igual a 100 N/m es comprimido 0,05 m
y se mantiene en reposo, si cuando este se suelta completamente y viaja sin tomar en cuenta el
rozamiento, golpea un balín de 0,02 kg de masa, la velocidad que adquiere el balín en el momento
de salir es:
A) 3.53 m/s
B) 12,5 m/s
C) 15,81 m/s
D) 0.07 m/s

68
RESUMEN FARO 10°
EJEMPLO 10
Un manzana se deja caer desde un punto donde tiene una energía potencial de 400 J, si al bajar lo
hace sin tomar en cuenta el rozamiento, entonces podemos asegurar que a la mitad del camino la
energía mecánica total es de:
A) 200 J
B) 0 J
C) 400 J
D) No se puede determinar porque falta información.
EJEMPLO 11
Un ejemplo de una fuerza disipativa es la:
A) fuerza elástica
B) fuerza de rozamiento
C) fuerza gravitacional
D) fuerza eléctrica
EJEMPLO 12
Un objeto es desplazado hacia la derecha por una fuerza que realiza un trabajo de 50 J; mientras
es desplazado, una fuerza de fricción hace un trabajo de -10 J sobre el objeto en ese trayecto. El
trabajo total realizado por las fuerzas que intervienen sobre ese objeto es:
A) 10 J
B) 40 J
C) 50 J
D) 60 J
EJEMPLO 13
Una máquina mueve un objeto con una fuerza de 2,50 x 103
N. Si el objeto se desplaza 3,00 m
hacia el este, durante 30,0 s, ¿qué potencia desarrolla esta máquina sobre el objeto?
A) 1800 W
B) 83,3 W
C) 250 W
D) 142 W

69
RESUMEN FARO 10°
EJEMPLO 14
Un objeto de 5,0 Kg es dejado caer con fricción despreciable. En la siguiente figura aparecen las
magnitudes de sus velocidades en las posiciones M y P
M VM= 10 m/s
P VP = 25 m/s
suelo
El trabajo realizado por la fuerza gravitatoria, en el tramo MP, es igual a
A) 2,5 x 102
J
B) 5,3 x 102
J
C) 1,3 x 103
J
D) 1,6 x 103
J
EJEMPLO 15
Lea cuidadosamente los siguientes enunciados:
I.El trabajo se hace nulo cuando θ es igual a 90º.
II.El trabajo es igual a cero si la fuerza que se aplica sobre el cuerpo no logra que este se
desplace.
III.El trabajo es máximo cuando θ es igual a 0º.
De los enunciados anteriores podemos asegurar que son correctos:
A) solo el I
B) solo el II
C) el I y el III
D) el I, II y III

70
RESUMEN FARO 10°
EJEMPLO 16
Observe el siguiente esquema: D
B h
A h C
h
Suelo
Si los cuatro cuerpos se encuentran en reposo a cierta altura con respecto al suelo podemos afirmar
que en relación con la energía potencial gravitacional
A) Todos tienen la misma energía
B) El cuerpo A tiene la máxima energía
C) El cuerpo D tiene la mínima E
D) El cuerpo A tiene una energía potencial gravitacional igual a 0 J
EJEMPLO 17
Un joven sostiene con sus manos un maletín de 30 N de peso. Si la altura a la que está el maletín
es 0,5 m. la energía potencial gravitatoria del maletín es:
A) 60 J
B) 30 J
C) 15 J
D) 0 J
EJEMPLO 18
Para levantar una masa m y un peso P, con velocidad constante, hasta una altura h aplicando una
fuerza F , se debe de cumplir lo siguiente:
A) F = P
B) F  P
C) F  P
D) FR  0

71
RESUMEN FARO 10°
RESPUESTAS
II UNIDAD: MOVIMIENTO DE UNA PARTÍCULA
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B B C A B D B A C C
11 12 13 14 15 16
D B D B C B
GRÁFICOS d-t
1 2 3 4 5 6 7
A D B C A C B
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME ACELERADO (M.R.U.A)
1 2 3 4 5 6 7 8
D C D B C B A B
GRÁFICOS v-t
1 2 3 4 5 6
C C D C C B
CAÍDA LIBRE
1 2 3 4 5 6
D C C C A C
MOVIMIENTO PARABÓLICO
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
C D D A C C C D A B
III UNIDAD: FUERZAS Y MOVIMIENTO
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
C A A C C A A B B A
11 12 13 14 15 16 17 18 19
B A D A B B C B A

72
RESUMEN FARO 10°
LEY DE GRAVITACION UNIVERSAL
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B D C D C C A C D A
11 12
B D
TRABAJO Y ENERGÍA
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
C C A A B A D D A C
11 12 13 14 15 16 17 18
B B C C D D C A

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