Periodo natural y desplazamiento máximo tanque elevado

1 PROBLEMAS RESUELTOS
Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO
RIGIDEZ 1GDL
El sistema mostrado en la figura consiste en una viga de concreto armado (módulo de
elasticidad 250 000 kg/cm2
), de 3m de luz y 0,25 x 0,30 m de sección, empotrada en un
extremo y sujetada en el opuesto por un conjunto de 3 varillas lisas de acero (módulo de
elasticidad 2 100 000 kg/cm2
) de φ = 3/8". Las dos varillas superiores están conectadas con
la inferior mediante una placa metálica que puede considerarse de gran rigidez. Calcule la
rigidez del sistema para el grado de libertad señalado por la flecha.
La rigidez total K = k viga + k3 varillas
Rigidez varillas. El sistema de varillas consiste de dos en paralelo y luego esas dos en serie
con la siguiente.
Todas las varillas tienen una rigidez axial igual a:
ka = EA/L = 2 100 000 x 0,71/150 = 9975 kg/cm.
Las dos superiores tienen una rigidez de 2ka
El conjunto de las tres varillas: k3 varillas
3
2
2
a
a
a
k
k
F
k
F
F
F
=
+
=
∆
Laviga tiene una rigidez de: kviga= 3
3
L
EI
I= bh3
/12 = 56250cm4
.
kviga= 3
300
56250
000
500
2
3 x
x
= 1 562,5 kg/cm
K= kviga + k3 varillas = 1562,5 + 2/3 x 9975 = 8 213,5 kg/cm
1.5 m
1.5 m
3.0 m
PROBLEMAS RESUELTOS 2
INGENIERÍA ANTISÍSMICA
ECUACIÓN DE MOVIMIENTO Y PERIODO NATURAL.-
Determine la ecuación de movimiento y el período natural de vibración del sistema de un grado
de libertad, compuesto por una viga ( I = 4 000 cm4) con un peso concentrado de 500 kg. y una
varilla de 5/8” de diámetro en uno de sus extremos, tal como se muestra en la figura 3. Ambos
elementos son de acero (E = 2 100 000 kg/cm2 ). La viga se puede considerar sin masa.
Solución .-
cm
s
kg
51
,
0
s
cm
981
kg
500
g
P
m
kg
500
P
2
2
−
=
=
=
=
m
2
cm
98
.
1
A
8
"
5
=
=
φ
m
L = 4m
L = 3m
s
038
,
0
T
7
,
253
14
51
,
0
2
K
m
2
T
:
período
el
tanto
lo
Por
)
t
(
f
F
u
7
,
253
14
u
51
,
0
)
t
(
F
ku
u
m
:
movimiento
de
ecuación
la
Luego
cm
kg
7
,
253
14
860
13
7
,
393
K
300
98
,
1
x
000
100
2
400
000
4
x
000
100
2
x
3
K
h
EA
L
EI
3
K
K
K
T
1
3
3
CABLE
VIGA
=
→
π
=
π
=
=
+
=
+
=
+
=
+
=
+
=
+
=
&
&
&
&
Modelo:

AMPLITUD DE VIBRACIÓN
Se tiene un sistema masa-resorte (sin amortiguamiento) de un grado de libertad sometido a
la fuerza excitadora F(t) = F1 x f(t).
En la figura se muestra la variación de f(t) con el tiempo. Se pide determinar la máxima
amplitud de la vibración en el tramo t > td.
El tiempo td = 1.0 s . F1 = 1.579 t. El período del sistema es de 1 s y la rigidez K es 157.91
t/m. Debe justificar debidamente su respuesta.
→
> d
t
t Vibración Libre
( ) ( )
d
o
d
o t
t
U
t
t
cos
U
U −
ω
ω
+
−
ω
= sen
&
1er
Tramo:
( ) ( ) ( )
t
cos
1
m
01
,
0
t
cos
1
91
,
157
579
,
1
t
cos
1
k
F
U 1
ω
−
=
ω
−
=
ω
−
=
π
=
ω
→
=
ω
π
= 2
1
2
T
( )
t
2
cos
1
01
,
0
U π
−
= s
1
t
t d =
= ( ) 0
2
cos
1
01
,
0
U =
π
−
=
( )
t
2
sen
2
x
01
,
0
U π
π
=
& s
1
t = ( ) 0
2
sen
2
x
01
,
0
U =
π
π
=
&
( )
[ ] ( )
0
0
U
U
U
U
2
t
2
t
máx
d
d
+
=
∴
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
ω
+
=
&
0
U =
M
K
F(t)
td
1
f(t)
t
PROBLEMA 1.-
Se tiene un edificio de un piso que en la dirección X está conformado por dos pórticos y dos
muros. Los muros son de albañilería (Em=25000 kg/cm2
) y tienen 12cm de espesor. Las
dimensiones de vigas y columnas son de 25cm x 60cm (Ec=250000 kg/cm2). El peso total
a la altura del techo es de 96 toneladas (incluyendo la parte correspondiente de muros y
columnas). La altura es 2.80m.
Calcule el periodo del edificio como un
sistema de un grado de libertad.
SOLUCIÓN :
Peso = P= 96t
Em=25000 kg/cm2
Ec=250000 kg/cm2
K= 2xKmuro+2xKpórtico
* Cálculo del Kmuro: h=2.8m
L=8m
k
m
2
T π
=
cm
s
.
kg
859
.
97
981
9600
g
P
m
2
=
=
=
cm
kg
x
x
x
L
h
x
L
h
x
Et
Kmuro 600
,
245
8
8
.
2
3
8
8
.
2
4
12
25000
3
4
3
3
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
h=2.8m
Muro
L=8m
60
x
25
C
60
x
25
V
Muro
PLANTA
8m
Muro de albañilería
Y
4m
4m
4m
X
Pórticos de
concreto
Muro de albañilería

* Cálculo del KPórticos:
Por lo tanto el periodo del edificio como un sistema de un grado de libertad será:
2.7m=3-0.60/2
7.4m
60
60
8m
3m
L
I
K V
V =
h
I
K C
C =
4
3
V
C cm
000
450
12
60
x
25
I
I =
=
=
γ
+
γ
+
=
6
4
6
1
h
EI
24
K 3
C
Pórtico
cm
kg
K
x
x
K
K
Finalmente
cm
kg
K
x
x
x
x
K
K
Entonces
L
h
h
I
L
I
k
k
T
T
Total
P
P
Pórtico
c
v
C
V
549
632
1
,
674
70
2
600
245
2
:
1
,
674
70
365
,
0
6
4
365
,
0
6
1
270
000
450
000
250
24
:
365
,
0
365
.
0
40
,
7
70
,
2
)
/
(
)
/
(
3
=
→
+
=
=
=
→
+
+
=
=
=
→
=
=
=
=
= γ
γ
s
078
,
0
T
549
632
859
,
97
2
K
m
2
T
T
=
→
π
=
π
=
Muro albañilería
PLANTA
Y
4m
8m
4m
4m
X
Pórticos de
concreto
Muro albañilería
VARIANTE DEL PROBLEMA 1.-
Se tiene un edificio de un piso que en la dirección Y está conformado por dos pórticos y dos
muros. Los muros son de albañilería (Em=25000 kg/cm2
) y tienen 12cm de espesor. Las
dimensiones de vigas y columnas son de 25cm x 60cm (Ec=250000 kg/cm2) y las vigas se
pueden considerar de rigidez infinita. El peso total a la altura del techo es de 96 toneladas
(incluyendo la parte correspondiente de muros y columnas). La altura es 2.80m.
Calcule el periodo del edificio como un sistema de un grado de libertad .
SOLUCIÓN :
Peso = P= 96t
Em=25000 kg/cm2
Ec=250000 kg/cm2
K= 2xKmuro+2xKpórtico
* Cálculo del Kmuro: h=2.8m
L=8m
* Cálculo del KPórticos:
k
m
2
T π
=
cm
s
.
kg
859
.
97
981
9600
g
P
m
2
=
=
=
cm
kg
600
,
245
8
8
.
2
x
3
8
8
.
2
x
4
12
x
2500
L
h
x
3
L
h
x
4
E
K 3
3
t
muro =
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
60
x
25
C
60
x
25
V
Muro
h
I
K C
C =
L=8m
Muro h=2.8m

Calcularemos el periodo para h=2.20m y h=2.80m
Por lo tanto el periodo del edificio como un sistema de un grado de libertad será:
3
C
3
C
otrada
ColumnaEmp
P
Pórtico
h
EI
36
h
EI
12
x
3
xK
3
K
K =
=
=
=
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ] s
067
,
0
T
187
860
859
,
97
2
T
s
055
,
0
T
906
251
1
859
,
97
2
T
cm
s
kg
859
,
97
m
Con
cm
kg
187
860
K
493
184
x
2
600
245
x
2
K
cm
kg
906
251
1
K
353
380
x
2
600
245
x
2
K
K
2
K
2
K
K
:
Como
cm
kg
493
184
K
280
000
450
x
000
250
x
36
K
cm
kg
353
380
K
220
000
450
x
000
250
x
36
K
:
Entonces
80
.
2
h
80
.
2
h
20
.
2
h
20
.
2
h
2
80
.
2
h
T
80
.
2
h
T
20
.
2
h
T
20
.
2
h
T
p
m
T
Total
80
.
2
h
P
3
80
.
2
h
P
20
.
2
h
P
3
20
.
2
h
P
=
→
π
=
=
→
π
=
−
=
=
→
+
=
=
→
+
=
+
=
=
=
→
=
=
→
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
60
60
8
2.8m
2.2m
t
313
,
163
1
x
)
2
,
0
x
2
4
(
x
)
4
/
)
2
x
2
,
0
8
(
(
t
667
,
31
2
,
0
x
4
,
2
x
)
2
/
15
(
)
2
,
0
3
(
t
344
,
42
2
,
0
x
4
,
2
x
)
2
,
0
x
2
4
(
)
2
,
0
8
(
t
255
,
48
2
x
4
,
2
x
2
,
0
x
)
4
/
8
(
2
2
=
−
−
π
=
π
−
=
−
π
−
=
π
PERIODO NATURAL – MAX DESPL
Se tiene un tanque elevado como el que se muestra en la figura adjunta.
Se desea calcular su periodo natural de vibración para una excitación
sísmica. Suponga que todos los espesores son de 20cm. La cuba y el
fuste son cilíndricos. Si se lo somete a una fuerza bruscamente aplicada
de 20 t. Calcular cuál es el máximo desplazamiento que puede
producirse. Usted debe modelar la masa y la rigidez a considerar,
explique sus criterios. (E = 230 000 kg/cm2 ).
Solución.-
Lo que se desea calculares el Umáx debido a una fuerza aplicada súbitamente. Luego de la
teoría concluimos que:
Del modelo entonces debemos calcular:
Para el cálculo del periodo:
Calculando la masa “m=P/g”
Peso de la Tapa y Fondo:
Muros:
Fuste:
Agua:
P =
285,579 t
Por lo tanto:
s
57
,
0
T
8
,
3542
11
,
29
2
T =
→
π
=
t
F
con
K
F
Umáx 20
2 1
1
=
=
8m
4m
15m
3m
Cuba
Fuste
cm
13
,
1
100
x
8
,
3542
20
2
U
ximo:
amiento má
el desplaz
Luego
m
t
8
,
3542
K
15
733
,
1
x
2300000
x
3
K
:
Entonces
m
733
,
1
I
64
)
6
,
2
3
(
64
)
D
D
(
I
h
EI
3
K
máx
3
4
4
4
4
i
4
e
3
=
=
=
→
=
=
→
−
π
=
−
π
=
=
K
m
T π
2
=
Modelo
-Tapa y fondo
-Muros
-Fuste
-Agua
De
Di
e=0.20m
Vista de
Planta
del Fuste
m
15m
m
s
t
111
,
29
m
2
−
=

PERIODO DE VIBRACIÓN (1GDL)
Se tiene un edificio de un piso constituido por cuatro pórticos en la dirección X y tres
pórticos en la dirección Y (ver planta). Se desea determinar el periodo de vibración en cada
dirección.
Las vigas pueden considerarse infinitamente rígidas. Todas las columnas son de (25 x 40
cm) orientadas con la mayor dimensión en la dirección X. Todos los pórticos están unidos
por una losa maciza que se puede considerar de 800 kg/m2
incluyendo el peso de las vigas,
acabado y columnas. Actúa una sobrecarga de 200 kg/m2
. Para estimar la masa puede
considerarse el 25% de la sobrecarga. E= 230 000 kg/cm2
.
Modelo: Suponiendo que la losa se comporta como un diafragma rígido, se puede
considerar un solo desplazamiento lateral para todo el piso, ya que éste es común a todos
los elementos que llegan a la losa. m representa la masa del sistema y k la rigidez, en este
caso la rigidez lateral del edificio, KL. El modelo se aplica a ambas direcciones de la
vibración, X e Y, la rigidez será diferente en cada caso.
Cálculo de la Masa: La masa debe incluir todos aquellos elementos que se estima que se
aceleran simultáneamente:
Losa más vigas: 800 x área del entrepiso (12 x 8 = 96 m2
) = 76 800 kg = 76,8 t
25% de la sobrecarga: 0,25 x 200 x 96 = 4 800 kg = 4,8 t
Total Peso = 81 600 kg = 81.6 t
(Según los datos, en el peso de la losa por m2
se ha incluido ya el peso correspondiente a las
vigas y columnas, de lo contrario habría que considerarlo adicionalmente)
m = P/g = 81.6 t / 9.81 m/s2
= 8.318 t-s2
/m
Cálculo de la rigidez lateral del edificio, K, en la dirección X: En esa dirección son 4
pórticos. Debido a que todos ellos se desplazan por igual, la rigidez lateral total será la
suma de las rigideces de cada pórtico (Por una condición de equilibrio de fuerzas).
KLX = 4 x K pórtico
K pórtico = k columna empotrada + 2 k columnas articuladas
m
k
6m
4m
12m
2m 6m
PLANTA
Y
X
ELEVACION X
K pórtico = 3
2
3
1 h
EI
3
x
2
h
EI
12
+ , E=230 000 kg/cm2
=2 300 000 t/m2
I=0.25 x 0.403
/12 = 0.0013333m4
h1= 6m; h2= 4m
K pórtico = m
/
t
87
,
457
4
1
6
2
001333
,
0
x
2300000
x
6 3
3
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
KLX= 4 x 457.87 = 1 831.47 t/m
Periodo de vibración en la dirección X: El periodo de vibración de un sistema de un grado
de libertad está dado por la siguiente expresión:
k
m
2
T π
=
sustituyendo los valores de m y k (KLX) calculados, se obtiene:
47
.
1831
318
.
8
2
k
m
2
T π
=
π
=
Para evaluar el periodo en la dirección Y, Ty, la rigidez KLY se modifica en función de la
inercia de las columnas. El procedimiento es el mismo, así como el valor de la masa.
Tx=0.423 s

PER DE VIBR. – MAX. DESPL. (1GDL).- Se tiene un reservorio elevado como el que se
muestra. Se desea calcular su periodo natural de vibración para una excitación sísmica.
Suponga que todos los espesores son de 20cm. La cuba y el fuste son cilíndricos, calcular
cuál es el máximo desplazamiento que se produce si se le aplica un impulso que aplica
instantáneamente una velocidad de 10cm/s. Usted debe modelar la masa y la rigidez a
considerar. (E = 230 000 kg/cm2
).
8m
4m
15m
3m
m
k
Reservorio Modelo
Modelo: Se observa que la mayor parte de la masa está concentrada en la parte superior
del reservorio, por lo que se puede considerar un solo desplazamiento lateral que define la
posición de la masa.
Cálculo de la Masa: La masa debe incluir todo aquello que se estima que se aceleran
simultáneamente:
Tapa del tanque 4
,
2
x
20
,
0
4
8
4
,
2
tx
4
D 2
2
π
=
π
= 24,13 t
Fondo del tanque = 24,13 t
Muros o paredes del reservorio 4
,
2
x
6
,
3
x
20
,
0
2
6
,
7
8
4
,
2
xhx
t
Dprom
+
π
=
π = 42,34 t
Medio fuste 4
,
2
x
2
15
x
20
,
0
2
6
,
2
3
4
,
2
xhx
t
Dpromedio
+
π
=
π = 31,67 t
Total peso propio =122,27 t
Agua contenida en la cuba 60
,
3
4
6
,
7
x
h
4
D 2
2
erior
int π
=
π
=163,31 t
Peso total = 285,58 t
m = P/g =285,58 t / 9,81 m/s2
= 29,11 t-s2
/m
Cálculo de la rigidez lateral del reservorio, KL, en el plano: En esa dirección el elemento
resistente es el fuste que funciona como una columna empotrada en su base y libre arriba.
m
k
u máx = 0,91
KL = 3
h
EI
3
, E=230 000 kg/cm2
=2 300 000 t/m2
( )
4
interior
4
exterior D
D
64
I −
π
=
( )
4
4
6
.
2
3
64
I −
π
= =1.7329m4
h= 15m
KL = m
/
t
82
.
3542
15
7329
.
1
x
2300000
x
3
3
=
KL= 3 542.82 t/m
Periodo de vibración en la dirección X: El periodo de vibración de un sistema de un grado
de libertad está dado por la siguiente expresión:
k
m
2
T π
=
sustituyendo los valores de m y k (KL) calculados, se obtiene:
82
,
3542
11
,
29
2
k
m
2
T π
=
π
=
Frecuencia Angular:
T
2π
=
ω =
569
,
0
2π
=11,04 rad/s
La máxima amplitud de la vibración cuando se aplica una velocidad inicial es:
04
,
11
10
u0
=
ω
&
T =0,569

PER-FREC-FORZADO (1GDL)
Se tiene una losa rectangular, maciza, simplemente apoyada en sus cuatro bordes de concreto
armado (E=230,000 kg/cm2
, γconcreto = 2400kg/m3
) de 20cm de espesor y de 6m de luz y 4 de
ancho. Se desea calcular el periodo de vibración de la losa ante una fuerza vertical de personas
saltando sobre la misma.
Para representar la losa se puede suponer que está constituida por dos “vigas” de 1m de ancho.
También se puede suponer que la masa asociada con la vibración es la dada por la zona central de
la viga (un área rectangular de 2m x 3m de lado centrada con la losa).
a) Calcular el periodo y frecuencia natural.
SOLUCIÓN :
a) Nuestro modelo será:
3
V
V
L
EI
48
K = ; De la figura c:
2
V
1
V
T K
K
K
Rigidez +
=
= ; Lv1 =600 cm , Lv2 = 400 cm
cm
kg
5
,
907
14
K
500
11
42
,
407
3
400
667
66
x
000
250
x
48
600
667
66
x
000
250
x
48
K T
3
3
T =
→
+
=
+
=
4
6
3m
2m
4
3
V cm
667
66
12
20
x
100
I =
=
6m
1
1m 4m
1m
0.2m
fig. a
fig. b: Planta
fig. d : Modelo
fig. c: Secc. viga
masa
Viga
De la figura b:
2
1
2
m
m
cm
s
kg
936
,
2
m
981
)
400
2
x
)
2
,
0
x
3
x
2
((
g
P
m =
=
−
=
→
=
=
Calculando lo solicitado, tenemos que:
s
rad
256
,
71
936
,
2
5
,
907
14
m
KT
=
ω
→
=
=
ω
s
088
,
0
T
256
,
71
2
2
T =
→
π
=
ω
π
=
Hz
34
,
11
f
088
,
0
1
T
1
f =
→
=
=

FREC-NAT (1GDL)
La viga doblemente empotrada de la figura es de acero, E= 2 100 000 kg/cm2
, I= 4000 cm4
.
La viga sola es muy flexible y para comodidad de los que transitan sobre ella se desea que
tenga una frecuencia natural mayor o igual a 20 Hertz. Para reducir la vibración se puede
colocar una varilla de acero al centro de la luz. Determine el diámetro de la varilla (en los
valores comerciales usados en nuestro medio) necesario para cumplir con esta condición. El
peso colocado al centro es de 2t.
SOLUCIÓN:
Debido a que se debe usar un diámetro comercial y φ 1”=2.54cm > 2.36
3
10 m
P Hz
20
f
kg
2000
t
2
P
cm
40000
I
cm
kg
250000
E
TOTAL
4
V
2
≥
=
=
=
=
(Condición)
( ) ( ) [ ]
cm
36
2
D
37
4
x
4
A
4
D
D
Despejando
4
D
A
circular
es
barra
la
Como
cm
37
4
A
2100000
L
K
A
A
despejando
L
EA
K
que
Ya
cm
kg
6
30581
K
8
1612
4
32194
K
emplazando
cm
kg
8
1612
K
1000
4000
x
2100000
192
L
EI
192
K
Como
K
K
K
despejando
K
K
K
que
Sabenos
cm
kg
4
32194
K
cm
kg
4
32194
K
039
2
x
2
x
20
m
2
x
20
K
tiene
se
K
Despejando
Hz
20
m
K
2
1
2
Hz
20
f
condición
la
De
cm
s
kg
039
2
981
2000
g
P
m
2
2
Varilla
Varilla
Varilla
Varilla
VigaSola
3
3
VigaSola
VigaSola
T
Varilla
Varilla
VigaSola
T
mín
T
T
2
2
T
T
T
TOTAL
2
.
.
:
"
"
:
.
:
"
"
:
.
.
.
:
Re
.
:
:
.
.
.
:
:
.
=
→
=
=
=
=
→
=
=
=
→
−
=
=
→
=
=
−
=
+
=
=
→
≥
→
=
≥
≥
=
≥
−
=
=
=
π
π
π
π
π
π
π
ω
Entonces: φ 1”=2.54cm [Es el diámetro a usar]
PERIODO DE VIBRACIÓN
Se tiene un edificio de un piso que en la dirección Y está conformado por dos pórticos a los
extremos y otros dos que están conformados por una columna y un muro de albañilería Los
muros tienen 25cm de espesor y un módulo de elasticidad de 25 000 kg/cm2
. Las columnas
son de concreto armado y tienen 25cm x 40cm (E=250 000 kg/cm2). Para facilitar los
cálculos se puede suponer que las vigas son de rigidez infinita y las columnas están
empotradas en ambos extremos. El peso total a la altura del techo se puede considerar 96
toneladas. La altura total es de 2,4m y la losa del techo tiene 20cm de espesor.
PLANTA
X
4m
8m
4m 4m
Y
2m
2m
Se desea determinar el periodo de vibración en la dirección Y.
* Calculando la Rigidez Total ( KT ) :
KT = 8xKColumna + 2xKmuro
- Cálculo de KColumna = KC :
- Cálculo de KMuro = KM :
X
Y
2m
2m
Columna Viga
m
4
2
Total
Altura
m
20
0
e
espesor
kg
96000
t
96
P
40
x
25
C
cm
kg
25000
E
m
25
0
t
espesor
cm
kg
25000
E
Losa
2
Columnas
Muros
2
Muros
.
:
.
.
=
=
=
=
=
=
=
=
cm
kg
65
37565
K
20
240
133333
x
250000
x
12
K
4
cm
133333
12
40
x
25
I
como
h
EI
12
K
C
3
C
3
C
3
C
C
.
)
(
=
→
−
=
⇒
=
=
=

COCIENTE DE RAYLEIGH
Considere un sistema de cuatro grados de libertad. Estime el período fundamental utilizando
el cociente de Rayleigh.
Nivel Pesos
(t)
Rigidez
(t/cm)
1 50 60
2 50 60
3 50 60
4 40 50
Cálculo del período fundamental usando el Cociente de Rayleigh
Nive
l
Pesos
(t)
Masas
(t-s2
/m)
Rigideces
(t/m)
Fuerzas Cortantes Distorsión Desplaz. F x d M d2
4 40 4.077 5000 40000 40000 8.0000 51.3333 2053333.33 10744.592
3 50 5.097 6000 30000 70000 11.6667 43.3333 13000000.00 9570.733
2 50 5.097 6000 20000 90000 15.0000 31.6667 633333.33 5110.998
1 50 5.097 6000 10000 100000 16.6667 16.6667 166666.67 1415.789
Σ 4153333.33 26842.11
Periodo ( T ): 0.505 s
Frecuencia: 12.439 r/s
K4
K3
K2
K1
M4
M3
M2
M1
cm
kg
17
72472
K
2
2
0
4
2
x
3
2
2
0
4
2
x
4
25
x
2500
L
h
x
3
L
h
x
4
E
K muro
3
3
t
Muro .
.
.
.
.
=
→
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
s
093
0
T
5
445469
859
97
2
T
cm
s
kg
859
97
981
96000
g
P
m
con
K
m
2
T
cm
kg
5
445469
K
17
72472
x
2
65
37565
x
8
K
2
T
T
T
.
.
.
.
.
.
.
.
=
→
=
⇒
=
=
=
=
=
→
+
=
∴
π
π
La fórmula para el cociente de
Rayleigh aplicable es:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
=
∑
∑
=
=
i
n
1
i
i
2
i
n
1
i
i
D
F
D
M
2
T
Incluida en la Norma E-030,
con la variante Pi=Mig
K4
K3
K2
K1
M4
M3
M2
M1

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