1. La física estudia las interacciones fundamentales en la naturaleza desde lo microscópico a lo macroscópico. El uso de las matemáticas permite predecir fenómenos y desarrollar tecnología. 2. La derivada se usa para calcular la velocidad media, velocidad instantánea y aceleración instantánea de una partícula. 3. El documento presenta ejemplos de aplicar el cálculo diferencial para calcular velocidad y aceleración a partir de ecuaciones de posición, y analiza

1. UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR
FACULTAD DE FILOSOFÍA LETRAS Y CIENCIAS DE LA
EDUCACIÓN
CARRERA DE PEDAGOGÍA DE LAS CIENCIAS EXPERIMENTALES
MATEMÁTICA Y FÍSICA
APLICACIONES FÍSICAS
ASIGNATURA:
Cálculo Diferencial
DOCENTE:
PhD. Ana Lucia Arias
Cuarto “A” 2021-2022

2. 2
¿Qué es la Física?
La Física es la ciencia que estudia las interacciones fundamentales en la
naturaleza, desde lo microscópico a lo macroscópico
Física Matemática
Al utilizar las matemáticas para elaborar sus modelos y teorías, el físico
dota a la ciencia de un poder predictivo extraordinario que le permite tomar
control de los fenómenos que estudia y propicia el desarrollo tecnológico.

3. 3
Aplicaciones físicas de la derivada
Velocidad media
Velocidad instantánea
Aceleración instantánea

4. 4
Velocidad
Cuando tratamos la motivación física de la derivada, establecemos que si s(t)
representa la posición de la partícula en el instante t, entonces la velocidad en el
instante t está dada por:
𝑣 𝑡 = lim
ℎ→0
𝑠 𝑡 + ℎ − 𝑠(𝑡)
ℎ
Pero en caso de que el límite presentado exista, representa la derivada de la
función de la posición s, luego la velocidad instantánea en el instante t no es si no
la derivada de la función de posición s en t. Es decir:
𝑣 𝑡 =
𝑑𝑠
𝑑𝑡
= 𝑠′(𝑡)

5. 5
Aceleración
De manera similar podemos definir la aceleración instantánea
𝑎 𝑡 = lim
ℎ→0
𝑣 𝑡 + ℎ − 𝑣(𝑡)
ℎ
= 𝑣′(𝑡)
Es decir que la aceleración no es sino la derivada de la
función velocidad.
𝑎 𝑡 = 𝑣′
𝑡 =
𝑑𝑠
𝑑𝑡
′
=
𝑑
𝑑𝑡
𝑑𝑠
𝑑𝑡
=
𝑑2
𝑠
𝑑𝑡2

6. 6
1. La expresión 𝑆 𝑡 = 𝑡3
−
9
2
𝑡2
− 7𝑡, con 𝑡 ≥ 0, da la función de una partícula
a) ¿Cuándo alcanza la partícula una velocidad de 5 m/s?
𝑣 𝑡 = 𝑠′(𝑡)
𝑣 𝑡 = 3𝑡2
− 9𝑡 − 7
Reemplazo v=5 m/s
5 = 3𝑡2
− 9𝑡 − 7
0 = 3𝑡2
− 9𝑡 − 12
0 = 𝑡2
− 3𝑡 − 4
0 = (𝑡 − 4)(𝑡 + 1)
𝑡 − 4 = 0 ∨ 𝑡 + 1 = 0
𝑡 = 4 ∨ 𝑡 = −1
∴ 𝐿𝑎 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑣𝑎𝑙𝑒 5
𝑚
𝑠
𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑡 = 4𝑠

7. 7
1. La expresión 𝑆 𝑡 = 𝑡3
−
9
2
𝑡2
− 7𝑡, con 𝑡 ≥ 0, da la función de una partícula
b) ¿Cuándo la aceleración es igual a cero?
𝑎 𝑡 = 𝑣′
𝑡 = 𝑠′′(𝑡)
𝑣 𝑡 = 3𝑡2
− 9𝑡 − 7
𝑎 𝑡 = 6𝑡 − 9
Reemplazo a=0
0 = 6𝑡 − 9
9 = 6𝑡
𝑡 =
9
6
𝑡 = 1.5𝑠
∴ 𝐿𝑎 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑣𝑎𝑙𝑒 0
𝑚
𝑠2 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑡 = 1.5𝑠

8. 8
2. La altura 𝑠 por arriba del nivel del suelo de un proyectil en el instante 𝑡 esta dado por
Encontrar la razón de cambio instantánea de s con respecto a t en t=4
𝑠 𝑡 =
1
2
𝑔𝑡2
+ 𝑣0𝑡 + 𝑠0, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑔, 𝑣0 𝑦 𝑠0 𝑠𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠
1. Diagrama gráfico 2. Solución
𝑠 𝑡 =
1
2
𝑔𝑡2
+ 𝑣0𝑡 + 𝑠0
𝑠′ 𝑡 = 𝑔𝑡 + 𝑣0
Reemplazo t=4 m/s
𝐿𝑎 𝑟𝑎𝑧ó𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑒𝑠 𝑠′ 4 = 4𝑔 + 𝑣0

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3. Un objeto tiene una ecuación de posición dada por
𝑥 𝑡 = 5𝑡3
+ 6𝑡2
− 7𝑡 + 9
Encuentre la ecuación que representa su velocidad y otra para su aceleración
𝑣 𝑡 = 𝑠′(𝑡)
𝑥 𝑡 = 5𝑡3
+ 6𝑡2
− 7𝑡 + 9
∴ 𝐿𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑞𝑢𝑒 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑙𝑎 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑒𝑠 𝑣 𝑡 = 15𝑡2
+ 12𝑡 − 7
𝑣 𝑡 = 15𝑡2
+ 12𝑡 − 7
𝑣 𝑡 = 15𝑡2
+ 12𝑡 − 7
𝑎 𝑡 = 30𝑡 + 12
∴ 𝐿𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑞𝑢𝑒 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑙𝑎 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑒𝑠 𝑎 𝑡 = 30𝑡 + 12

10. 10
4. Una población bacteriana tiene un crecimiento dado por la
función p t = 5000 + 1000𝑡2
, siendo 𝑡 el tiempo promedio en horas se pide:
a) La velocidad media del crecimiento
𝑣𝑚 =
𝑝 𝑡 + ℎ − 𝑝(𝑡)
ℎ
𝑣𝑚 =
5000 + 1000 𝑡 + ℎ 2
− 5000 + 1000𝑡2
ℎ
𝑣𝑚 =
2000𝑡ℎ + 1000ℎ2
ℎ
𝑣𝑚 = 2000𝑡 + 1000ℎ
∴ 𝐿𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑞𝑢𝑒 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑙𝑎 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑠 𝑒𝑠 𝑣𝑚 = 2000𝑡 + 1000ℎ

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4. Una población bacteriana tiene un crecimiento dado por la
función p t = 5000 + 1000𝑡2
, siendo 𝑡 el tiempo promedio en horas se pide:
b)La velocidad instantánea de crecimiento
𝑣(𝑡) = 𝑝′(𝑡)
𝑝 t = 5000 + 1000𝑡2
𝑣(𝑡) = 2000𝑡
∴ 𝐿𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑞𝑢𝑒 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑙𝑎 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡á𝑛𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑠 𝑒𝑠 𝑣 𝑡 = 2000𝑡
c)La velocidad de crecimiento instantáneo para t=10 horas
𝑣(10) = 2000(10)
𝑣(10) = 20000

12. 12
5. 𝑈𝑛 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑠𝑒 𝑒𝑛𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 𝑎 2000𝑚 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑛𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑡𝑜𝑟𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑐𝑜ℎ𝑒𝑡𝑒.
𝐶𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 é𝑠𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑔𝑎 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑚𝑖𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑙 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝜑 𝑡 𝑞𝑢𝑒 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑙𝑎 𝑙í𝑛𝑒𝑎 𝑣𝑖𝑠𝑢𝑎𝑙
𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑒 𝑢𝑛𝑒 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑐𝑜ℎ𝑒𝑡𝑒 𝑦 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑢𝑒𝑙𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑒𝑛 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑐𝑢𝑟𝑟𝑖𝑑𝑜
𝑆𝑎𝑏𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝜑′
𝑡 =
1
20
𝑠𝑒 𝑝𝑖𝑑𝑒
¿Cuál es la altura del cohete cuando 𝜑=
𝜋
3
radianes
ℎ = 2000 ∙ tan
𝜋
3
ℎ = 2000 ∙ 3
¿Cuál es la velocidad del cohete cuando 𝜑=
𝜋
3
radianes

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5. 𝑈𝑛 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑠𝑒 𝑒𝑛𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 𝑎 2000𝑚 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑛𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑡𝑜𝑟𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑐𝑜ℎ𝑒𝑡𝑒.
𝐶𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 é𝑠𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑔𝑎 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑚𝑖𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑙 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝜑 𝑡 𝑞𝑢𝑒 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑙𝑎 𝑙í𝑛𝑒𝑎 𝑣𝑖𝑠𝑢𝑎𝑙
𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑒 𝑢𝑛𝑒 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑐𝑜ℎ𝑒𝑡𝑒 𝑦 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑢𝑒𝑙𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑒𝑛 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑐𝑢𝑟𝑟𝑖𝑑𝑜
𝑆𝑎𝑏𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝜑′
𝑡 =
1
20
𝑠𝑒 𝑝𝑖𝑑𝑒
¿Cuál es la velocidad del cohete cuando 𝜑=
𝜋
3
radianes
𝑣 𝜑 = ℎ′(𝑡)
𝑣 𝜑 = 2000(1 + tan2
𝜑 𝑡 ) ∙ 𝜑′(𝑡)
𝑣 𝜑 = 2000(1 + tan2
𝜋
3
) ∙
1
20
𝑣 𝜑 = 400
𝑚
𝑠

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Taller
1. Se bombea gas a un globo esférico a razón de 6
𝒎𝟑
𝒎𝒊𝒏
. Si la presión se mantiene constante.
¿Cuál es la velocidad con la que cambia el radio del globo cuando el diámetro mide 120
cm?
2. La ecuación de un movimiento rectilíneo es: 𝒆 𝒕 = 𝒕𝟑
− 𝟐𝟕𝒕. ¿En qué momento la
velocidad es nula? Hallar la aceleración en ese instante.
3. La ecuación del espacio recorrido por un móvil en función del tiempo es 𝒔 𝒕 = 𝟑𝒕𝟐
−
𝒕 + 𝟑, donde t se mide en segundos. Hallar la velocidad media en el intervalo [2,3]
4. La ley de movimiento de un punto en el eje 0Y está dado por 𝒚 = 𝟏𝟎𝒕 − 𝒕𝟑
. Hallar la
velocidad y aceleración de dicho punto para los instantes 𝒕𝟎 = 𝟎, 𝒕𝟏 = 𝟏 𝒚 𝒕𝟐 = 𝟐.