Tema 4 Álgebra Lineal: Aplicaciones Lineales

Definiciones básicas
Aplicaciones lineales
Núcleo, imagen y rango de una aplicación lineal
Clasificación de una aplicación lineal
Matriz de una aplicación lineal
Ecuación matricial de una aplicación lineal
Estudios de Ingenier´ıa
Juan Gabriel Gomila
Frogames
juangabriel@frogames.es
10 de febrero de 2016
Juan Gabriel Gomila Tema 4 - Aplicaciones lineales

Índice
1 Definiciones básicas
2 Aplicaciones lineales
La aplicación identidad
La aplicación constante
Definición de aplicación lineal
Propiedades
3 Núcleo, imagen y rango de una aplicación lineal
Núcleo
Imagen
Rango
4 Clasificación de una aplicación lineal
5 Matriz de una aplicación lineal
Construcción
Definición
6 Ecuación matricial de una aplicación linealJuan Gabriel Gomila Tema 4 - Aplicaciones lineales

Definición de aplicación
lineal
Propiedades
3 Núcleo, imagen y rango de
una aplicación lineal
Núcleo
Imagen
Rango
4 Clasificación de una
aplicación lineal
5 Matriz de una aplicación
lineal
Construcción
Definición
6 Ecuación matricial de una
aplicación lineal
Construcción
Definición

Aplicaci´on entre dos conjuntos
Sean A y B dos conjuntos dados. Una aplicaci´on de A en B es
una correspondencia que a cada elemento x ∈ A le asocia un, y
solo un, elemento y ∈ B
Figura: Ejemplos de correspondencias que no son aplicaciones

Aplicaci´on exhaustiva
Sea f : A −→ B una aplicaci´on. D´ıcese que f es exhaustiva si y
solo si f (A) = B. Es decir, si todos los elementos de B tienen una
anti-imagen o antecedente.
∀ b ∈ B∃ a ∈ A : f (a) = b

Figura: La aplicaci´on de la izquierda es exhaustiva. La de la derecha no lo
es (el n´umero 3 no tiene ninguna anti-imagen)

Aplicaci´on exhaustiva
Sea f : A −→ B una aplicaci´on. Se dice que f es inyectiva si
distintos elementos de A tienen distinta imagen.
x, y ∈ A, x = y ⇒ f (x) = f (y)
Esto es equivalente a decir que si dos elementos tienen la misma
imagen para f entonces son el mismo elemento:
f (x) = f (y) ⇒ x = y

De la definición anterior se deduce que cada elemento de B tendrá
como máximo una anti-imagen. En otras palabras, la anti-imagen
de un elemento de B es o bien un elemento de A o bien el
conjunto vac´ıo.

Figura: La aplicación de la izquierda es inyectiva. La de la derecha no lo
es (el número 4 tiene dos anti-imágenes para f ).

Aplicaci´on biyectiva
Sea f : A −→ B una aplicaci´on. D´ıcese que f es biyectiva si es
inyectiva y exhaustiva a la vez. El concepto equivale a decir que:
∀ b ∈ B ∃!a ∈ A : f (a) = b

Figura: Todo elemento de B tiene una, y solo una, ´unica anti-imagen
para f

Propiedades
lineal
Propiedades
Núcleo
Imagen
Rango
aplicación lineal
lineal
Construcción
Definición
aplicación lineal
Construcción
Definición

Propiedades
Considérese un espacio vectorial E y la aplicación identidad que
transforma cada vector de E en él mismo:
I : E → E,
x → x.
En primer lugar se estudiará si existe alguna relación entre la
imagen de una suma de vectores I(x + y) y las imágenes de cada
uno de los sumandos I(x), I(y).

Propiedades
La aplicación identidad - Lineal para la suma
Por definición de la aplicación identidad:
I(x + y) = x + y
Por otro lado:
I(x) = x
I(y) = y
⇒ I(x) + I(y) = x + y
Y por tanto se puede escribir que:
I(x + y) = x + y = I(x) + I(y)
Aplicación lineal para la suma
La imagen de la suma es la suma de imágenes.

Propiedades
La aplicación identidad - Lineal para el producto por escalar
En segundo lugar se estudiará si existe alguna relación entre la
imagen de un escalar por un vector I(λx) y la imagen del vector
I(x).
Por definición de aplicación identidad:
I(λx) = λx
Por tanto podemos escribir que:
I(λx) = λx = λI(x)
Aplicación lineal para el producto por escalar
La imagen del producto de un escalar por un vector es el escalar
por la imagen del vector.

Propiedades
Se verá ahora la aplicación definida en R que transforma cada
número real en el número 2
f : R → R,
x → 2.
Como antes, se va a estudiar la relación entre la imagen de una
suma de vectores f (x + y) y las imágenes de cada uno de los
sumandos f (x), f (y).

Propiedades
La aplicación constante - Lineal para la suma
Por definición de la aplicación constante:
f (x + y) = 2
Por otro lado:
f (x) = 2
f (y) = 2
⇒ f (x) + f (y) = 2 + 2 = 4
Y por tanto se puede escribir que:
f (x + y) = 2 = 4 = f (x) + f (y)
Aplicación no lineal para la suma
La imagen de la suma NO es la suma de imágenes.

Propiedades
La aplicación constante - Lineal para el producto por
escalar
En segundo lugar se estudiará si existe alguna relación entre la
imagen de un escalar por un vector f (λx) y la imagen del vector
f (x).
Por definición de la aplicación constante:
f (λx) = 2
Por tanto podemos escribir que:
f (λx) = 2 = 2λ = λf (x)
Aplicación no lineal para el producto por escalar
La imagen del producto de un escalar por un vector NO es el
escalar por la imagen del vector.

Propiedades
Aplicación lineal
La aplicación identidad del primer ejemplo es una aplicación
lineal.
La apliación constante del segundo ejemplo NO es una aplicación
lineal.

Propiedades
Aplicación lineal
Aplicación lineal
Sea E y F dos espacios vectoriales sobre K. Téngase una
aplicación f dada por:
f : E → F,
x → f (x).
D´ıcese que f es una aplicación lineal si se verifica que:
1 ∀ x, y ∈ E, f (x + y) = f (x) + f (y)
2 ∀ λ ∈ K, ∀x ∈ E, f (λx) = λf (x)

Propiedades
Aplicación lineal
Las dos condiciones anteriores son equivalentes a una tercera:
Aplicación lineal(II)
∀ λ, µ ∈ K, x, y ∈ E, f (λx + µy) = λf (x) + µf (y)
Normalmente comprobar las dos condiciones por separado suele ser
más sencillo a la hora de realizar operaciones. Comprobar una sola
puede ahorrar tiempo pero habrá que tener cuidado pues a partir
de ahora se tendrán más variables que en el primer caso.

Propiedades
Aplicación lineal
Ejercicios
Estudiar si la siguiente aplicación es o no lineal:
f : K2 → K,
(x, y) → x.
Esta aplicación recibe el nombre de primera proyección.

Propiedades
Aplicaci´on lineal
1 Lineal para la suma
f ((x1, y1) + (x2, y2)) = f (x1 + x2, y1 + y2) = x1 + x2
f (x1, y1) = x1
f (x2, y2) = x2
⇒ f (x1, y1) + f (x2, y2) = x1 + x2
Y por lo tanto:
f ((x1, y1) + (x2, y2)) = x1 + x2 = f (x1, y1) + f (x2, y2)
2 Lineal para el producto por escalar
f (λ(x, y)) = f (λx, λy) = λx = λf (x, y)

Propiedades
Preguntas
¿Cuándo se dice que una aplicación es lineal?
f : E → F,
x → f (x).
Se va a intentar responder a preguntas del estilo:
1 ¿Cuál será la imagen del elemento neutro de E?
2 ¿Existe una relación entre la imagen de un vector f (x) y la de
su opuesto f (−x)?
Estas preguntas surgen de forma natural debido a las
particularidades de E por ser un espacio vectorial (contiene el
neutro, los opuestos...).

Propiedades
Preguntas
Veámoslo con el siguiente ejemplo de la primera proyección
anterior, que asocia a cada vector su primera coordenada:
f : K2 → K,
(x, y) → x.
1 La aplicacón env´ıa el vector nulo 0E = (0, 0) a su primera
coordenada que es el número cero: f (0, 0) = 0. Es decir, la
imagen del vector nulo de K2 es el vector nulo de K. ¿Será
siempre as´ı?
2 Como f (−x, −y) = −x y f (x, y) = x, entonces
f (−x, −y) = −x, = −f (x, y). Es decir, la imagen del vector
opuesto de un vector ∈E Es el opuesto de la imagen de v por
f . ¿Será siempre as´ı?

Propiedades
La imagen del vector nulo
Propiedad
Dada una aplicaci´on lineal
f : E → F,
x → f (x).
La imagen del vector nulo 0E de E es el vector nulo 0F de F
f (0E ) = 0F

Propiedades
La imagen del vector nulo
Demostraci´on
1 El vector nulo 0E es el neutro de la suma de E, por tanto:
∀x ∈ E ⇒ x + 0E = x
2 Como x + 0E = x, entonces: f (x + 0E ) = f (x).
3 Como f es lineal: f (x + 0E ) = f (x) + f (0E ).
4 Entonces de 2 y 3, se obtiene: f (x) + f (0E ) = f (x) Donde, en
efecto f (0E ) es el elemento neutro de la suma de F:
f (0E ) = 0F

Propiedades
La imagen del vector opuesto
Propiedad
Dada una aplicaci´on lineal:
f : E → F,
x → f (x).
La imagen del vector opuesto es el opuesto de la imagen del vector
original:
f (−x) = −f (x)

Propiedades
La imagen del vector opuesto
Demostraci´on
1 La suma de un vector y su opuesto es el elemento neutro.
∀x ∈ E ⇒ x + (−x) = 0E
2 Como x + (−x) = 0E , entonces: f (x + (−x)) = f (0E ).
3 Como f es lineal: f (x + (−x)) = f (x) + f (−x).
4 Entonces de 2 y 3, se obtiene: f (x) + f (−x) = f (0E )
5 Pero de la propiedad anterior se sabe que f (0E ) = 0F , y por
tanto f (x) + f (−x) = 0F Donde, por propiedad del elemento
neutro f (−x) ha de ser el opuesto de f (x):
f (−x) = −f (x)

Núcleo
Imagen
Rango
lineal
Propiedades
Núcleo
Imagen
Rango
aplicación lineal
lineal
Construcción
Definición
aplicación lineal
Construcción
Definición

Núcleo
Imagen
Rango
Núcleo de una aplicación lineal
Definición
Sea la aplicación lineal
f : E → F,
x → f (x).
Se denomina núcleo de f y se denota como Ker(f ) o Nuc(f ) el
conjunto de elementos de E tales que su imagen coincide con el
cero de F:
Ker(f ) = {x ∈ E : f (x) = 0F }

N´ucleo
Imagen
Rango
Teorema
f : E → F,
x → f (x).
Entonces el Ker(f ) es un subespacio vectorial de E.

N´ucleo
Imagen
Rango
Ejercicios
f : R3 → R2,
(x, y, z) → (x + y − 2z, x − y + z).
H´allese el Ker(f ) y una nueva base suya.

Núcleo
Imagen
Rango
Solución
Un elemente del núcleo de f cumple la ecuación:
f (x, y, z) = (x + y − 2z, x − y + z) = (0, 0)
Si se resuelve el sistema pertinente se obtiene que:
x = x, y = 3x, z = 2x
Donde:
Ker(f ) = {(x, y, z) ∈ R3
: y = 3x, z = 2x} = (1, 3, 2)

Núcleo
Imagen
Rango
Teorema
Una aplicación lineal f : E → F es inyectiva si y solo si el núcleo
de f se reduce al neutro de E.
f inyectiva ⇐⇒ Ker(f ) = {0E }

N´ucleo
Imagen
Rango
Teorema
Sea:
x1, x2, · · · xn
Un conjunto de vectores linealmente independientes del espacio
vectorial E y f : E → F es una aplicaci´on lineal inyectiva entonces:
f (x1), f (x2), · · · , f (xn)
Son vectores linealmente independientes pertenecientes a F.

Núcleo
Imagen
Rango
Imagen de una aplicación lineal
Definición
f : E → F,
x → f (x).
Se denomina imagen de f y se denota por Im(f ) al conjunto de
elementos de F que tienen una anti-imagen para f :
Im(f ) = {y ∈ F : ∃x ∈ E tq f (x) = y}

Núcleo
Imagen
Rango
Teorema
Téngase la aplicación lineal:
f : E → F,
x → f (x).
Entonces el Im(f ) es un subespacio vectorial de E.

Núcleo
Imagen
Rango
Ejercicios
Téngase la aplicación lineal:
f : R3 → R2,
(x, y, z) → (x + y − 2z, x − y + z).
Encuéntrese el Im(f ) y una base suya.

Núcleo
Imagen
Rango
Solución
Un elemento de la imagen de f es de la forma:
f (x, y, z) = (x+y−2z, x−y+z) = (x, x)+(y, −y)+(−2z, z) = x(1, 1)+y(
Por tanto los vectores (1, 1), (1, −1), (−2, 1) forman un sistema
generador de Im(f ). Como R2, el máximo número de vectores LI
son 2, se destinan dos, por ejemplo(1, 1), (1, −1), para formar una
base de la imagen de f .

Núcleo
Imagen
Rango
Teorema
Si E es un espacio vectorial de dimensión finita n y se tiene la
aplicación lineal f : E → F. Entonces Im(f ) es de dimensión finita
menor o igual que n
dim Im(f ) ≤ n

Núcleo
Imagen
Rango
Teorema - Las dimensiones del núcleo de la imagen
Sean E y F espacios vectoriales sobre K y la aplicación lineal
f : E → F. Si la dimensión de E es finita, entonces se puede
asegurar:
dim Ker(f ), dim Im(f ) son finitos.
dim E = dim Ker(f ) + dim Im(f )

Núcleo
Imagen
Rango
Rango de una aplicación lineal
Rango de una aplicación lineal
Sea f : E → F una aplicación lineal con dim E .Se denomina
rango de f a la dimensión del subespacio vectorial imagen de f
rang(f ) = dim Im(f )

Sea f : E → F una aplicación lineal.
Monomorfismo
Si f es injectiva, entonces se denomina monomorfismo
Epimorfismo
Si f es exhaustiva, entonces se denomina epimorfismo
Isomorfisme
Si f es biyectiva, entonces se denomina isomorfismo

Sea f : E → E una aplicación lineal.
Endomorfismo
Una aplicación de un espacio en el mismo se denomina
endomorfismo
Automorfismo
Un endomorfismo biyectivo se denomina automorfismo

Teorema
Sean E y F espacios vectoriales de dimensión finita sobre K y
f : E =⇒ F una aplicación lineal, entonces son equivalentes:
f es un isomorfismo
dim E = dim F
Ker(f ) = {0E }

Construcción
Definición
lineal
Propiedades
Núcleo
Imagen
Rango
aplicación lineal
lineal
Construcción
Definición
aplicación lineal
Construcción
Definición

Construcción
Definición
Ejemplo
Antes de definir la matriz de una aplicación lineal se va a deducir
la forma con un ejemplo familiar.

Construcción
Definición
Ejemplo
Ejemplo
Sea f : R2 =⇒ R3 la aplicaciń lineal definida por:
f (x, y) = (x + y, y − 2x, x + y)

Construcción
Definición
Ejemplo
Ejemplo
1 Obténganse las imágenes de los vectores de la base canónica
BC de R2
2 Obténganse las imágenes de los vectores de la base
BE = {(1, −1), (2, 1)} de R2
3 Obténganse las imágenes de los vectores de la base canónica
de R2 expresados en la base
BF = {(1, −1, 0), (1, 0, −1), (1, 1, 1)} de R3
4 Obténganse las imágenes de los vectores de la base
BE = {(1, −1), (2, 1)} de R2 expresados en la base
BF = {(1, −1, 0), (1, 0, −1), (1, 1, 1)} de R3

Construcción
Definición
Ejemplo
Solución 1
f (x, y) = (x + y, y − 2x, x + y)
Obténganse las imágenes de los vectores de la base canónica BC
de R2
Como BC = {(1, 0), (0, 1)}, entonces:
f (1, 0) = (1 + 0, 0 − 2, 1 + 0) = (1, −2, 1)
f (0, 1) = (1, 1, 1)

Construcción
Definición
Ejemplo
Si se colocan las coordenadass de f (1, 0) y f (0, 1) como columnas
de una matriz, se obtiene:


1 1
−2 1
1 1


Entonces:
(f (1, 0), f (0, 1)) = ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1))


1 1
−2 1
1 1


Se calculan las imágenes de los vectores de la base canónica de R2
y estas imágenes vienen dadas en la base canónica de R3

Construcción
Definición
Ejemplo
Solución 2
f (x, y) = (x + y, y − 2x, x + y)
Obténganse las imágenes de los vectores de la base
BE = {(1, −1), (2, 1)} de R2
Análogamente:
f (1, −1) = (1 + (−1), −1 − 2, 1 + (−1)) = (0, −3, 0)
f (2, 1) = (3, −3, 3)

Construcción
Definición
Ejemplo
Si se colocan las coordenadas de f (1, −1) y f (2, 1) como columnas
de una matriz, se obtiene:


0 3
−3 −3
0 3


Entonces:
(f (1, −1), f (2, 1)) = ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1))


0 3
−3 −3
0 3


Si se calculan las imágenes de los vectores de la base BE de R2,
estas imágenes vienen dadas en la base canónica de R3

Construcción
Definición
Ejemplo
Solución 3
f (x, y) = (x + y, y − 2x, x + y)
Obténganse las imágenes de los vectores de la base canónica de R2
expresados en la base BF = {(1, −1, 0), (1, 0, −1), (1, 1, 1)} de R3
Se calcula la imagen de los vectores de la base canónica para f :
f (1, 0) = (1, −2, 1)
f (0, 1) = (1, 1, 1)
Donde los resultados se encuentran en la base canónica BC .

Construcción
Definición
Ejemplo
Para pasar de BC a la base BF de R3 se ha de hacer un cambio de
base:
BC
P
−→ BF
(1, −2, 1)C
P
−→ (a, b, c)BF
(1, 1, 1)C
P
−→ (m, n, p)BF
Según la definición de matriz de cambio de base P, será la matriz
las columnas de la cual son las coordenadas de los vectores de la
base BC expresados en la base BF . Se tiene justo lo contrario; es
decir, las coordenadas de BF en la base BC , por tanto se calculará
la matriz de cambio de base BF
Q
−→ BC , y la matriz P será la
inversa de Q.

Construcción
Definición
Ejemplo
Q = P−1
=


1 1 1
−1 0 1
0 −1 1


P =
1
3


1 −2 1
1 1 −2
1 1 1



Construcción
Definición
Ejemplo
(1, −2, 1)C
P
−→ (a, b, c)BF
P


1
−2
1


C
=


a
b
c


BF
1
3


1 −2 1
1 1 −2
1 1 1




1
−2
1


C
=


a
b
c


BF
Por tanto (a, b, c) = (2, −1, 0).

Construcción
Definición
Ejemplo
(1, 1, 1)C
P
−→ (m, n, p)BF
P


1
1
1


C
=


m
n
p


BF
1
3


1 −2 1
1 1 −2
1 1 1




1
1
1


C
=


m
n
p


BF
Por tanto (a, b, c) = (0, 0, 1).

Construcción
Definición
Ejemplo
Si se colocan las coordenadas de f (1, 0) y f (0, 1) como columnas
de una matriz se obtiene:


2 0
−1 0
0 1


Entonces:
(f (1, 0), f (0, 1)) = ((1, −1, 0), (1, 0, −1), (1, 1, 1))


2 0
−1 0
0 1


Se calculan las imágenes de los vectores de la base canónica BC de
R2 y estas imágenes vienen dadas en la base BF de R3

Construcción
Definición
Ejemplo
Solución 4
f (x, y) = (x + y, y − 2x, x + y)
Obténganse las imágenes de los vectores de la base
BE = {(1, −1), (2, 1)} de R2 expresados en la base
BF = {(1, −1, 0), (1, 0, −1), (1, 1, 1)} de R3
Si se calcula la imagen de los vectores de la base BE por f ,
f (1, −1) = (0, −3, 0)C
f (2, 1) = (3, −3, 3)C
Donde los resultados se encuentran en la base canónica BC .

Construcción
Definición
Ejemplo
Para pasar de BC a la base BF de R3 ha de hacerse un cambio de
base:
BC
P
−→ BF
(0, −3, 0)C
P
−→ (a, b, c)BF
(3, −3, 3)C
P
−→ (m, n, p)BF
Empleando la misma matriz de cambio de base P anterior, se
obtiene que:
(a, b, c)BF
= (2, −1, −1)
(m, n, p)BF
= (4, −2, 1)

Construcción
Definición
Ejemplo
Si se colocan las coordenadas de f (1, −1) y f (2, 1) como columnas
de una matriz se obtiene:


2 4
−1 −2
−1 1


Entonces:
(f (1, −1), f (2, 1)) = ((1, −1, 0), (1, 0, −1), (1, 1, 1))


2 4
−1 −2
−1 1


Se calculan las imágenes de los vectores de la base BE de R2 y
estas imágenes vienen dadas en la base BF de R3

Construcción
Definición
Resumen
En todos los casos anteriores se han calculado las imágenes de los
vectores de una base del espacio de origen y se han expresado en
una cierta base del espacio de destino. Estas matrices son las
matrices asociadas de la aplicación lineal.

Construcción
Definición
Ejemplo
En el caso 1 

1 1
−2 1
1 1


Además f (1, 0) = (1, −2, 1)C y f (0, 1) = (1, 1, 1)C respecto de la
base canónica de R2 y la base canónica de R3
(f (1, 0), f (0, 1)) = ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1))


1 1
−2 1
1 1



Construcción
Definición
Ejemplo
En el caso 2 

0 3
−3 −3
0 3


Además f (1, −1) = (0, −3, 0)C y f (2, 1) = (3, 3, 3)C respecto de
la base BE de R2 y la base canónica de R3
(f (1, −1), f (2, 1)) = ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1))


0 3
−3 −3
0 3



Construcción
Definición
Ejemplo
En el caso 3 

2 0
−1 0
0 1


Además f (1, 0) = (2, −1, 0)BF
y f (0, 1) = (0, 0, 1)BF
respecto de
la base canónica de R2 y la base BF de R3
(f (1, 0), f (0, 1)) = ((1, −1, 0), (1, 0, −1), (1, 1, 1))


2 0
−1 0
0 1



Construcción
Definición
Ejemplo
En el caso 4 

2 4
−1 −2
−1 1


Además f (1, −1) = (2, −1, −1)BF
y f (2, 1) = (4, −1, 1)BF
respecto de la base BE de R2 y la base BF de R3
(f (1, −1), f (2, 1)) = ((1, −1, 0), (1, 0, −1), (1, 1, 1))


2 4
−1 −2
−1 1



Construcción
Definición
Sean E y F espacios vectoriales de dimensiones p y q
respectivamente con BE = {u1, u2, · · · , up} una base de E,
BF = {v1, v2, · · · , vq} una base de F y f : E −→ F una aplicación
lineal.
Definición
Se denomina matriz de f respecto de las bases BE , BF a aquella
que tiene por columnas las coordenadas de los vectores
(f (u1), f (u2), · · · , f (up))
en la base BF = {v1, v2, · · · , vq}

Construcción
Definición
Las imágenes de los vectores de la base BE en la base BF vienen
dados por:
f (u1) ∈ F =⇒ f (u1) = a11v1 + a21v2 + · · · + aq1vq
f (u2) ∈ F =⇒ f (u2) = a12v1 + a22v2 + · · · + aq2vq
· · ·
f (up) ∈ F =⇒ f (up) = a1pv1 + a2pv2 + · · · + aqpvq

Construcción
Definición
Esta expresión en forma matricial ser´ıa:
(f (u1), f (u2), · · · , f (up)) = (v1, v2, · · · , vq)





a11 a12 · · · a1p
a21 a21 · · · a2p
...
...
...
...
aq1 aq2 · · · aqp





Donde la columna i contiene las coordenadas del vector f (ui ) en la
base BF . La matriz A será de tamaño q × p con p dimensión de E
y q dimensión de F.
(f (u1), f (u2), · · · , f (up)) = (v1, v2, · · · , vq)A

Construcción
Definición
Ejercicios
Sea B1 = {(1, 1, 0), (−1, 1, 2), (0, 2, 1)} una base de R3 y
B2 = {(1, 1, ), (−1, 1)} una base de R2. Considérese f : R3 −→ R2
la aplicación lineal tal que:
f (x, y, z) = (x + y − 2z, x − y + z)
Obténgase la matriz asociada a f respecto de las bases B1 de R3 y
B2 de R2

Construcción
Definición
1. Calcúlense las imágenes de los vectores de B1 en la base
canónica
f (1, 1, 0) = (2, 0)C
f (−1, 1, 2) = (−4, 0)C
f (0, 2, 1) = (0, −1)C

Construcción
Definición
2. Calcúlese la matriz de cambio de base de BC a B2
Se va a pasar de la base canónica a la base B2.
Como se sabe B2 en la base canónica, se tiene B2
Q
−→ BC
Q =
1 −1
1 1
Por tanto la matriz de cambio de base es
P = Q−1 = 1
2
1 1
−1 1
xB2 = PxBC

Construcción
Definición
3. Expresar los vectores en la nueva base B2
xB2 = P
2
0
=
1
−1 B2
xB2 = P
−4
0
=
−2
2 B2
xB2 = P
0
−1
=
−1
2
−1
2 B2

Construcción
Definición
4. La matriz de la aplicación lineal
Entonces la matriz es:
1 −2 −1/2
−1 2 −1/2
(f (1, 1, 0), f (−1, 1, 2), f (0, 2, 1)) =
((1, 1), (−1, 1))
1 −2 −1/2
−1 2 −1/2

Construcción
Definición
Sea f : E −→ F una aplicación lineal, A la matriz asociada a f
respecto de las dos bases BE y BF de E y F respectivamente. Se
va a hallar una relación entre las coordenadas en base BE de un
vector x ∈ E y las coordenadas en la base BF del vector f (x) ∈ F.

Construcción
Definición
Ejemplo
Ejemplo
Sea f : R2 −→ R3 la aplicación lineal tal que su matriz asociada en
base canónica de R2 y la base canónica de R3 es:


1 1
−2 1
1 1


Calcúlense las coordenadas del vector imagen de
c = (2, −1)C ∈ R2 expresadas en la base canónica.

Construcción
Definición
Ejemplo
(2, −1)C = 2(1, 0) + (−1)(0, 1) = ((1, 0), (0, 1))
2
−1
Aplicando f en los dos lados de la igualdad, como ambos
miembros son iguales y f es una aplicación (un mismo elemento de
origen no puede tener dos imágenes diferentes), sus imágenes
también serán iguales:
f (2, −1)C = f (2(1, 0) + (−1)(0, 1)) = 2f (1, 0) + (−1)f (0, 1)
= (f (1, 0), f (0, 1))
2
−1

Construcción
Definición
Ejemplo
Por definición la matriz asociada a f respecto a dos bases BE y
BF , se sabe que:
(f (1, 0), f (0, 1)) = ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1))


1 1
−2 1
1 1


Y sustituyendo esta expresión en la anterior, se tiene que:
f (2, −1)C = ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1))


1 1
−2 1
1 1

 2
−1

Construcción
Definición
Ejemplo
Si se denota por YC las coordenadas del f (2, −1)C en la base
canónica de R3, se puede escribir
(f (1, 0), f (0, 1)) = ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1))


1 1
−2 1
1 1


Y sustituyendo esta expresión en la anterior, se obtiene:


1 1
−2 1
1 1

 2
−1
= YC =⇒ YC =


1
−5
1


C

Construcción
Definición
Planteamiento general
Sea f : E −→ F una aplicación lineal y A la matriz asociada a f
respecto de BE y BF . Sea:
XBE
coordenadas en base BE del vector x ∈ E.
YBF
coordenadas en base BF del vector f (x) ∈ F.
f (BE ) = BF · A

Construcción
Definición
Planteamiento general
Se puede demostrar que
A · XBE = YBF

Construcción
Definición
Ecuación matricial
A · XBE = YBF
Es la ecuación matricial de la aplicación lineal que relaciona las
coordenadas de un vector x ∈ E en una base BE con las
coordenadas f (x) en una base BF .

Construcción
Definición
Teorema
Sea A ∈ Mn(K) una matriz cuadrada de tamaño n. Son
equivalentes
A es invertible
Los vectores columna de la matriz A son una base de Kn
La aplicación lineal definida por:
fA : Kn → Kn,
X → AX.
Es biyectiva.

Construcción
Definición
Teorema
Sea la aplicación lineal f : E −→ F,
A la matriz de la aplicación lineal en las bases BE y BF ,
C la matriz de la aplicación lineal en otras bases BE y BF ,
P la matriz de cambio de base de BE a BE (BE
P
−→ BE ),
Q la matriz de cambio de base de BF a BF (BF
Q
−→ BF ).
Entonces Q−1 · A · P = C

Construcción
Definición
Figura: Q−1
· A · P = C

Construcción
Definición
Demostración
Ecuación matricial de la aplicación lineal para A, BE y BF :
A · XBE = YBF .
Ecuación matricial de la aplicación lineal para C, BE y BF :
C · XBE = YBF .
Ecuación de cambio de base de BE a BE (BE
P
−→ BE ),
XBE = P · XBE
Ecuación de cambio de base de BF a BF (BF
Q
−→ BF ),
YBF = Q · XBF

Construcción
Definición
Demostración
A · XBE = YBF
XBE = P · XBE
Por tanto:
A · (P · XBE ) = YBF
Además:
YBF = Q · YBF
Por ello:
A · (P · XBE ) = Q · YBF

Construcción
Definición
Demostración
Multiplicando los dos lados por Q−1 y aplicando la propiedad
asociativa del producto de matrices se obtiene:
(Q1
· A · P) · XBE = YBF
Que es la ecuación matricial de f en BE y BF . Por tanto Q1 · A · P
será la matriz asociada a f en estas bases:
Q1
· A · P = C

Construcción
Definición
Corolario
Sea la aplicación lineal f : E −→ E y sean:
A la matriz de la aplicación lineal en la base BE ,
C la matriz de la aplicación lineal en la base BE ,
P la matriz de cambio de base de BE a BE (BE
P
−→ BE ),
Entonces se cumple que:
P−1
· A · P = C

Construcción
Definición
Figura: P−1
· A · P = C

Construcción
Definición
Ejercicios
Sea la aplicación lineal f : R2 −→ R3 dada por
f (x, y) = (x + y, y − 2x, x + y). Encuéntrese la matriz de f
respecto de la base canónica de R2 y la base
BF = {(1, 1, 0), (0, 1, 1), (0, 0, −2)} de R3.

Construcción
Definición
Sea A la matriz de f asociada en las bases canónicas (calculada en
un ejercicio anterior)
A =


1 1
−2 1
1 1


P es en este caso la matriz identidad de orden 2 (de la base
canónica a ella misma) y Q la matriz de cambio de base de BF a
la base canónica de R3 (BF
Q
−→ BC )
Q =


1 0 0
1 1 0
0 1 −2



Construcción
Definición

Construcción
Definición
Entonces:
C = Q−1
AP =


1 0 0
−1 1 0
−1/2 1/2 −1/2




1 1
−2 1
1 1

 1 0
0 1
=


1 1
−3 0
−2 −1/2

 1 0
0 1
=


1 1
−3 0
−2 −1/2



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