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Problemas ley coulomb tutorial
- 1. PROFR. MARCO ANTONIO VÁZQUEZ MONTES TUTORIAL PARA RESOLVER PROBLEMAS DE LEY DE COULOMB Ejemplo No. 1 Calcular la fuerza eléctrica entre dos cargas cuyos valores son: q1 = 4 microcoulombs y q2 = 6 microcoulombs, al estar separadas en el vacío por una distancia de 30 cm. INSTRUCCIONES PARA EL USO DE ESTE TUTORIAL: o DESCÁRGALO EN TU COMPUTADORA o OBSÉRVALO EN EL MODO DE PRESENTACIÓN CON DIAPOSITIVAS Y CON BOTÓN PRIMARIO DEL MOUSE O LAS FLECHAS DE DIRECCIÓN DEL TECLADO AVANZA EN EL DESARROLLO DE LOS PROBLEMAS. o ANTES DE VER LOS RESULTADOS REALIZA TUS PROPIOS CÁLCULOS Y POSTERIORMENTE COMPRUÉBALOS CON LOS QUE SE MUESTRAN. ESTO ES IMPORTANTE POR QUE TE PERMITIRÁ SABER SI ESTÁS COMPRENDIENDO EL PROCEDIMIENTO. SOLUCIÓN: Identificamos los datos, las ecuaciones necesarias, posteriormente se realizan las operaciones y finalmente se escribe el resultado 𝒒 𝟏 = 𝟒 𝝁𝑪 DATOS 𝒒 𝟐 = 𝟔 𝝁𝑪 𝒓 = 𝟑𝟎 𝒄𝒎 Estos datos se deben escribir en las mismas unidades de la constante k 𝒒 𝟏 = 𝟒 × 𝟏𝟎−𝟔 𝑪 𝒓 = 𝟎. 𝟑 𝒎 𝒒 𝟐 = 𝟔 × 𝟏𝟎−𝟔 𝑪 FÓRMULA 𝑭 = 𝒌 𝒒 𝟏 𝒒 𝟐 𝒓 𝟐 SUSTITUCIÓN Y OPERACIONES 𝑭 = 𝟗×𝟏𝟎 𝟗 𝑵𝒎 𝟐 𝑪 𝟐 𝟒×𝟏𝟎−𝟔 𝑪 𝟔×𝟏𝟎−𝟔 𝑪 𝟎.𝟑𝒎 𝟐 Eliminamos las unidades correspondientes 𝑭 = 𝟗×𝟏𝟎 𝟗 𝑵𝒎 𝟐 𝑪 𝟐 𝟐.𝟒×𝟏𝟎−𝟏𝟏 𝑪 𝟐 𝟎.𝟎𝟗 𝒎 𝟐 𝒌 = 𝟗 × 𝟏𝟎 𝟗 𝑵𝒎 𝟐 𝑪 𝟐 MAGNITUD 𝑭 = 2.4 N EL RESULTADO ES: Si el resultado es un número positivo la fuerza es de repulsión, si es negativo será de atracción , para este caso es de repulsión
- 2. Ejemplo No. 2 ¿Cuál será la magnitud de la fuerza de repulsión de las cargas anteriores si la distancia entre ellas es de 60 centímetros (el doble de la anterior)? 𝒒 𝟏 = 𝟒 𝝁𝑪 DATOS 𝒒 𝟐 = 𝟔 𝝁𝑪 𝒓 = 𝟔𝟎 𝒄𝒎 Estos datos se deben escribir en las mismas unidades de la constante k 𝒒 𝟏 = 𝟒 × 𝟏𝟎−𝟔 𝑪 𝒓 = 𝟎. 𝟔 𝒎 𝒒 𝟐 = 𝟔 × 𝟏𝟎−𝟔 𝑪 FÓRMULA 𝑭 = 𝒌 𝒒 𝟏 𝒒 𝟐 𝒓 𝟐 SUSTITUCIÓN Y OPERACIONES 𝑭 = 𝟗×𝟏𝟎 𝟗 𝑵𝒎 𝟐 𝑪 𝟐 𝟒×𝟏𝟎−𝟔 𝑪 𝟔×𝟏𝟎−𝟔 𝑪 𝟎.𝟔𝒎 𝟐 Eliminamos las unidades correspondientes 𝑭 = 𝟗×𝟏𝟎 𝟗 𝑵𝒎 𝟐 𝑪 𝟐 𝟐.𝟒×𝟏𝟎−𝟏𝟏 𝑪 𝟐 𝟎.𝟑𝟔 𝒎 𝟐 𝒌 = 𝟗 × 𝟏𝟎 𝟗 𝑵𝒎 𝟐 𝑪 𝟐 𝑭 = 0.6 N EL RESULTADO ES: La magnitud de la fuerza ha disminuido a la cuarta parte de la original mostrada en el ejemplo No. 1 Ejemplo No. 3 ¿Cuál será la magnitud de la fuerza de repulsión de las cargas del ejemplo No. 1 si la distancia entre ellas se reduce a 10 centímetros (la tercera parte de la original)? 𝒒 𝟏 = 𝟒 𝝁𝑪 DATOS 𝒒 𝟐 = 𝟔 𝝁𝑪 𝒓 = 𝟏𝟎 𝒄𝒎 Estos datos se deben escribir en las mismas unidades de la constante k 𝒒 𝟏 = 𝟒 × 𝟏𝟎−𝟔 𝑪 𝒓 = 𝟎. 𝟏 𝒎 𝒒 𝟐 = 𝟔 × 𝟏𝟎−𝟔 𝑪 FÓRMULA 𝑭 = 𝒌 𝒒 𝟏 𝒒 𝟐 𝒓 𝟐 SUSTITUCIÓN Y OPERACIONES 𝑭 = 𝟗×𝟏𝟎 𝟗 𝑵𝒎 𝟐 𝑪 𝟐 𝟒×𝟏𝟎−𝟔 𝑪 𝟔×𝟏𝟎−𝟔 𝑪 𝟎.𝟏𝒎 𝟐 Eliminamos las unidades correspondientes 𝑭 = 𝟗×𝟏𝟎 𝟗 𝑵𝒎 𝟐 𝑪 𝟐 𝟐.𝟒×𝟏𝟎−𝟏𝟏 𝑪 𝟐 𝟎.𝟎𝟏 𝒎 𝟐 𝒌 = 𝟗 × 𝟏𝟎 𝟗 𝑵𝒎 𝟐 𝑪 𝟐 𝑭 = 21.6 N EL RESULTADO ES: La magnitud de la fuerza ha aumentado nueve veces mas con respecto a la mostrada en el ejemplo No. 1
- 3. Ejemplo No. 4 Dos cargas de -10 µC y 6µC están separadas por una distancia de 100 milímetros en el aire. ¿Cuál es la fuerza sobre una tercer carga de 8 µC colocada en el punto medio las dos primeras cargas? Calculamos ahora las magnitudes de las fuerzas 𝑭 𝟏 y 𝑭 𝟐 por medio de la ecuación de la ley Coulomb La carga 𝒒 𝟏 ejerce sobre la carga 𝒒 𝟑 una fuerza de atracción hacia la izquierda SOLUCIÓN: Cuando se presentan mas de dos cargas, es importante realizar un esquema que nos ayude a plantear mejor el problema. Además, este problema se resuelve por medio de una suma de vectores, por lo tanto se deben dibujar los que actuarán sobre la carga 𝒒 𝟑 𝒒 𝟏 = −𝟏𝟎 𝝁𝑪 - + + 𝒒 𝟐 = 𝟔 𝝁𝑪𝒒 𝟑 = 𝟖 𝝁𝑪 𝑭 𝟏 𝑭 𝟐 La carga 𝒒 𝟐 ejerce sobre la carga 𝒒 𝟑 una fuerza de repulsión también hacia la izquierda 𝟓𝟎 𝒎𝒎𝟓𝟎 𝒎𝒎 PARA LA FUERZA 𝑭 𝟏 𝒒 𝟏 = −𝟏𝟎 𝝁𝑪 DATOS 𝒒 𝟑 = 𝟖 𝝁𝑪 𝒓 = 𝟓𝟎 𝒎𝒎 Estos datos se deben escribir en las mismas unidades de la constante k 𝒒 𝟏 = −𝟏𝟎 × 𝟏𝟎−𝟔 𝑪 𝒓 = 𝟎. 𝟎𝟓 𝒎 𝒒 𝟑 = 𝟖 × 𝟏𝟎−𝟔 𝑪 FÓRMULA 𝑭 = 𝒌 𝒒 𝟏 𝒒 𝟑 𝒓 𝟐 SUSTITUCIÓN Y OPERACIONES 𝑭 𝟏 = 𝟗×𝟏𝟎 𝟗 𝑵𝒎 𝟐 𝑪 𝟐 −𝟏𝟎×𝟏𝟎−𝟔 𝑪 𝟖×𝟏𝟎−𝟔 𝑪 𝟎.𝟎𝟓𝒎 𝟐 Eliminamos las unidades correspondientes 𝑭 𝟏 = 𝟗×𝟏𝟎 𝟗 𝑵𝒎 𝟐 𝑪 𝟐 −𝟖×𝟏𝟎−𝟏𝟏 𝑪 𝟐 𝟐.𝟓×𝟏𝟎−𝟑 𝒎 𝟐 𝒌 = 𝟗 × 𝟏𝟎 𝟗 𝑵𝒎 𝟐 𝑪 𝟐 𝑭 𝟏 = - 288 N EL RESULTADO ES: Como el resultado es negativo la fuerza entre las cargas es de atracción
- 4. PARA LA FUERZA 𝑭 𝟐 𝒒 𝟐 = 𝟔 𝝁𝑪 DATOS 𝒒 𝟑 = 𝟖 𝝁𝑪 𝑟 = 50 𝑚𝑚 Estos datos se deben escribir en las mismas unidades de la constante k 𝑞2 = 6 × 10−6 𝐶 𝑟 = 0.05 𝑚 𝑞3 = 8 × 10−6 𝐶 FÓRMULA 𝑭 𝟐 = 𝒌 𝒒 𝟐 𝒒 𝟑 𝒓 𝟐 SUSTITUCIÓN Y OPERACIONES 𝑭 𝟐 = 𝟗×𝟏𝟎 𝟗 𝑵𝒎 𝟐 𝑪 𝟐 𝟔×𝟏𝟎−𝟔 𝑪 𝟖×𝟏𝟎−𝟔 𝑪 𝟎.𝟎𝟓𝒎 𝟐 Eliminamos las unidades correspondientes 𝑭 𝟐 = 𝟗×𝟏𝟎 𝟗 𝑵𝒎 𝟐 𝑪 𝟐 𝟒.𝟖×𝟏𝟎−𝟏𝟏 𝑪 𝟐 𝟐.𝟓×𝟏𝟎−𝟑 𝒎 𝟐 𝒌 = 𝟗 × 𝟏𝟎 𝟗 𝑵𝒎 𝟐 𝑪 𝟐 𝑭 𝟐 = 172.8 N EL RESULTADO ES: El resultado es positivo (la fuerza entre las cargas es de repulsión) Como la suma es vectorial, podemos escribir los vectores anteriores utilizando los vectores unitarios i y j . Además podemos observar que el ángulo que forman ambos vectores con el eje x positivo es de 180° 𝑭 𝟏 = − 𝟐𝟖𝟖 𝑵 𝒊 𝑭 𝟐 = − 𝟏𝟕𝟐. 𝟖 𝑵 𝒊 El vector resultante será igual a la suma de los vectores anteriores 𝑭 𝑹 = − 𝟐𝟖𝟖𝑵 − 𝟏𝟕𝟐. 𝟖 𝑵 𝒊 𝑭 𝑹 = − 𝟒𝟔𝟎. 𝟖 𝑵 𝒊 𝑭 𝑹 = −𝟒𝟔𝟎. 𝟖𝑵 𝟐 = 𝟒𝟔𝟎. 𝟖 𝑵 Para calcular la magnitud del vector resultante aplicamos el teorema de pitágoras Los resultados son: MAGNITUD 𝑭 = 460.8 N Este resultado indica que el vector está dirigido hacia la parte negativa del eje x DIRECCIÓN θ = 180° (Horizontal hacia la izquierda) Los vectores no tienen componentes verticales ( no se ocupa el vector unitario j ) 𝑭 𝟏 = 𝟐𝟖𝟖𝑵 𝒄𝒐𝒔 𝟏𝟖𝟎° 𝒊 + 𝟐𝟖𝟖𝑵 𝒔𝒆𝒏 𝟏𝟖𝟎° 𝒋 𝑭 𝟐 = 𝟏𝟕𝟐. 𝟖𝑵 𝒄𝒐𝒔 𝟏𝟖𝟎° 𝒊 + 𝟏𝟕𝟐. 𝟖𝑵 𝒔𝒆𝒏 𝟏𝟖𝟎° 𝒋 ⇒
- 5. Ejemplo No. 5 Tres cargas cuyos valores son -2 nanocoulombs, 3 nanocoulombs y 8 nanocoulombs se encuentran colocadas como se muestra en la siguiente figura. ¿Cuál es la fuerza resultante sobre la carga 𝒒 𝟐 generada por las otras dos cargas? SOLUCIÓN: Realizamos el esquema con los vectores que actúan sobre la carga 𝒒 𝟐 𝒒 𝟏 𝒒 𝟑 𝒒 𝟐 - + 𝒒 𝟏 𝒒 𝟑 𝒒 𝟐+ - + 5 cm 4 cm 3 cm 36.86° 143.14 ° + 𝐹1 𝐹2 𝒙 𝒚 Es necesario conocer el valor del ángulo interno del triángulo rectángulo que se forma entre los lados de 5 y 4 cm 𝑡𝑎𝑛 𝛼 = 3 𝑐𝑚 4 𝑐𝑚 𝑡𝑎𝑛 𝛼 = 0.75 𝛼 = 𝑎𝑛𝑔 𝑡𝑎𝑛 0.75 𝛼 = 36.86° Podemos ahora calcular fácilmente el ÁNGULO POSITIVO que forma el vector 𝐹1 CON EL EJE x POSITIVO 𝜽 = 180° − 36.86° 𝜽 = 143.14° = 𝜶 = 𝜽 El ángulo del vector 𝑭 𝟐 es 𝟎°
- 6. Calculamos ahora las magnitudes de las fuerzas 𝑭 𝟏 y 𝑭 𝟐 por medio de la ecuación de la ley Coulomb PARA LA FUERZA 𝑭 𝟏 𝑞1 = −2 𝑛𝐶 DATOS 𝑞2 = 3 𝑛𝐶 𝑟 = 5 𝑐𝑚 Estos datos se deben escribir en las mismas unidades de la constante k 𝑞1 = −2 × 10−9 𝐶 𝑟 = 0.05 𝑚 𝑞3 = 3 × 10−9 𝐶 FÓRMULA 𝑭 = 𝒌 𝒒 𝟏 𝒒 𝟑 𝒓 𝟐 SUSTITUCIÓN Y OPERACIONES 𝑭 𝟏 = 𝟗×𝟏𝟎 𝟗 𝑵𝒎 𝟐 𝑪 𝟐 −𝟐×𝟏𝟎−𝟗 𝑪 𝟑×𝟏𝟎−𝟗 𝑪 𝟎.𝟎𝟓𝒎 𝟐 Eliminamos las unidades correspondientes 𝑭 𝟏 = 𝟗×𝟏𝟎 𝟗 𝑵𝒎 𝟐 𝑪 𝟐 −𝟔×𝟏𝟎−𝟏𝟖 𝑪 𝟐 𝟐.𝟓×𝟏𝟎−𝟑 𝒎 𝟐 𝒌 = 𝟗 × 𝟏𝟎 𝟗 𝑵𝒎 𝟐 𝑪 𝟐 𝑭 𝟏 = - 2.16 × 𝟏𝟎−𝟓 N EL RESULTADO ES: Como el resultado es negativo la fuerza entre las cargas es de atracción PARA LA FUERZA 𝑭 𝟐 𝒒 𝟐 = 𝟑 𝒏𝑪 DATOS 𝒒 𝟑 = 𝟖 𝒏𝑪 𝑟 = 4 𝑐𝑚 Estos datos se deben escribir en las mismas unidades de la constante k 𝑞2 = 3 × 10−9 𝐶 𝑟 = 0.04 𝑚 𝑞3 = 8 × 10−9 𝐶 FÓRMULA 𝑭 𝟐 = 𝒌 𝒒 𝟐 𝒒 𝟑 𝒓 𝟐 SUSTITUCIÓN Y OPERACIONES 𝑭 𝟐 = 𝟗×𝟏𝟎 𝟗 𝑵𝒎 𝟐 𝑪 𝟐 𝟑×𝟏𝟎−𝟗 𝑪 𝟖×𝟏𝟎−𝟗 𝑪 𝟎.𝟎𝟒𝒎 𝟐 Eliminamos las unidades correspondientes 𝑭 𝟐 = 𝟗×𝟏𝟎 𝟗 𝑵𝒎 𝟐 𝑪 𝟐 𝟐.𝟒×𝟏𝟎−𝟏𝟕 𝑪 𝟐 𝟏.𝟔×𝟏𝟎−𝟑 𝒎 𝟐 𝒌 = 𝟗 × 𝟏𝟎 𝟗 𝑵𝒎 𝟐 𝑪 𝟐 𝑭 𝟐 = 1.35 ×𝟏𝟎−𝟒 N EL RESULTADO ES: Como el resultado es positivo la fuerza entre las cargas es de repulsión
- 7. Escribimos los vectores anteriores utilizando los vectores unitarios i y j . El vector resultante será igual a la suma de los vectores obtenidos 𝑭 𝑹 = −𝟏. 𝟕𝟐 × 𝟏𝟎−𝟓 𝑵 + 1.35 ×𝟏𝟎−𝟒 𝑵 𝒊 + 𝟏. 𝟐𝟗 × 𝟏𝟎−𝟓 𝑵 𝒋 𝑭 𝑹 = 𝟏. 𝟏𝟕𝟖 × 𝟏𝟎−𝟒 𝑵 𝒊 + 𝟏. 𝟐𝟗 × 𝟏𝟎−𝟓 𝑵 𝒋 Para calcular la magnitud del vector resultante aplicamos el teorema de pitágoras Los resultados son: MAGNITUD 𝑭 = 𝟏. 𝟏𝟖 × 𝟏𝟎−𝟒 𝑵 Por los resultados de las componentes (AMBOS POSITIVOS) podemos inferir que el vector se encuentra en el primer cuadrante del plano cartesiano DIRECCIÓN θ = 6.24° (en el primer cuadrante) 𝑭 𝟏 = 𝟐. 𝟏𝟔 × 𝟏𝟎−𝟓 𝑵 𝒄𝒐𝒔 𝟏𝟒𝟑. 𝟏𝟒° 𝒊 + 𝟐. 𝟏𝟔 × 𝟏𝟎−𝟓 𝑵 𝒔𝒆𝒏 𝟏𝟒𝟑. 𝟏𝟒° 𝒋 𝑭 𝟐 = 1.35 ×𝟏𝟎−𝟒 N 𝒄𝒐𝒔 𝟎° 𝒊 + 1.35 ×𝟏𝟎−𝟒 N 𝒔𝒆𝒏 𝟎° 𝒋 Por lo tanto se escribirán como se muestra a continuación 𝑭 𝟏 = − 𝟏. 𝟕𝟐 × 𝟏𝟎−𝟓 𝑵 𝒊 + 𝟏. 𝟐𝟗 × 𝟏𝟎−𝟓 𝑵 𝒋 𝑭 𝟐 = 1.35 ×𝟏𝟎−𝟒 N 𝒊 𝐹𝑅 = 𝟏. 𝟏𝟕𝟖 × 𝟏𝟎−𝟒 𝑵 2 + 𝟏. 𝟐𝟗 × 𝟏𝟎−𝟓 𝑵 2 𝐹𝑅 = 𝟏. 𝟏𝟖 × 𝟏𝟎−𝟒 𝑵 La dirección del vector resultante se obtiene por medio de la función tangente aplicada a sus componentes tan θ = 𝟏. 𝟐𝟗 × 𝟏𝟎−𝟓 𝑵 𝟏. 𝟏𝟕𝟖 × 𝟏𝟎−𝟒 𝑵 𝐭𝐚𝐧 𝜽 = 𝟎. 𝟏𝟎𝟗𝟓 𝛉 = 𝐚𝐧𝐠 𝐭𝐚𝐧 𝟎. 𝟏𝟎𝟗𝟓 𝛉 = 𝟔. 𝟐𝟒° Eliminamos las unidades El resultado negativo de la magnitud nos permitió saber que era una fuerza de atracción. Sin embargo, para descomponer al vector siempre se considera la magnitud positiva Al multiplicar por el coseno y el seno del ángulo SI podemos obtener valores negativos, que nos indican hacia que lado del eje x o y actúa la componente calculada
- 8. Ejemplo No. 6 Calcula la fuerza sobre la carga 𝒒 𝟐 que se muestra a continuación - + + - 𝒒 𝟏 = −𝟒 𝝁𝑪 𝒒 𝟐 = 𝟑 𝝁𝑪 𝒒 𝟑 = −𝟑 𝝁𝑪𝒒 𝟒 = 𝟖 𝝁𝑪 60 cm60 cm 80 cm 80 cm SOLUCIÓN: Realizamos el esquema con los vectores que actúan sobre la carga 𝒒 𝟐 ,sobre ella actúan dos fuerzas de atracción y una repulsión como se nuestra en la animación - + - 𝒒 𝟏 𝒒 𝟐 𝒒 𝟑𝒒 𝟒 60 cm 80 cm + Es evidente que necesitamos conocer la longitud de la diagonal que une a 𝒒 𝟒con 𝒒 𝟐 aplicando el teorema de Pitágoras 𝑭 𝟏 𝑭 𝟐 𝑭 𝟑 𝑑 𝑞4 𝑞2 = 80 𝑐𝑚 2 + 60 𝑐𝑚 2 𝑑 𝑞4 𝑞2 = 100 𝑐𝑚 100 cm Ahora calculamos la magnitud de las tres fuerzas sobre 𝒒 𝟐 𝑭 𝟏 = 𝟗×𝟏𝟎 𝟗 𝑵𝒎 𝟐 𝑪 𝟐 −𝟒×𝟏𝟎−𝟔 𝑪 𝟑×𝟏𝟎−𝟔 𝑪 𝟎.𝟖𝒎 𝟐 𝑭 𝟏 = −𝟎. 𝟏𝟔𝟖𝟕 𝑵 𝑭 𝟐 = 𝟗×𝟏𝟎 𝟗 𝑵𝒎 𝟐 𝑪 𝟐 𝟑×𝟏𝟎−𝟔 𝑪 𝟖×𝟏𝟎−𝟔 𝑪 𝟏𝒎 𝟐 𝑭 𝟏 = 𝟎. 𝟐𝟏𝟔 𝑵 𝑭 𝟑 = 𝟗×𝟏𝟎 𝟗 𝑵𝒎 𝟐 𝑪 𝟐 𝟑×𝟏𝟎−𝟔 𝑪 −𝟑×𝟏𝟎−𝟔 𝑪 𝟎.𝟔𝒎 𝟐 𝑭 𝟑 = −𝟎. 𝟐𝟐𝟓 𝑵 Escribimos los vectores anteriores utilizando los vectores unitarios i y j . Recordemos que en este paso las magnitudes se consideran positivas, las componentes si pueden tener valores negativos. 𝑭 𝟏 = 𝟎. 𝟏𝟔𝟕𝟖 𝑵 𝒄𝒐𝒔 𝟏𝟖𝟎° 𝒊 + 𝟎. 𝟏𝟔𝟕𝟖 𝑵 𝒔𝒆𝒏 𝟏𝟖𝟎° 𝒋 𝑭 𝟏 𝑭 𝟐 𝑭 𝟑 También necesitamos conocer los ángulos 𝜶 y 𝜷 𝜶 𝜷 𝒕𝒂𝒏 𝜶 = 𝟔𝟎 𝒄𝒎 𝟖𝟎 𝒄𝒎 𝒕𝒂𝒏 𝜶 = 𝟎. 𝟕𝟓 𝜶 = 𝟑𝟔. 𝟖𝟔° 𝒕𝒂𝒏 𝜷 = 𝟖𝟎 𝒄𝒎 𝟔𝟎 𝒄𝒎 𝒕𝒂𝒏 𝜷 = 𝟏. 𝟑𝟑 𝜷 = 𝟓𝟑. 𝟎𝟔° Ubicamos ahora los ángulos en posición normal de cada uno de los vectores 𝟐𝟕𝟎° 𝟏𝟖𝟎° 𝟑𝟔. 𝟖𝟔° 𝑭 𝟏 = −𝟎. 𝟏𝟔𝟕𝟖 𝑵 𝒊 𝑭 𝟐 = 𝟎. 𝟐𝟏 𝟔 𝑵 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝟔. 𝟖𝟔° 𝒊 + 𝟎. 𝟐𝟏𝟔 𝑵 𝒔𝒆𝒏 𝟑𝟔. 𝟖𝟔° 𝒋 𝑭 𝟐 = 𝟎. 𝟏𝟕𝟐 𝑵 𝒊 + 𝟎. 𝟏𝟐𝟗 𝑵 𝒋 𝑭 𝟑 = 𝟎. 𝟐𝟐𝟓 𝑵 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝟕𝟎° 𝒊 + 𝟎. 𝟐𝟐𝟓 𝑵 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝟕𝟎° 𝒋 𝑭 𝟑 = − 𝟎. 𝟐𝟐𝟓 𝑵 𝒋 Obtenemos el vector resultante 𝑭 𝑹 = −𝟎. 𝟏𝟔𝟕𝟖 + 𝟎. 𝟏𝟕𝟐 𝑵 𝒊 + 𝟎. 𝟏𝟐𝟗 𝑵 − 𝟎. 𝟐𝟐𝟓 𝑵 𝒋 𝑭 𝑹 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟒𝟐 𝑵 𝒊 − 𝟎. 𝟎𝟗𝟔 𝑵 𝒋 Calculamos su magnitud 𝑭 𝑹 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟒𝟐 𝑵 𝟐 + −𝟎. 𝟎𝟗𝟔 𝑵 𝟐 𝑭 𝑹 = 𝟎. 𝟎𝟗𝟔𝟎𝟗 𝑵 Para calcular el ángulo de dirección observamos que el vector se encuentra en el cuarto cuadrante y es casi vertical 𝟎. 𝟎𝟎𝟒𝟐 −𝟎. 𝟎𝟗𝟔 𝜽 𝒕𝒂𝒏 𝜽 = −𝟎. 𝟎𝟗𝟔 𝑵 𝟎. 𝟎𝟎𝟒𝟐 𝑵 𝜽 = −𝟖𝟕. 𝟒𝟗° Expresamos el ángulo en posición normal 𝜽 = 𝟑𝟔𝟎° − 𝟖𝟕. 𝟒𝟗° 𝜽 = 𝟐𝟕𝟐. 𝟓𝟏° 𝟐𝟕𝟐. 𝟓𝟏° = Estos son los resultados que buscamos
- 9. 𝒒 𝟏 = − 𝟒 𝒏𝑪 𝒒 𝟑 = 𝟑 𝒏𝑪 𝒒 𝟐 = 𝟖 𝒏𝑪+ - + 50 cm 40 cm 30 cm
- 10. 𝒒 𝟏 = − 𝟒 𝝁𝑪 𝒒 𝟑 = 𝟑 𝝁𝑪 P - + 40 cm 40 cm 40 cm
- 11. 𝒒 𝟏 = 𝟔 𝝁𝑪 𝒒 𝟐 = −𝟒 𝝁𝑪 - +1.73 m 1 m1 m 120° + 𝒒 𝟑 = 𝟑 𝝁𝑪
- 12. 𝒒 𝟑 = −𝟑 𝒏𝑪 𝒒 𝟐 = 𝟔 𝒏𝑪 ++ 1 m 1.5 m P