Este documento presenta conceptos sobre proporciones aritméticas y geométricas. Explica que una proporción es la igualdad de dos razones de la misma clase y describe las propiedades de las proporciones aritméticas y geométricas. También incluye ejemplos de aplicación de proporciones para resolver problemas.

1. ARITMÉTICA
PROGRAMA ACADÉMICO V IRTUAL
Ciclo Anual Virtual ADUNI
Docente:

2. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E A R I T M É T I C A
Entender que es una proporción
Clasificar las proporciones
Estudiar las proporciones aritmética y geométrica
Aplicar las propiedades de las proporciones
Objetivos de la sesión

3. PROPORCIONES

4. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E A R I T M É T I C A
INTRODUCCIÓN:
Designed by Freepik
Cada botella de Yogurt cuesta S/
3,50, ¿Cuántas podré comprar
como máximo si tengo S/10,50?
Designed by macrovector / Freepik
Tengo S/ 450 y sólo puedo
gastar S/ 250 ya que debo
pagar la 2da cuota de la
academia ADUNI.
Yo también debo pagar la 2da
cuota de la academia, si tengo
S/ 330, ¿cuánto podré gastar?

5. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E A R I T M É T I C A
PROPORCIÓN
Una proporción es la igualdad de dos
razones de una misma clase.
Sean las razones aritméticas:
90 − 75 = 15
60 − 45 = 15
ด
90
1𝑒𝑟 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜
− ด
75
2𝑑𝑜 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜
= ด
60
3𝑒𝑟 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜
− ด
45
4𝑡𝑜 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜
= 15
Sean las razones geométricas:
6
24
=
1
4
12
48
=
1
4
ฎ
6
1𝑒𝑟 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜
ด
24
2𝑑𝑜 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜
=
ฏ
12
3𝑒𝑟 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜
ด
48
4𝑡𝑜 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜
=
1
4
Proporción aritmética
Proporción geométrica
Constante de
proporcionalidad
La proporción geométrica es una
igualdad de razones geométricas

6. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E A R I T M É T I C A
PROPORCIÓN ARITMÉTICA
DISCRETA
CONTINUA
PROPORCIÓN GEOMÉTRICA
DISCRETA
CONTINUA
𝑎 − 𝑏 = 𝑐 − 𝑑
Donde:
𝑎 𝑦 𝑑 ∶ 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠
𝑏 𝑦 𝑐 ∶ 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜𝑠 (𝑏 𝑦 𝑐 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠)
𝑑 ∶ 𝑐𝑢𝑎𝑟𝑡𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐
𝑎 − 𝑏 = 𝑏 − 𝑐
Donde:
𝑎 𝑦 𝑐: 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠
𝑏 ∶ 𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑎 𝑦 𝑐
c ∶ 𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑟𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑎 𝑦 𝑏
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
Donde:
𝑎 𝑦 𝑑 ∶ 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠
𝑏 𝑦 𝑐 ∶ 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜𝑠 (𝑏 𝑦 𝑐 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠)
𝑑 ∶ 𝑐𝑢𝑎𝑟𝑡𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐
𝑎
𝑏
=
𝑏
𝑐
Donde:
𝑎 𝑦 𝑐 ∶ 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠
𝑏 ∶ 𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑎 𝑦 𝑐
𝑐 ∶ 𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑟𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑎 𝑦 𝑏

7. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E A R I T M É T I C A
PROPIEDADES
Proporción aritmética
𝑆𝑢𝑚𝑎 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠
𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠
=
𝑆𝑢𝑚𝑎 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠
𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜𝑠
Proporción geométrica
𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜𝑠 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠
𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠
=
𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜𝑠 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠
𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜𝑠
Propiedad 2:
𝑆𝑒𝑎 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖ó𝑛 𝑔𝑒𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎:
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
= 𝑘
𝑎 + 𝑏
𝑏
=
𝑐 + 𝑑
𝑑
= 𝑘 + 1
𝑎 − 𝑏
𝑏
=
𝑐 − 𝑑
𝑑
= 𝑘 − 1
𝑆𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑞𝑢𝑒:
Propiedad 1:

8. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E A R I T M É T I C A
CONSTRUCCIÓN DE UNA PROPORCIÓN GEOMÉTRICA
Como se mencionó anteriormente, las razones geométricas son las más importantes, por tanto también lo fueron
en la igualdad de razones y lo serán en las proporciones.
En algunos problemas tendremos la necesidad de expresar las proporciones geométricas de la siguiente manera:
𝑎𝑘
𝑎
=
𝑏𝑘
𝑏
= 𝑘
𝑎𝑘2
𝑎𝑘
=
𝑎𝑘
𝑎
= 𝑘
Proporción geométrica discreta
Proporción geométrica continua
Tener en cuenta:
Para una proporción geométrica continua:
• Cuando hacen referencia a la suma de
los términos diferentes : 𝑎𝑘2
+ 𝑎𝑘 + 𝑎
• Cuando hacen referencia a la suma de
términos 𝑎𝑘2 + 2𝑎𝑘 + 𝑎

9. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E A R I T M É T I C A
Aplicación 1:
Juan tiene los números 16; 11;
21; 𝑎; 53; 𝑏; y 31. Si con los
cuatro primeros desea formar
una proporción aritmética en el
orden en el que aparecen y con
los tres últimos desea formar
una proporción aritmética
continua, determine el valor de
𝑎 + 𝑏.
Resolución:
Piden calcular 𝑎 + 𝑏
Si formamos las expresiones que son indicadas, tenemos:
16 − 11 = 21 − 𝑎 𝑎 = 16
53 − 𝑏 = 𝑏 − 31 𝑏 = 42
Finalmente: 𝑎 + 𝑏 = 16 + 42 = 58
Rpta. 58

10. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E A R I T M É T I C A
Aplicación 2:
Las edades de 3 hermanos
forman una proporción geomé-
trica continua, cuya suma de
términos es 99. Determine la
mayor de las edades, considere
que la constante es entera.
Resolución:
Se pide la mayor de las edades.
Además, por ser una proporción geométrica continua, tenemos:
𝑎𝑘2
𝑎𝑘
=
𝑎𝑘
𝑎
= 𝑘
Tomando como dato la suma de los términos, tenemos:
𝑎𝑘2
+ 2𝑎𝑘 + 𝑎 = 99
𝑎 𝑘 + 1 2 = 11 ×9
𝑎 = 11
𝑘 = 2
Finalmente la mayor edad es: 𝑎𝑘2
= 11 × 22
= 44
Rpta. 44
Mayor edad
Menor edad

11. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E A R I T M É T I C A
Aplicación 3:
Dada la siguiente proporción
geométrica:
𝑎 + 8
8
=
𝑏 + 11
11
= 𝑘
Determine el valor de 𝑘 ,
sabiendo que 𝑎 + 𝑏 = 76
Resolución:
Se pide determinar el valor de 𝑘
Rpta. 5
𝑎 + 8 − 8
8
=
𝑏 + 11 − 11
11
= 𝑘 − 1
Aplicando propiedad de proporciones tenemos:
𝑎
8
=
𝑏
11
= 𝑘 − 1
𝑎 + 𝑏 = 19𝑘 − 19 = 76
𝑘 = 5
𝑎 − 𝑏
𝑏
=
𝑐 − 𝑑
𝑑
= 𝑘 − 1
𝑎 + 𝑏
8 + 11
=
76
19
= 𝑘 − 1

12. RESUMEN

13. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E A R I T M É T I C A
𝑎 − 𝑏 = 𝑐 − 𝑑
𝑎 𝑦 𝑑 ∶ 𝑇é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠
𝑏 𝑦 𝑐 ∶ 𝑇é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜𝑠
𝑑 ∶ 𝐶𝑢𝑎𝑟𝑡𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑎, 𝑏 𝑦𝑐
Propiedad:
𝑆𝑢𝑚𝑎 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠
𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠
=
𝑆𝑢𝑚𝑎 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠
𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜𝑠
𝑎 − 𝑏 = 𝑏 − c
𝑎 𝑦 𝑐 ∶ 𝑇é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠
𝑏 ∶ 𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑎 𝑦 𝑐
𝑐 ∶ 𝑇𝑒𝑟𝑐𝑒𝑟𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑦 𝑎 𝑦𝑏
Propiedad:
𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 =
𝑆𝑢𝑚𝑎 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠
𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠
2
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
𝑎 𝑦 𝑑 ∶ 𝑇é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠
𝑏 𝑦 𝑐 ∶ 𝑇é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜𝑠
𝑑 ∶ 𝐶𝑢𝑎𝑟𝑡𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐
Propiedad:
𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 = 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜𝑠
𝑎
𝑏
=
𝑏
𝑐
𝑎 𝑦 𝑐 ∶ 𝑇é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠
𝑏 ∶ 𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑎 𝑦 𝑐
𝑐 ∶ 𝑇𝑒𝑟𝑐𝑒𝑟𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑎 𝑦 𝑏
Propiedad:
𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 = 𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠
PROPORCIÓN
ARITMÉTICA
GEOMÉTRICA
DISCRETA CONTINUA
En general:
𝑆𝑒𝑎 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖ó𝑛 𝑔𝑒𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎:
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
= 𝑘
𝑎 + 𝑏
𝑏
=
𝑐 + 𝑑
𝑑
= 𝑘 + 1
𝑎 − 𝑏
𝑏
=
𝑐 − 𝑑
𝑑
= 𝑘 − 1

14. AHORA UN PAR
DE RETOS…

15. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E A R I T M É T I C A
RETO 1:
Dada la siguiente proporción:
3
𝑎 − 8
2
=
3
𝑏 − 27
3
Determine 𝑎 + 𝑏, sabiendo que
la mitad de 𝑎 sumada con la
tercera parte de 𝑏 vale 104.
Resolución:
Pide calcular 𝑎 + 𝑏
3
𝑎 − 8
2
=
3
𝑏 − 27
3
Elevando al cubo 𝑎 − 8
8
=
𝑏 − 27
27
Aplicando propiedad:
𝑎 − 8 + 8
8
=
𝑏 − 27 + 27
27
Operando se tiene 𝑎
8
=
𝑏
27
= 𝑘
Tomando el dato:
𝑎 = 8𝑘
𝑏 = 27𝑘
𝑎
2
+
𝑏
3
=
8𝑘
2
+
27𝑘
3
104 = 4𝑘 + 9𝑘 𝑘 = 8
Finalmente:
𝑎 + 𝑏 = 8𝑘 + 27𝑘 35𝑘 = 280
Rpta. 280

16. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E A R I T M É T I C A
RETO 2:
En una proporción geométrica
continua, se cumple que la
suma de los términos es 324 y la
diferencia de los términos
extremos es 36. Determine la
media diferencial de los
términos extremos.
Resolución:
Piden calcular la media diferencial de los términos extremos.
Dado que se trata de una proporción geométrica continua tenemos:
𝑎𝑘2
𝑎𝑘
=
𝑎𝑘
𝑎
= 𝑘
Por dato sabemos que:
𝑎𝑘2 + 2𝑎𝑘 + 𝑎 = 324
𝑎(𝑘 + 1)2
𝑎 𝑘2 − 1
=
324
36
𝑎𝑘2 − 𝑎 = 36 𝑎(𝑘 + 1)2
𝑎 𝑘2 − 1
=
𝑎(𝑘 + 1)2
𝑎(𝑘 + 1)(𝑘 − 1)
= 9
(𝑘 + 1)
(𝑘 − 1)
= 9 𝑘 =
4
5
𝑎 = 100
Finalmente: 𝑎𝑘2
+ 𝑎
2
=
64 + 100
2
= 82
Rpta. 82

17. w w w . a d u n i . e d u . p e