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Práctica 1:
Revisión de problemas trigonométricos
y geométricos
Universidad Católica de Santa María
Facultad de Ciencias e Ingenierías
Biológicas y Químicas
Ingeniería Agronómica y Agrícola
Tema:
Prof. Valentin Rubén Orcón Zamora
Topografía I - Prácticas
Arequipa, 2022

Facultad de Ciencias e Ingenierías Biológicas y Químicas - Ingeniería Agronómica y Agrícola
Problemas trigonométricos y geométricos
Recordar
Razones trigonométricas en triángulo rectángulo
Seno
El seno del ángulo B es la razón entre el cateto
opuesto al ángulo y la hipotenusa. Se denota por sen
B.
Coseno
El coseno del ángulo B es la razón entre el cateto
adyacente o contiguo al ángulo y la hipotenusa. Se
denota por cos B.

Recordar
Tangente
La tangente del ángulo B es la razón entre el cateto
opuesto al ángulo y el cateto adyacente al ángulo. Se
denota por tan B o tg B.
Cosecante
La cosecante del ángulo B es la razón inversa del
seno de B. Se denota por csc B o cosec B.

Recordar
Secante
La secante del ángulo B es la razón inversa del
coseno de B. Se denota por sec B.
Cotangente
La cotangente del ángulo B es la razón inversa de la
tangente de B. Se denota por cot B o ctg B.

Recordar
Para las otras razones trigonométricas, en vez de crear otro acrónimo, es más sencillo
aprenderse el hecho de que la cosecante, secante y cotangente, son opuestos
multiplicativos del seno, coseno y tangente, respectivamente.

Recordar
Ley de los senos
Es una proporción entre las longitudes de los lados de un triángulo y los senos de sus
correspondientes ángulos opuestos.
Aplicación
Útil para resolver problemas en los que se
conocen dos ángulos del triángulo y un lado
opuesto a uno de ellos o cuando conocemos dos
lados del triángulo y un ángulo opuesto a uno de
ellos.
• Cálculo de la altura de un árbol
• Hallar el ángulo de elevación del suelo
• Plano para construcción de puentes
• Estudio y dibujo de carriles de una autopista
• Itinerario de un planeo
• Ubicación de un foco de incendio
• La altitud de una montaña

Recordar
Teoría de Euclides
En todo triángulo rectángulo, si se traza la altura correspondiente al vértice del ángulo
recto, los dos nuevos triángulos rectángulos son semejantes entre sí, y a la vez son
semejantes al original.
A partir de lo anterior, se extrae varias relaciones de proporcionalidad, siendo una de
ellas la siguiente:

Recordar
Fórmula de Herón
Permite calculara el área de un triángulo del cual se conocen todos sus lados.
El área se calcula a partir del semiperímetro del triángulo “s” y de la longitud de los lados
(a, b y c).

Problemas
Ejercicio 1:
Convertir: Sº = 34º25’18” a Cg
Solución:
1. Convirtiendo a decimal de grado:
Segundos a minutos :
18"
60
= 0.3′
Minutos a grados :
25.3′
60
= 0.4217° => 34.4217°
2. Reemplazando: en la expresión:
°𝑆
360
=
𝐶𝑔
400
=> °𝐶 =
°𝑆𝑥400
360
=
34.4217°𝑥400
360
= 38.2463𝑔
(𝑔𝑜𝑛𝑠 𝑜 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠𝑖𝑚𝑎𝑙𝑒𝑠)
3. Al ser grados centesimales, solo es necesario la división sucesiva entre 100:
Resultando : °𝐶 = 38𝑔
24𝑐
63𝑐𝑐

Problemas
Ejercicio 2:
Convertir: Cg = 18𝑔
83𝑐
61𝑐𝑐
a Sº
Solución:
Cg = 18.8361𝑔
2. Reemplazando: en la expresión.:
°𝑆
360
=
𝐶𝑔
400
=> 𝑆° =
°𝐶𝑥360
400
=
18.8361𝑥360
400
= 16.9525° (𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑠𝑒𝑥𝑎𝑔𝑒𝑠𝑖𝑚𝑎𝑙𝑒𝑠)
3. Convertir a minutos y segundos, multiplicar la parte decimal entre 60:
Para minutos : 0.9525 x 60 = 57.1500′
Para segundos : 0.1500 x 60 = 9.0000"
Resultando : S° = 16°57′
09“

Problemas
Ejercicio 3:
Convertir: Sº = 36º23’16” a radianes
Solución:
Segundos a minutos :
16"
60
= 0.2667′
Minutos a grados :
23.2667′
60
= 0.3878° => 36.3878°
2. Reemplazando: en la expresión:
°𝑆
360
=
𝐶𝑔
400
=
𝑟𝑎𝑑
2𝜋
°𝑆
360
=
𝑟𝑎𝑑
2𝜋
=> 𝑟𝑎𝑑 =
°𝑆𝑥2𝜋
360
=
36.3878𝑥2𝜋
360
= 0.6351 (𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠)

Problemas
Ejercicio 4:
Convertir: rad = 2.378 a Sº
Solución:
1. Utilizando la expresión de equivalencia:
𝑆°
360
=
𝐶𝑔
400
=
𝑟𝑎𝑑
2𝜋
°𝑆
360
=
𝑟𝑎𝑑
2𝜋
=> °𝑆 =
360𝑥𝑟𝑎𝑑
2𝜋
=
360𝑥2.378
2𝜋
= 136.2494 (𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑠𝑒𝑥𝑎𝑔𝑒𝑠𝑖𝑚𝑎𝑙𝑒𝑠)
2. Convertir a minutos y segundos, multiplicar la parte decimal entre 60:
Para minutos : 0.2494 x 60 = 14.9640′
Para segundos : 0.9640 x 60 = 57.8400"
Resultando : S° = 136°14′
57.84“

Problemas
Ejercicio 5:
Convertir: Cg = 83𝑔
29𝑐
75𝑐𝑐
a radianes
Solución:
1. Convirtiendo a decimal de grado centesimal:
Cg = 83.2975𝑔
°𝑆
360
=
𝐶𝑔
400
=
𝑟𝑎𝑑
2𝜋
𝐶𝑔
400
=
𝑟𝑎𝑑
2𝜋
=> 𝑟𝑎𝑑 =
𝐶𝑔
𝑥2𝜋
400
=
83.2975𝑥2𝑥𝜋
400
= 1.3084 (𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠)

Problemas
Ejercicio 6:
Convertir: rad = 2.45 a Cg
Solución:
°𝑆
360
=
𝐶𝑔
400
=
𝑟𝑎𝑑
2𝜋
𝐶𝑔
400
=
𝑟𝑎𝑑
2𝜋
=> 𝐶𝑔
=
400𝑥𝑟𝑎𝑑
2𝜋
=
400𝑥2.45
2𝜋
= 155.9718 (𝑔𝑜𝑛𝑠 𝑜 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠𝑖𝑚𝑎𝑙𝑒𝑠)
2. Al ser grados centesimales, solo es necesario la división sucesiva entre 100:
Resultando : 𝐶𝑔
= 155𝑔
97𝑐
18𝑐𝑐

Problemas
Ejercicio 7:
Hallar un ángulo sabiendo que la diferencia de las inversas de sus medidas en grados
sexagesimales y centesimales es igual a la mitad de su medida en radianes.
Solución:
Sean “S” y “C” la medida de los ángulos respectivamente, entonces:
1
𝑆
−
1
𝐶
=
𝑅
2
Sabiendo:
𝑆°
360
=
𝐶𝑔
400
=
𝑟𝑎𝑑
2𝜋
Tendremos:
𝐶𝑔
=
400𝑥𝑟𝑎𝑑
2𝜋
𝑆° =
360𝑥𝑟𝑎𝑑
2𝜋

Problemas
Ejercicio 7:
Substituyendo:
1
360𝑥𝑟𝑎𝑑
2𝜋
−
1
400𝑥𝑟𝑎𝑑
2𝜋
=
𝑟𝑎𝑑
2
Simplificando y resolviendo:
𝑟𝑎𝑑 = 0.0591 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠
Reemplazando rad en expresiones iniciales:
𝐶𝑔
=
400𝑥𝑟𝑎𝑑
2𝜋
=
400𝑥0.0591
2𝜋
= 3.7624𝑔
= 3𝑔
76𝑐
24𝑐𝑐
𝑆° =
360𝑥𝑟𝑎𝑑
2𝜋
=
360𝑥0.0591
2𝜋
= 3.3862° = 3°23′
10.32“

Problemas
Ejercicio 8:
En el triangulo mostrado, se tiene 𝛼 = 100𝑔
, 𝛾 = 40°, 𝛽 = 20° 𝑦 𝐴𝐵 = 5𝑚 , se pide
determinar:
a. Los valores de los lados 𝐴𝐶 y 𝐵𝐶.
b. Sen𝛽, cos𝛽, tan𝛽, sen𝛾, cos𝛾 y tan𝛾
Solución:
Cg = 100𝑔
Reemplazando: en la expresión.:
°𝑆
360
=
°𝐶
400
=> 𝑆° =
°𝐶𝑥360
400
=
100𝑥360
400
= 90° (𝛼 = 90°)
2. Calculando los lados faltantes, utilizando la ley de senos:
𝐴𝐵
𝑆𝑒𝑛(𝛾)
=
𝐴𝐶
𝑆𝑒𝑛(𝛽)
=
𝐵𝐶
𝑆𝑒𝑛(𝛼)

Problemas
Ejercicio 8:
3. Calculamos el lado 𝐴𝐶 y 𝐵𝐶:
𝐴𝐶 =
𝐴𝐵. 𝑆𝑒𝑛(𝛽)
𝑆𝑒𝑛(𝛾)
=
5𝑥𝑆𝑒𝑛(20°)
𝑆𝑒𝑛(40°)
=
1.7101
0.6228
= 2.7458𝑚
𝐵𝐶 =
𝐴𝐵. 𝑆𝑒𝑛(𝛼)
𝑆𝑒𝑛(𝛾)
=
5𝑥𝑆𝑒𝑛(90°)
𝑆𝑒𝑛(40°)
=
5.0000
0.6428
= 7.7785𝑚
4. Calculamos las funciones trigonométricas solicitadas:
𝑠𝑒𝑛𝛽 =
𝐶𝑂
𝐻
=
2.7458
7.7785
= 0.3529
𝑐𝑜𝑠𝛽 =
𝐶𝐴
𝐻
=
5
7.7785
= 0.6428
𝑡𝑎𝑛𝛽 =
𝐶𝑂
𝐶𝐴
=
2.7458
5
= 0.5492
𝑠𝑒𝑛𝛾 =
𝐶𝑂
𝐻
=
5
7.7785
= 0.6428
𝑐𝑜𝑠𝛾 =
𝐶𝐴
𝐻
=
2.7458
7.7785
= 0.3529
𝑡𝑎𝑛𝛾 =
𝐶𝑂
𝐶𝐴
=
5
2.7458
= 1.8210

Problemas
Ejercicio 9:
La base de un paralelogramo mide 51 m y sus diagonales 74 m y 40 m respectivamente.
Determine el área del paralelogramo.
Solución:
Se sabe que las diagonales de un paralelogramo lo dividen en cuatro triángulos con
áreas iguales, entonces basta con encontrar el área del triángulo ABC y multiplicarlo por
4.
1. Aplicando formula de Herón:
𝐴 = 𝑠(𝑠 − 𝑎)(𝑠 − 𝑏)(𝑠 − 𝑐) = 54(54 − 37)(54 − 20)(54 − 51) = 306 𝑚2
Donde: s = semiperímetro.
𝑠 =
37 + 20 + 51
2
= 54𝑚
2. Área del paralelogramo:
𝐴 = 4 306 = 1,224𝑚2
51
37 20
a = 37
b = 20
c = 51

Problemas
Ejercicio 10:
Un terreno rectangular cuya anchura es los 3/5 de su longitud esta rodeado de un
sendero rectangular de 1 m de ancho (exterior). Determine el área del terreno y el área
del sendero, si el perímetro interior del mismo es 136 m.
Solución:
𝑎 =
3
5
𝐿
2 𝐿 + 𝑎 = 136𝑚
𝐿 + 𝑎 = 68𝑚 => 𝐿 +
3
5
𝐿 = 68𝑚 => 𝐿 = 42.5𝑚
Reemplazando: 𝑎 = 25.5𝑚
𝐿′
= 𝐿 + 2 = 44.5𝑚
𝑎′
= 𝑎 + 2 = 27.5𝑚
Área del terreno : 42.5𝑥25.5 = 1,083.75𝑚2
Área del terreno con sendero: 44.5𝑥27.5 = 1,223.75𝑚2
Área del sendero : 1,223.75 − 1,083.75 = 140𝑚2
L
a
a'
L’

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Revisión de problemas
trigonométricos y geométricos
Prof. Valentin Rubén Orcón Zamora
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