Este documento presenta información sobre las razones trigonométricas. Explica qué es un triángulo rectángulo y define las razones trigonométricas en términos de los lados del triángulo. Luego proporciona ejemplos numéricos para calcular las razones trigonométricas. También cubre las razones trigonométricas de ángulos complementarios y ejercicios de práctica.
ROMPECABEZAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO OLIMPIADA DE PARÍS 2024. Por JAVIE...JAVIER SOLIS NOYOLA
El Mtro. JAVIER SOLIS NOYOLA crea y desarrolla el “ROMPECABEZAS DE ECUACIONES DE 1ER. GRADO OLIMPIADA DE PARÍS 2024”. Esta actividad de aprendizaje propone retos de cálculo algebraico mediante ecuaciones de 1er. grado, y viso-espacialidad, lo cual dará la oportunidad de formar un rompecabezas. La intención didáctica de esta actividad de aprendizaje es, promover los pensamientos lógicos (convergente) y creativo (divergente o lateral), mediante modelos mentales de: atención, memoria, imaginación, percepción (Geométrica y conceptual), perspicacia, inferencia, viso-espacialidad. Esta actividad de aprendizaje es de enfoques lúdico y transversal, ya que integra diversas áreas del conocimiento, entre ellas: matemático, artístico, lenguaje, historia, y las neurociencias.
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Examen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinaria). UCLMJuan Martín Martín
Examen de Selectividad de la EvAU de Geografía de junio de 2023 en Castilla La Mancha. UCLM . (Convocatoria ordinaria)
Más información en el Blog de Geografía de Juan Martín Martín
http://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/
Este documento presenta un examen de geografía para el Acceso a la universidad (EVAU). Consta de cuatro secciones. La primera sección ofrece tres ejercicios prácticos sobre paisajes, mapas o hábitats. La segunda sección contiene preguntas teóricas sobre unidades de relieve, transporte o demografía. La tercera sección pide definir conceptos geográficos. La cuarta sección implica identificar elementos geográficos en un mapa. El examen evalúa conocimientos fundamentales de geografía.
1. 1
ALUMNO:
Gabriel de Jesús Alvarenga Cardoza
MATERIA:
Matemática
GRADO:
Primer Año De Bachillerato General.
SECCION:
“A”.
AÑO :
2018.
INSTITUTO NACIONAL DE SAN RAFAEL
3. TRIÁNGULO RECTÁNGULO
Un triángulo rectángulo es aquel en el que uno de sus ángulos es
recto (90°), los otros dos son agudos. Llamaremos catetos a los lados
que forman el ángulo recto, siendo la hipotenusa el lado opuesto a
ese ángulo.
En la figura mostrada:
c : hipotenusa
a ˆ b : catetos
α ˆ β : ángulos agudos
Además en el triángulo rectángulo se cumple
que:
a2 + b2 = c2
c > a ˆ b
α + β = 90°
3
a
b
β
α
Razones Trigonométricas
4. RAZÓN TRIGONOMÉTRICA
La razón trigonométrica de un ángulo agudo en un triángulo
rectángulo se define como el cociente que se obtiene al dividir las
medidas de las longitudes de dos de los lados del triángulo rectángulo
con respecto del ángulo agudo.
Si en el triángulo anterior nos referimos a las longitudes de los lados
del triángulo con los nombres hipotenusa (c) cateto opuesto (b)
cateto adyacente (a). Podemos definir las razones trigonométricas de
α del modo siguiente:
4
a
b
β
α
Razones Trigonométricas
6. Ejempl0 1
Halla las razones trigonométricas del menor ángulo de un triángulo
rectángulo, si la hipotenusa mide 5m y uno de los catetos mide 3m.
Solución
Para poder calcular las seis razones trigonométricas necesitamos hallar
la medida del otro cateto; esto lo hacemos aplicando el Teorema de
Pitágoras. Una vez hallado el valor de este cateto, procedemos a
encontrar los valores de las razones por medio sus respectivas
definiciones.
α
5
3
3
sen
5
α
4
cos
5
α
3
tan
4
α
5
csc
3
α
5
sec
4
α
4
cot
3
α
4
Razones Trigonométricas
7. Ejempl0 2
Se tiene un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 8 y 15m. Halla
las razones trigonométricas del mayor ángulo agudo.
Solución
Primero hallamos el valor de la hipotenusa, aplicando el Teorema de
Pitágoras; luego, calculamos las razones trigonométricas, a partir de sus
respectivas definiciones y con los datos dados y obtenidos:
15
sen
17
α
8
cos
17
α
15
tan
8
α
17
csc
15
α
17
sec
8
α
8
co t
15
α
α
8
15
17
Razones Trigonométricas
8. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE TRIÁNGULOS NOTABLES
Considerando los
siguientes triángulos:
8
k
k 2
k
45°
45°
2k
k 3
k
30°
60°
5k
4k
3k
37°
53°
R.T 30° 37° 45° 53° 60°
sen 1/2 3/5 4/5
cos 4/5 3/5 1/2
tg 3/4 1 4/3
ctg 4/3 1 3/4
sec 5/4 5/3 2
csc 2 5/3 5/4
2 / 2 3 / 2
3 / 2 2 / 2
Se obtiene:
3 / 3 3
3 3 / 3
2 3 / 3 2
2 2 3 / 3
Razones Trigonométricas
9. EJERCICIOS PARA LA CLASE
01. En un triángulo rectángulo ABC (recto en B); calcular:
E = 2tanA.tanC + 3cosA.cscC
02. En un triángulo rectángulo ABC (recto en C); reducir:
03. En un triángulo rectángulo, los lados de menor longitud miden 2 y 3cm.
Si el mayor de los ángulos agudos mide “”; calcular:
04. En un triángulo rectángulo ABC recto en A se sabe que: b + c = 14 y
senB.senC = 0,48. Calcular la longitud de la hipotenusa.
05. En un triángulo ABC (B = 90º), se sabe que: secA = 2,6. Si el perímetro
del triángulo es 60cm, ¿cuál es su área?
9
2c.cosB b.tanA
E
a c.senA
+
=
+
2 5
E 2sen β
13
= -
Razones Trigonométricas
10. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS
10
Son recíprocas, aquellos pares de razones trigonométricas de un mismo
ángulo, que al multiplicarse entre si resultan la unidad. Se definen la
cosecante, la secante y la cotangente, como las razones recíprocas (inversas)
al seno, coseno y tangente, del siguiente modo:
La cosecante es la razón recíproca del seno, o su inverso multiplicativo:
La secante es la razón recíproca del coseno, o su inverso multiplicativo:
La cotangente es la razón recíproca del tangente, o su inverso multiplicativo:
1
csc
s en
α
α
s en . csc 1α α
1
sec
cos
α
α
cos . s e c 1α α
tg . c tg 1α α
1
ctg
tg
α
α
Razones Trigonométricas
11. EJERCICIOS PARA LA CLASE
06. Sabiendo que sen(2x + 15)° . csc65° = 1, halla el valor de x
07. Si cos(3x + 10)°. sec(x + 70)° = 1, calcula el valor de x
08. Halla el valor de x si tg(5x – 50)° . ctg(4x + 20)° = 1
09. Si se cumple que: cos(7x2 – 3)° . sec(2x + 9)° = 1
10. Calcula x e y en:
11
sen(3x 2y 30) . csc(x y 10) 1
tg(5x y 20) .ctg(x 2y 30) 1
ìï + - ° - + ° =ï
í
ï + + ° + + ° =ïî
Razones Trigonométricas
12. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
12
Dos ángulos agudos se llaman complementarios si su suma es un
ángulo recto (90°).
En la figura se muestra:
α ˆ β : Son ángulos complementarios (α + β = 90º)
Hemos nombrado el ángulo opuesto al cateto a como α y al ángulo
opuesto al cateto b como β en consecuencia:
a
b
β
α
Razones Trigonométricas
13. senα =
c
a
cosα =
c
b
α
β
c
a
b
tgα =
b
a
ctα =
a
b
secα =
b
c
cscα =
a
c
b
a
ctgβ =
tgβ =
a
b
cscβ =
b
c
secβ =
a
c
senβ =
c
b
cosβ =
c
a
cosα = senβ
senα = cosβ
ctgα = tgβ
tcgα = tgβ
cscα = secβ
secα = cscβ
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
“Las razones trigonométricas de todo ángulo agudo son respectivamente
iguales a las co-razones trigonométricas de su ángulo complementario”
Razones Trigonométricas
14. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
Ejemplos:
sen 25° = cos 65° porque 25° + 65° =
90°
tg 50° = ctg 40° porque 50° + 40° =
90°
sec 12° = csc 78° porque 12° + 78° = 90°
Ejercicio 1
Halla el valor de θ en:
Sen 2θ = Cos 84°
Solución
Dado que deben ser ángulos
complementarios:
2θ + 84° = 90°
2θ = 6°
θ = 3°
Ejercicio 2
Halla el valor de θ en:
tg 5α = ctg α
Solución
Dado que deben ser ángulos
complementarios:
5α + α = 90°
6α = 90°
α = 15°
Razones Trigonométricas
15. EJERCICIOS PARA LA CLASE
11. Si sen(3x + 10)° = cos(2x + 53)° , calcula el valor de x
12. Si sec(5x – 40)° = csc(2x – 10)°, halla el valor de x
13. Si tg(2x + 15)° . tg51° = 1, halla el valor de x
14. Siendo: . Halla el valor de x (x є Z+)
15. Calcula x e y en:
15
2
tg(x 5x 1)
1
ctg(6x 11)
+ - °
=
+ °
sen(2x y 8) cos(x 2y 16)
sec(2x 3y 8) csc(x y 20)
ìï + + ° = + + °ï
í
ï + - ° = + + °ïî
Razones Trigonométricas