Dominio matematico

Dominio
Matemático
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PREUNIVERSITARIO
CRECER
DOMINIO
MATEMÁTICO

DOMINIO MATEMÁTICO ÍNDICE
PREUNIVERSITARIO CRECER preuniversitariocrecer
3
ÍNDICE
Contenido Dominio Matemático
CLASE CERO..............................................................................................................................7
INGRESA AL AULA VIRTUAL......................................................................................................7
BLOQUE 1 ..................................................................................................................................9
1.1 Porcentajes.......................................................................................................................10
1.1.1 Porcentaje como fracción ......................................................................................10
............................................................................................10
1.1.3 Cálculo mental ..........................................................................................................11
1.1.4 Cálculo de porcentajes en base al 10% y 1%.......................................................12
1.1.5 Cálculo del 50% y 25% ..............................................................................................13
1.1.6 Cálculo de porcentajes en base al 10% y 1%.......................................................14
1.1.7 Cálculo analítico de porcentajes ...........................................................................15
1.2 Utilización de respuestas ................................................................................................16
1.3 Razón y proporciones .....................................................................................................20
..................................................................................................20
1.3.2 Problemas de aplicación .........................................................................................22
1.4 Fracciones ........................................................................................................................24
....................................................................................................27
.............................................................................................................28
1.5 Series númericas y alfanúmericas.................................................................................31
1.6 Regla de tres simple y compuesto................................................................................34
1.7 Geometría ........................................................................................................................41
....................................................................................41
.................................................................43
.......................................................44
..................................................................................................47
.........................................................................51
1.8 Trigonometría ...................................................................................................................54
...................................54
...........................................................................................................54
...................................................................54
BLOQUE 2 ................................................................................................................................58
2.1 Progresión aritmética y geométrica.........................................................................59
................................................................................................59
........................................................................................60
2.2 Probabilidad y estadística..............................................................................................62
2.2.1 Probabilidad...............................................................................................................62
...................................66
.........................................................................................74
2.3 Matrices ............................................................................................................................77
........................................................................................77
2.3.2 Operaciones con matrices. .....................................................................................78
2.4 Factoreo y productos notables......................................................................................82
2.4.1 Factoreo .....................................................................................................................82
2.4.2 Productos notables ...................................................................................................83

DOMINIO MATEMÁTICOÍNDICE
PREUNIVERSITARIO CRECER www.aprendiendoahora.com4
2.4.3 Factor común ............................................................................................................83
2.4.4 Diferencia de cuadrados.........................................................................................84
2.4.5 Trinomio cuadrado perfecto....................................................................................84
.......................................84
2.5 Ecuaciones y sistema de ecuaciones..........................................................................85
..................................................................................85
...............................................................................85
............................................................................................85
2.6 Inecuaciones ...................................................................................................................90
2.6.1 Intervalos operaciones..............................................................................................90
....................................................................91
.....................................................................94
...........................................................................96
2.6.5 Inecuación cuadrática ............................................................................................99
2.7 Programación lineal......................................................................................................103
2.7.1 Función objetivo y variables de decisión.............................................................103
2.7.2 Restricciones y región factible. ............................................................................105
2.7.3 Optimización...........................................................................................................111
2.8 Función lineal ................................................................................................................121
2.8.1 Ecuación de recta...................................................................................................124
2.9 Función cuadrática ......................................................................................................128
.............................................................128
mínimos de una función cuadrática...........................................................................133
2.10 Función exponencial y logarítmicas .......................................................................137
.............................................................................................137
2.10.2 ...............................................................................................143
2.11 Funciónes trigonométricas ........................................................................................149
2.12 Cónicas.........................................................................................................................152
2.12.1 Circunferencia .......................................................................................................152
2.12.2 Parábola .................................................................................................................157
2.12.3 Elipse .......................................................................................................................164
...............................................................................................................171

DOMINIO MATEMÁTICO BLOQUE 0
7
BLOQUE0
CLASE CERO
INGRESA AL AULA VIRTUAL
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DOMINIO MATEMÁTICOBLOQUE 0
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DOMINIO MATEMÁTICO BLOQUE I
9
Matemático
Dominio
CONTENIDO:
Porcentajes
Utilización de respuestas
Razón y proporciones
Fracciones
Series númericas y alfanúmericas
Regla de tres simple y compuesto
Geometría
Trigonometría
BLOQUE 1

DOMINIO MATEMÁTICOPORCENTAJES
1.1 Porcentajes
1.1.1 Porcentaje como fracción
1. Teoría
Todo porcentaje se puede expresar como una fracción en la cuál el denominador es 100.
x% =
2. Ejercicios Resueltos
1% = 10% = = 20% = = 39% =
3. Ejercicios para resolver en clase. PARTE I
1. 25% = = 2. 75% = = 3. 5% = = 4. h% = =
4. Tarea
1. 30% = 2. 70% = 3. 55% = 4. 40k% =
1.1.2 Gráﬁca de porcentajes
1. Teoría
El porcentaje se puede graﬁcar.
Número de partes que se toma.
Número de partes en las que se divide la unidad.
1. 10% = =
La unidad se divide en 10 partes iguales, de las cuales se toma una.
2. 100% = =
La unidad se divide en 1 parte, de las cuales se toma una.
1. 50% = =
La unidad se divide en _ _ _ _ _ _ _ _ iguales, de las cuales _ _ _ _ _ _ _.
2. 25% = =
3. 20% = =

DOMINIO MATEMÁTICO PORCENTAJES
11
BLOQUEI
4. 5% = =
4. Tarea
1. 40% = =
2. 60% = =
3. 70% = =
4. 15% = =
1.1.3 Cálculo mental
1. Teoría: Para el cálculo mental de porcentajes se basa en el 10% y 1%
10 % = 1% =
1.1 Calculo del 10%
Para calcular el 10% de cualquier número se debe
dividir el número para 10, para lo cual se debe
mover la coma un espacio hacia la izquierda.
1.2 Calculo del 1%
Para calcular el 1% de cualquier número se debe
dividir el número para 100, para lo cual se debe
mover la coma dos espacio hacia la izquierda.
Calcular el 10% de 150
El 10% de 150 es 15
El 10% de 98 es 9,8
El 1% de 150 es 1,5
El 1% de 98 es 0,98
Calcular los siguientes porcentajes
Cantidad 10% 1%
130
125
Cantidad 10% 1%
110
240

4. Tarea
Cantidad 10% 1%
142
190
3200
Cantidad 10% 1%
820
341
920
1.1.4 Cálculo de porcentajes en base al 10% y 1%
1. Teoría:
1.1 Cálculo del 5%, 20%, 30%, 40%, 60%, 70%, 80%, 90% en base al 10%
5% = .Para calcular el 5%, primero se calcula el 10% y luego se divide para 2
20% =10% (2). Para calcular el 20%, primero se calcula el 10% y luego se multiplica por 2
30% =10% (3). Para calcular el ___, primero se calcula el ___ y luego se multiplica por ___
1.2 Cálculo del 2%, 3%, 4%, 6%, 7%, 8%, 9% en base al 1%
2% =1% (2). Para calcular el 2%, primero se calcula el 1% y luego se multiplica por 2
3% =1% (3). Para calcular el ____, primero se calcula el ____ y luego se multiplica por ___
Cantidad 10% 5% 20%=10% x 2
90 9 = 4,5 9 x 2 = 18
Cantidad 1% 2% = 1% x 2 3% = 1% x 3
1200 12 12 x 2 = 24 12 x 3 = 36
1400 14 14 x 2 = 28 14 x 3 = 42
Calcular los siguientes porcentajes en base al 10%.
CANTIDAD 10% 5% 20% 30% 70% 90%
120 12
= 6
12X2=24 12X3=36 12X7=84 12X9=108
240
180

13
BLOQUEI
CANTIDAD 1% 2% 3% 8%
120 1,2 2,4 3,6 9,6
240
180
500
4. Tarea
Calcular los siguientes porcentajes en base al 10%
CANTIDAD 10% 5% 20% 30% 70% 90%
140
280
190
610
CANTIDAD 1% 2% 7% 8%
1400
2800
170
610
1.1.5 Cálculo del 50% y 25%
1. Teoría:
El 50% es la mitad del 100%
El 25% es la cuarta parte del 100%
El 25% es la mitad del 50%
50% =
25% =
600 500 700
50%
=300 =250 =350
25%
=150 =125 =175
1800 2000 0,8 200
50%
25%
4. Tarea
840 1400 0,4 240
50%
25%

1. Teoría: Los porcentajes se pueden sumar.
15% = 10% + 5%
12% = 10% + 2%
35% = 30% + 5%
45% = 40% + 5%
2.1 Calcular el 15% de los siguiente número.
Cantidad 420
10% 42
5% 21
15% 63
2.2 Calcular el 12% de los siguiente número.
Cantidad 240
10% 24
2% 4,8
12% 28,8
1. Un artículo cuesta $1500 sin IVA. Si el IVA es del
12%, ¿cuál es el precio del artículo incluido el IVA?
a) 1600b) 1320 c) 1680 d) 1650
2. Un deportista se lesionó y su seguro médico
pagó el 80% de su tratamiento. ¿Cuánto pagó el
deportista si todo el tratamiento costó $2000?
a) $400b) $500 c) $600 d) $800
3. Carlos tenía $200, gastó el 30%, regaló a su
hermano el 20% del resto, prestó el 50% de lo q le
quedó y ahorró lo que le sobró. ¿Cuánto ahorro?
a) 60 b) 56 c) 57 d) 58
4. En una oferta de camisas, cuyo precio normal es
de USD 50, se hace un descuento del 12 % en cada
una. ¿Cuál será el descuento porcentual que recibe
un cliente si compra 3 camisas?
Ejercicio 14, forma 5/ 2017 Costa. Recuperado el 6 de julio
del 2018 en http://www.evaluacion.gob.ec/evaluaciones/
pruebas-liberadas/
a) 12 b) 14 c) 18 d) 36
5. Sienunatiendadeelectrodomésticoscompramos
un frigoríﬁco de 500 dólares con un 10% de
descuento y una lámpara de 60 dólares con un 20%
de descuento. ¿Cuánto hemos gastado?
a) $ 498 b) $ 488 c) $ 410 d) $ 408
6. En el cuerpo humano habitan aproximadamente
2 000 000 bacterias por cm2. Si al tomar un baño
se pierde el 20 % de estas, y si al usar un jabón
antibacteriano se pierde un 20 % adicional, ¿qué
porcentaje de bacterias se conserva en el cuerpo?
pruebas-liberadas/
a) 36 b) 40 c) 60 d) 64
4. Tarea
1. Calcular el 35% de los siguientes números.
1200 320 2400 1540 5840
30%
5%
35%
2. En el cuerpo humano habitan aproximadamente
100 000 000 de bacterias por mm2 . Si al tomar un
baño se pierde el 10 % de estas, y si al usar un jabón
antibacteriano se pierde un 10 % adicional, ¿qué
porcentaje de bacterias se conserva en el cuerpo?
Ejercicio 13, forma 001/ 2017 Sierra. Recuperado el 6 de julio
pruebas-liberadas/
a) 19 b) 20 c) 80 d) 81
3. Tenía 40 cuadernos. A mi amigo Jean Pierre le
di el 20%, a mi primo Pedro el 30% y a mi hermana
Julia el 40%. ¿Cuántos cuadernos me quedan?
a) 4 b) 6 c) 8 d) 10
1.1.6 Cálculo de porcentajes en base al 10% y 1%

15
BLOQUEI
4. Carlos tenía $180. Gastó el 50%; le dio a su
hermano el 20% del resto y perdió el 25% de lo que
le quedaba. ¿Con cuánto se quedó al ﬁnal?
a) 49 b) 54 c) 55 d) 56
5. Ricardo, en su examen de ingreso a la
universidad, respondió el 80% de las preguntas, de
las cuales el 25% respondió incorrectamente. Si el
examen tiene 120 preguntas, ¿cuántas preguntas
respondió incorrectamente?
a) 34 b) 30 c) 16 d) 24
1.1.7 Cálculo analítico de porcentajes
1. Teoría: Para el cálculo analítico el porcentaje se pone como fracción y se multiplica por número.
Calcular el 20% de 70. Calcular el 30% de 90. Calcular el 15% de 200.
Calcular el 20% de un
número N
Calcular el 20% del 30% de
partes de 5000
Calcular el 30% del 60% de las
partes de 2000
3. Ejercicios para resolver en clase. PARTE I.
1. Calcular el 40% del 20% de las dos quintas partes
de 5000.
2. Calcular el 10% del 40% de las tres cuartas partes
de 8000.
3. Calcular el 50% del 10% de las ocho décimas
partes de 10000.
4. Calcular el 10% del 60% de las ocho décimas
partes de 4000.
4. Tarea
1. Calcular el 60% del 80% de las siete décimas
partes de 6000.
2. Calcular el 60% de los ocho décimos de 7000.
3. Calcular el 50% de 60% de las tres quintas partes
de 1500.
4. Calcular el 80% del 50% de las de 1000.

DOMINIO MATEMÁTICOUTILIZACIÓN DE RESPUESTAS
1.2 Utilización de respuestas
1. Teoría:
2. Ejercicios Resueltos:
1. La suma de dos números es 70 y su diferencia es igual a 20. Hallar los números.
a) 40 y 20 b) 45 y 25 c) 50 y 30 d) 42 y 22
Paso 1: Se debe comprobar la primera condición: dos números cuya suma sea 70.
Como solo hay una respuesta que cumple con la primera condición, no hay necesidad de comprobar
la segunda condición. Por lo tanto la respuesta correcta es la opción b) 45 y 25.
2. La suma de las edades de Tatiana y su prima es 35 y la diferencia de dichas edades es 5.
Hallar la edad de cada uno.
a) 18 y 12 b) 19 y 16 c) 20 y 15 d) 12 y 11
Paso 1: Se debe comprobar la primera condición: la suma de las edades es 35.
Paso 2: Como la primera condición se cumple para dos opciones, se debe comprobar la segunda condición:
la diferencia de las edades es 5.
Por lo tanto la respuesta correcta es la opción c) 20 y 15.
3. Hallar un número de 2 dígitos tal que la diferencia del cuadrado de sus dígitos sea igual a 11
a) 123 b) 65 c) 130 d) 144

DOMINIO MATEMÁTICO UTILIZACIÓN DE RESPUESTAS
17
BLOQUEI
1. La suma de dos números es 24. Tres veces el
mayor excede en dos unidades a cuatro veces el
menor. Hallar los números
a) 14 y 16
b) 8 y 14
c) 20 y 10
d) 14 y 10
2. Un valor de x que satisface la ecuación
x3
-5x2
+ 2x +2 = 0 es:
a) 0 b) 1 c) 2 d) -1
3. Determine el valor de x en la siguiente ecuación.
5x + 3x
= 8
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3
4. La edad de Pedro es el triple de la de Juan
y ambas edades suman 40 años. Hallar ambas
edades.
a) 10 y 30
b) 20 y 60
c) 20y 20
d) 25 y 15
5. La raíz cuadrada de 126.736 es:
a) 355 b) 356 c) 357 d) 358
Nota: Ver el último dígito
6. La cantidad de automóviles que circulan por
la avenida frente a la casa de Juan incrementa
mensualmente; por ello Juan determinó una expresión
que permite obtener el número de vehículos en función
de cada mes, donde t está expresado en días:
C(t) = 2 t - 4
+ 2 t - 2
¿Al cabo de cuántos días habrán 20 automóviles
circulando por la avenida?
pruebas-liberadas/
a) 5
b) 6
c) 32
d) 64
7. Una persona gasta del saldo de su celular
en llamadas; de lo que sobra, gasta la mitad en
mensajes y le quedan USD 4,00. ¿Cuántos dólares
de saldo tenía originalmente?
pruebas-liberadas/
a) 12
b) 16
c) 20
d) 24
8. Dividir el número 106 en dos partes tales que la
mayor exceda a la menor en 24
a) 41 y 65
b) 40 y 64
c) 39 y 63
d) 40 y 66
Paso 1: Se debe comprobar la primera condición: un número de 2 dígitos
Como solo hay una respuesta que cumple con la primera condición, no hay necesidad de comprobar
la segunda condición. Por lo tanto la respuesta correcta es la opción b) 65.

DOMINIO MATEMÁTICOUTILIZACIÓN DE RESPUESTAS
9. El doble de un número más el triple de su
consecutivo es 23. Hallar el número.
a) 5
b) 8
c) 4
d) 6
10. Hallar el número de cuatro cifras tal que la
primera cifra sea 1/3 de la segunda, la tercera es
la suma de la primera y la segunda, la cuarta es
tres veces la segunda.
a) 1349 b) 2500 c) 342 d) 1253
11. La edad del Padre es cuatro veces la edad del
hijo. Hace 5 años la edad del padre era siete veces
la edad del hijo. Hallar la edad de cada uno.
a) 36 y 6
b) 40 y 10
c) 50 y 20
d) 35 y 5
12. En un teatro, las entradas de adulto costaban $
5 y la de niños $ 2, concurrieron 326 espectadores
y se recaudaron $ 1090. ¿Cuántos eran adultos y
cuántos niños?.
a) 146 y 180
b) 126 y 160
c) 156 y 196
d) 166 y 186
13. Luis tiene tres veces tanto dinero como José. Si
Luis le da a José $20 entonces tendría solamente el
doble. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?.
a) José=60; Luis=120
b) José=60; Luis=180
c) José=50; Luis=150
d) José=30; Luis=100
14.Pedrotiene15animalesentrecaballosygallinas.
Estos animales juntos suman 46 patas. ¿Cuántos
caballos y gallinas tienen respectivamente?
a) 6 y13
b) 8 y 7
c) 10 y 7
d) 8 y10
15. Un jardín rectangular tiene el triple de largo que
de ancho y su perímetro mide 1200 m ¿Cuáles son
sus dimensiones en metros?
a) 200 y 400
b) 150 y 300
c) 200 y 600
d) 150 y 450
16. Un aeroplano recorrió 1940 Km el primer día, el
segundo recorrió 340 Km más que el primero y el
tercero 890 Km menos que entre los dos anteriores.
¿Cuántos Km recorrió el aeroplano en total?
a) 345km
b) 6678km
c) 7550km
d) 2341km
4. Tarea
1. Determinar el valor de x que satisfaga la
ecuación 3 x - 5
= 9
a) 0 b) 5 c) 7 d) 9
2. Determinar el valor de x que satisfaga la
ecuación 5 2x + 1
=
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3
3. La solución del sistema de ecuaciones
a) x=1, y=2, z=3 b) x=-1, y=2, z=-3
c) x=0, y=2, z=3 d) x=-2, y=5, z=1
4. Hallar un número de 2 cifras tal que la suma de
los cuadrados de cada cifra sea igual a 20
a) 24 b) 12 c) 48 d) 21
5. El triple de un número más el quíntuple del mismo
es igual a 32. Hallar el número.
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7

DOMINIO MATEMÁTICO UTILIZACIÓN DE RESPUESTAS
19
BLOQUEI
6. ¿Cuál es el número que multiplicado por 3
añadiendo 5 a este producto y dividiéndole para
2 a esto, se obtiene 13?
a) 7
b) 6
c) 5
d) 4
7. Hallar 3 números cuya suma sea 80. Siendo que
el segundo es el triple del primero, el tercero es el
cuádruple del segundo.
a) 2,6,24
b) 2,6,25
c) 3,6,24
d) 5,15,60
8. Hallar 2 números tal que el uno sea 15 unidades
más que el otro y su suma sea 105
a) 45 y 60
b) 55 y 50
c)100 y 5
d) 30 y 45
9. Hallar 2 números tal que el uno sea el doble del
otro y su diferencia sea 5
a) 10 y 5
b) 2 y 4
c) 3 y 6
d) 4 y 8
10. Hallar un número cuya raíz cuadrada sea igual
al doble del mismo número
a) 1/4
b) 4
c) 16
d) 1/16
11. Hallar 2 números tales que su producto sea
igual a 35 y su diferencia sea igual a 2
a) 7 y 5
b) 8 y 6
c) 9 y 7
d) 10 y 9
12. Hallar 3 números pares consecutivos, tal que su
suma sea igual a 18
a) 4,6 y 8
b) 3, 4 y 5
c) 4, 5 y 6
d) 3, 5 y 7
13. Hallar 2 números múltiplos de 3 cuya suma sea
21.
a) 6 y 15 b) 6 y 9
c) 9 y 18 d) 6 y 18
14. Dos tanques almacenan 600 litros de agua en
conjunto. Si se extraen 50 litros de cada uno, un
tanque tendría cuatro veces el volumen de agua
del otro. ¿Cuál es el volumen de agua del tanque de
menor capacidad?
a) 150 litros
b) 200 litros
c) 250 litros
d) 450 litros

DOMINIO MATEMÁTICORAZONES Y PROPORCIONES
1.3 Razón y proporciones
1. Teoría:
Razón.- Es una comparación entre dos cantidades, del mismo tipo, por medio del cociente (división)
entre ellas. Si las cantidades son m y n, se puede escribir la razón entre m y n (en ese orden) como:
ó m : n Se lee “m” es a “n”
Ejemplo:
¿Cuál es la razón entre 5 y 15?.
Para encontrar la razón entre 5 y 15 dividimos 5 para 15.
Entonces la razón entre 5 y 15 es
Proporción.- Es una igualdad entre dos razones.
Se lee "a" es a "b" como "c" es a "d"
A los números ay d se les llama extremos y a los números by cse les llama medios.
Propiedad fundamental de las Proporciones:
En una proporción se cumple siempre que el producto de los extremos es igual al de los medios.
.d = b.c
1.3.1 Artiﬁcio matemático
Un artiﬁcio matemático es una herramienta matemática, que permite resolver problemas de una manera
fácil y rápida.
1. Determinar AB y BC.

DOMINIO MATEMÁTICO RAZONES Y PROPORCIONES
21
BLOQUEI
a) Utilizando un artificio matemático.
. Artificio Matemático
Paso 1:Asignar a cada segmento
el valor (en función de x).
Obtenido de la proporción .
Paso 2: De acuerdo a la gráfica
la suma de los segmentos AB y
BC es igual a 40.
Paso 3: Calcular lo pedido.
El valor de cada segmento se
calcula reemplazando el valor de
x.
AB = 15 BC = 25
b) Utilizando el artificio matemático en el mismo gráfico.
Paso 1:Asignar a cada segmento el
valor (en función de x). Obtenido de
la proporción.
Paso 2: Determinar x. Paso 3: Calcular lo pedido.
En resumen:
Paso
Paso
Paso

DOMINIO MATEMÁTICORAZONES Y PROPORCIONES
3. Ejercicios en clase. PARTE I
Determinar la longuitud de cada segmento.
1. Paso
Paso
Paso
2. Paso
Paso
Paso
3. Paso
Paso
Paso
4. Paso
Paso
Paso
4. Tarea
1.
2.
3.
4.
1.3.2 Problemas de aplicación
1. Teoría:
Muchos ejercicios vienen “maquillados”. Al tener como datos una proporción y un valor, se puede utilizar
EL ARTIFICIO MATEMÁTICO.
Ejemplo:
• Dos números están en una relación de 3 : 5. Si suman 40. Hallar los números.

DOMINIO MATEMÁTICO RAZONES Y PROPORCIONES
23
BLOQUEI
• La edad de Pablo respecto de la de María estan en una relación de 3 : 5. Si sus edades suman 40 años.
Hallar la edad de cada uno.
• Dos ángulos están en una relación de 3: 5. Si los ángulos suman 40. Hallar los ángulos.
• A una fiesta, por cada 3 hombres, asisten 5 mujeres. Si asistieron 40 personas. ¿Cuántos hombres y
cuántas mujeres asistieron?
• En una granja las gallinas ponen huevos blancos y huevos cremas en una relación de 3 : 5. Cierto día
las gallinas pusieron 40 huevos. ¿Cuántos son blancos y cuántos son cremas?.
Pasos: 1. Realizar un gráfico (utilizar segmentos).
2. Aplicar el artificio matemático.
3. Calcular lo pedido.
1. A una fiesta asisten 32 personas, por cada 5 hombres, asisten 3 mujeres. Determinar el número de
mujeres que asistieron.
a) 20 b) 6 c) 12 d) 24
1. La suma de dos números es 180 y su razón es
5 : 4. ¿Cuál es la diferencia de los números?
a) 15 b) 20 c) 80 d) 100
2. Las edades de 3 personas están en la relación
de 1 : 5 : 4. Si sus edades suman 40 años. ¿Qué
edad tiene la mayor de dichas personas?
a) 4 b) 10 c) 16 d) 20
3. Las edades de tres hermanas: María, Carmen y
Lucía, son entre sí como 2:5:3. Si sus edades suman
30 años, entonces la edad de Lucía es:
a) 15 b)9 c) 6 d) 1
4. En un triángulo, los ángulos están en una relación
de 2 : 3 : 4. Hallar el mayor de ellos.
5. Dos personas se reparten $ 25.000 en la razón
2:3. ¿Cuál es la diferencia entre lo que recibe cada
una de ellas?
a) $ 10.000 b) $ 15.000
c) $ 5.000 d) $ 20.000
4. Tarea
1. En un triángulo, los ángulos están en una relación de 5 : 6 : 7. Hallar el mayor de ellos.

DOMINIO MATEMÁTICOFRACCIONES
2. Mario, Rodrigo y Ernesto son hermanos y recibirán
un premio en efectivo que debe ser repartido de
acuerdo a la relación de sus edades. La razón
entre sus edades es 2:4:6. El dinero a repartir es
$180.000. ¿Cuánto dinero recibe Rodrigo?
a) 90000 b) 60000
c) 30000 d) 40000
3. En una elección en la cual participaron 180
personas, los votos a favor de los candidatos A y
B estuvieron en la relación de 2 a 3. Los votos a
favor de B y C, en relación de 3 a 5. Si todos los
votos fueron válidos. ¿Cuántos votaron a favor del
candidato que obtuvo mayor puntaje?
a) 54 b) 75 c) 80 d) 90
4. Paola y Andrea tienen una colección de
servilletas. Si la razón entre la cantidad de servilletas
que tiene cada niña es 3:6 y ambas suman en total
90 servilletas, ¿Cuántas servilletas tiene Andrea?
a) 30 b) 50 c) 60 d) 54
5. Un raro pez tiene 3 m de longitud total y la
cabeza está en una relación de 2 a 1 con respecto
al cuerpo. ¿Cuánto miden en ese orden la cabeza
y el cuerpo?
a) 2m y 1m b) 2.5m y 0.5m
c) 2.75m y 0.2m d) 2.25m y 0.75m
1.4 Fracciones
1. Teoría
La fracción es un numero que se obtiene de dividir la unidad en partes iguales.
Una fracción se representa matemáticamente por números que están que están escritos unos sobre
otros y que se hallan separados por una línea recta horizontal llamada raya fraccionaria. La fracción esta
formada por dos términos: el numerador y el denominador. El numerador es el numero que esta sobre la
raya fraccionaria y el denominador es el que esta baja la raya fraccionaria.
Numerador
Raya de fracción
Denominador
Launidadsedivideencincopartesiguales(denominador).
El numerador es el 2 e indica el numero de partes que se
toma de partes que se toma de la unidad.
1.1 Table de Fracción
¿Cuántos medios tiene la unidad?
¿Cuántos tercios tiene la unidad?
¿Cuántos cuartos tiene la unidad?
¿Cuántos quintos tiene la unidad?
¿Cuántos sextos tiene la unidad?
¿Cuántos séptimos tiene la unidad?
¿Cuántos octavos tiene la unidad?
¿Cuántos novemos tiene la unidad?
¿Cuántos décimos tiene la unidad?
¿Cuántos cuartos tiene un medio?
¿Cuántos sextos tiene dos tercios?
¿Cuántos novenos tiene un tercio?
¿Cuántos décimos tiene tre quintos?
¿Cuántos octavos tiene tres cuartos?

DOMINIO MATEMÁTICO FRACCIONES
25
BLOQUEI
1. Grafica de fracción
1. Graficar
2. Graficar
2. ¿cuál es el numero cuyo 2/5 equivale a 50?
Paso 1: Realice la grafica de la
fracción
Además se debe colocar en la
grafica el numero entero que
nos da como el ejercicio.
Paso 2: Determinar el valor
numérico de un cuadro
Paso 3: Calcular lo pedido
Como en este ejercicio la
pregunta es el total, se debe
multiplicar el valor de cada
parte por el numero total de
partes que es 5.
La unidad tiene 5 quintos.
Respuesta: b) 125
1. Graficar
2. Graficar
3. Graficar
4. Graficar
5. Graficar
Graficar
. Graficar
Graficar
6. Si la tercera parte de un curso son hombres y hay 8 hombres. ¿ Cuántas personas hay en el curso?
Paso 1
realizar la grafica de la fricción
Paso 2
Determinar el valor numerico de
un cuadro
Paso 3
Calcular lo pedido

7. Si las 3/7 de un curso son mujeres y hay 27 mujeres. ¿Cuántas personas hay en el curso?
a)9 b)36 c)63 d)45
Paso 1
Paso 2
un cuadro
Paso 3
Calcular lo pedido
8. Si las 3/5 partes de un curso son hombres y hay 14 mujeres. ¿Cuántas personas hay en el curso?
a)21 b)7 c)35 d)14
Paso 1
Paso 2
un cuadro
Paso 3
Calcular lo pedido
9. Si las 4/9 partes de un curso abandona y queda 20 estudiantes. ¿cuántos había originalmente?
a)16 b)36 c)20 d)24
Paso 1
Paso 2
un cuadro
Paso 3
Calcular lo pedido
10. Un depósito parcialmente lleno contiene 180 litros de agua. Si este volumen corresponde a los 2/5 de
la capacidad del depósito. ¿Cuántos litros de agua se deben agregar para volver a llenarlo?
a)108 b)230 c)270 d)90
Paso 1
Paso 2
un cuadro
Paso 3
Calcular lo pedido
11. Las 2/7 partes del curso son hombres. Si hay 10 hombres. ¿Cuántas personas hay en el curso?
a)32 b)49 c)45 d)35
Paso 1
Paso 2
un cuadro
Paso 3
Calcular lo pedido

27
BLOQUEI
4. Tarea
1.4.1 Gráﬁca de fricción
1. Los 2/5 de la capacidad de un estanque son 500 litros. ¿Cuál será la capacidad de los 3/5 del mismo
estanque?
a)450 litros b)600 litros c)750 litros d)350 litros
Paso 1
Paso 2
un cuadro
Paso 3
Calcular lo pedido
2. Los 4/5 de un numero es 40. ¿Cuánto serían los 3/10 del número?
Paso 1
Paso 2
un cuadro
Paso 3
Calcular lo pedido
3. Una rueda recorre 180m, cuando ha girado los 3/4de la rueda. Si da una vuelta completa. ¿Cuánto
recorrerá?
a)125 b)270 c)250 d)240
Paso 1
Paso 2
un cuadro
Paso 3
Calcular lo pedido
4. Hernàn tiene que resolver 30 problemas, un día resuelve los 3/10 y al dia siguiente los 4/7 del resto.
¿Cuántos problemas le faltan por solucionar?
a)9 b)12 c)3 d)20
Paso 1
Paso 2
un cuadro
Paso 3
Calcular lo pedido

1.4.2 Amplificación
1. Teoría
Amplificación. – La amplificación e una fracción consiste en multiplicar el numerador y el denominador
por un mismo entero, en el cual se obtendrá una fracción equivalente a la anterior.
Ejemplo: Para amplificación la fracción 2/3 se multiplica numerador y denominador por 4 y obtenemos
la fracción equivalente 8/12.
Nota:
Los numeradores son múltiplos de 2.
Los denominadores son múltiplos de 3.
1. En un recipiente de caramelos, 1/8 de los caramelos son de sabor a miel, ¼ sabor a mantequilla, ½
sabor a chocolate, y el resto, 12, son de sabores a menta. ¿Cuántos caramelos son sabor a mantequilla?
a)24 b)28 c)32 d)48
Paso 1
Ordenar
Paso 2
Amplificar
Paso 3
Graficar/ Calcular
2. Un padre de familia gasta 1/5 de su salario en alimentos y 1/8 en trasporte. ¿Qué parte de su salario le
queda?
a) 13/40 b) 11/13 c) 27/40 d) 13/20
Paso 1
Ordenar
Paso 2
Amplificar
m.c.m.= 40
para la cual se debe multiplicar
cada fracción por el numero
que haga falta para llegar al
40 que es el m.c.m. Se debe
multiplicar tanto al numerador
como al denominador
Paso 3
Graficar/ Calcular
Como una pregunta es la parte
que queda del salario. Se debe
tomar el total (en este caso 40)
y restar el numerador (en este
caso 13) para saber la cantidad
de partes que queda.
Por lo tanto la fracción que
queda es 27/40 .
Respuesta: c) 27/40

29
BLOQUEI
3. Hallar el valor de x
a)20 b)15 c)7 d)35
4. Hallar la mayoría fracción entre:3
7
y 4
9
.
a) 3
7
b) 4
9
c) son iguales.
Se multiplica en cruz para eliminar denominadores.
Por lo tanto la mayor fracción es 4
9
.
3. Ejercicio para resolver en clase. PARTE I
1. Sobre una ruleta están pintados aleatoriamnete colores. Si 1/10 es de color verde, ½ de colo blanco, ¼
de color azul, y el resto 30 colores son de color rosado, ¿Cuál es el numero de colores azules?
a)205 b)50 c)75 d)120
Paso 1
Ordenar
Paso2
Amplificar
Paso3
Graficar/ Calcular
2. Un empleado gasto 1/10 de su salario em vestuario, 1/3 en alimentos y 1/5 en arriendo. ¿Qué parte de
su salario le queda para otros gastos y ahorros?
a)1/15 b)11/30 c)2/3 d)7/10
Paso 1
Ordenar
Paso2
Amplificar
Paso3
Graficar/ Calcular
3. Un comerciante invierte 1/5 de su capital en ropa para niños, 1/10 en ropa para hombre y ¼ en ropa
para mujer. ¿Qué parte de su capital le queda para seguir invirtiendo?
a)9/10 b)9/20 c)3/10 d)1/20
Paso 1
Ordenar
Paso2
Amplificar
Paso3
Graficar/ Calcular

4.Tarea
1. Perdí un quinto de mi dinero y preste un octavo. ¿Qué parte de m i dinero me queda?
a)3/56 b)46/25 c)27/40 d)26/56
Paso 1
Ordenar
Paso2
Amplificar
Paso3
Graficar/ Calcular
2. Si . El valor x es:
a) 20 b)25 c)30 d) 35
Paso 1
Ordenar
Paso2
Amplificar
Paso3
Graficar/ Calcular
3. Marìa José paso así su vida: 1/3 durmiendo, ½ comiendo, ¼ trabajando, 1/6 practicando deporte y el
resto de su vida que son 12 años la paso viajando. ¿Qué edad tuvo al morir?
a) 60 años b)24 años c)36 años d) 72 años
Paso 1
Ordenar
Paso2
Amplificar
Paso3
Graficar/ Calcular
4. En una sociedad de tres personas, uno aporta $p que corresponde a los 2/5 del capital, otro aporto $
200 y el tercero aporto un tercio del capital. ¿Cuál es el valor de p?
a) $250 b)$300 c)$200 d) $350
Paso 1
Ordenar
Paso2
Amplificar
Paso3
Graficar/ Calcular
4. Una familia compra dos moldes de ropa y come 5/12 del molde en el desayuno, 5/8 del molde en el
almuerzo, 5/6 del molde en la merienda y el resto en un refrigerio a medianoche, si a) 1/5 del molde
a) a>b b) a=b c) a<b d) no se puede determina
Paso 1
Ordenar
Paso2
Amplificar
Paso3
Graficar/ Calcular

DOMINIO MATEMÁTICO SERIES NÚMERICAS Y ALFANÚMERICAS
31
BLOQUEI
1.5 Series númericas y alfanúmericas
1. Teoría:
Una serie es un conjunto de números o letras que tienen una secuencia determinada o que siguen una
regla específica.
Ejemplos:
1, 2, 3, 4, 5, La secuencia consiste en sumar 1 a cada término para obtener el siguiente.
2, 4, 6, 8,10, La secuencia consiste en sumar 2 a cada término para obtener números pares.
1, 3, 5, 7, 9, La secuencia consiste en sumar 2 a cada término para obtener números impares.
Clasificación
Básicamente existen dos tipos de series:
1. Series Numéricas.
2. Series Alfanuméricas.
Las mismas que pueden ser simples o alternadas
1.1 Series numéricas
Es una secuencia de números ordenados, llamados términos, que siguen una regla especifica.
a) Series Simples
Cada término de una serie simple se obtiene en base al término anterior. A continuación se ponen
algunos ejemplos, que siguen una regla específica.
Ejemplos:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
b) Series alternadas
Las series alternadas tienen una secuencia determinada, que se cumple o se repite saltándose uno o
más términos.
1) 2)

DOMINIO MATEMÁTICOSERIES NÚMERICAS Y ALFANÚMERICAS
1.2 Series alfanuméricas
Son secuencias, en las que intervienen números ó letras del alfabeto, que siguen una regla específica.
Se considera el alfabeto español que contiene 27 letras. No intervienen las consonantes dobles (CH, LL, RR).
Ejemplos:
1) A, B, C, D _____
2) Z, Y, X, W _____
3) 1A, 2C, 3E, 4G, 5I _____
4) 3Z, 4X, 6V, 9T, 13R _____
Para hallar un determinado término de la serie, se debe identificar la regla
específica que siguen los términos, y luego aplicarla.
2. Ejercicios Resueltos.
1. La serie representa el número diario de hojas que
caen sobre una piscina, provenientes de un árbol
cercano. ¿Cuántas hojas caerán sobre la piscina
al octavo día?
2, 3, 5, 6, 8, 9, 11, .........
a) 10 b) 12 c) 13 d) 14
Primero identificamos la regla que siguen los
términos.
Luego aplicamos dicha regla, hasta obtener el
término pedido.
Al octavo día caerán 12 hojas.
2. Determinar el cuarto término de la siguiente
secuencia:
4E, 8G, 16I,.....,64M
a) 20J b) 24J c) 28K d) 32K
Esta es una serie alfanumérica. Es recomendable
analizar primero la parte numérica.
Por lo tanto, en el cuarto término debe ir el 32. Al
ver las opciones, la única respuesta posible es la d),
con lo que el ejercicio está resuelto.
Sólo en el caso de que varias opciones tuvieran el
número 32, se debería analizar la parte literal.
Por lo tanto el cuarto término es 32K, siendo la
respuesta la misma opción d).
1. 1, 2, 4, 7, 8, 10,13……
2. 121, 144, 169,196,…..
3. 10, 15,25, 40,60,…….
4. 7, 9, 6, 8, 5, 7, 4,…….
5. 3, 7, 15, 31, 63,……….
6. 20, 19, 17, 14, 13,11,…..
7. 11, 2, 22, 3, 25, 4, 50,…..
8. 8, 24, 26, 25, 75,77,……..
9. 8, 9, 18, 19, 38, 39,…….
10. 22A, 19C, 16E, 13G……
11. E G H J K M N O P……
12. AB, ED, GH, KJ, MN….
13. La serie representa el número diario de hojas
que caen sobre una piscina, provenientes de
un árbol cercano al iniciar la estación de otoño.
¿Cuántas hojas caerán sobre la piscina al octavo
día?
Ejercicio 30, forma 2/ 2018 Costa. Recuperado el
6 de julio del 2018 en http://www.evaluacion.gob.
ec/evaluaciones/pruebas-liberadas/
1, 3, 6, 11, 11, 19, 16, ___
a) 16 b) 21 c) 23 d) 27

DOMINIO MATEMÁTICO SERIES NÚMERICAS Y ALFANÚMERICAS
33
BLOQUEI
4. Tarea
1. 2, 12, 6, 36, 30, 180,……..
2. 18, 9, 10, 5, 6, 3, 4,……..
3. 47, 44, 42, 41, 38,………
4. 17, 20, 23, 26, 29,………
5. 5, 11, 23, 47,……….
6. 24, 3, 12, 9, 6, 27, 3,……..
7. 4, 10, 9, 15, 16, 22,………
8. 3, -1, 6, -2, 12, -4,……
9. 6, 5, 9, 10, 12, 15,………
10. 2, 5, 10, 17, 26,……..
11. 1, 2, 4, 5, 7, 8,…..
12. 1, 2, 3, 3, 2, 3, 4, 5,…..
13. 1, 20, 5, 16, 9, 12,…..
14. 8, 6, 12, 7,16, 8, 20,…..
15. 6, 2, 5, 5, 4, 8, 3, 11,.....
16. 4, 10, 18, 29, 43,…….
17. La serie representa el número diario de hojas que caen sobre una piscina, provenientes de un árbol
cercano al iniciar la estación de otoño. ¿Cuántas hojas caerán sobre la piscina al octavo día?
Ejercicio 30, forma 5/ 2017 Sierra. Recuperado el 6 de julio del 2018 en http://www.evaluacion.gob.ec/evaluaciones/pruebas-
liberadas/
1, 7, 4, 10, 7, 13, 10, ___
a) 7 b) 13 c) 16 d) 17
14. La sucesión permite generar códigos que
faciliten la búsqueda de cada nuevo cliente en un
almacén. ¿Cuál es el código que se le asignó al
cuarto cliente?
4E, 8G, 16I, ___, 64M
a) 20J b) 24J c) 28K d) 32K
15. El concurso de una feria consiste en predecir
el siguiente número que aparecerá en la ruleta. Si
x es el próximo número en aparecer, ¿cuál es su
valor?
Ejercicio 23, forma F001/ 2017 Sierra. Recuperado
el 6 de julio del 2018 en http://www.evaluacion.
gob.ec/evaluaciones/pruebas-liberadas/
a) 1 b) 2 c) 13 d) 49
16. Una persona olvidó el último código de su caja
fuerte, pero recuerda haber ingresado la siguiente
sucesión de números:
3,5; 6; 8,5; 11; 13,5; ...
Si el último código que necesita la persona está
ubicado en la octava posición, ¿cuál es este
código?
a) 16 b) 21 c) 26 d) 31
17. Identiﬁque el siguiente término de la sucesión:
Ejercicio 2, forma 5/ 2017 Sierra. Recuperado el 6
de julio del 2018 en http://www.evaluacion.gob.
4 + a3
,5 + a5
,8 + a9
,13 + a15
, ?
a) 20 + a23
b) 18 + a27
c) 12 + a27
d) 20 + a18
18. Determine el número que continúa en la serie.
pruebas-liberadas/
0, 1, 8, 63, 624, ___
a) 5 049 b) 6 178
c) 6 192 d) 7 775

DOMINIO MATEMÁTICOREGLA DE TRES SIMPLE Y COMPUESTO
cuarto cliente?
pruebas-liberadas/
2E, 4G, 8I, ___, 32M
a) 10J b) 12J c) 14K d) 16K
cuarto cliente?
Ejercicio 21, forma F001/ 2017 Sierra. Recuperado el 6 de julio
pruebas-liberadas/
3E, 6G, 12I, ___, 48M
a) 15J b) 18J c) 21K d) 24K
1.6 Regla de tres simple y compuesto
1. Teoría
Una regla de tres es una operación que se desarrolla para conocer el valor del cuarto término de una
proporción a partir de los valores de los otros términos. Las reglas de tres pueden ser simples o compuestas,
directas o inversas.
1.1 Regla de tres directa.
• Si una magnitud aumenta, la otra también aumenta.
• Si una magnitud disminuye, la otra también disminuye.
Ejemplos:
• Si hay más obreros, construyen más casas.
• Si hay que resolver más ejercicios, se demora más tiempo.
Para resolver la regla de tres directa se debe multiplicar en cruz (x).
1.2 Regla de tres inversa.
• Si una magnitud aumenta, la otra disminuye.
• Si una magnitud disminuye, la otra aumenta.
Ejemplos:
• Si hay más personas construyendo una casa, se demoran menos tiempo.
• Si un auto va a mayor rapidez, se demora menos tiempo.
Para resolver una regla de tres inversa se debe multiplicar horizontalmente (=).
Pasos para resolver:
1. Ordenar
2. Analizar
3. Simpliﬁcar

DOMINIO MATEMÁTICO REGLA DE TRES SIMPLE Y COMPUESTO
35
BLOQUEI
1. Por 3 horas de trabajo Carlos paga 60 dólares. ¿Cuánto cobrará por 8 horas?
Paso 1: Ordenar. Paso 2: Analizar.
Si trabaja más horas,
entonces, ¿Cobrará más
dinero ó menos dinero?
Cobrará más dinero.
Paso 3: Simpliﬁcar.
Entonces lo que Carlos tiene que pagar es $160
2. Si 10 obreros construyen una casa en seis meses ¿Cuántos meses demorarán 45 obreros en construir 6
casas del mismo tipo, trabajando la misma cantidad de horas diarias?
Para resolver una regla de
tres compuesta se analiza por
separado.
Se compara cada columna con
la columna que tiene la X.
Si hay más obreros construyendo
una casa, entonces, ¿Se
demoran más meses o menos
meses?
Se demoran menos meses.
Si se contruyen más casas,
entonces, ¿Se demoran más
meses o menos meses?
Se demoran más meses.
Se demorarán 8 meses.

3. Un camión a 60 Km/h tarda 40 minutos en cubrir cierto recorrido. ¿Cuánto tardará un camión a 120 km/h?
Si va a mayor velocidad,
entonces. ¿Se demora más ó se
demora menos tiempo?
Se demora menos tiempo.
Entonces el camión se demora 20 minutos.
1. 25 Trabajadores ejecutan una obra en 16 días. ¿En cuántos días menos harán la obra 40 trabajadores.
a) 4 b) 5 c) 6 d) 10
Paso 1: Ordenar.
Trabajadores Días
Paso 2: Analizar.
Si aumento el número de
trabajadores, entonces,
¿Aumenta o disminuyen los días?
2. Un auto a 100 Km/h de velocidad ha recorrido 150 Km. ¿Qué distancia recorrerá en el mismo tiempo si va a 80
Km/h?
a) 120km b) 180km c) 110km d) 150km
Paso 1: Ordenar.
Velocidad Kilometros
Paso 2: Analizar.
Si disminuye la velocidad,
entonces,¿Aumentaodisminuye
la distancia?
3. Una persona en 20 minutos recorre una distancia de 3 kilómetros; en una hora recorre:
a) 4 km b) 6 km c) 9 km d) 12 km
Paso 1: Ordenar.
Minutos Distancia
Paso 2: Analizar.
Si disminuye el tiempo, entonces,
¿Aumenta o disminuye la
distancia?

37
BLOQUEI
4. Si 3 ladrillos pesan 6 kg. ¿Cuánto pesarán una decena de ladrillos?
a) 18kg b) 20kg c) 22kg d) 24kg
Paso 1: Ordenar.
Ladrillos Kilogramos
Paso 2: Analizar.
Si aumenta el número de ladrillos,
entonces,
¿Aumenta o disminuye los
kilogramos?
5. Cinco gatos cazan 5 ratones en 5 minutos. ¿Cuántos gatos cazarán 3 ratones en 3 minutos?
a) 3 b) 5 c) 10 d) 12
Paso 1: Ordenar. Paso 2: Analizar. Paso 3: Simpliﬁcar.
6. Quince obreros cavan una zanja de 60 m en 6 horas. ¿Cuántos metros cavarán 6 obreros en 4 horas?
Ejercicio 24, forma f001/ 2018 Costa. Recuperado el 6 de julio del 2018 en http://www.evaluacion.gob.ec/evaluaciones/pruebas-
liberadas/
a) 16 b) 24 c) 36 d) 40
7. Tres obreros cavan en 24 horas una zanja de 12 m. ¿Cuántos metros cavarán en 12 horas 9 obreros?
Ejercicio 7, forma F001/ 2017 Sierra. Recuperado el 6 de julio del 2018 en http://www.evaluacion.gob.ec/evaluaciones/pruebas-
liberadas/
a) 2 b) 6 c) 18 d) 72

8. Cinco tornos hacen 2500 pernos en 16 horas. ¿Cuántos tornos más serán necesarios para producir
15000 pernos en 40 horas?
a) 10 b) 9 c) 7 d) 8
Paso 1: Ordenar.
Pernos Tornos Horas
Paso 2: Analizar.
Pernos Tornos
Tornos Horas
9. El transporte de 150 toneladas de mineral de hierro a la distancia de 650 km, ha costado $2600. ¿Cuánto
costará el transporte de 225 toneladas de la misma mercancía a la distancia de 200 km?
a) 1200 b) 1301 c) 1999 d) 1300
Paso 1: Ordenar.
Toneladas Costo Distancia
Paso 2: Analizar.
Toneladas Costo
Costo Distancia
10. Un taller automotriz cuenta con 6 técnicos especializados que realizan 6 mantenimientos de distintos autos
en4horas.Sieldueñodeltallerdecidecontratarauntécnicoparaaumentarlacantidaddemantenimientos,
¿cuántos se podrían realizar en 8 horas?
Ejercicio 40, forma F001/ 2017 Sierra. Recuperado el 6 de julio del 2018 en http://www.evaluacion.gob.ec/evaluaciones/pruebas-liberadas/
a) 4 b) 8 c) 18 d) 14
Paso 1: Ordenar.
Técnicos Mantenimiento Horas
Paso 2: Analizar.
Técnicos Mantenimiento
Mantenimiento Horas
11. En una industria de producción de cosméticos, 10 operadoras producen 1 000 perfumes en 2 días de
4 horas de trabajo. Si se aumenta el número de operadoras en un 50 %, ¿cuántas horas deben trabajar
diariamente las operadoras para que la producción se triplique en 8 días?
Ejercicio 39, forma f001/ 2017 Costa. Recuperado el 6 de julio del 2018 en http://www.evaluacion.gob.ec/evaluaciones/pruebas-
liberadas/
a) 2 b) 12 c) 16 d) 98
Paso 1: Ordenar.
Operadoras Perfumes Días Horas
Paso 2: Analizar.
Operadoras Horas
Perfumes Horas
Días Horas

39
BLOQUEI
4. Tarea
1. Un buey atado a un árbol con una soga de 2 m de largo, demora 11 días en comer el pasto que está a su
alcance. Si la soga fuese el doble de larga, ¿Cuánto tardará en comer todo el pasto que está a su alcance?
a) 22 días b) 11 días c) 40 días d) 44 días e) N.R.
2. Para pintar una pared cuadrada de 4 m de lado, se necesita 3200 ml de pintura. ¿Cuánto se necesitará
para pintar una pared cuadrada de 5 m de lado?
a) 400 b) 4000 c) 5000 d) 2880 e) 6400
3. Cinco trabajadores construyen una muralla en 6 horas. ¿Cuántos trabajadores se necesitan para
construir 8 murallas en un solo día?
a) 12 b) 15 c) 20 d)10
4. Si tres personas arman un rompecabezas en 24 horas. ¿Cuántos rompecabezas armarán 36 personas
en 48 horas?
a) 20 b) 12 c) 24 d) 10

5. Si 10 obreros construyen una casa en seis meses ¿Cuántos meses demorarán 45 obreros en construir 6
casas del mismo tipo, trabajando la misma cantidad de horas diarias?
a) 9 b) 12 c) 7 d) 8
6. Un ómnibus recorre 84km en una hora. ¿Cuántos kilómetros recorrerá en 3 ¼ horas si mantiene su
velocidad constante?
a) 273 b) 270 c) 250 d) 253
7. Si 4 manzanas de una docena están dañadas. ¿Cuántas están buenas en 3 docenas?
a) 8 b) 6 c) 24 d) 12
8. Si un camionero realiza 5 viajes por hora para llenar un socavón del terreno. ¿Cuántos viajes realizará en
tres cuartos de hora?
a) 3 viajes b) 5 viajes c) 2 viajes d) casi 4 viajes

DOMINIO MATEMÁTICO GEOMETRÍA
41
BLOQUEI
1.7 Geometría
1.7.1 Clasiﬁcación de los ángulos
1. De acuerdo a sus medidas
Agudo Recto Obtuso Llano
Ángulo cuya medida
está entre 0º y 90º, sin
que sea estos valores
extremos. 0º < x <90º
Ángulo que mide
exactamente 90º. Ya
que el ángulo entre
AD y DC es recto,
los segmentos son
perpendiculares.
Ángulo cuya medida
está entre 90º y 180º,
sin que sea estos
valores extremos.
90º < x < 180º
Ángulo que mide 180º.
Si el ángulo entre 2
rectas es llano, todos
los puntos de dichas
rectas son colineales.
2. De acuerdo a la posición
Adyacentes Complementarios Suplementarios
Ángulo que tienen un lado y
un vértica común. En el gráﬁco
ADB Y BDC son adyacentes ya
que comparten el vértice D y el
lado BD.
Son dos ángulos adyacentes
no necesariamente iguales
que sumados dan 90º.
θ + β = 90º
Son dos ángulos adyacentes
no necesariamente iguales que
sumados dan 180º.
θ + β = 180º
Propiedades básicas de los ángulos
1. Ángulos opuestos por el vértice: Si escogemos uno de los cuatro ángulos que se forman al intersecar
dos rectas podremos observar que el ángulo adyacente a éste en cualquier sentido es su suplemento. Si
obviamos los suplementos, el siguiente ángulo será el opuesto por el vértice a nuestro ángulo base. Los
ángulos opuestos por el vértice son iguales.

DOMINIO MATEMÁTICOGEOMETRÍA
2. Postulado de Paralelismo: Dos rectas son paralelas si al cortarlas con una transversal, los ángulos internos
a un mismo lado de la transversal suman 180°.
NOTA: Las rectas del gráﬁco también serán paralelas si los ángulos internos del lado izquierdo suman 180°.
3. Ángulos congruentes entre dos rectas paralelas y una transversal: Entre 2 rectas paralelas y una
transversal se forman pares de ángulos iguales. De acuerdo a la ubicación de los ángulos respecto a las
paralelas y/o a la transversal, se tienen los siguientes ángulos:
Ángulos Alternos Internos: Ángulos internos respecto a las paralelas y alternados respecto a la
transversal. Nótese que si tomamos como base , su ángulo alterno interno es ; por lo tanto = .
De la misma forma se cumple que = .
Ángulos Alternos Externos: Ángulos externos respecto a las paralelas y alternados respecto a la
transversal. Nótese que si tomamos como base , su ángulo alterno externo es ; por lo tanto = .
De la misma forma se cumple que = .
Ángulos Correspondientes: Ángulos a un mismo lado de la transversal y alternados respecto a
las paralelas. Ai tomamos como base su correspondiente debe ubicarse a la derecha de la
transversal y en la parte interna de las paralelas; es decir . Por lo tanto se cumple que = . Se
veriﬁca también que : = ; = ; =
4. Teorema del serrucho: Al cruzar un conjunto de transversales diferentes por un par de paralelas, la
suma de los ángulos agudos en la región izquierda será igual a la suma de los ángulos agudos en la
región derecha.

43
BLOQUEI
1.7.2 Elementos y clasificación de triángulos.
TRIÁNGULOS
Es la figura geométrica que se forma al unir con segmentos tres puntos no colineales.
ELEMENTOS
Todo triángulo consta de los siguientes elementos:
Vértices: Los puntos no colineales que limitan la figura. En el gráfico: A, B y C.
Lados: Segmentos limitados por cada par de vértices. En el gráfico (AB), (AC) y (BC)
Ángulos Internos: Ángulos formados entre cada par de lados. En el gráfico A, B y C
Ángulos Externos: Ángulos formados entre un lado y la prolongación de otro. Al prolongar cada lado del
triángulo en ambas direcciones se forman 3 ángulos externos que son suplementarios con el respectivo
ángulo interno. En el gráfico α, β y γ.
Clasificación
1. De acuerdo a la longitud de sus lados
Equilátero Isósceles Escaleno
Tres lados iguales
AB = BC = AC
Cada uno de sus ángulos
internos mide 60°. Por lo tanto
todo triángulo equilátero es
tambien equiángulo.
A = B = C = 60°
Dos lados iguales
AB = AC
Los ángulos opuestos
a los lados iguales son
congruentes. En el gráfico
se cumplirá entonces:
C = B
Ningún lado igual
AB AC BC
Como consecuencia,
ninguno de sus ángulos
internos es igual a otro y el
lado mayor será el que se
oponga al ángulo mayor.
A B C
2. Por sus ángulos
Acutángulo Obtusángulo Rectángulo
Todos sus ángulos internos son
agudos.
α, β , γ agudos
Uno de sus ángulos internos
es obtuso; los dos restantes
son agudos.
es obtuso, α Y β agudos.
Uno de sus ángulos internos
es recto; lod dos restantes son
agudos.
ABC = 90º, α Y β agudos.

1. Teorema Fundamental: La suma de los ángulos internos de cualquier triángulo es igual a 180°
B C
A
B C = 180°A + +
1.7.3 Triándulo recatngulo: Teorema de pitágoras
Triángulo rectángulo
1. Teoría
Es aquel que posee un ángulo interno que es recto. Los lados de ese ángulo recto reciben la denominación
de catetos, mientras que el lado opuesto de dicho ángulo se denomina hipotenusa.
Adicionalmente, si se considera el teorema fundamental de los triángulos, los ángulos agudos del triángulo
rectángulo siempre serán complementarios.
ABC es rectángulo
A Y B son catetos, C es la hipotenusa.
Teorema de pitágoras.
Para cualquier triángulo rectángulo, la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de
los catetos.
c2
= a2
+ b2
Calcular
+ 30° = 90°
= 90° - 30°
= 60°
Calcular
+ 20º = 90º
= 90º - 20º
= 70º
Calcular
+ = 90º
2 = 90º
= 45º
Calcular
+ = 90º
= 90º -

45
BLOQUEI
Escriba el teorema de Pitágoras.
Calcular x
y2
= x2
+ z2
Calcular x
x2
= 32
+ 42
x2
= 9 + 16
x2
= 25
x =
x = 5
Calcular x
x2
= 52
+ 122
x2
= 25 + 144
x2
= 169
x =
x = 13
Calcular x
x2
= 12
+ 22
x2
= 1 + 4
x2
= 5
x =
4. Ejercicios para resolver en clase.
Encontrar el valor del ángulo x.
Encontrar cuanto mide el lado x.
Calcular la altura del triángulo Equilatero.

5. Tarea
Calcular el valor de x
Calcular el valor de x

47
BLOQUEI
1.7.4 Triángulos notables.
1. Teoría
Triángulo rectángulo (45º) Triángulo rectángulo (30º - 60º)
1. En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 5 cm, un cateto 4 cm. Hallar el otro cateto.
El valor de x = 3
2. En un rectángulo cuya base es 5 y su altura es 12. Calcular la diagonal del rectángulo.
La diagonal del rectángulo es la hipotenusa de los
dos triángulos formados.
El valor de la diagonal es 13
3. Determinar el valor de x
En el triángulo rectángulo
isósceles la hipotenusa se
obtiene Multiplicando el
cateto por .
x = a

4. Determinar el valor de a
En el triángulo rectángulo isósceles
el cateto se obtiene dividiendo la
hipotenusa para % .
c =
c = a
5. Hallar x e y
En el triángulo rectángulo (30 - 60) el cateto que
opone a 30º es " a ", la hipotenusa es el doble y el
otro cateto es " a " multiplicado por .
a = 4
x = 2a
y = a
x = 2 (4) = 8
y = 4
6. Hallar x e y
Aplicando el criterio anterior para el triángulo
rectángulo (30 - 60) tenemos:
a = 10 a =
y = a
x = 2a
y =
x = 2
x =
0
0
60

49
BLOQUEI
3. Calcular el valor de x directamente
• Calcular el valor de X directamente
• Calcular el valor de x e y Directamente
7
1. Pablo parte del origen y camina 8 Km al norte,
6 Km al este, 20 Km al sur y 11 Km al oeste. ¿A qué
distancia del origen se encuentra Pablo?
a) 24 b) 13 c) 12 d)5
2. Una escalera está situada a 3 m de la base
de un edificio formando un ángulo de 45° con la
horizontal. Si el otro extremo llega a una ventana,
determinar a qué altura esta la ventana.
a) 3/√2 b)6 c) 3 d)3√2
3. Un avión próximo a aterrizar se encuentra a una
altura de 1350 m. ¿A qué distancia del aeropuerto
está el avión si el piloto lo observa con un ángulo
de depresión de 30°?
a)1350√2m b)1350m c) 2700m d)30
4. Desde un punto a nivel del suelo y a una
distancia de 60 m del pie de un edificio, el ángulo
de elevación de la terraza es de 30°. Que altura
tiene el edificio.
a) 60√3 b) 60/√2 c) 60 d) 30√3

5. Tarea
1. Una persona parte del punto A y recorre 4 Km al
norte, 12 Km al este y 12 Km al norte hasta el punto
B. Calcular la distancia desde el punto A al punto
final B.
a)10 km b) 13km c) 20km d)15km
2. Un árbol de 5 m de altura proyecta una sombra
de 5√3 m m. Encontrar el ángulo de elevación del
sol.
a) 60° b)90° c)45° d)30°
3. Si la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide
5 cm y uno de sus catetos 3 cm, ¿Cuánto mide el
otro cateto?
a) 2 cm b) 4 cm c)5 cm d) 3 cm
4. En un triángulo rectángulo, la hipotenusa es igual
a 12 y uno de los catetos es igual a 5. ¿Cuál es la
longitud del otro cateto?
a) 5√3 b)√119 c)√139 d)13
5. En el cuadrado de la figura se inscriben cuatro
círculos de igual radio. Si el radio de cada uno de
ellos es 4cm, la diagonal del cuadrado es:
a) 16√2 b) √3 c) 6 d) 5
5. Hallar la medida de la diagonal del cuadrado.
A B
D C
11
a)11 b)11/√2 c)11√2 d)√11
6. Hallar la medida de cada lado del cuadrado
ABCD.
A
6
x
x
B
D
C
a) 6 b) 6√2 c) 6/√2 d) 3
7. Calcular la longitud de una escalera, sabiendo
que está apoyada en la pared a una distancia de
2m y alcanza una altura de 7m.
a)√41m b)√43m c) √53m d) 7,02 m
8. Un repartidor de pizza debe hacer una entrega
desde la pizzería ubicada en el punto X hasta el punto
Y para sortear el tráfico hace el recorrido como se
muestra en la gráfica, las unidades están en metros;
¿Si el repartidor se pudiera movilizar directo de X
hasta Y cuanto metros recorrería?
a) 8 b) 12 c) 13 d) 9
9. ABCD es un paralelogramo donde AC BD. Si la
medida de AC es 8√2 y BD mide 6√2, ¿Cuál es la
longitud de AB?
A B
E
D C
a) 14 b)5√2 c) 7√2 d)5

51
BLOQUEI
1.7.5 Área y perímetro de figuras planas
1. Teoría
El perímetro es la medida del contorno de una figura, este se mide en unidades lineales, tales como el
centímetro (cm), el metro (m), el kilómetro (km), etc.
El área es la medida de la superficie que abarca una figura. Para calcular el área de una figura hay que
determinar la cantidad de unidades de superficie que caben en su interior. Ejemplos de unidades de
superficie son el cm2
, el m2
y el km2
.

Forma. Elementos. Fórmula del
perímetro.
Fórmula del área.
Hexágono l : Lados del hexágono
ap: Apotema
P = 6l
A =
A = 3
A =
1. Determinar la medida del área y apotema de un hexágono regular cuyo lado mide 10 [m]. Como
conocemos el valor del lado del hexágono aplicamos la fórmula del área del hexágono en función del
lado l = 10.
A =
A =
A =
A = 6 . 25
A =
150 =
ap =
A = 150
ap = 5
2. Un trapecio cuyas bases miden 12 , 15 cm y de altura mide 6cm. Calcular el área.
A trapecio =
A trapecio =
A trapecio = 27 . 3
A trapecio = 81
1. De acuerdo al siguiente gráﬁco, el área del
triángulo ABC es:
a) 9 b) 12 c) 15 d) 18
2. En el cuadrado ABCD de la ﬁgura BC= 2 y los
puntos F, G y H son puntos medios de los lados
del cuadrado. ¿Cuál es el área de la región
sombreada?
a) 3 b) 1 c) 4 d) 5

53
BLOQUEI
4. Tarea
1. Si en la figura AC es perpendicular a BD y ambos
segmentos se bisecan mutuamente. ¿Cuál es el
área de ABCD?
a) 80u² b) 60u² c) 40u² d) 30u²
2. Dos veces el área de un cuadrado de lado L
es igual a cuatro veces el área de un triángulo de
altura L. ¿Cuál es la base del triángulo?
a) 2L b) L c)( ½)L d) 2
3. La mitad del lado de un cuadrado es x, luego su
área es:
a) x² b) 2x² c) 4x² d) x²/4
4. Si a y b son catetos de un triángulo rectángulo
donde su hipotenusa es 10 y su área es 20, ¿Cuál es
el valor de (a+b)²?
a) 100 b) 120 c) 140 d) 180
5. Laura elaboró una cometa que tiene la forma
de un hexágono regular, cuya medida del lado es
20 cm. ¿Cuántos centímetros cuadrados de papel
se necesitan para decorar la cometa?
a) 100√3 b) 200√3
c) 300√3 d)600√3
6. En el rectángulo ABCD la diagonal AC forma un
ángulo de 30° con el lado AD. Si AC= 10, ¿Cuál es
el área del rectángulo?
a) 25√2 b) 25√3 c) 48 d) 50
3. Si el perímetro del rectángulo ABCD es 34, ¿Cuál
es el perímetro del triángulo ABD?
a) 17 b) 21 c) 24 d) 30
4. El pentágono ABCDE de la figura está dividido en
un cuadrado de área 81 cm² y en un triángulo BCD
de área 36 cm². Entonces CR, que es perpendicular
a BD, mide:
a) 3 cm b) 4 cm c) 6 cm d) 8 cm
5. La figura representa la vista frontal y superior de
la tapa de un recipiente, cuya base es circular.
Si se sabe que el radio de la circunferencia de
la tapa mide el triple de la altura de la misma, y
el perímetro del rectángulo de la vista frontal de
la tapa mide 42 cm, ¿cuál es el perímetro de la
circunferencia de la tapa?
Ejercicio 37, forma 2/ 2017 Sierra. Recuperado el 6
de julio del 2018 en http://www.evaluacion.gob.
a) 9π b) c) 18π d)

DOMINIO MATEMÁTICOTRIGONOMETRÍA
1.8 Trigonometría
1.8.1 Relaciones trigonométricas (Seno, Coseno y Tangente).
1. Teoría
Las relaciones trigonométricas son aquellas relaciones por cociente entre los lados de un triángulo
rectángulo. Hay tres relaciones trigonométricas básicas que se pueden encontrar a partir de operaciones
entre los ángulos diferentes al de 90° en el triángulo rectángulo:
1.8.2 Valores de funciones trigonométricas para ángulos notables: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°,
180°, 270°, 360°.
1.8.3 Resolución de triángulos rectángulos.
Para resolver un triángulo rectángulo se puede utilizar tanto el teorema de Pitágoras y las funciones
trigonométricas, para que el triángulo se pueda calcular se necesita dos datos; el valor de un lado y un
ángulo o el valor de los lados.

DOMINIO MATEMÁTICO TRIGONOMETRÍA
55
BLOQUEI
1. El valor del seno, coseno y tangente del ángulo
θ es.
Paso 1. Para calcular el seno, coseno, tangente del
ángulo θ utilizamos la deﬁnición de cada una de
las relaciones trigonométricas.
2. El valor del lado a y el ángulo θ es.
Paso 1. calcular el ángulo θ sabiendo que
θ +α = 90°.
θ +30 = 90°
θ = 90°-30°
θ = 60°
Paso 2. Calcular el valor del lado “a” utilizando
relaciones trigonométricas.
Paso 3. Para calcular el valor del ángulo, se utiliza
los valores, las funciones trigonométricas para
ángulos notables se despejar el lado “a” para
calcular el resultado.
a
√3 4
2 a
8√3
3
3. El valor del lado c y el ángulo θ es.
Paso 1. Calcular el valor del lado “c” utilizando
teorema de Pitágoras.
Paso 2. Calcular el valor del ángulo θ utilizando
relaciones trigonométricas.
Paso 3. Para calcular el valor del ángulo, se utiliza
los valores, las funciones trigonométricas para
ángulos notables.

DOMINIO MATEMÁTICOTRIGONOMETRÍA
3. Un avión despega de un aeropuerto A con
un ángulo de elevación 30° hacia un punto B
encontrándose a una altura de 2500 m, además
el avión pasa por una ciudad que se encuentra
ubicada en la mitad del segmento AC, como se
muestra en la ﬁgura. La distancia de la ciudad
hasta el aeropuerto es.
a) 2500√3 b) 2000√3 c) 5000 d) 1250√3
4. En un experimento, se utiliza un dron el cual sube
verticalmente hasta alcanzar una altura 25 metros,
si una persona observa subir el dron con un ángulo
de elevación de 20°. ¿Cuál es la distancia entre el
dron y la persona?.
5. Un cuerpo que pesa 15 kg se encuentra situado
en un plano inclinado como se muestra en la
ﬁgura, la componente del peso en y es.
a) 150 cos (38°) b) 150 sen (38°)
c) 150 tan (38°) d)
150
(sen (38°)
1. El valor del seno, coseno y tangente del ángulo es.
2. El valor de los ángulos y el lado es.

DOMINIO MATEMÁTICO TRIGONOMETRÍA
57
BLOQUEI
4. Tarea
1. El valor de seno, coseno y tangente del ángulo es.
2. El valor de los ángulos y el lado es.
3. Una persona asciende en un globo en forma vertical hacia una altura de 1500 m, y puede observar
una ciudad con un ángulo de depresión de 35 grados. La distancia a la que se encuentra la ciudad
desde el globo es.
a)1500/(cos(35°) b) 1500 / tan(35°) c) 1500/cos(55°) d) 1500 sen (35°)
4. Una lampara proyecta una sombra hasta el
punto A como se muestra en la ﬁgura, si la distancia
que alcanza la sombra es de 20 cm. La altura de
la lampara es.
tan (20°)
a) 25 b) 0.2 tan (40°) (cm)
c) 0.2 tan (40°) (cm) d) 20 tan (40°) (cm)
(cm)
5. A un cuerpo se le aplica una fuerza de 20 N
como se muestra en la ﬁgura. La componente en
y de la fuerza es.
sen (50°)
a) 20 cos (50°) b) 20 sen (50°)
c) 20 tan (50°) d) 20

DOMINIO MATEMÁTICOBLOQUE II
CONTENIDO:
Progresión aritmética y geométrica
Probabilidad y estadística
Matrices
Factoreo y productos notables
Ecuaciones y sistema de ecuaciones
Inecuaciones
Programación lineal
Función lineal
Función cuadrática
Función exponencial y logarítmicas
Funciónes trigonométricas
Cónicas
BLOQUE 2
Matemático
Dominio

DOMINIO MATEMÁTICO PROGRESIONES ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS
59
BLOQUEII
1. Calcule el número de bloques necesarios para
construir una torre como la de la ﬁgura, pero que
tenga 50 pisos.
a) 197 b) 4950 c) 200 d) 4590
2. ¿Cuántos términos debe tener una progresión
aritmética cuya diferencia es 2? Sabiendo que el
primer término es -39 y que el último término es 21?.
a) 31 b) 30 c) 21 d) 41
3. El guardián de un pozo de una hacienda, ha
plantado a una distancia a partir de 8 m del pozo,
un total de 27 árboles, todos colocados cada 5
metros y en la dirección norte. El guardián puede
sacar agua del pozo cada vez, para el riego de un
solo árbol. ¿Cuántos metros tiene que andar para
regar el último árbol y regresar al pozo?
a) 170 m b) 276 m c) 380 m d) 172 m
2.1.1 Progresión aritmética
1. Teoría
Es una serie de números que tiene una secuencia constante, dicha secuencia puede ser la suma o la
resta.
1. u = a +( n - 1 ) d 2. S = (a + u)
Donde:
u : Último término.
a : Primer término.
n : Número de términos.
d : Diferencia.
S : Suma de todos los términos.
2. Ejercicios resueltos
Dada la siguiente progresión, calcular al 100vo
término y la suma de los 100 primeros términos.
a = 2
d = 2
n = 100
u = ?
S= ?
En este caso el término 100 es el ultimo término y
para calcularlo aplicamos la fórmula 1
u= a+(n-1) d
u= 2+(100-1) (2)
u= 2+ 99 (2)
u= 200
Paracalcularlasumadelostérminosreemplazamos
en la fórmula 2.
S=
S=
S= 50 (202)
S= 10100
2.1 Progresión aritmética y geométrica

DOMINIO MATEMÁTICOPROGRESIONES ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS
4. Tarea
1. Un estudiante trabaja de cartero para ayudarse
con sus estudios. Cada día es capaz de repartir
30 cartas más que el día anterior. En el vigésimo
primer día repartió 2.285 cartas: ¿Cuántas cartas
repartió el primer día?
a) 1600 b) 1785 c) 1685 d) 1885
2. He decidido ahorrar dinero durante el mes de
Diciembre, y tome $2 para empezar, y 20 ctvs
cada día. Y me pregunto cuánto dinero tendré al
ﬁnalizar el año.
a) $5 b) $6 c) $8 d) $10
3. La dosis de un medicamento es 100mg el primer
día y 5mg menos cada uno de los días siguientes.
El tratamiento dura 12 días. ¿Cuántos miligramos
tiene que tomar el enfermo durante todo el
tratamiento?
a) 870 b) 435 c) 1740 d) 580
4. Cristina debe pagar su préstamo en 8 cuotas
que aumentan USD 6 cada mes. Si la cuota inicial
es de USD 5, ¿cuánto pagará en total?
pruebas-liberadas/
a) 156 b) 184 c) 208 d) 416
2.1.2 Progresiones geométricas
1. Teoría
Es una serie de números que tiene una secuencia constante, donde dicha secuencia es la multiplicación
1. u = ar
n-1
2. S =
Donde:
u: Último término.
a: Primer término.
r: Razón.
n : Número de términos.
s: Suma de todos los términos.
a = 2
d = 2
n = 10
u = ?
S= ?
4. En la progresión aritmética 100, 96, 92,…. Calcule
el término que ocupe el lugar 18.
a) 30 b) 31 c) 32 d) 33
5. Tatiana debe pagar su préstamo en 11 cuotas
que aumentan USD 4 cada mes. Si la cuota inicial
es de USD 5, ¿cuánto pagará en total?
pruebas-liberadas/
a) 189 b) 253 c) 275 d) 324

DOMINIO MATEMÁTICO PROGRESIONES ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS
61
BLOQUEII
En este caso el término 100 es el ultimo término y para calcularlo aplicamos la fórmula 1
u = ar n-1
u = 2 (2)10-1
u = 2 (2) 9
u = 210
u = 1024
Para calcular la suma de los términos reemplazamos en la fórmula 2
S =
S =
S = 2046
1. En una progresión geométrica,a1=3 y a4=24.
¿Cuál es la razón?
a) 4 b) 6 c) 3 d) 2
2. Una pelota cae desde cierta altura y rebota
ascendiendo los ¾ de la altura anterior. Después
de dar en el suelo por tercera vez, alcanza 54cm.
¿Desde qué altura se dejó caer?
a) 96m b) 128m c) 56m d) 106m
3. El tercer término de una progresión geométrica
vale 80, y la razón es 4. Cuál es el quinto término.
a) 1300 b) 1200 c) 1380 d) 1280
4. Una bacteria se reproduce por bipartición (se
divide en dos) cada cuarto de hora. ¿Cuántas
bacterias habrá luego de una hora y media?
a) 12 b) 24 c) 32 d) 64
4. Tarea
1. Una máquina costó inicialmente $ 10 480. Al
cabo de unos años se vendió a la mitad de su
precio. Pasados unos años, volvió a venderse por
la mitad, y así sucesivamente. ¿Cuánto le costó la
máquina al quinto propietario?
a) $ 600 b) $ 655 c) $ 700 d) $ 755
2. En una progresión geométrica el primer término
es 10 y el último término es 2160, si la razón es 6,
calcular el número de términos.
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6
3. Mi prima Ángela ha vuelto encantada de sus
vacaciones, y ha compartido con sus 3 mejores
amigos las fotos en una red social. Cada uno de
ellos, a su vez, las ha compartido con otros 3, y así
sucesivamente. ¿Cuántas personas pueden
a) 230 b) 98 c) 100 d) 120
4. Una empresa “A” ofrece a un empleado ofrece
a un empleado un sueldo de $1000 y una subida de
$100 al año. Otra empresa “B” le ofrece el mismo
sueldo con una subida del 10% anual. Razona
cuál de las dos empresas es mejor comparando el
sueldo de aquí a 10 años.
a) A ofrece lo mismo que B
b) A es mejor que B
c) B es mejor que A
d) No se puede determinar

DOMINIO MATEMÁTICOPROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
2.2 Probabilidad y estadística
2.2.1 Probabilidad
1. Teoría
1.1. Deﬁnición de probabilidad
La probabilidad mide la mayor o menor posibilidad de que se dé un determinado resultado( Suceso o
Evento) cuando se realiza un experimento probabilístico.
Para poder entender de mejor manera deﬁniremos los siguientes términos.
Azar: Es una combinación de circunstancias o de causas imprevisibles, complejas, no lineales, sin plan,
previo y sin propósito, en otras palabras el azar es un caso fortuito, no programado.
Experimento probabilístico : Es una acción que se realiza para obtener un resultado por ejemplo lanzar
un dado, lanzar una moneda etc.
Evento: El evento es el resultado de el experimento probabilístico.
Espacio muestral: Es el conjunto de todos los posibles eventos, por ejemplo en un dado, El espacio
muestral seria 6 ya que existen 6 posibles resultados. Al lanzar un dado, el espacio muestral se conoce
también como los casos totales.
La probabilidad de un evento “A” se calcula con la siguiente formula:
Ejemplos:
Se lanza una moneda ¿ Cuál es la probabilidad de que el resultado sea cara?
Casos favorables: 1
Casos totales: 2
Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado el número obtenido sea:
a) El número 1
b) Número par
a) Casos favorables:
Casos totales: 6
b) Casos favorables: 3
Casos totales: 6
1.2. Eventos mutuamente excluyentes:
Son dos eventos cuya ocurrencia de uno excluye la ocurrencia del otro. Para calcular la probabilidad de
los eventos mutuamente excluyentes se utiliza la siguiente formula:

DOMINIO MATEMÁTICO PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
63
BLOQUEII
Ejemplo:
1. Calcular la probabilidad de que los números del
1 al 10 sean múltiplos de 3 ó 5
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
2. Calcular la probabilidad de que los números de
1 al 15 sean múltiplos de 3 ó 5
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15
En este caso podemos observar que existe un
número que es el múltiplo de 3 y 5 cuando esto
suceda utilizaremos la siguiente ecuación
1.3 Eventos independientes:
Son grupos de eventos cuya ocurrencia, no depende de la ocurrencia de los demás, es decir la
probabilidad de ocurrencia simultánea de los eventos será igual al producto de las probabilidades
individualidades.
Ejemplo:
María tiene una caja que contiene 10 bolas: 4 de ellas son rojas y el resto moradas. Determine la
probabilidad de sacar una bola roja y una morada, de manera consecutiva y sin devolución.
Como no se devuelve la bola quedaran en total solo 9
2. Ejercicios Resueltos:
1. En una sala de clase hay 20 mujeres y 12 hombres. Si se escoge uno de ellos al azar. ¿ Cual es la
posibilidad de que la persona escogida sea hombre?
a) b) c) d)

2. En un viaje organizado por Europa para 120
personas, 48 de los que van a saber hablar ingles,
36 saben hablar Francés y 12 hablan portugueses, Si
elegimos al azar un viajero ¿ Cual es la probabilidad
de que hable ingles o francés?
a) b) c) d)
Comopodemosobservarsoneventosmutuamente
excluyentes por lo tanto utilizaremos la siguiente
fórmula para resolver el problema
.
Respuesta correcta: D
3. Una caja contiene 4 canicas rojas, 3 canicas
verdes y 2 canicas azules. Una canica es eliminada
de la caja y no es reemplazada. Otra canica se
saca de la caja.¿ Cual es la probabilidad de que
la primera canica sea azul y la segunda canica
sea verde? Es una probabilidad simultanea por lo
tanto se aplica la siguiente ecuación.
a) b) c) d)
Respuesta correcta: B
1. En una clase hay 16 niños y 24 niñas. La mitad
de los niños y la mitad de las niñas tienen pelo
negro. ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno
seleccionado al azar sea niño y tenga el pelo
negro?
a) 1/5 b) 2/3 c)2/5 d) 3/5
2. Un paquete de barajas tiene 52 cartas, dividido
igualmente en: corazones rojos y negros, rombos
rojos y negros. Si un rombo rojo es seleccionado
aleatoriamente del paquete sin ser reemplazado.
¿Cuál es la probabilidad de que la segunda carta
del mismo paquete no sea corazón negro?
a) 13/51 b) 38/51 c) 38/52 d) 13/52
3. Enciertoparqueaderohay2autosdecolornegro,
4 de color rojo, 3 de color azul y 3 de color blanco.
No hay otros autos en el parqueadero. ¿Cuál es
la probabilidad de que un auto aleatoriamente
seleccionado no sea de color azul?
a) 3/5 b) 1/4 c) 1/6 d) 3/4
4. Se hace un sorteo entre 100 personas; eliminando
a los 4 primeros boletos elegidos y premiando al
quinto. ¿Cuál es la probabilidad de ganar bajo
esas condiciones?
a) 1/100 b) 4/100 c) 1/96 d) 5/96
Aplicar la fórmula de probabilidad
Casos favorables: 12
Casos Totales = hombres + mujeres = 12 + 20 = 32
Respuesta correcta: C

65
BLOQUEII
5. La tabla muestra las calificaciones obtenidas
en una prueba, y el coeficiente intelectual de los
postulantes para ocupar el cargo de gerente en
una institución bancaria. Si únicamente aquellas
personas con una calificación superior a 42 y un
coeficiente intelectual mayor a 95 pasarán a la
etapa de entrevistas, ¿cuál es la probabilidad de
que este hecho suceda?. Considere que los valores
internos de la tabla corresponden al número de
postulantes.
Ejercicio 23, forma 2 / 2017 Sierra. Recuperado el 6 de julio
pruebas-liberadas/
CALIFICACIÓN
COEFICIENTE INTELECTUAL
76a80 81a85 86a90 91a95 96a100 100a105
51 a 58 2 5 1 1
43 a 50 3 2 2
35 a 42 1 3 4 1 1
27 a 34 2 3 3 1
19 a 26 3 4 2
11 a 18 3 3
a) b) c) d)
6. Con base en los datos de la tabla, calcule
la probabilidad de que una persona con la
hidratación adecuada pueda completar una
carrera de 15 km.
del 2018 en htt p://www.evaluacion.gob.ec/evaluaciones/
pruebas-liberadas
Número de personas que completan la carrera.
Situación Hidratación
adecuada
Hidratación
inadecuada
Total
Practica
Deportes
50 10 60
No
Practica
Deportes
20 90 110
Total 70 100 170
a) b) c) d)
7. Todoslosestudiantesenuncursodecomputación
son jóvenes o adultos. Hay el doble de hombres
que mujeres y hay el triple de mujeres adultas que
mujeres jóvenes. Si un estudiante es seleccionado
aleatoriamente, ¿Cuál es la probabilidad de que
sea una mujer joven?
a) 1/6 b) 1/3 c) 2/3 d) 1/12
8. Una bolsa contiene 25 trocitos de papel, en cada
trocito está escrito un diferente entero del 1 al 25.
Luis vendado los ojos saca un trocito de papel. El
gana si el número en el trocito de papel que sacó
es un múltiplo de 3 o 5. ¿Cuál es la probabilidad de
que Luis gane?
a) 1/25 b) 12/25 c) 11/25 d) 13/25
9. En la tabla se observan las prendas que tiene
Nancy en su clóset.
pruebas-liberadas/
Cantidad Prenda Color
3 Blusas Rojo
5 Blusas Azul
2 Pantalones Negro
4 Pantalones Plomo
1 Falda Rosado
6 Chaquetas Negro
Si se escoge una prenda al azar, ¿cuál es la
probabilidad de que Nancy elija la falda de color
rosado?
a) b) c) d)

4. Tarea
1. Las caras de un dado están numeradas con
enteros del 1 al 6 tal que las caras opuestas suman
7, así el 1 es opuesto al 6, el 2 es opuesto al 5 y
el 3 es opuesto al 4. Si el dado es lanzado sobre
una superficie plana tal que el 4 se muestra sobre
la cara superior, ¿Cuál es la probabilidad de que el
6 esté en la parte inferior del dado?
a) 1 b) 2 c) 0 d) 4
2. Dos autos se encuentran en una intersección en
la que pueden avanzar, girar a la derecha o girar
a la izquierda. ¿Cuál es !a probabilidad de que por
lo menos uno gire a la derecha?
a) 1/3 b) 2/3 c) l/6 d) 5/6
3.Unajarracontienevariostiposdegalletas.Cuando
una galleta es seleccionada aleatoriamente de la
jarra, la probabilidad de que sea una galleta de
chocolate es 1/5. Si la jarra contiene 4 galletas de
chocolate, ¿Cuál es el número total de galletas en
la jarra?
a) 20 b) 18 c) 14 d) 9
4. En un círculo de 20 cm de radio se encuentra
un círculo menor de 20 cm de diámetro. Si se
marca un punto al azar sobre el círculo mayor, la
probabilidad de que dicho punto caiga también
sobre el círculo menor es:
a) 1/4 b) 1/5 c) 2 /7 d) 2 π/3
5. La tabla muestra las calificaciones obtenidas
en una prueba, y el coeficiente intelectual de los
postulantes para ocupar el cargo de gerente en
una institución bancaria. Si únicamente aquellas
personas con una calificación superior a 50 y un
coeficiente intelectual mayor a 100 pasarán a la
etapa de entrevistas, ¿cuál es la probabilidad de
que este hecho suceda?. Considere que los valores
internos de la tabla corresponden al número de
postulantes.
pruebas-liberadas
CALIFICACIÓN
COEFICIENTE INTELECTUAL
76a80 81a85 86a90 91a95 96a100 100a105
51 a 58 2 5 1 1
43 a 50 3 2 2
35 a 42 1 3 4 1 1
27 a 34 2 3 3 1
19 a 26 3 4 2
11 a 18 3 3
a) b) c) d)
6. Se envían tres oficios a tres personas diferentes.
Sin embargo, una secretaria distraída revuelve los
oficios y los envía, considerándose así que fueron
remitidos al azar. La probabilidad de que ninguna
persona reciba el sobre correcto es:
a) 1/2 b) 1/3 c) 1 d) 0
2.2.2 Desviación estándar y varianza (Medidas de dispersión)
1. Teoría
1.1 Introducción:
La Estadística es una disciplina que proporciona principios y herramientas para emitir juicios sobre
colectivos basados en datos obtenidos para propósitos específicos. Es decir, brinda el soporte para
saber qué datos obtener, cuándo y cómo obtenerlos. Una vez obtenidos proporciona métodos y
procedimientos para organizarlos con diferentes propósitos.
La correspondencia entre los análisis aplicados y datos recabados permite construir juicios concluyentes
sobre el colectivo en estudio.
Los datos que precisamos deben ser generados, de alguna forma, la cual siempre está asociada a la
definición de variables, que constituyen los conceptos de referencia más importante en los inicios de
una investigación.

67
BLOQUEII
1.2 Definición:
"Las medidas de dispersión son expresiones
matemáticas que nos permiten medir cuán
alejado está un grupo de datos con respecto a
la media aritmética (promedio)".
1.3. Clasificación:
Las medidas de dispersión más importantes son: la varianza y la desviación estándar.
1.3.1. Varianza ( ²)
La varianza es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a la media de una
distribución estadística. Cuando los datos son únicos se lo conoce como un ejercicio de datos no
agrupados, por otro lado, si los datos se repiten se lo conoce como un ejercicio de datos agrupados.
A) Fórmula para Datos NO Agrupados ( ²)
Dónde:
xi: Cada uno de los datos del ejercicio x1,x2,x3,etc…
: Media aritmética o promedio de todos los datos.
N: Número total de datos del ejercicio.
B) Fórmula para Datos Agrupados ( ²)
Dónde:
fi: Frecuencia (# de veces que se repite cada
dato).
1.3.2. Desviación Estándar
Esta medida nos permite determinar el promedio aritmético de fluctuación de los datos respecto a su
punto central o media. La desviación estándar nos da como resultado un valor numérico que representa
el promedio de diferencia que hay entre los datos y la media. Cuando los datos son únicos se lo conoce
como un ejercicio de datos no agrupados, por otro lado, si los datos se repiten se lo conoce como un
ejercicio de datos agrupados.
Para calcular la desviación estándar basta con hallar la raíz cuadrada de la varianza, por lo tanto su
ecuación sería:
A) Fórmula para Datos NO Agrupados ( )
Dónde:
xi: Cada uno de los datos del ejercicio. x1,x2,x3,etc…
x: Media aritmética o promedio de todos los datos.
B) Fórmula para Datos Agrupados ( )
Dónde:
fi: Frecuencia (# de veces que se repite cada
dato).

1.4 ¿Qué representa la varianza y desviación estándar?
El gráﬁco anterior representa visualmente cómo afecta el cambio de varianza. A medida que la varianza
o desviación estándar incrementa la dispersión entre los datos también lo hará.
De la misma manera estas medidas nos permiten comparar mediciones entre dos grupos diferentes de
datos. En el gráﬁco anterior podemos notar como la curva B tiene sus datos más dispersos por lo cual su
varianza será mayor. Por otro lado la curva A tiene sus datos conglomerados en un mismo sector por lo
cual su dispersión es menor al igual que su varianza y desviación estándar.
2 Ejercicios resueltos
1. Un pediatra obtuvo la siguiente tabla sobre los meses de edad de 50 niños de su consulta en el momento
de andar por primera vez:
Calcular la varianza.
a) b)6,3 c)2,04 d)

69
BLOQUEII
Paso 1: Identificar la
variable a calcular y su
fórmula de resolución.
Debido a que se debe
calcular la varianza,
sabemos que la
fórmula es:
sumatoria de:
fi (xi - x )2.
En la última fila del
ejercicio tenemos el
valor de la sumatoria
de
fi (xi - x)
2
=102.
Paso 3: Identificar el
número de elementos
N.
Tenemos que el
N = 50, que equivale
a la sumatoria de las
frecuencias.
Paso 4: Reemplazar
los elementos en la
fórmula.
Por lo cual la varianza
será igual a lo
cual equivale a 2.04,
es decir la
Respuesta C.
2. Se han tabulado las notas de 4 grupos de un colegio en 5 materias distintas. Con base en la tabla,
¿cuál de los grupos tiene menos dispersas sus calificaciones?
Ejercicio 32, forma F001/ 2017 Costa. Recuperado el 6 de julio del 2018 en http://www.evaluacion.gob.ec/evaluaciones/pruebas-
liberadas/
Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3 Grupo 4
Materia 1 5,00 10,00 10,00 8,00
Materia 2 6,00 8,00 9,00 9,00
Materia 3 5,00 10,00 10,00 9,00
Materia 4 6,00 4,00 8,00 9,00
Materia 5 5,00 5,00 9,00 8,00
Promedio 5,40 7,40 9,20 8,80
Desviación estándar 0,49 2,50 0,75 0,40
a) Grupo 1 b) Grupo 2 c) Grupo 3 d) Grupo 4
Paso 1: Identificar el tipo de dispersión a buscar
(sea mayor o menor).
En este ejemplo se intenta encontrar la MENOR
dispersión.
Paso 2: Identificar el valor que corresponda a la
magnitud que deseamos buscar.
Debido a que deseamos encontrar la MENOR
dispersión, debemos encontrar la MENOR
desviación estándar de entre los datos. Ya que:
2,50 > 0,75 > 0,49 > 0,40 notamos que el Grupo
4 tiene la menor desviación estándar, por lo
tanto, será quien tiene menos dispersas sus
calificaciones.
3. Ejercicios para resolver en clase.
1. El resultado de lanzar dos dados 120 veces viene dado por la tabla:
Calcular la desviación estándar.
a) √7 b) 6 c) 7 d) √6

sumatoria de fi
(xi
- x )2
.
número de elementos N.
Paso 4: Reemplazar
los elementos en la
fórmula.
2. En la siguiente tabla se indica las caliﬁcaciones obtenidas por un estudiante universitario obtenidas en
diferentes materias.
Indicar qué tan disperso están las caliﬁcaciones del estudiante (Hallar desviación estándar).
a) 6 b) 4 c) √6 d) 2
sumatoria de fi
(xi
- x )2
.
N.
Paso 4: Reemplazar
los elementos en la
fórmula.
3. Los miembros de una cooperativa de viviendas tienen las siguientes edades:
Hallar la desviación estándar de las edades de los miembros de la cooperativa.
a) 157,5 b) 12,6 c) 32,5 d) 43,4

71
BLOQUEII
4. En la tabla se observa las medidas de temperatura en grados centígrados registradas en la ciudad de
Quito durante 5 días.
¿Cuál es el día con mayor dispersión de medidas?
a)Lunes b)Martes c)Miércoles d)Jueves
5. Se han tabulado las notas de 4 grupos de un colegio en 5 materias distintas. Con base en la tabla, ¿qué
grupo tiene menos dispersas sus caliﬁcaciones?
Ejercicio 25, forma 2/ 2017 Sierra. Recuperado el 6 de julio del 2018 en http://www.evaluacion.gob.ec/evaluaciones/pruebas-
liberadas/
Materia 1 8,20 10,00 6,50 9,00
Materia 2 8,00 8,00 6,20 10,00
Materia 3 7,80 10,00 6,50 9,00
Materia 4 8,00 6,00 5,40 10,00
Materia 5 8,10 4,00 6,00 10,00
Promedio 8,02 7,60 6,12 9,60
Desviación Estándar 0,13 2,33 0,41 0,49
Paso 2: Identiﬁcar el valor que corresponda a
la magnitud que deseamos buscar.
4. Tarea
1. En la siguiente tabla se tiene los valores de las estaturas de los jugadores de baloncesto. ¿Cuál sería su
desviación estándar para las estaturas de la media del grupo?

a)5√6 b)√6 c)5 d)√5
sumatoria de fi
(xi
- x )2
.
Paso 4: Reemplazar
los elementos en la
fórmula.
2. Los precios de una computadora del mismo pueden variar en diferentes locales comerciales, a
continuación se indica los precios de una computadora.
Hallar la desviación estándar
a)200 b)20√2 c)10 d) 10√2
sumatoria de fi
(xi
- x )2
.
Paso 4: Reemplazar
los elementos en la
fórmula.
3. Determinar la desviación estándar de las estaturas de los 100 estudiantes hombres de una universidad
(véase la tabla)

73
BLOQUEII
sumatoria de fi
(xi
- x )2
.
Paso 4: Reemplazar
los elementos en la
fórmula.
a)8,93pulg b) 4,45pulg c) 6,75pulg d)2,92pulg
4. En la siguiente tabla se muestran el número de horas extras por semana de una persona en cierta
empresa.
Indicar la semana menos irregular que tuvo que trabajar el empleado.
a) Semana 4 b) Semana 1 c) Semana 3 d) Semana 2
sumatoria de fi
(xi
- x )2
.
Paso 4: Reemplazar
los elementos en la
fórmula.
5. Se han tabulado las notas de 4 grupos de un colegio en 5 materias distintas. Con base en la tabla, ¿qué
grupo tiene menos dispersas sus caliﬁcaciones?
Ejercicio 25, forma 4/ 2017 Sierra. Recuperado el 20 de agosto del 2018 en http://www.evaluacion.gob.ec/evaluaciones/pruebas-
liberadas/
Materia 1 7,00 10,00 4,00 9,00
Materia 2 8,00 8,00 6,00 10,00
Materia 3 8,00 10,00 6,50 9,80
Materia 4 8,50 6,00 5,80 10,00
Materia 5 7,00 4,00 6,00 10,00
Promedio 7,70 7,60 5,66 9,76
Desviación Estándar 0,60 2,33 0,86 0,39

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