Exponentes y radicales propiedades

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DOMINIO MATEMÁTICO Y APTITUD ABSTRACTA POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN
7. POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN
1. Teoría
1.1 Potenciación
La potenciación es una multiplicación de varios factores iguales, al igual que la multiplicación es una
suma de varios sumandos iguales, por lo que la potenciación se considera una multiplicación abreviada.
En la nomenclatura de la potenciación se diferencian dos partes, la base y el exponente, que se escribe en
forma de superíndice. El exponente determina la cantidad de veces que la base se multiplica por sí misma.
Normalmente, en las potencias con base 10, la cantidad que represente el exponente, será la
cantidad de ceros en el resultado. El resto de la bases, para sacar el resultado el número se multiplica
por sí mismo cuantas veces indique el exponente.
1.2 Propiedades de la Potencia
1. Potencia de exponente 0.- Toda potencia de exponente 0 y base distinta de 0 es igual a 1.
2. Potencia de exponente 1.- Toda potencia de exponente 1 es igual a la base.
3. Producto de potencias de igual base.- El producto de dos o más potencias de igual base es igual
a la misma base sumando los exponentes.
4. División de potencias de igual base.- La división de dos potencias de igual base es igual a la misma
base con la resta de los exponentes.
5. Potencia de un producto.- La potencia de un producto de base (a•b) y de exponente “n” es igual
a la potencia “a” a la “n” por “b” a la “n”. Cada base se multiplica por el exponente.
6. Potencia de una división.- En la potencia de una división de base “a/b” y exponente “n” se procede
a elevar cada uno de los componentes de la base a “n”.
7. Potencia de una potencia.- La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base
elevada a la multiplicación de ambos exponentes. Se coloca la misma base y se multiplican los
exponentes. Así se obtiene esta potencia.
8. Potencia de base 10.- Toda potencia de base 10 y exponente natural es igual a la unidad seguida
de la cantidad de ceros que indica el exponente.

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9. Potencia de exponente fraccionario.- Es una potencia que tiene su exponente en forma de
fracción, y en la que se cumple que:
10. Potencia de exponente negativo.- Una potencia que tenga exponente negativo se cambia de
lugar y de este modo su exponente automáticamente cambiara a ser positivo.
1.3 Radicación
La radicación junto con la logaritmación son dos operaciones inversas de la potencia. La raíz enésima
de un número se define de la siguiente manera:
Definición de radicación.- Dado un número real a y un número entero positivo n, se llama raíz enésima
de a otro número real b tal que b elevado a n es igual a.
La radicación al igual que la potencia cumple con determinadas propiedades las cuales explicare a
continuación.
1.4 Propiedades de la Radicación
1. Distributiva de la Radicación con respecto a la multiplicación: La raíz enésima positiva de un producto
es el producto de las raíces enésimas positiva de los factores, esto se cumple siempre que los factores
sean positivos. Ya que si se diera el caso de una raíz enésima de índice par y radicando negativo no
está definida en el conjunto de los números reales. En el caso de un índice impar se puede distribuir
la raíz sin mayores inconvenientes.
2. Distributiva de la radicación con respecto a la multiplicación.- Distributiva de la Radicación con
respeto a la división: La raíz enésima positiva de un cociente, es el cociente de las raíces enésimas
positivas del dividendo y del divisor siempre que sean positivas (para este caso se cumple lo explicado
anteriormente con la multiplicación).
3. Distributiva de la radicación con respeto a la división de números reales.- Potencia de una raíz
enésima: La potencia enésima de una raíz enésima positiva es la raíz enésima positiva de la potencia
del radicando.
4. Propiedad invariante.- Raíz enésima de una raíz enésima: la raíz enésima positiva de la raíz enésima
de a, es la raíz positiva de índice igual al producto de los índices y radicando igual al número a:

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1.5 Racionalización de Denominadores
Se llama irracional al número que no puede expresarse con números enteros ni fraccionarios. Son
números que su expresión decimal tiene infinitas cifras pero sin formar períodos.
• Podemos decir que 0,5 es lo mismo que 1/2. Por lo que estos números son racionales y podemos
escribirlos como enteros o fraccionarios.
Existen números que no podemos expresarlos de este modo, por ejemplo , , etc a estos números
los llamamos irracionales porque si queremos escribir el valor de los mismos nunca podremos acabar de
escribir decimales. No hay ningún número que multiplicado por sí mismo te dé 2, ni 3 ni 11, ni 13,
La raíz cuadrada de estos números nunca se acabará de obtener. Por lo que es conveniente que
las fracciones cuyo denominador sea irracional lo convirtamos en racional. En otras palabras, al
proceso de obtener fracciones que no tengan raíces en el denominador llamamos racionalización
de radicales de los denominadores:
Ejemplo:
El denominador es un número irracional, por mucho que intentes calcular su valor verás que nunca
acabas de hacer operaciones.
Sabemos que si multiplicamos o dividimos al numerador y al denominador de una fracción por
un mismo número, su valor sigue siendo el mismo. Para hacer racional el denominador lo más
simple es que le multipliquemos por sí mismo:
× = = 7
Pero para que no varíe el valor de la fracción hemos de multiplicarle también al numerador por .
Podemosdecirque: sonigualesperonotienecomodenominadorunnúmeroirracional.
Pon a prueba tus
conocimientos.