2. Números Racionales
Para decir, ¿Qué son números racionales? Podemos empezar por decir que, un número racional es una cifra o valor
que puede ser referido como el cociente de dos números enteros o más precisamente, un número entero y un
número natural positivo. Es decir que es un número racional, es un número que se escribe mediante una fracción.
Los números racionales son números fraccionarios, sin embargo los números enteros también pueden ser
expresados como fracción, por lo tanto también pueden ser tomados como números racionales con el simple hecho
de dar un cociente entre el número entero y el número 1 como denominador.
PROPIEDADES:
Propiedad interna.- según la cual al sumar dos números racionales, el resultado siempre será otro número racional,
aunque este resultado puede ser reducido a su mínima expresión si el caso lo
necesitara.
ab+cd=ef
Propiedad asociativa.- se dice que si se agrupa los diferentes sumandos racionales, el resultado no cambia y seguirá
siendo un número racional. Veamos:
(ab+cd)−ef=ab+(cd−ef)
Propiedad conmutativa.- donde en la operación, si el orden de los sumando varía, el resultado no cambia, de esta
manera:
ab+cd=cd+ab
Elemento neutro.- el elemento neutro, es una cifra nula la cual si es sumada a cualquier número racional, la
respuesta será el mismo número racional.
ab+0=ab
Inverso aditivo o elemento opuesto.- es la propiedad de números racionales según la cual, existe un elemento
negativo que anula la existencia del otro. Es decir que al sumarlos, se obtiene como resultado el cero.
ab−ab=0
Por otro lado, existen también las propiedades de los números racionales por parte de la multiplicación y la división,
y estas son:
Propiedad interna.- en razón de que al multiplicar números racionales, el resultado también es un número racional.
ab×cd=ef
3. Esta además aplica con la división
ab÷cd=ef
Propiedad asociativa.- donde al agrupar diferentes factores la forma de la agrupación, no altera el producto.
(ab×cd)×ef=ab×(cd×ef)
Propiedad conmutativa.- aquí se aplica la famosa frase, el orden de los factores no altera el producto, entre los
números racionales también funciona.
ab×cd=cd×ab
Propiedad distributiva.- al combinar sumas y multiplicaciones, el resultado es igual a la suma de los factores
multiplicado por cada uno de los sumandos, veamos el ejemplo:
ab×(cd+ef)=ab×cd+ab×ef
Elemento neutro.- en la multiplicación y la división de números racionales, existe un elemento neutro que es el
número uno, cuyo producto o cociente con otro número racional, dará como resultado el mismo número.
ab×1=ab
ab÷1=ab
Números
Reales
Los números reales son los números que se
puede escribir con anotación decimal, incluyendo
aquellos que necesitan una expansión decimal
infinita. El conjunto de los números reales
contiene todos los números enteros, positivos y
negativos; todas las fracciones; y todos los
números irracionales, aquellos cuyos desarrollos
en decimales nunca se repiten.
PROPIEDADES
4. Propiedades de la potenciación y la
radicación
PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN
Multiplicación de potencias de igual base
El producto de dos o más potencias de igual a base «a» es igual a la potencia de base a y exponente igual a la suma de los
exponentes respectivos.
ejemplos:
División de Potencias de Igual Base
La división de dos potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y exponente igual a la resta de los exponentes
respectivos (la misma base y se restan los exponentes.
Potencia de una potencia
La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a elevada a la multiplicación de ambos exponentes -
Potencia de base 10
En las potencias con base 10, el resultado será la unidad seguida de tantos ceros como indica la cifra del exponente.
Potencia de un producto
La potencia de un producto es igual a cada uno de los factores del producto elevados al exponente de dicha potencia. Es
decir, una potencia de base (a.b) y de exponente "n", es igual al factor "a" elevado a "n" por el factor "b" elevado a "n"
Propiedad distributiva
La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división:
pero no lo es con respecto a la suma ni a la resta.
5. PROPIEDADES DE LA RADICACION
Raíz de un producto
La raíz de un producto es igual al producto de las raíces de los factores:
Ejemplo = = =
Raíz de un cociente
La raíz de una fracción es igual al cociente de la raíz del numerador entre la raíz del denominador:
Raíz de una raíz
Para calcular la raíz de una raíz se multiplican los índices de las raíces y se conserva el radicando:
Los números irracionales
Los números irracionales tienen como definición que son números que poseen infinitas cifras decimales no periódicas, que
por lo tanto no pueden ser expresados como fracciones.
Estos números pueden haber sido descubiertos al tratar de resolver la longitud de un cuadrado según el Teorema de
Pitágoras, siendo el resultado el número √2, o raíz cuadrada de dos, el ejemplo de números irracionales más claro e
inmediato, cuya respuesta a su vez posee infinitas cifras decimales que al no poder ser fraccionado, fue llamado
irracional, en el sentido de no poder escribirlo como una ración o varias raciones o fracciones.
Para distinguir los números irracionales de los racionales, debemos tomar en cuenta que los números racionales si se
pueden escribir de manera fraccionada o racional, por ejemplo: 18/5 que es igual a 3,6 por lo tanto es un número
racional a diferencia de la raíz cuadrada de dos en cuyo resultado se obtienen infinito número de cifras decimales, y su
fraccionamiento resulta imposible.
Podrías intentar encontrar la respuesta en una calculadora, y según el número de decimales con la cual la tengas
programada, obtendrás algunos resultados: 1.4142135 esta es la respuesta de √2 con siete decimales, pero la cifra se
irá alargando pues tiene infinitos decimales. De esta manera podemos definir a los números irracionales como un
decimal infinito no periódico, es decir que cualquier representación de un número irracional, solo es una
aproximación en números racionales.
6. Racionalización de denominadores¿Qué es?
"Racionalizar el denominador" es cuando mueves una raíz (por ejemplo una raíz cuadrada o cúbica) de la parte de abajo de
una fracción a la de arriba.
¿Por qué se llama "racionalizar el denominador"?
La parte de abajo de una fracción se llama denominador, y muchas raíces son irracionales, así que (por ejemplo) esto: 1/ √2
tiene "denominador irracional" (√2 es irracional).
¿Cómo se hace?
1. Multiplica arriba y abajo por una raíz
A veces basta con multiplicar arriba y abajo por una raíz:
Ejemplo: 1/ √2 tiene denominador irracional. Vamos a arreglarlo. Multiplica arriba y abajo por la raíz cuadrada de 2, porque:
√2 × √2 = 2:
Ahora el denominador es un número racional (=2). ¡Hecho!
Nota: no pasa nada si tienes un número irracional arriba (en el numerador) de una fracción.
2. Multiplica arriba y abajo por el conjugado
Hay otra manera especial de mover una raíz cuadrada de abajo a arriba en una fracción... multiplicas arriba y abajo por
el conjugado del denominador.
Expresión de ejemplo Su conjugado
x2 - 3 x2 + 3
a + b3 a - b3
Aquí tienes cómo se hace:
Ejemplo: aquí tienes una fracción con "denominador irracional":
Repuesta: Multiplica arriba y abajo por el conjugado (esto no cambia el valor de la fracción), así:
