bueno

1. Departamento de Ciencias
MATEMÁTICA BÁSICA
PARA INGENIERÍA
SESIÓN 13: Razón de cambio promedio

2. INTRODUCCIÓN
Situación problemática:
• Un fabricante descubre que el costo (en soles) de
producir “x” artículos está dado por:
• Determine el incremento en el costo cuando el
número de unidades se incrementa de 50 a 60.
• Calcule el costo promedio por el incremento de la
producción de 40 a 70 unidades.
( ) 3 2
0.001 0.3 40 1000.
C x x x x
= − + +

3. SABERES PREVIOS
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4. LOGRO DE SESIÓN
Al finalizar la sesión, el estudiante
resuelve ejercicios y/o problemas
relacionados a los incrementos y
razones de cambio promedio de
manera correcta, demostrando
dominio del tema y habilidad en la
resolución.

5. Contenidos
Incremento
Razón de cambio promedio

6. Razón de cambio promedio
x
y
𝒚 = 𝒇(𝒙)
∆𝒙
∆𝒚
𝒇(𝒙𝟎)
𝒇(𝒙𝟏)
𝒙𝟎 𝒙𝟏
𝑷
𝑸
Incremento: ∆𝑥 = 𝑥1 − 𝑥0
De acuerdo a la gráfica:
Incremento: ∆𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥1) − 𝑓(𝑥0)
Se denomina Incremento si: 𝑥1 > 𝑥0 ,
es decir cuando: ∆𝑥 > 0
En caso: 𝑥1 < 𝑥0, entonces: ∆𝑥 < 0,
se denominará Decremento

7. Razón de cambio promedio
x
y
𝒚 = 𝒇(𝒙)
∆𝒙
∆𝒚
𝒇(𝒙𝟎)
𝒇(𝒙𝟏)
𝒙𝟎 𝒙𝟏
𝑷
𝑸
La función lineal:
𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏
cambia a una razón constante “ 𝑚 ”
respecto a la variable independiente.
Es decir, la razón de cambio de 𝑓(𝑥)
está dada por la pendiente o inclinación
de su representación gráfica que es la
recta:
𝑓(𝑥) = 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏
Para el caso de una función lineal:
𝑚 =
𝑓(𝑥0 + Δ𝑥) − 𝑓(𝑥0)
(𝑥0 + Δ𝑥) − (𝑥0)
=
Δ𝑦
Δ𝑥
Razón de Cambio Promedio : RCP
Entonces:
𝒙𝟏 = 𝒙𝟎 + ∆𝒙

8. Razón de cambio promedio
Para el caso de una función no lineal:
RCP =
𝑓(𝑥0+Δ𝑥)−𝑓(𝑥0)
(𝑥0+Δ𝑥)−(𝑥0)
=
Δ𝑦
Δ𝑥
Razón de Cambio Promedio : RCP
Entonces:
La función no lineal: 𝑓(𝑥)
la razón de cambio no es constante, sino
varía con respecto de la variable
independiente 𝑥.
Particularmente, cuando 𝑥 = 𝑐 la razón
de cambio está dada por la inclinación
de la representación gráfica de:
𝑓(𝑥) x
y
𝒚 = 𝒇(𝒙)
∆𝒙
∆𝒚
𝒇(𝒙𝟎)
𝒇(𝒙𝟏)
𝒙𝟎 𝒙𝟏
𝑷
𝑸
𝒙𝟏 = 𝒙𝟎 + ∆𝒙

9. Razón de cambio promedio
Dada la siguiente representación gráfica. Determine la razón de cambio
promedio (RCP) en el intervalo del 2 al día 5. Interprete el resultado.
EJEMPLO 1:
SOLUCIÓN:
La Razón de Cambio Promedio está dada por:
67
,
1
3
5
2
5
3
8
)
(
)
(

=
−
−
=

−

+
=


=
x
c
f
x
c
f
x
y
RCP
Por lo tanto:
Por cada día transcurrido se produce en promedio
1,67 docenas de pantalones.

10. Razón de cambio promedio
EJEMPLO 2:
SOLUCIÓN:
Cuando el precio de venta de un libro es de 100 soles se venden al mes 50
libros. Al aumentar el precio a 110 soles se venden al mes 20 libros. ¿Cuál es la
razón de cambio promedio de las ventas con respecto al precio? Interprete.
✓ Incremento del precio 𝑥: ∆𝑥 = 110 − 100
✓ Incremento de ventas 𝑦: ∆𝑦 = 20 − 50
✓ Razón de cambio promedio de las ventas mensuales con respecto al
precio es:
RCP =
Δ𝑦
Δ𝑥
=
−30
10
= −3
Por lo tanto:
Por cada sol que se incrementó el precio, se vendieron en promedio
unos 3 libros menos.
= 10
= −30

11. Razón de cambio promedio
EJEMPLO 3:
SOLUCIÓN:
Alberto es dueño de una empresa de alquiler de camionetas. La utilidad U
(en cientos de dólares) que obtiene por alquilar una camioneta durante un
tiempo t (en horas) esta dada por: 𝑈 𝑡 = 0,25𝑡3 − 0,9𝑡 + 1
Halle la razón de cambio promedio entre las 2 y 7 horas

12. Razón de cambio promedio
EJEMPLO 4:
SOLUCIÓN:
La siguiente tabla muestra como se deprecia el valor de una moto acuática
según los años transcurridos desde que se compró.
Determine la RCP entre el 2do y 6to año
Tiempo (años) 2 3 5 6
Costo (miles de dólares) 30,5 25,5 20,5 10,5

13. TRABAJO EN EQUIPO
Instrucciones
1. Ingrese a la sala de grupos
reducidos asignada.
2. Desarrolle las actividades
asignadas
3. Presente su desarrollo en
el Padlet del curso.

14. METACOGNICIÓN
¿Qué hemos aprendido en esta
sesión?
¿Qué dificultades se
presentaron? ¿Cómo se absolvieron las dificultades
encontradas?
¿Qué tipos de problemas
se pueden resolver
mediante esta teoría?

15. REFERENCIAS
# CÓDIGO AUTOR TÍTULO EDITORIAL
1
515.33
PURC
PURCELL,
EDWIN J.
Cálculo Diferencial E
Integral
Pearson
Educación
2
515
STEW/P
2007
STEWART,
JAMES
Cálculo De Una
Variable:
Transcendentes
Tempranas
Thomson
Learning
3
515.15/
LARS
LARSON,
RON
Cálculo Mcgraw-Hill

16. GRACIAS