Estrategias Didácticas para Enseñar Matemáticas en el Nivel Secundaria.

1. ESTRATEGIAS DIDACTICAS EN
LA ENSEÑANZA
DE MAGNITUDES
PROPORCIONALES EN EL
NIVEL SECUNDARIO
PONENTE:
Ramiro Díaz Vásquez

2. Conocer la definición de magnitud
y cantidad.
1
Reconocer a las relaciones entre
magnitudes.
2
Reflexionar sobre la aplicación de las
magnitudes en la vida cotidiana.
3
OBJETIVOS

3. INTRODUCCIÓN En la vida cotidiana a
menudo utilizamos
las relaciones entre 2
magnitudes sin
darnos cuenta.
Por ejemplo, al preparar cierta
cantidad de comida teniendo en
cuenta la cantidad de comensales que
asistirán. Dirías que, ¿a más
comensales se preparará más comida
o menos comida? ¿Qué es lo lógico?
Y si relacionamos la cantidad de
trabajadores y tiempo que demoran
en finalizar una tarea. Afirmarías que,
¿A mayor número de trabajadores la
tarea se termina en menos tiempo o
en más tiempo?

4. De la imagen, ¿qué
características se
puede medir o
contar?
• N° de personas que
trabajan.
• N° de horas que laboran
por día.
• La temperatura del
lugar de trabajo.
• Cantidad de prendas de
vestir que confeccionan
por día.
• Área del ambiente.
• Trabajan 20 personas
(obreros).
• Laboran 8 horas por
día.
• 18 °C de temperatura
en el salón de clases.
• 90 𝑚2
de área.
• 200 prendas de vestir
por día.
Magnitud
Se define magnitud
matemática a toda
característica de un
objeto que se pueda
medir o contar.
Ejemplo 1:
Cantidad
Es un valor particular
que toma una magnitud
en un determinado
momento del análisis,
como resultado de ser
medido.
Ejemplo 2:

5. 1. Magnitudes Directamente Proporcionales
Dos magnitudes son directamente proporcionales (DP),
cuando al aumentar o disminuir el valor de una de ellas,
el valor de la otra magnitud también aumenta o
disminuye respectivamente, en la misma proporción.
Ejemplo 3 :
Raúl es un comerciante de polos deportivos, él compra
un lote de polos tal que el costo de 10 polos es S/ 200;
analicemos las magnitudes costo y cantidad de polos.
Expresemos la situación problémica
en una tabla de valores:
Costo (S/)
Cantidad de
polos
x 2
÷ 10
20
1
600
400
30
x 2
200
10
÷ 10
20
x 3
x 3
Se observa que:
A mayor cantidad
de polos, mayor
será el costo.
A menor cantidad
de polos, menor
será el costo.
20
1
=
200
10
=
400
20
=
600
30
= constante
Además:
Se cumple que:
Valores del Costo
Cantidad de polos
= constante
Costo DP Cantidad de polos

6. En General Si A DP B se cumple:
Si A aumenta
entonces B aumenta
Si A disminuye
entonces B disminuye
Valores de A
Valores de B
= constante
Aplicación
Sean A y B dos magnitudes, tal que A DP B2. Si el valor de A es 80
cuando el de B es 20, calcule el valor de A cuando el de B es 15.
Resolución
Piden: El valor de A <> “x”.
Del enunciado:
A
B
A DP B2
↔
A
B2 = constante
𝟐 =
( ) 𝟐
80 x
20 15
x = 45
Del texto:
80
20
x
15
𝟐 × 𝟐 = 𝟐 × 𝟐
80 x
4 5 5 3
80
16
=
x
9
5
1
=
x
9
∴ El valor de A es 45 cuando B es 15.

7. Representación gráfica de Magnitudes Directamente Proporcionales
𝟏𝟖
6
Cantidad
Costo 𝟑
4
1
𝟔
𝟑𝟔
12
𝟏𝟐
2
𝑥
𝑓(𝑥)
12
4
36
12
Cantidad
Costo
La gráfica de dos
magnitudes 𝑫𝑷 son puntos
que pertenecen a la recta
excepto el origen de
coordenadas.
𝒙
𝒇(𝒙)
= 𝑲 (𝑥)
𝑓(𝑥) = 𝐾
Función de
proporcionalidad
directa
Además de la gráfica se puede observar:

8. 2. Magnitudes Inversamente Proporcionales
Dos magnitudes son inversamente proporcionales
(IP), cuando al aumentar o disminuir el valor de una
de ellas, el valor de la otra magnitud disminuye o
aumenta respectivamente en la misma proporción.
Ejemplo 4 :
Comparemos, los valores de las magnitudes N° de
carpinteros y N° de días, sabiendo que 12 carpinteros
pueden hacer 240 carpetas individuales en 40 días.
Expresemos la situación en una tabla de valores
considerando la obra, 240 carpetas individuales, constante:
N° de días
N° de
carpinteros
x 2
÷ 2
24
20
3
6
160
x 2
12
40
÷ 2
80
x 4
÷ 4
Se observa que:
A mayor cantidad
de carpinteros,
menor será la
cantidad de días.
A menor cantidad
de carpinteros,
mayor será la
cantidad de días.
Además: 20 × 24 = 40 × 12 = 80 × 6 = 160 × 3 = constante
Se cumple que:
N° de carpinteros N° de días = constante
×
IP N° de días
N° de carpinteros

9. En General Si A IP B se cumple:
Si A aumenta
entonces B disminuye
Si A disminuye
entonces B aumenta
Valores de A Valores de B = constante
×
Aplicación
Sean A y B dos magnitudes, tal que A IP B. Si el valor de A es
27 cuando el de B es 25, calcule el valor de A cuando el de B es
225.
Resolución
Piden: El valor de A <> “x”.
Del enunciado:
A
B
27 x
25 225
Del texto: A IP 𝐁 ↔ A B = constante
x = 9
(27)(5) = (x)(15)
27 = 3x
(27)( 25) = (x)( 225)
∴ El valor de A es 9 cuando B es 225.

10. Representación gráfica de Magnitudes Inversamente Proporcionales
𝟏𝟓
𝟖
Tiempo
Velocidad 𝟏𝟎
𝟔
𝟏𝟐
𝟑
𝟑𝟎
𝟒
𝟐𝟎
𝟒𝟎
𝑥
𝑔(𝑥)
6
3
40
20
Tiempo
Velocidad
La gráfica de dos
magnitudes 𝑰𝑷 son puntos
que pertenecen a la rama
de una hipérbola
equilátera.
Además de la gráfica se puede observar:
𝑥
𝑔(𝑥) =
𝑚
(𝒙)
𝒈(𝒙) = 𝒎
Función de
proporcionalidad
inversa

11. Propiedades
1 Sean A, B , C y D magnitudes, se cumple que:
A DP B ↔ B DP A
C IP D ↔ D IP C
2 Sean A, B , C y D magnitudes, se cumple que:
A DP B ↔ A IP
𝟏
𝐁
C IP D ↔ C DP
𝟏
𝐃
3 Sean A, B , C y D magnitudes, se cumple que:
𝐀 DP 𝐁 ↔ 𝐀𝐦 DP 𝐁𝐦
𝐂 IP 𝐃 ↔ 𝐂𝐧 IP 𝐃𝐧
Ejemplo 1 :
• A DP B →
Elevamos al
cuadrado
A DP B
2 2
→ A DP B2
•
3
C IP D →
Elevamos
al cubo
3
C IP D
3 3
→ C IP D3
Donde {m; n} ⊂ ℤ+

12. 4 Sean A, B , C y D magnitudes, se cumple que:
𝐀 DP 𝐁 ↔
𝐦
𝐀 DP
𝐦
𝐁
𝐂 IP 𝐃 ↔
𝐧
𝐂 IP
𝐧
𝐃
Donde {m; n} ⊂ ℤ+
Ejemplo 2 :
• A DP B3 →
Sacamos raíz
cúbica
A DP B3
3 3
→ 3
𝐴 DP B
• C4
IP D2 →
Sacamos raíz
cuadrada
C4 IP D2 → C2
IP D
5 Sean A, B y C magnitudes, donde:
A DP B (cuando C es constante)
A IP C (cuando B es constante)
A
DP
B
×
IP
C
= cte
Ejemplo 3 :
• M IP Q (cuando P es constante)
• P DP Q (cuando M es constante)
Sean M, B y C magnitudes, donde:
Q M
×
constante.
=
P

13. Recuerda que…
DP: se divide
IP: se multiplica
Aplicación
𝐴2 es proporcional a 𝐵 (C es constante) y C es
inversamente proporcional a B (A es constante).
Halle el valor de 𝑥 + 𝑦, considere que x es
positivo.
Resolución
A 4 X 8
B 12 54 Y
C 2 1 8
Piden: 𝑥 + 𝑦.
𝐵 DP A2
𝐵 IP 𝐶
B C
×
Constante
=
A2
Reemplazando los valores de la tabla:
12 × 2
42
54 × 1
=
X2
54
X2 2
3
= → X2 = 36 → X = 6
42
8 × Y
=
82
12 × 2 Y
8 2
3
= → Y = 12
∴ 𝐗 + 𝐘 = 18
Del texto:
•
•

14. SISTEMA DE ENGRANAJES
Ruedas unidas mediante un eje común
1
Se cumple:
Rueda
A
Rueda
B
N° de vueltas de A = N° de vueltas de B
Ruedas engranadas
2
Rueda
A
Rueda
B
Rueda
C
Se cumple:
N° de dientes
( D )
IP
N° de vueltas
( V )
Entonces:
DA VA =
× DB VB
× DC VC
×
=

15. Aplicación
En un sistema de engranajes, la rueda A
de 20 dientes engrana con la rueda B de
36 dientes. Determine cuántas vueltas
dará B cuando A gire 72 vueltas.
Rueda
A
Rueda
B
Resolución
Del enunciado:
Piden: La cantidad de vueltas de la rueda B.
N° de dientes
N° vueltas
Rueda
A
Rueda
B
20 36
X
72
Se sabe:
N° de dientes
( D )
IP
N° de vueltas
( V )
Entonces: DA VA =
× DB VB
× 20 × 72 = 36 × X
2 1
40 = X
∴ La rueda B dará 40 vueltas cuando A gire 72 vueltas.

16. REPARTO PROPORCIONAL
Es un procedimiento que tiene como objetivo dividir (repartir), una
cantidad en partes que sean directa o inversamente proporcionales a
ciertos valores, llamados índices o números repartidores.
Teniendo en cuenta:
1. Los índices indican el número de partes.
2. Lo primero que debemos hacer es simplificar los índices
para trabajar con números más sencillos.
3. La suma de las partes obtenidas nos dará el total
repartido.

17. REPARTO SIMPLE
A)DIRECTO : Cuando se da en forma directamente
proporcional (DP) a ciertos números.
Constante
Veamos un caso:
• Se reparte de forma DP a los números 6; 15 y 33.
𝑃1
2
=
𝑃2
5
=
𝑃3
11
= 𝐾
Son las partes
𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒
𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒
= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
𝑃1 = 𝑃2 = 𝑃3 =
2𝐾 5𝐾 11𝐾
𝟐 𝟓 𝟏𝟏
𝑃1 + 𝑃2 + 𝑃3 = 18 𝑘(𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙)
B)INVERSO: Cuando se da en forma inversamente
proporcional (IP) a ciertos números.
Constante
• Se reparte de forma IP a los números 6; 4 y 3.
𝑃1(6) = 𝑃2(4) = 𝑃3(3) = 12
Se saca su MCM
(𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒)(𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒) = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
𝑃1 = 𝑃2 = 𝑃3 =
𝑀𝐶𝑀(6; 4; 3) = 12
2𝐾 3𝐾 4𝐾
Luego tenemos:
Veamos un caso:
𝐾
2𝐾 3𝐾 4𝐾
𝑃1 + 𝑃2 + 𝑃3 = 9𝑘(𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙)

18. REPARTO COMPUESTO
Cuando se reparte una cierta cantidad a 2 o más
grupos de índices en forma DP y/o IP.
Veamos un caso:
Se quiere repartir DP a los números 20; 35 y 40 e IP a
los números 5; 3 y 2 respectivamente.
𝐶 2
Luego tenemos:
𝐴(5)
4
=
𝐵(3)
7
Reparto. Índice (II).
𝐷𝑃
𝐴
𝐵
5
3
=
𝐶(2)
8
40
Índice (I).
20
35
𝐼𝑃
Se saca su MCM
𝑴𝑪𝑴(𝟓; 𝟑; 𝟐) = 𝟑𝟎
= 𝑐𝑡𝑒.
(𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠)(𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒 𝐼𝐼)
(𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒 𝐼)
8
4
7
Luego:
𝐴 = 𝐵 = 𝐶 =
Este MCM se multiplica a los denominadores para
luego simplificar al máximo de manera que las
variables queden solos
Después de simplificar tenemos:
= 𝐾
𝐴
4(6)
=
𝐵
7(10)
=
𝐶
8(15)
Además:
𝐴(5)
4
=
𝐵(3)
7
=
𝐶(2)
8
(30) (30) (30)
𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 97𝑘(𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙)
12𝐾 35𝐾 60𝐾
12 35 60

19. RELACIÓN DE MAGNITUDES QUE INTERVIENEN EN UNA OBRA
𝑨: 𝑁°𝑜𝑏𝑟𝑒𝑟𝑜𝑠
𝑩: 𝑁°𝑑í𝑎𝑠
𝑪: 𝑁°ℎ/𝑑
𝑫: 𝑁°𝑜𝑏𝑟𝑎
𝑬: 𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎
𝑭: 𝑑𝑖𝑓𝑖𝑐𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑
(𝑪; 𝑫; 𝑬; 𝑭: 𝑐𝑡𝑒. )
(𝑩; 𝑫; 𝑬; 𝑭: 𝑐𝑡𝑒. )
(𝑩; 𝑪; 𝑬; 𝑭: 𝑐𝑡𝑒. )
(𝑩; 𝑪; 𝑫; 𝑭: 𝑐𝑡𝑒. )
(𝑩; 𝑪; 𝑫; 𝑬: 𝑐𝑡𝑒. )
𝐷𝑃
𝐼𝑃
𝐼𝑃
𝐼𝑃
𝐷𝑃
OBS: en los problemas no necesariamente participan
todas las magnitudes mencionados.
Luego:
(𝑁°𝑜𝑏𝑟𝑒𝑟𝑜𝑠)(𝑁°𝑑í𝑎𝑠)(𝑁°ℎ/𝑑)
(𝑁°𝑜𝑏𝑟𝑎)
(𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎)
(𝑑𝑖𝑓𝑖𝑐𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑)
= 𝑐𝑡𝑒.
Aplicación
Con 24 obreros se puede hacer una obra en 15 días.
Calcule en cuantos días harán una obra tres veces difícil
que el anterior, con 10 obreros que son tres veces más
rápido que los anteriores.
Resolución
(10)
𝑑𝑖𝑓𝑖𝑐𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑
Caso I.
𝑁°𝑜𝑏𝑟𝑒𝑟𝑜𝑠
𝑁°𝑑í𝑎𝑠
𝑎
24
15
(24)(15)(𝑚)
𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑚
(𝑎)
𝟑 𝟑
Caso II.
3𝑎
10
𝑋
(𝑋)(4𝑚)
4𝑚
(3𝑎)
∴ 27 = 𝑋
=
Sabemos:
𝐼𝑃
𝐷𝑃

20. AHORA RESOLVEREMOS ALGUNOS
PROBLEMAS

21. PROBLEMA 1
Jimmy visita la ciudad de Ica
hospedándose en un hotel donde el
administrador le proporciona un mapa
a escala con lugares turísticos cercanos
y le menciona que 6 cm del mapa
representan 500 m de la realidad. Si
Jimmy en ese momento desea visitar la
laguna de la Huacachina que se
encuentra a 9 cm del hotel en el mapa,
¿a cuántos metros del hotel realmente
se encuentra dicha laguna?
A) 720 m
B) 650 m
C) 600 m
D) 750 m
RESOLUCIÓN

22. PROBLEMA 2
Si se concluye que el sueldo mensual de
un trabajador es inversamente
proporcional a los minutos de tardanza
que acumula en el mes. Si Miguel, llegó
24 minutos tarde y recibió un sueldo de
S/ 900. ¿Cuánto será el sueldo de
Néstor, si sus minutos de tardanza
acumulado en el mes es igual a los
minutos de tardanza de Miguel,
disminuido en sus 3/4?
A) S/ 3 600
B) S/ 2 700
C) S/ 1 800
D) S/ 1 200
RESOLUCIÓN

23. PROBLEMA 3
Un empresario desea alquilar un local
dentro de una galería, la cual tiene 20
pisos. Se observa que el costo de
alquiler mensual de un local dentro de
la galería es inversamente proporcional
al cuadrado del número de piso en el
cual se encuentra el local dentro de la
galería. Si se sabe que el alquiler de un
local en el piso 4, es S/ 4 900. ¿Cuánto
se tendrá que pagar de alquiler, por un
local en el piso 14?
A) S/ 800
B) S/ 400
C) S/ 500
D) S/ 700
RESOLUCIÓN

24. PROBLEMA 4
Se tienen 3 magnitudes A, B y C tales
que:
B2 DP A (cuando C no varía)
B IP C (cuando A no varía)
Además:
A 36 9 16
B X 45 Y
C 3 2 4
Halle X + Y
A) 45
B) 55
C) 42
D) 36
RESOLUCIÓN

25. PROBLEMA 5
A es DP a B (C y D son constantes)
A es DP a C (B y D son constantes)
A es DP a
1
D
(B y C son
constantes)
Si cuando A = 8; B = 5 y C = 4, entonces
D = 2. Calcule B cuando A = 4; C = 4 y
D = 16.
A) 30
B) 20
C) 160
D) 90
Si:
RESOLUCIÓN

26. PROBLEMA 6
En una empresa el sueldo es DP a la
edad y a los años de servicio del
empleado e IP al cuadrado de la
categoría del empleado. Juan,
empleado de Categoría 2, con 10 años
de servicio en la empresa y de 56 años
de edad, gana S/ 2000. José que entró a
la empresa 3 años después de Juan,
gana S/ 500 y es empleado de categoría
3. Halle la diferencia de edades de
ambos.
A) 8 años
B) 7 años
C) 11 años
D) 9 años
RESOLUCIÓN

27. PROBLEMA 7
Se tienen 3 ruedas dentadas
A, B y C engranadas, las cuales
su cantidad de dientes son 20;
30 y 70. Si las tres ruedas
empiezan a girar, ¿Cuántas
vueltas dará la rueda C,
cuando A en ese momento da
210?
A)140
B)120
C)60
D)80
RESOLUCIÓN
𝑨 𝑩
𝑪

28. PROBLEMA 8
José es tío de Abel y Benito; y desea
premiar a sus sobrinos repartiendo
entre los dos N soles; para ello
considera la siguiente información:
Si la diferencia de las cantidades de
dinero que recibieron es de 80 soles,
determine la suma de cifras de N.
A)4
B)5
C)7
D)6
18
15
2
5
RESOLUCIÓN

29. PROBLEMA 9
Roberto desea repartir
inicialmente S/M entre tres
personas de forma DP a 3; 4 y
5, pero más tarde decide
hacerlo DP a 1; 2 y 4 por lo
que uno de ellos recibe S/650
más. Calcule la cantidad
repartida por Roberto.
A) S/4200
B) S/4000
C) S/3400
D) S/5200
E) S/4600
RESOLUCIÓN

30. PROBLEMA 10
Un ingeniero puede construir 1200
m de una carretera con 9 obreros,
en 50 días, trabajando 8 h/d.
¿Cuántos días tardaría este
ingeniero en construir 1600 m de
una carretera, con 45 obreros
doblemente eficientes que los
anteriores, en un terreno de triple
dificultad si trabajan 2 horas más
por día?
A) 9
B) 16
C) 1
D) 14
RESOLUCIÓN

31. GRACIAS POR
SU ATENCIÓN