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Ma146 unidad03 s09-1_derivada

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Razón de Cambio Promedio
Razón de Cambio instantánea
(la derivada)
Razón de Cambio Promedio
La razón de cambio promedio de “y”
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Para f (x) = x2
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cambio promedio cuando:
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x x + h
f (x)
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Razones de cambio promedio
La razón de cambio promedio de f con
respecto a x está dado por:
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)()(
≠
−+
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h
xfhxf
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Para f (x) = x2
determine la razón de
cambio promedio en cada caso:
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  • 1. TÓPICOS DE MATEMÁTICA EPE (ADM) Sesión 9.1 Razón de Cambio Promedio Razón de Cambio instantánea (la derivada)
  • 2. Razón de Cambio Promedio La razón de cambio promedio de “y” respecto a “x”, cuando x cambia de x1 a x2 corresponde al resultado de dividir: el cambio en el valor de “y” entre el cambio en el valor de “x”: 12 12 12 ; xx xx yy ≠ − −
  • 3. Ejemplo: Para f (x) = x2 , determine la razón de cambio promedio cuando: a. x cambia de 1 a 3 b. x cambia de 5 a 7
  • 4. Razones de cambio promedio x x + h f (x) f(x+h) h Ls
  • 5. Razones de cambio promedio La razón de cambio promedio de f con respecto a x está dado por: 0, )()( ≠ −+ hdonde h xfhxf
  • 6. Ejercicio: Para f (x) = x2 determine la razón de cambio promedio en cada caso: a. x = 5 y h = 3 b. x = 5 y h = 0,1
  • 7. Note que la razón de cambio promedio no es otra cosa que la pendiente de la recta secante (Ls) a la gráfica de la función. Es decir : h xfhxf m sL )()( −+ =
  • 9. La Derivada Si tomamos el límite de la razón de cambio promedio cuando “h” tiende a cero, la pendiente de la recta secante se convierte en la pendiente de la recta tangente, observemos:
  • 10. x y 0x )( 0xf )( 0 hxf + hx +0 h
  • 11. x y 0x )( 0xf )( 0 hxf + hx +0 h
  • 12. x y 0x )( 0xf )( 0 hxf + hx +0 h
  • 13. x y 0x )( 0xf )( 0 hxf + hx +0 h
  • 14. x y 0x )( 0xf )( 0 hxf + hx +0 Tangente!!!
  • 15. En el límite, cuando h tiende a cero, la recta secante se confunde con la recta tangente en x0 , y podemos decir que su pendiente es: h xfhxf Límm h )()( 00 0 −+ = → La Derivada
  • 16. Este último límite es conocido en el Cálculo Diferencial é Integral como la derivada de la función respecto de la variable x, en x = x0 . La Derivada
  • 17. En consecuencia, la derivada de una función es numéricamente igual a la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en x = x0 . La Derivada El valor de la derivada de una función indica la rapidez con que la función está cambiando en un valor específico de x, en x = x0.
  • 18. entonces, la derivada de una función en x = x0 es: h xfhxf Lím h )()( 00 0 −+ → Pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en x = x0 La razón de cambio instantánea de la función en x = x0 Conceptualización de la derivada de una función
  • 19. Notación de la derivada de una función: La derivada de una función y = f (x) respecto de la variable x, se denota de las siguientes maneras : dx dy )(xf ′= y′=
  • 20. Ejemplo: Usando la definición, determine las expresiones de la derivada de las siguientes funciones : b) f (x) = x2 a) f (x) = x
  • 21. TÓPICOS DE MATEMÁTICA EPE (ADM) Técnicas de derivación
  • 22. Regla de la potencia ¿Cuáles serán las derivadas de las siguientes funciones? 1. f (x) = x 2. f (x) = x2 ¿Se puede generalizar?
  • 23. Regla de la potencia 1− =′⇒= kk xkyxy :kreal,númerocualquierPara Ejemplos
  • 24. Derivada de una función constante La derivada de una función constante es cero Es decir : 0=′⇒= ycy Ejemplos
  • 25. Derivada de una constante por una función La derivada de una constante por una función, corresponde a la constante multiplicada por la derivada de la función. Esto se puede escribir así : fcyfcy ′=′⇒= .. Ejemplos
  • 26. La derivada de una suma o diferencia de funciones, es igual a la suma o diferencia de las derivadas de dichas funciones gfygfy ′±′=′⇒±= Derivada de una suma o diferencia de funciones Ejemplos
  • 27. . ' '. . 'y f g y f g f g= ⇒ = + Derivada del producto de funciones Ejemplos
  • 28. Derivada del cociente de funciones Si : 0, ≠= g g f y Entonces: 2 .. g gfgf y ′−′ =′ Ejemplos
  • 29. Ejercicios Material p. 36: 3 (a, d, g, j) y 4
  • 30. Ejercicios: Sección de ejercicios 2.5: p. 148 del 1 al 62 impares Sección de ejercicios 2.7: p. 163 del 1 al 38 impares y 77 (extra para profundizar: del 89 al 102 impares)
  • 31. TÓPICOS DE MATEMÁTICA EPE (ADM) Aplicaciones de la Derivada
  • 32. Determine la ecuación de la tangente a la curva y = x2 + 2x en el punto donde x = 2. Aplicaciones: Recta tangente
  • 33. Una compañía determina que las ventas mensuales S, en miles de dólares, después de t meses de comercializar un producto se dan por la expresión: S(t) = 2t3 - 40t2 + 220t + 160. Halle la razón de cambio instantánea de las ventas en t = 1 y en t = 4. Aplicaciones: Razón de Camb. Inst.
  • 34. Aplicaciones: Análisis Marginal ¿Cómo podríamos determinar en forma aproximada el costo de producción de la novena unidad sin tener que hacer una diferencia de costos?
  • 35. 8 9 C(8) C(9) Creal Caproximado Costo (C) Análisis Marginal 1 2 3 4 5 6 7 2° unidad 1° unidad 9° unidad Cantidad (q)
  • 36. La pendiente de la recta tangente en q = 8 es la derivada del costo total en q = 8 Esta pendiente es numéricamente igual a cociente Caproximado / 1, es decir, al costo aproximado de producir la 9° unidad. Análisis Marginal Es decir, se puede deducir que: C' (8) = Caproximado unidad 9.
  • 37. En general podemos decir que : Cunidad “n” = C' (n-1) Análisis Marginal
  • 38. La función ingreso marginal es la derivada de la función ingreso La función utilidad marginal es la derivada de la función utilidad Análisis Marginal
  • 39. Si la demanda de un producto está dada por: p = 16 – 0,02 x a)Encuentre el ingreso aproximado que genera la venta de la unidad 43. b)Encuentre el ingreso real que genera la venta de la unidad 43. Ejemplo