Este documento trata sobre sistemas de ecuaciones lineales. Explica conceptos como ecuaciones lineales de dos incógnitas, sistemas de ecuaciones lineales y sus soluciones. También describe métodos para representar sistemas gráficamente y clasificarlos, así como métodos para resolver sistemas como la sustitución.

1. Prof. Carlos A. Blanco
SISTEMAS DE
ECUACIONES

2. En este tema se van a tratar los siguientes contenidos:
 Definiciones: ecuación lineal de dos incógnitas, sistemas de ecuaciones lineales,
solución,…
 Representación gráfica de un sistema de ecuaciones lineales
 Clasificación de sistemas de ecuaciones lineales
 Sistemas equivalentes
 Métodos de resolución de sistemas lineales de dos ecuaciones con dos
incógnitas:
 Sustitución
 Igualación
 Reducción
 Métodos de resolución y clasificación de sistemas
 Problemas
ÍNDICE

3. Una ecuación lineal de dos incógnitas es una ecuación de dos incógnitas que es de
grado 1, es decir, en la que el término de mayor grado es de grado 1.
3𝑥 + 𝑦 = 4
Se llama solución de una ecuación lineal de dos incógnitas a un par de números
𝑥, 𝑦 que satisfacen la ecuación.
En la ecuación anterior, el par 𝟏, 𝟏 es solución de la ecuación puesto que
3 · 1 + 1 = 4
es cierto, mientras que el par 𝟏, 𝟐 no es solución de la ecuación puesto que
3 · 1 + 2 ≠ 4
(no satisface la ecuación)
ECUACIONES LINEALES
DE DOS INCÓGNITAS

4. −8 3 · 4 + 𝑦 = 4 ⇔ 𝑦 = −8
−5 3 · 3 + 𝑦 = 4 ⇔ 𝑦 = −5
−2 3 · 2 + 𝑦 = 4 ⇔ 𝑦 = −2
1 3 · 1 + 𝑦 = 4 ⇔ 𝑦 = 1
4 3 · 0 + 𝑦 = 4 ⇔ 𝑦 = 4
7 3 · −1 + 𝑦 = 4 ⇔ 𝑦 = 7
x y
−1
0
1
2
3
4
Se pueden representar gráficamente los pares de puntos 𝑥, 𝑦 como puntos del
plano.
Observamos que para cada valor que le damos a 𝑥, se obtiene una ecuación de una
incógnita que se puede resolver y se obtiene un único valor de 𝑦.
Más concretamente, podemos construir una tabla con las soluciones de la ecuación
lineal y representarlos:
ECUACIONES LINEALES
DE DOS INCÓGNITAS

5. Un sistema de dos ecuaciones lineales de dos incógnitas es un conjunto de dos
ecuaciones lineales de modo que las incógnitas iguales en las dos ecuaciones
deben tener el mismo valor.
Más concretamente, si tenemos el sistema
3𝑥 + 𝑦 = 4
𝑥 − 2𝑦 = 4
la incógnita 𝑥 tiene el mismo valor en las dos ecuaciones y la incógnita 𝑦 tiene el
mismo valor en las dos ecuaciones.
Se llama solución de un sistema de ecuaciones lineales de dos incógnitas a un par
de números 𝑥, 𝑦 que satisfacen las dos ecuaciones
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
DE DOS INCÓGNITAS

6. Solución
4 𝑥 − 2 · 0 = 4 ⇔ 𝑥 = 4
−2 0 − 2𝑦 = 4 ⇔ 𝑦 = −2
𝑥 𝑦
0
0
1 3 · 1 + 𝑦 = 4 ⇔ 𝑦 = 4 − 3 = 1
4 3 · 0 + 𝑦 = 4 ⇔ 𝑦 = 4
𝑥 𝑦
0
1
Para representar gráficamente un sistema de ecuaciones lineales, representaremos
cada una de las dos ecuaciones.
Ahora bien, como sabemos que cada ecuación lineal es una recta, para cada recta
sólo calcularemos dos puntos, ya que una recta queda unívocamente determinada
por dos puntos por lo que pase.
Representamos el sistema
3𝑥 + 𝑦 = 4
𝑥 − 2𝑦 = −4
Para la ecuación 3𝑥 + 𝑦 = 4, calculamos
Para la ecuación 𝑥 − 2𝑦 = −4, calculamos
REPRESENTACION GRÁFICA
DE SISTEMAS DE ECUACIONES

7. 6 𝑥 + 0 = 6 ⇔ 𝑥 = 6
6 0 + 𝑦 = 6 ⇔ 𝑦 = 6
𝑥 𝑦
0
0
2 2 · 1 − 𝑦 = 0 ⇔ 𝑦 = 2
0 2 · 0 − 𝑦 = 0 ⇔ 𝑦 = 0
𝑥 𝑦
0
1
2 2𝑥 + 0 = 4 ⇔ 𝑥 = 2
4 2 · 0 + 𝑦 = 4 ⇔ 𝑦 = 4
𝑥 𝑦
0
0
3 2𝑥 − 3 · 0 = 6 ⇔ 𝑥 = 3
−2 2 · 0 − 3𝑦 = 6 ⇔ 𝑦 = −2
𝑥 𝑦
0
0
a)
2𝑥 − 3𝑦 = 6
2𝑥 + 𝑦 = 4
b)
2𝑥 − 𝑦 = 0
𝑥 + 𝑦 = 6
Representa gráficamente los siguientes sistemas:
REPRESENTACION GRÁFICA
DE SISTEMAS DE ECUACIONES

8. Si las rectas son coincidentes (una recta está justo
encima de la otra), el sistema tiene infinitas
soluciones: SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO
Si las rectas son paralelas, entonces el sistema no
tiene solución: SISTEMA INCOMPATIBLE
Si las rectas son secantes, entonces el sistema tiene
una única solución: SISTEMA COMPATIBLE
DETERMINADO
Puesto que un sistema de ecuaciones lineales de dos incógnitas es un par de rectas
del plano, el sistema se clasificará según las formas en las que podamos dibujar las
dos rectas del plano:
CLASIFICACIÓN DE SISTEMAS

9. 𝑎
𝑎′
=
𝑏
𝑏′
=
𝑐
𝑐′
El sistema es compatible
indeterminado si
𝑎
𝑎′
=
𝑏
𝑏′
≠
𝑐
𝑐′
El sistema es incompatible si
𝑎
𝑎′
≠
𝑏
𝑏′
El sistema es compatible
determinado si
Si tenemos un sistema de la forma
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐
𝑎′
𝑥 + 𝑏′
𝑦 = 𝑐′
CLASIFICACIÓN DE SISTEMAS

10. Indeterminado
(la solución no es única)
Determinado
(la solución es única)
Incompatible (El sistema no tiene solución)
Compatible
(El sistema tiene solución)
Sistemas
Podemos hacer la siguiente clasificación de sistemas:
CLASIFICACIÓN DE SISTEMAS

11. a) Para el primer sistema, calculamos:
2
1
≠
−1
1
El sistema es compatible determinado
b) Para el primer sistema, calculamos:
2
3
=
−4
−6
≠
6
7
El sistema es incompatible
c) Para el primer sistema, calculamos:
−4
3
=
8
−6
=
−4
3
El sistema es compatible indeterminado
a)
2𝑥 − 𝑦 = 0
𝑥 + 𝑦 = 6
b)
2𝑥 − 4𝑦 = 6
3𝑥 − 6𝑦 = 7
c)
−4𝑥 + 8𝑦 = −4
3𝑥 − 6𝑦 = 3
Clasifica los siguientes sistemas de ecuaciones. Represéntalos gráficamente.
CLASIFICACIÓN DE SISTEMAS

12. Dos sistemas son equivalentes si tienen las mismas soluciones.
Por ejemplo, los sistemas
𝑥 − 2𝑦 = 8
5𝑥 + 3𝑦 = 1
y
10𝑥 + 6𝑦 = 2
−3𝑥 + 6𝑦 = −24
Son equivalentes puesto que ambos tienen por solución 𝑥 = 2 e 𝑦 = −3, ya que
2 − 2 · −3 = 8
5 · 2 + 3 · −3 = 1
y
10 · 2 + 6 · −3 = 2
−3 · 2 + 6 · −3 = −24
SISTEMAS EQUIVALENTES

13. +
𝑥 − 2𝑦 = 8
5𝑥 + 3𝑦 = 1
6𝑥 + 𝑦 = 9
⟹
𝑥 − 2𝑦 = 8
𝟓𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟏
⟺
𝑥 − 2𝑦 = 8
𝟔𝒙 + 𝒚 = 𝟗
𝟐𝒙 − 𝟒𝒚 = 𝟏𝟔
5𝑥 + 3𝑦 = 1
𝟐𝒙 − 𝟐𝒚 = 𝟖 + 𝒙
5𝑥 + 3𝑦 = 1
𝒙 − 𝟐𝒚 = 𝟖
5𝑥 + 3𝑦 = 1
5𝑥 + 3𝑦 = 1
𝑥 − 2𝑦 = 8
Se pueden obtener sistemas equivalentes de las siguientes formas:
1. Intercambiando las ecuaciones de sitio:
𝑥 − 2𝑦 = 8
5𝑥 + 3𝑦 = 1
2. Cambiando una de las dos ecuaciones por otra que sea equivalente a ella
misma, bien a través de la regla de la suma, bien a través de la regla del
producto
3. Cambiando una ecuación por la suma de ambas ecuaciones (miembro a
miembro), dejando la otra ecuación igual.
SISTEMAS EQUIVALENTES

14. ⇔
6𝑥 − 2𝑦 = 14
7𝑥 − 6𝑦 = 20
⇔
6𝑥 − 2𝑦 = 14
𝑥 − 4𝑦 = 6
𝑥 − 4𝑦 = 6
3𝑥 − 𝑦 = 7
⇔
3𝑥 − 𝑦 = 7
𝑥 − 4𝑦 = 6
⇔
2𝑥 + 2𝑦 = 12
4𝑥 + 𝑦 = 12
⇔
2𝑥 + 2𝑦 = 12
2𝑥 − 𝑦 = 0
2𝑥 − 𝑦 = 0
𝑥 + 𝑦 = 6
⇔
𝑥 + 𝑦 = 6
2𝑥 − 𝑦 = 0
a) El primer sistema lo obtenemos cambiando las ecuaciones de sitio.
El segundo lo obtenemos multiplicando por 2 la primera ecuación.
El tercero lo obtenemos cambiando la segunda ecuación por la suma de ambas:
b) El primer sistema lo obtenemos cambiando las ecuaciones de sitio.
El segundo lo obtenemos multiplicando por 2 la primera ecuación.
El tercero lo obtenemos cambiando la segunda ecuación por la suma de ambas
a)
2𝑥 − 𝑦 = 0
𝑥 + 𝑦 = 6
b)
𝑥 − 4𝑦 = 6
3𝑥 − 𝑦 = 7
Obtén tres sistemas equivalentes a cada uno de los siguientes:
SISTEMAS EQUIVALENTES

15. A partir del sistema, este método de resolución tratará de encontrar una ecuación
de una sola incógnita, y lo hará con dos sencillos pasos:
1. Despejar una incógnita en una ecuación
Esto significa que debo elegir qué incógnita despejar y en qué ecuación hacerlo.
Haremos esta elección observando los coeficientes de las incógnitas y
seleccionaremos la incógnita cuyo coeficiente sea menor siendo positivo.
2. Sustituiremos la expresión algebraica obtenida en la OTRA ecuación.
No nos serviría de nada sustituir en la misma ecuación donde hemos
despejado.
Una vez resuelta la primera incógnita, se sustituye donde esté la otra incógnita
despejada para hallarla.
Lo vemos con un ejemplo.
RESOLUCIÓN DE SISTEMAS:
SUSTITUCIÓN

16. En el sistema
𝑥 − 2𝑦 = 8
5𝑥 + 3𝑦 = 1
Despejamos la 𝑥 en la primera ecuación
𝑥 − 2𝑦 = 8 ⇒ 𝑥 = 8 + 2𝑦
Sustituimos en la segunda ecuación (borramos la 𝑥, escribimos un paréntesis y en
su interior la expresión algebraica equivalente a 𝑥)
5 8 + 2𝑦 + 3𝑦 = 1
De este modo obtenemos la ecuación de una incógnita que pasamos a resolver:
40 + 10𝑦 + 3𝑦 = 1 ⇒ 10𝑦 + 3𝑦 = 1 − 40 ⇒ 13𝑦 = −39 ⇒ 𝑦 = −3
Una vez hallada la incógnita 𝑦, sustituimos el valor obtenido donde está la 𝑥
despejada:
𝑥 = 8 + 2 · −3 ⇒ 𝑥 = 8 − 6 ⇒ 𝑥 = 2
RESOLUCIÓN DE SISTEMAS:
SUSTITUCIÓN

17. a) Resolvemos despejando 𝑥 en la segunda ecuación:
𝑥 = 6 − 𝑦 ⇒ 2 6 − 𝑦 − 𝑦 = 0 ⇒ 12 − 2𝑦 − 𝑦 = 0 ⇒
⇒ 12 = 2𝑦 + 𝑦 ⇒ 12 = 3𝑦 ⇒ 𝑦 = 4 ⇒ 𝑥 = 6 − 4 = 2 ⇒
𝑥 = 2
𝑦 = 4
b) Resolvemos despejando 𝑥 en la primera ecuación
𝑥 = 6 + 4𝑦 ⇒ 3 6 + 4𝑦 − 𝑦 = 7 ⇒ 18 + 12𝑦 − 𝑦 = 7 ⇒
⇒ 12𝑦 − 𝑦 = 7 − 18 ⇒ 11𝑦 = −11 ⇒ 𝑦 = −1 ⇒ 𝑥 = 6 − 4 = 2 ⇒
𝑥 = 2
𝑦 = −1
c) Resolvemos despejando 𝑦 en la primera ecuación
𝑦 = 7 − 5𝑥 ⇒ 3𝑥 + 2 7 − 5𝑥 = 0 ⇒ 3𝑥 + 14 − 10𝑥 = 0 ⇒
⇒ 14 = −3𝑥 + 10𝑥 ⇒ 14 = 7𝑥 ⇒ 𝑥 = 2 ⇒ 𝑦 = 7 − 10 = −3 ⇒
𝑥 = 2
𝑦 = −3
a)
2𝑥 − 𝑦 = 0
𝑥 + 𝑦 = 6
b)
𝑥 − 4𝑦 = 6
3𝑥 − 𝑦 = 7
c)
5𝑥 + 𝑦 = 7
3𝑥 + 2𝑦 = 0
Resuelve los siguientes sistemas por sustitución
RESOLUCIÓN DE SISTEMAS:
SUSTITUCIÓN

18. A partir del sistema, este método de resolución tratará de encontrar una ecuación
de una sola incógnita, y lo hará con dos sencillos pasos:
1. Despejar la MISMA incógnita en las DOS ecuaciones.
Esto significa que seleccionaremos la incógnita que se va a despejar: o bien se
despeja la 𝑥 en las dos ecuaciones, o bien se despeja la 𝑦 en las dos
ecuaciones.
2. Igualar ambas expresiones algebraicas.
Si hubiéramos despejado la 𝑥 en las dos ecuaciones, tendríamos dos igualdades
de la forma:
𝑥 = 𝐸𝑥𝑝. 𝐴𝑙𝑔 1 y 𝑥 = 𝐸𝑥𝑝. 𝐴𝑙𝑔 2
Y lo que se hace es igualar los segundos miembros, ya que la incógnita 𝑥 tiene
el mismo valor en las dos ecuaciones.
Una vez resuelta la primera incógnita, se sustituye en cualquiera de las dos
expresiones donde esté la otra incógnita despejada para hallarla.
Lo vemos con un ejemplo.
RESOLUCIÓN DE SISTEMAS:
IGUALACIÓN

19. En el sistema:
𝑥 − 2𝑦 = 8
5𝑥 + 3𝑦 = 1
Lo más fácil es despejar 𝑥 en las dos ecuaciones. Siempre evitaremos en la medida
de lo posible despejar alguna incógnita que tenga coeficientes negativos.
𝑥 − 2𝑦 = 8 ⇒ 𝑥 = 8 + 2𝑦
5𝑥 + 3𝑦 = 1 ⇒ 5𝑥 = 1 − 3𝑦 ⇒ 𝑥 =
1 − 3𝑦
5
Igualamos los resultados anteriores puesto que el valor de 𝑥 debe ser el mismo en
las dos ecuaciones. De este modo:
8 + 2𝑦 =
1 − 3𝑦
5
⇒ 5 8 + 2𝑦 = 1 − 3𝑦 ⇒ 40 + 10𝑦 = 1 − 3𝑦 ⇒
⇒ 10𝑦 + 3𝑦 = 1 − 40 ⇒ 13𝑦 = −39 ⇒ 𝑦 = −3
Como en las veces anteriores, una vez hallado el valor de una incógnita,
sustituimos donde más fácil nos resulte para hallar la otra incógnita:
𝑥 = 8 + 2 · −3 ⇒ 𝑥 = 8 − 6 ⇒ 𝑥 = 2
RESOLUCIÓN DE SISTEMAS:
IGUALACIÓN

20. a) Resolvemos despejando 𝑥 en las dos ecuaciones:
𝑥 =
𝑦
2
𝑥 = 6 − 𝑦
⇒
𝑦
2
= 6 − 𝑦 ⇒ 𝑦 = 12 − 2𝑦 ⇒ 3𝑦 = 12 ⇒ 𝑦 = 4 ⇒ 𝑥 = 2
𝑥 = 2
𝑦 = 4
b) Resolvemos despejando 𝑥 en las dos ecuaciones:
𝑥 = 6 − 4𝑦
𝑥 =
7 − 𝑦
3
⇒ 6 − 4𝑦 =
7 − 𝑦
3
⇒ 18 − 12𝑦 = 7 − 𝑦 ⇒ 11 = 11𝑦 ⇒ 𝑦 = 1 ⇒ 𝑥 = 2
𝑥 = 2
𝑦 = 1
c) Resolvemos despejando 𝑦 en las dos ecuaciones:
𝑦 = 13 − 5𝑥
𝑦 =
12 − 3𝑥
2
⇒ 13 − 5𝑥 =
12 − 3𝑥
2
⇒ 26 − 10𝑥 = 12 − 3𝑥 ⇒ 14 = 7𝑥 ⇒ 𝑥 = 2 ⇒ 𝑦 = 3
𝑥 = 2
𝑦 = 3
a)
2𝑥 − 𝑦 = 0
𝑥 + 𝑦 = 6
b)
𝑥 + 4𝑦 = 6
3𝑥 + 𝑦 = 7
c)
5𝑥 + 𝑦 = 13
3𝑥 + 2𝑦 = 12
Resuelve los siguientes sistemas por igualación
RESOLUCIÓN DE SISTEMAS:
IGUALACIÓN

21. A partir del sistema, este método de resolución tratará de encontrar una ecuación
de una sola incógnita operando las dos ecuaciones.
Se aplicarán las dos últimas reglas de equivalencia de sistemas:
1. Se multiplicará una ecuación (o las dos) por un número.
Buscamos que una incógnita tenga, en las dos ecuaciones, el mismo
coeficiente, pero de signos contrarios.
2. A continuación se sumarán las ecuaciones miembro a miembro.
La meta es obtener un sistema equivalente cambiando una de las ecuaciones
por la suma de ambas de manera que ésta última ecuación tenga una sola
incógnita.
Una vez resuelta la primera incógnita, se sustituye en cualquiera de las dos
ecuaciones de partida para hallar la otra incógnita.
Lo vemos con un ejemplo.
RESOLUCIÓN DE SISTEMAS:
REDUCCIÓN

22. ⇒ 𝑥 − 2 · −3 = 8 ⇒ 𝑥 = 213𝑦 = −39 ⇒ 𝑦 = −3
En el sistema
𝑥 − 2𝑦 = 8
5𝑥 + 3𝑦 = 1
Vamos a intentar eliminar la incógnita 𝑥, para lo que multiplicamos la primera
ecuación por −5 y sumamos:
+
−5𝑥 + 10𝑦 = −40
5𝑥 + 3𝑦 = 1
13𝑦 = −39
⇒
𝑥 − 2𝑦 = 8
5𝑥 + 3𝑦 = 1
⟺
𝑥 −2𝑦 = 8
13𝑦 = −39
Vemos que el sistema resultante tiene una ecuación de una sola incógnita.
Resolvemos primero esta ecuación y a continuación la otra:
RESOLUCIÓN DE SISTEMAS:
REDUCCIÓN

23. Para la segunda reducción hemos multiplicado por 3 la primera ecuación, que es el
coeficiente de 𝑦, (la incógnita que queremos eliminar), en la segunda ecuación; y
por 2 la segunda ecuación, que es el coeficiente de 𝑦 en la primera ecuación.
Como en el sistema original los coeficientes de 𝑦 ya tenían distinto signo en las dos
ecuaciones, no ha sido necesario cambiar de signo ninguno de ellos.
Por lo general, las soluciones de un sistema las daremos de la forma
𝑥 = 2
𝑦 = −3
3𝑥 − 6𝑦 = 24
10𝑥 + 6𝑦 = 2
13𝑥 = 26
⇒ 13𝑥 = 26 ⇒ 𝑥 = 2
×2
×3
𝑥 − 2𝑦 = 8
5𝑥 + 3𝑦 = 12ª Reducción:
−5𝑥 + 10𝑦 = −40
5𝑥 + 3𝑦 = 1
13𝑦 = −39
⇒ 13𝑦 = −39 ⇒ 𝑦 = −3
× −5
𝑥 − 2𝑦 = 8
5𝑥 + 3𝑦 = 11ª Reducción:
Una variante de este método se llama Doble Reducción y consiste en hacer dos
reducciones: una para eliminar la incógnita 𝑥 y otra para eliminar la incógnita 𝑦
RESOLUCIÓN DE SISTEMAS:
REDUCCIÓN

24. a) Sumamos directamente las ecuaciones para eliminar 𝑦:
+
2𝑥 − 𝑦 = 0
𝑥 + 𝑦 = 6
3𝑥 = 6
⇒ 𝑥 =
6
3
= 2 ⇒ 2 + 𝑦 = 6 ⇒ 𝑦 = 6 − 2 = 4 ⇒
𝑥 = 2
𝑦 = 4
b) Multiplicamos la primera ecuación por −3
+
−3𝑥 + 12𝑦 = −18
3𝑥 − 𝑦 = 7
11𝑦 = −11
⇒ 𝑦 =
−11
11
= −1 ⇒ 𝑥 + 4 = 6 ⇒ 𝑥 = 2 ⇒
𝑥 = 2
𝑦 = −1
c) Multiplicamos la primera ecuación por 2 y la segunda por −1
+
10𝑥 + 2𝑦 = 14
−3𝑥 − 2𝑦 = 0
7𝑥 = 14
⇒ 𝑥 =
14
7
= 2 ⇒ 10 + 𝑦 = 7 ⇒ 𝑦 = −3 ⇒
𝑥 = 2
𝑦 = −3
a)
2𝑥 − 𝑦 = 0
𝑥 + 𝑦 = 6
b)
𝑥 − 4𝑦 = 6
3𝑥 − 𝑦 = 7
c)
5𝑥 + 𝑦 = 7
3𝑥 + 2𝑦 = 0
Resuelve los siguientes sistemas por reducción
RESOLUCIÓN DE SISTEMAS:
REDUCCIÓN

25. Si al resolver un sistema, por cualquiera de los tres métodos, obtenemos:
• Una ecuación del tipo 𝒂𝒙 = 𝒃 siendo 𝒂 un número distinto de cero:
Deducimos que puedo obtener una única solución para 𝑥, lo que me lleva a una
única solución para 𝑦, y por tanto a una única solución del sistema. Entonces el
sistema es compatible determinado.
• Una ecuación del tipo 𝟎𝒙 = 𝟎:
Deducimos que 𝑥 puede tomar cualquier valor. Hay infinitas posibilidades para
la incógnita 𝑥 que me llevan a infinitas posibilidades para la incógnita 𝑦, y por
tanto el sistema tendrá infinitas soluciones. El sistema es compatible
indeterminado.
• Una ecuación del tipo 𝟎𝒙 = 𝒃, siendo 𝒃 un número distinto de cero:
Deducimos que no existe ningún valor de 𝑥 que verifique la ecuación. Al no
haber valores posibles para 𝑥, tampoco habrá valores posibles para 𝑦, y por
tanto el sistema no tendrá solución. El sistema es incompatible.
MÉTODOS DE RESOLUCIÓN Y
CLASIFICACIÓN DE SISTEMAS

26. ⇒ El sistema es compatible indeterminado
+
−12𝑥 + 24𝑦 = −12
12𝑥 − 24𝑦 = 12
0𝑦 = 0
c) Resolvemos por Reducción, multiplicando la primera ecuación por 3 y la
segunda por 4:
⇒ El sistema es incompatible
+
6𝑥 − 12𝑦 = 18
−6𝑥 + 12𝑦 = −14
0𝑦 = 4
b) Resolvemos por Reducción, multiplicando la primera ecuación por 3 y la
segunda por −2 :
a) Resolvemos por sustitución, despejando 𝑥 en la segunda ecuación:
𝑥 = 6 − 𝑦 ⇒ 2 6 − 𝑦 − 𝑦 = 0 ⇒ 12 − 2𝑦 − 𝑦 = 0 ⇒ 12 = 3𝑦 ⇒
⇒ 𝑦 = 4 ⇒ 𝑥 = 2 ⇒
𝑥 = 2
𝑦 = 4
El sistema es compatible determinado
a)
2𝑥 − 𝑦 = 0
𝑥 + 𝑦 = 6
b)
2𝑥 − 4𝑦 = 6
3𝑥 − 6𝑦 = 7
c)
−4𝑥 + 8𝑦 = −4
3𝑥 − 6𝑦 = 3
Resuelve los sistemas y clasifícalos.
RESOLUCIÓN Y CLASIFICACIÓN

27. Para resolver un problema con un sistema de ecuaciones debemos:
• Leer atentamente el problema y fijarnos en qué datos nos da el problema y qué
datos nos pide.
• Fijar qué es lo que van a significar las incógnitas del problema. Si es posible, esto
último lo escribiremos con una frase completa para cada incógnita.
• A continuación leeremos de nuevo el problema fijándonos en las relaciones de
lo que son nuestras incógnitas con el resto de los datos del problema. A partir
de esta nueva lectura intentaremos plantear las ecuaciones del sistema.
• Resolveremos el sistema de ecuaciones.
• El último paso será interpretar la solución, intentando responder a la pregunta
que nos hace el problema. Puesto que la pregunta está redactada en lenguaje
ordinario, la respuesta la daremos también en lenguaje ordinario, no en
lenguaje matemático.
PROBLEMAS

28. Algunos de los problemas que resolveremos son:
• Problemas de sistemas lineales.
 Problemas de números.
 Problemas de edades.
 Problemas de mezclas.
 Problemas de móviles.
 Problemas con figuras geométricas.
PROBLEMAS

29. Llamaremos 𝑥 al número de coches, e 𝑦 al número de motos.
Podemos plantear el sistema.
𝑥 + 𝑦 = 12
4𝑥 + 2𝑦 = 42
Se resuelve el sistema por cualquiera de los tres métodos, y se tiene
𝑥 = 9
𝑦 = 3
En el garaje hay 9 coches y 3 motos
Otros problemas similares a este pueden ser
• En un almacén hay lámparas de 3 y 4 bombillas. En total existen 80 lámparas y
290 bombillas. ¿Cuántas lámparas de cada clase hay en el almacén?
• En una empresa de envasado de agua se han envasado 25000 litros de agua en
8000 botellas de 2 y 5 litros. ¿Cuántas botellas de cada clase han utilizado?
También se pueden cambiar los coches y las motos por cabras y gallinas,
cambiando las ruedas por las patas,…
En un garaje hay coches y motos. En total se cuentan 12 vehículos y 42 ruedas.
¿Cuántos vehículos hay de cada?
PROBLEMAS
DE SISTEMAS LINEALES

30. Llamaremos 𝑥 al número de respuestas acertadas, e 𝑦 al número de fallos.
Podemos plantear el sistema.
𝑥 + 𝑦 = 20
3𝑥 − 𝑦 = 16
Se resuelve el sistema por cualquiera de los tres métodos, y se tiene
𝑥 = 9
𝑦 = 11
Se han acertado 9 y se han fallado 11 preguntas
Otro problema similar a este puede ser
• En un puesto de tiro al blanco en una feria, un feriante ofrece 5 euros por cada
acierto y cobra 3 euros por cada fallo. Si tras 16 tiros, el concursante ni gana ni
pierde, ¿cuántos tiros acierta y cuántos falla?
En un test de preguntas, por cada respuesta acertada se suman 3 puntos y por cada
respuesta errónea o no contestada se resta 1 punto. Si el test tiene 20 preguntas y
se han obtenido 16 puntos, ¿cuántas respuestas se han acertado?
PROBLEMAS
DE SISTEMAS LINEALES

31. Llamaremos 𝑥 al precio del kilo de naranjas, e 𝑦 al precio del kilo de manzanas.
Podemos plantear el sistema.
4𝑥 + 2𝑦 = 4,40
3𝑥 + 4𝑦 = 4,80
Se resuelve el sistema por cualquiera de los tres métodos, y se tiene
𝑥 = 0,80
𝑦 = 0,60
El kilo de naranjas cuesta a 0,80€ y el kilo de manzanas cuesta a 0,60€
Otro problema similar a este puede ser
• Mario compra 3 DVD y 4 CD, y paga 100€; y Ana compra 4 DVD y 3 CD en la
misma tienda, y paga 110€. ¿Cuánto cuesta cada DVD y cada CD?
• Un hotel ofrece dos tipos de alojamiento: por 2 noches y 6 comidas cobra 180€,
y por 5 noches y 5 comidas cobra 350€ ¿Cuánto cuesta cada noche y cada
comida?
Al comprar en una frutería 4 kilos de naranjas y 2 kilos de manzanas, nos cobran
4,40€. A la semana siguiente se compran 3 kilos de naranjas y 4 kilos de manzanas
y nos cobran 4,80€. ¿Cuánto cuesta el kilo de cada tipo de fruta?
PROBLEMAS
DE SISTEMAS LINEALES

32. Resolvemos el sistema por cualquiera de los tres métodos, (aunque pienso que el
más sencillo es por sustitución, aprovechando que la incógnita 𝑥 ya está despejada
en la primera ecuación), y tenemos la solución
𝑥 = 31
𝑦 = 17
Mi hermano tiene 17 años y yo tengo 31 años.
𝑥 = 𝑦 + 14
3 𝑦 − 10 = 𝑥 − 10
Edades Hoy Edades hace 10 años
Yo 𝑥 𝑥 − 10
Mi hermano 𝑦 𝑦 − 10
Llamaremos 𝑥 a mi edad actual e 𝑦 a la edad actual de mi hermano.
Escribiremos los datos en una tabla, y con ello plantearemos el sistema:
Tengo 14 años más que mi hermano, y hace 10 años tenía exactamente el triple de
su edad. ¿Cuáles son nuestras edades actuales?
PROBLEMAS
DE SISTEMAS LINEALES

33. Resolvemos el sistema como queramos, y tenemos la solución
𝑥 = 150
𝑦 = 50
Mezclaremos 150 kilos de patatas a 0,40€/kg con 50 kilos de patatas a 0,20€/kg.
𝑥 + 𝑦 = 200
0,40𝑥 + 0,20𝑦 = 0,35 · 200
Kilos Precio total
Patatas a 0,40€/Kg 𝑥 0,40 · 𝑥
Patatas a 0,20€/Kg 𝑦 0,20 · 𝑦
Patatas a 0,35€/Kg 200 0,35 · 200
Llamaremos 𝑥 a los kilos de patatas a 0,40€ el kilo, e 𝑦 a los kilos de patatas a 0,20€
el kilo.
Escribiremos los datos en una tabla, y con ello plantearemos el sistema:
Se tienen patatas a 0,40€ el kilo y patatas a 0,20€ el kilo y se desean mezclar para
obtener 200 kg de patatas a 0,35€ el kilo. ¿Cuántos kilos debemos poner de cada?
PROBLEMAS
DE SISTEMAS LINEALES

34. Resolvemos el sistema por el método que más nos guste, y tendremos la solución
𝑥 = 270
𝑦 = 3
Los móviles se encuentran a 270 km de la ciudad A, al cabo de 3 horas.
𝑥 = 90𝑦
570 − 𝑥 = 100𝑦
Móvil A Velocidad = 90 𝑘𝑚/ℎ Espacio = 𝑥 𝑘𝑚 Tiempo = 𝑦 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠
Móvil B Velocidad = 100 𝑘𝑚/ℎ Espacio = 570 − 𝑥 𝑘𝑚 Tiempo = 𝑦 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠
Llamaremos 𝑥 a la distancia respecto de A a la que se encuentran, e 𝑦 al tiempo.
Escribiremos los datos en una tabla, y con ello plantearemos el sistema:
Dos ciudades A y B están separadas 570 km. Sale de A una moto a 90 km/h y
simultáneamente de B un coche a 100 km/h. ¿Cuánto tardan en encontrarse y a
qué distancia de A?
PROBLEMAS
DE SISTEMAS LINEALES

35. Resolvemos el sistema y tendremos la solución
𝑥 = 7
𝑦 = 3
La base mide 7 cm y la altura mide 3 cm.
𝑥 = 𝑦 + 4
2 𝑥 + 3 + 2 𝑦 + 3 = 32
𝑦 + 3
𝑥 + 3
𝑥
𝑦
Llamaremos 𝑥 a la longitud de la base, e 𝑦 a la longitud de la altura.
Como en todos los problemas que tengan relación con alguna figura geométrica,
haremos un dibujo que nos guíe en el planteamiento:
En un rectángulo, la base es 4 cm más larga que la altura. Si alargáramos 3 cm a
cada lado, entonces el perímetro sería de 32 cm. Halla las dimensiones del
rectángulo.
PROBLEMAS
DE SISTEMAS LINEALES