Este documento describe el proceso de poligonación para calcular las coordenadas de los vértices de una poligonal topográfica de n lados a partir de las mediciones de ángulos y distancias. Explica cómo se calculan los azimuts, coordenadas, y ecuaciones de cierre para ángulos, coordenadas X e Y, área y error. Finalmente, resume el sistema de ecuaciones de condición para determinar las correcciones a los ángulos y distancias medidas minimizando los errores cuadráticos.

1. Jaime J. Velastegui T.
INGENIERO GEÓGRAFO 1
POLIGONACION
Cálculos de una poligonal en 2D abierta de 𝑛 lados, y encerrada entre dos líneas
bases conocidas al inicio y al final.
FIGURA 1. Poligonal topográfica
Para esta tarea se requieren medir 𝑛 lados 𝑟𝑖 y 𝑛 + 1 ángulos 𝛼𝑖 horizontales para
luego realizar los cálculos de ajuste.
Cálculo de los azimuts en función de los ángulos 𝛼𝑖 medidos en sentido horario
(a la derecha):
𝐴 𝑍1 = 𝐴 𝑍𝐵 + 𝛼1 − 2 ∗ 180,
𝐴 𝑍2 = 𝐴 𝑍𝐵 + 𝛼1 + 𝛼2 − 3 ∗ 180,
…
𝐴 𝑍𝑄
𝐶
= 𝐴 𝑍𝐵 + ∑ 𝛼𝑖
𝑛+1
𝑖=1 − (𝑛 + 1) ∗ 180.
El azimut calculado 𝐴 𝑍𝑄
𝐶
debe ser igual al azimut fijo 𝐴 𝑍𝑄 por lo que se obtiene la
condición de cierre angular:
𝑊𝑎 = 𝐴 𝑍𝑄
𝐶
− 𝐴 𝑍𝑄 = 𝐴 𝑍𝐵 + ∑ 𝛼𝑖
𝑛+1
𝑖=1 − (𝑛 + 1) ∗ 180 − 𝐴 𝑍𝑄 ,
Según el desarrollo de Taylor para los términos de primer grado y para
correcciones pequeñas 𝑑𝛼𝑖 de los ángulos observados tenemos:
0 = 𝑊𝑎 + ∑
𝜕(𝑊𝑎)
𝜕𝛼 𝑖
𝑑𝛼𝑖
𝑛+1
𝑖=1 , es la ecuación de cierre angular:
∑ 𝑑𝛼𝑖
𝑛+1
𝑖=1 = −𝑊𝑎 (1)
Cálculo de las coordenadas (𝑋𝑖 , 𝑌𝑖) de los vértices 𝑖 de la poligonal en función
de los ángulos y distancias medidas:
𝑋1 = 𝑋𝐴 + 𝑟1 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝐴 𝑍1),
𝑋2 = 𝑋𝐴 + 𝑟1 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝐴 𝑍1) + 𝑟2 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝐴 𝑍2),
…
𝑋 𝑃
𝐶
= 𝑋𝐴 + ∑ 𝑟𝑖
𝑛
𝑖=1 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝐴 𝑍𝑖),

2. Jaime J. Velastegui T.
INGENIERO GEÓGRAFO 2
𝑋 𝑃
𝐶
= 𝑋 𝑃 , la coordenada calculada 𝑋 𝑃
𝐶
debe ser igual a la coordenada de
llegada 𝑋 𝑃 y se obtiene la ecuación de cierre para 𝑋:
𝑊𝑋 = 𝑋 𝑃
𝐶
− 𝑋 𝑃 = 𝑋𝐴 + ∑ 𝑟𝑖
𝑛
𝑖=1 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝐴 𝑍𝑖) − 𝑋 𝑃, luego la ecuación de condición
queda:
0 = 𝑊𝑋 +
𝜕(𝑊𝑋)
𝜕𝛼
𝑑𝛼 +
𝜕(𝑊𝑋)
𝜕𝑟
𝑑𝑟
(∑ 𝑟𝑖 ∗ cos(𝐴 𝑍𝑖)) 𝑑𝛼1
𝑛
𝑖=1 + (∑ 𝑟𝑖 ∗ cos(𝐴 𝑍𝑖)) 𝑑𝛼2
𝑛
𝑖=2 + ⋯ + 𝑟𝑛 ∗ cos(𝐴 𝑍𝑛) 𝑑𝛼 𝑛 +
∑ 𝑠𝑒𝑛(𝐴 𝑍𝑖)𝑑𝑟𝑖
𝑛
𝑖=1 ∗= −𝑊𝑋, (2)
Calculando para 𝑌 se obtiene:
𝑌1 = 𝑌𝐴 + 𝑟1 ∗ 𝑐𝑜𝑠(𝐴 𝑍1),
𝑌2 = 𝑌𝐴 + 𝑟1 ∗ 𝑐𝑜𝑠(𝐴 𝑍1) + 𝑟2 ∗ 𝑐𝑜𝑠(𝐴 𝑍2),
…
𝑌𝑃
𝐶
= 𝑌𝐴 + ∑ 𝑟𝑖
𝑛
𝑖=1 ∗ 𝑐𝑜𝑠(𝐴 𝑍𝑖),
𝑌𝑃
𝐶
= 𝑌𝑃 , la coordenada calculada 𝑌𝑃
𝐶
debe ser igual a la coordenada de
llegada 𝑌𝑃 y se obtiene la ecuación de cierre para 𝑌:
𝑊𝑌 = 𝑌𝑛
𝐶
− 𝑌𝑃 = 𝑌𝐴 + ∑ 𝑟𝑖
𝑛
𝑖=1 ∗ 𝑐𝑜𝑠(𝐴𝑖) − 𝑌𝑃, luego la ecuación de condición queda:
0 = 𝑊𝑌 +
𝜕(𝑊𝑌)
𝜕𝛼
𝑑𝛼 +
𝜕(𝑊𝑌)
𝜕𝑟
𝑑𝑟
−(∑ 𝑟𝑖 ∗ sen(𝐴 𝑍𝑖)) 𝑑𝛼1
𝑛
𝑖=1 − (∑ 𝑟𝑖 ∗ sen(𝐴 𝑍𝑖)) 𝑑𝛼2
𝑛
𝑖=2 − ⋯ − 𝑟𝑛 ∗ sen(𝐴 𝑍𝑛) 𝑑𝛼 𝑛 +
∑ 𝑐𝑜𝑠(𝐴 𝑍𝑖)𝑑𝑟𝑖
𝑛
𝑖=1 = −𝑊𝑌, (3)
Una condición más que debe cumplirse en esta tarea es que el área 𝑆 del
triangulo 𝛥𝐴𝑃𝑃 𝐶
debe ser nula.
FIGURA 2. Condición de área nula
2𝑆 = [
𝑋 𝑃
𝐶
𝑌𝑃
𝐶
1
𝑋 𝑃 𝑌𝑃 1
𝑋𝐴 𝑌𝐴 1
]
2𝑆 = (𝑌𝑃 − 𝑌𝐴) ∗ 𝑋 𝑃
𝐶
− (𝑋 𝑃 − 𝑋𝐴) ∗ 𝑌𝑃
𝐶
+ 𝑋 𝑃 ∗ 𝑌𝐴 − 𝑋𝐴 ∗ 𝑌𝑃
Luego la condición de área nula será:

3. Jaime J. Velastegui T.
INGENIERO GEÓGRAFO 3
0 = 2𝑆 +
𝜕(2𝑆)
𝜕𝛼
𝑑𝛼 +
𝜕(2𝑆)
𝜕𝑟
𝑑𝑟
[(𝑌𝑃 − 𝑌𝐴)
𝜕(𝑋 𝑃
𝐶
)
𝜕𝛼
− (𝑋 𝑃 − 𝑋𝐴)
𝜕(𝑌𝑃
𝐶
)
𝜕𝛼
] 𝑑𝛼 + [(𝑌𝑃 − 𝑌𝐴)
𝜕(𝑋 𝑃
𝐶
)
𝜕𝑟
− (𝑋 𝑃 − 𝑋𝐴)
𝜕(𝑌𝑃
𝐶
)
𝜕𝑟
] 𝑑𝑟 = −2𝑆
[(𝑌𝑃 − 𝑌𝐴) ∗ ∑ 𝑟𝑖 ∗ cos(𝐴 𝑍𝑖)
𝑛
𝑖=1
+ (𝑋 𝑃 − 𝑋𝐴) ∗ ∑ 𝑟𝑖
𝑛
𝑖=1
∗ 𝑠𝑒𝑛(𝐴 𝑍𝑖)] 𝑑𝛼1 +
[(𝑌𝑃 − 𝑌𝐴) ∗ ∑ 𝑟𝑖 ∗ cos(𝐴 𝑍𝑖)
𝑛
𝑖=2
+ (𝑋 𝑃 − 𝑋𝐴) ∗ ∑ 𝑟𝑖
𝑛
𝑖=2
∗ 𝑠𝑒𝑛(𝐴 𝑍𝑖)] 𝑑𝛼2 +
…
[(𝑌𝑃 − 𝑌𝐴) ∗ 𝑟𝑛 ∗ 𝑐𝑜𝑠(𝐴 𝑍𝑛) + (𝑋 𝑃 − 𝑋𝐴) ∗ 𝑟𝑛 ∗ sen(𝐴 𝑍𝑛)]𝑑𝛼 𝑛 +
∑ [(𝑌𝑃 − 𝑌𝐴) ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝐴 𝑍𝑖) − (𝑋 𝑃 − 𝑋𝐴) ∗ cos(𝐴 𝑍𝑖)]𝑑𝑟𝑖
𝑛
𝑖=1 = −2𝑆, (4)
El error de cierre 𝜀 es un vector que relaciona las mediciones mediante la
siguiente expresión:
𝜺 ⋅ 𝜺 = (𝑹 − 𝒓) ⋅ (𝑹 − 𝒓), donde:
𝑹 = (𝑋 𝑃 − 𝑋𝐴, 𝑌𝑃 − 𝑌𝐴),
𝒓 = (𝑋 𝑃
𝐶
− 𝑋𝐴, 𝑌𝑃
𝐶
− 𝑌𝐴), y reemplazando tenemos:
𝜀2
= (𝑋 𝑃 − 𝑋𝐴)(𝑋 𝑃
𝐶
− 𝑋𝐴) + (𝑌𝑃 − 𝑌𝐴)(𝑌𝑃
𝐶
− 𝑌𝐴),
La ecuación de condición para 𝜀2
será:
0 = 𝜀2
+
𝜕(𝜀2)
𝜕𝛼
𝑑𝛼 +
𝜕(𝜀2)
𝜕𝑟
𝑑𝑟,
[(𝑋 𝑃 − 𝑋𝐴)
𝜕(𝑋 𝑃
𝐶
)
𝜕𝛼
+ (𝑌𝑃 − 𝑌𝐴)
𝜕(𝑌𝑃
𝐶
)
𝜕𝛼
] 𝑑𝛼 + [(𝑋 𝑃 − 𝑋𝐴)
𝜕(𝑋 𝑃
𝐶
)
𝜕𝑟
+ (𝑌𝑃 − 𝑌𝐴)
𝜕(𝑌𝑃
𝐶
)
𝜕𝑟
] 𝑑𝑟 = −𝜀2
,
[(𝑋 𝑃 − 𝑋𝐴) ∗ ∑ 𝑟𝑖 ∗ cos(𝐴 𝑍𝑖)
𝑛
𝑖=1
− (𝑌𝑃 − 𝑌𝐴) ∗ ∑ 𝑟𝑖
𝑛
𝑖=1
∗ 𝑠𝑒𝑛(𝐴 𝑍𝑖)] 𝑑𝛼1 +
[(𝑋 𝑃 − 𝑋𝐴) ∗ ∑ 𝑟𝑖 ∗ cos(𝐴 𝑍𝑖)
𝑛
𝑖=2
− (𝑌𝑃 − 𝑌𝐴) ∗ ∑ 𝑟𝑖
𝑛
𝑖=2
∗ 𝑠𝑒𝑛(𝐴 𝑍𝑖)] 𝑑𝛼2 +
…
[(𝑋 𝑃 − 𝑋𝐴) ∗ 𝑟𝑛 ∗ 𝑐𝑜𝑠(𝐴 𝑍𝑛) − (𝑌𝑃 − 𝑌𝐴) ∗ 𝑟𝑛 ∗ sen(𝐴 𝑍𝑛)]𝑑𝛼 𝑛 +
∑ [(𝑋 𝑃 − 𝑋𝐴) ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝐴 𝑍𝑖) + (𝑌𝑃 − 𝑌𝐴) ∗ cos(𝐴 𝑍𝑖)]𝑑𝑟𝑖
𝑛
𝑖=1 = −𝜀2
(5)
En notación matricial, las ecuaciones de condición las podemos resumir:
5 𝑩 𝟐𝒏+𝟏 ∗2𝑛+1 𝑽 𝟏 + 5 𝑾1 = 0,

4. Jaime J. Velastegui T.
INGENIERO GEÓGRAFO 4
Sistema matricial conformado por 5 ecuaciones de condición con 2𝑛 + 1
incógnitas para 𝑛 + 1 ángulos 𝛼𝑖 y 𝑛 distancias 𝑟𝑖 medidos.
Ahora nos queda por calcular las correcciones 2𝑛+1 𝑉1, según el principio de los
mínimos cuadrados para observaciones condicionadas:
𝑉 𝑇
𝑃𝑉 = 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜