INTERPOLACION

1. UNIVERSIDAD “FERMÍN TORO”
VICERRECTORADO ACADÉMICO
FACULTAD DE INGENIERÍA
ESCUELA DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
INTERPOLACION
Alumnos:
Cesar Juárez 23.812.803
CABUDARE, SEPTIEMBRE 2015

2. ¿Qué es La Interpolación?
La interpolación puede definirse como un proceso por el cual se define un
valor en un punto cualquiera a partir de los valores conocidos en algunos puntos
dados. La interpolación consiste en hallar un dato dentro de un intervalo en el que
conocemos los valores en los extremos. La idea de la interpolación es poder
estimar f(x) para un x arbitrario, a partir de la construcción de una curva o
superficie que une los puntos donde se han realizado las mediciones y cuyo valor
si se conoce. En numerosos fenómenos de la naturaleza es posible observar una
cierta regularidad en la forma como se producen, esto nos permite sacar
conclusiones de la marcha de un fenómeno en situaciones que no hemos medido
directamente.
Acerca de la interpolación también podemos decir que interpolar significa
estimar el valor desconocido de una función en un punto, tomando una media
ponderada de sus valores conocidos en puntos cercanos al dado.
La interpolación de los datos puede hacerse mediante un polinomio, las
funciones spline, una función racional o las series de Fourier entre otras posibles
formas. La interpolación polinomial (ajustar un polinomio a los puntos dados) es
uno de los temas más importantes en métodos numéricos, ya que la mayoría de
los demás modelos numéricos se basan en la interpolación polinomial. Por
ejemplo, los modelos de integración numérica se obtienen integrando fórmulas de
interpolación polinomial, y los modelos de diferenciación numérica se obtienen
derivando las interpolaciones polinomiales.
La interpolación como método de aproximación matemática tiene muchas
aplicaciones en múltiples áreas, tales como en estadística como elemento de
manejo de datos en tablas de probabilidades, en geografía como método de
representación cartográfica para la distribución de una población en un
determinado espacio territorial y en medicina, en el área de tomografía
convencional espiral se hace imprescindible el uso de interpoladores con el
propósito de reconstruir las imágenes que por medio de esta técnica se consiguen.

3. Antecedentes de la Interpolación
Algunos estudios hablan de que, la interpolación como método matemático
de aproximación numérica fue utilizado por los astrónomos para “predecir “o ubicar
los cuerpos celestes en el espacio. Otros afirman que la historia de la interpolación
comienza con los matemáticos babilónicos y sus trabajos en las tablas
exponenciales que, aunque presentan grandes huecos, no dudaban en interpolar
linealmente o proporcionalmente para conseguir una aproximación a sus valores
intermedios.
El desarrollo de la interpolación se entrelazó con los primeros desarrollos de
las diferencias finitas, empezando por la cuadratura del círculo de Wallis en 1655,
con la que propuso el principio de “intercálculo” o interpolación. Esto fue aceptado
por Newton en 1676, lo cual le permitió la derivación de las series binomiales, es
decir, a partir de un problema de cuadraturas, Newton pudo obtener el teorema
binomial. Luego se continúa con la construcción de fórmulas prácticas de
interpolación. Aunque “la historia de las fórmulas de interpolación es complicada y
muy discutida” (Bell, 1995, p.421), se le puede considerar como un potente
estímulo en los siglos XVII y XVIII para la evolución independiente de las
operaciones fundamentales de la teoría clásica de las diferencias finitas, las
cuales se desarrollaron principalmente para facilitar cálculos numéricos en
astronomía, la creación de tablas y la cuadratura mecánica.
TIPOS Y METODOS
INTERPOLACION LINEAL
Esta interpolación es la base para varios modelos numéricos fundamentales.
Al integrar la interpolación lineal, se deduce el modelo de integración llamado regla
del trapecio. La interpolación lineal da como resultado una recta que se ajusta a
dos puntos dados. La interpolación lineal es el método más simple en uso hoy. Es
el método usado por los programas de generación de gráficas, donde se interpola
con líneas rectas entre una serie de puntos que el usuario quiere graficar. En la
interpolación lineal –también conocida como la regla de tres- se utiliza un
segmento rectilíneo que pasa por dos puntos que se conocen; entonces la función
interpolante es una línea recta entre los dos puntos. Para cualquier punto entre los
dos valores de x0 y x1 se debe seguir la ecuación de la línea

4. 𝑦 − 𝑦0
𝑦1 − 𝑦0
=
𝑥 − 𝑥0
𝑥1 − 𝑥0
→ 𝑦 = 𝑦0 + (
𝑦1 − 𝑦0
𝑥1 − 𝑥0
)( 𝑥 − 𝑥0)
En donde y es la variable desconocida y además:
𝑥0 < 𝑥 < 𝑥1
INTERPOLACION POLINOMICA
La interpolación polinómica es un método usado para conocer, de un modo
aproximado, los valores que toma cierta función de la cual sólo se conoce su
imagen en un número finito de abscisas. A menudo, ni siquiera se conocerá la
expresión de la función y sólo se dispondrá de los valores que toma para dichas
abscisas.
El objetivo será hallar un polinomio que cumpla lo antes mencionado y que
permita hallar aproximaciones de otros valores desconocidos para la función con
una precisión deseable fijada. Por ello, para cada polinomio interpolador se
dispondrá de una fórmula de error que permita ajustar la precisión del mismo.
Los procedimientos de cálculo que usan los computadores para evaluar una
función ya incorporada, tales como las funciones trigonométricas, logarítmicas y
exponenciales, involucran aproximación mediante polinomios.
Los polinomios interpolantes de más amplio uso o aplicación son el
polinomio de Taylor, el polinomio de Lagrange, el de Newton y el de Hermite, entre
otros.