1. 3. 1
UNIDAD 3
LOGARITMOS
EJERCICIOS RESUELTOS
Objetivo general.
Al terminar esta Unidad comprenderás la importancia histórica de los
logaritmos y resolverás ejercicios y problemas en los que apliques los
logaritmos y sus leyes.
Objetivo 2. Reconocerás la definición de logaritmo.
Ejercicios resueltos:
a.) Escribe la forma logarítmica de las expresiones dadas en forma exponencial.
1.) 6
2 64
La base es 2 y el exponente es 6, por lo que 2log 64 6
2.)
3
1 1
5 125
 
 
 
La base es 1
5
y el exponente es 3, de modo que 1
5
1
log 3
125

3.) 4 1
2
16


La base es 2 y el exponente es – 4, así que 2
1
log 4
16
 

2. 3. 2
b.) Escribe la forma exponencial de las expresiones dadas en forma logarítmica.
4.) 6log 36 2
La base es 6 y el logaritmo es 2, por lo que 2
6 36
5.) 3log 243 5
La base es 3 y el logaritmo es 5, así que 5
3 243
6.) 1
3
1
log 4
81

La base es 1
3
y el logaritmo es 4, de modo que
4
1 1
3 81
 
 
 
c.) Escribe en forma exponencial y determina el valor de la incógnita.
7.) 5log 25y 
En forma exponencial: 5 25y

Como 2
5 25 , entonces 2y 
8.) 2 log 16a
En forma exponencial: 2
16a 
Como 2
4 16 , queda 4a 
9.) 1
2
3 log x
En forma exponencial:
3
1
2
x
 
 
 
Entonces,
1
8
x 
Objetivo 3. Recordarás la diferencia entre los logaritmos naturales y
los logaritmos base diez.

3. 3. 3
Ejercicios resueltos:
Con ayuda de unas tablas o una calculadora, encuentra los logaritmos comunes y los
logaritmos naturales de los números que se proponen:
1.) 3
log3 0.477121...
ln3 1.098612...
2.) 300
log300 2.477121...
ln300 5.703782...
13.)
30
1log 1.477121...
30
 
1ln 3.401197...
30
 
4.) 30,000
log30,000 4.477121...
ln30,000 10.308953...
Objetivo 4. Recordarás las propiedades generales de los logaritmos.
Ejercicios resueltos:
Escribe una X si el logaritmo no existe, un 1 o un 0 si ése es su valor, y una P si es positivo
(diferente de 1) o una N si es negativo.
 1.) ln 0
 X

4. 3. 4
 52.) log 73
 P
   2
33.) log
4

 X
 124.) log 12
 1
 95.) log 1
 X
 16.) log 18
 X
   37.) log 0.11
 N
Objetivo 5. Recordarás las leyes de las operaciones con logaritmos.
Ejercicios resueltos:
a.) Demuestra la ley del producto para los logaritmos.
log
log
p
a
q
a
x p x a
y q y a
  
  
p q p q
xy a a a 
 
log log logxy p q x y    
b.) Aplica las leyes de los logaritmos para desarrollar las siguientes expresiones:
31.) log
2
x
x 
 3 3log log 2x x  

5. 3. 5
2
92.) log 4x
  92 log 4x 
53.) log 12
 
1
2
5log 12
5
1
log 12
2

 
4
4.) log 2 3 7
 4log 2 3 7 
 4 log2 log3 log7  
2
3
25.) log
2
x
y
 
 
 
1
2 3
2log
2
x
y
  
   
   
2
3
2log
2
x
y
 
  
 
2
2
log
3 2
x
y
 
  
 
 2 2
2
log log 2
3
x y 
  2 2 2
2
log log 2 log
3
x y  
 2 2 2
2
log log 2 log
3
x y  
c.) Aplica las leyes de los logaritmos para reducir las expresiones:
6.) 2log 2logx y
2 2
log logx y 

6. 3. 6
2 2
log x y
7.) ln ln lna b c 
 ln ln lna b c  
ln lna bc 
ln
a
bc
 
  
 
3 3
2 3
8.) log log
5 5
a b
32
5 5
3 3log loga b 
32
5 5
3log a b
 
1
2 3 5
3log a b
5 2 3
3log a b
 7 79.) log log 3x y 
7log
3
x y

10.) log 2log logx y z 
2
log log logx y z  
2
log
xz
y

d.) Sabiendo que log 2 = 0.301030...; log 3 = 0.477121...; log 5 = 0.698970... y log 7 =
0.845098...; calcula, utilizando sólo estos valores, los siguientes logaritmos:
11.) log 4
2
log 4 log 2
2log 2

7. 3. 7
 2 0.301030...
0.602060...
12.) log 42
 log 42 log 2 3 7  
log 2 log3 log7  
     0.301030... 0.477121... 0.845098...  
1.623249...
13.) log 2.5
5
log 2.5 log
2

log5 log 2 
0.698970... 0.301030... 
0.397940...
3
14.) log
7
3 1 3
log log
7 2 7

 
1
log3 log7
2
 
 
1
0.477121... 0.845098...
2
 
 
1
0.367977...
2
 
0.183989... 

8. 3. 8
Objetivo 6. Recordarás el procedimiento para cambiar logaritmos de una
base a otra.
Ejercicios resueltos:
Obtén los valores de los logaritmos que se solicitan, a partir de los que se dan.
21.) log 5 si log5 0.698970... y log 2 0.301030... 
2
log5
log 5
log 2

0.698970...
0.301030...

2.321929...
2.) ln 72 si log72 1.857333... y log 0.434294...e 
log72
ln 72
loge

1.857333...
0.434294...

4.276666...
5 3 3
3
3.) log 14 si log 7 1.771244..., log 2 0.630930...
y log 5 1.464974...
 

3
5
3
log 14
log 14
log 5

3 3
3
log 7 log 2
log 5


1.771244... 0.630930...
1.464974...


2.402174...
1.464974...

1.639738...

9. 3. 9
Objetivo 7. Resolverás ecuaciones que involucren logaritmos.
Ejercicios resueltos:
Obtén el valor de la incógnita:
 1.) log 2 4 2x  
2
2 4 10 100x   
2 100 4 104x   
52x 
   2.) log 1 log log 9y y y   
   log 1 log 9y y y  
   log 1 log 9 0y y y   
 
 
1
log 0
9
y y
y



 
 
01
10 1
9
y y
y

 

   1 9y y y  
2
9y y y  
2
9 0y  
3 o 3y y  
pero la solución negativa no puede aceptarse, de modo que 3y 
 3.) log 1 log 1 log 4x x x    
     
1 1
log 1 log 1 log 4
2 2
x x x    
     log 1 2log 1 log 4x x x    
     
2
log 1 log 1 log 4x x x    

10. 3. 10
 
 
 
2
1
log 1 log
4
x
x
x

 

 
2
1
1
4
x
x
x

 

    
2
1 4 1x x x   
2 2
3 4 2 1x x x x    
5x 
Objetivo 8. Aplicarás logaritmos en la resolución de problemas de casos
reales.
Ejercicios resueltos:
1.) Para determinar la edad de una roca, la ciencia ha desarrollado una técnica basada en la
concentración de cierto material radiactivo en su interior. Cuanto más joven es la roca,
mayor concentración de material radiactivo se encuentra en ella. La ecuación que
relaciona la concentración del material con la edad de la roca es:
  3 t
C x k

donde  C x representa la concentración del material radiactivo encontrada en la roca,
t la edad de la roca (medida en cientos de años) y k la concentración del elemento en el
momento de formarse la roca.
Suponiendo que k = 4500:
a.) ¿Qué edad tendrá una roca que tiene una concentración de 1500 del
material radiactivo?
b.) ¿Qué edad tendría que tener una roca para que ya no tuviera el material
radiactivo?
Solución:
Si se aplican logaritmos a la ecuación dada se obtiene:
   ln ln 3 ln3 lnt t
C x k k 
    
   ln ln3 lnC x t k    

11. 3. 11
que sería la ecuación escrita en forma logarítmica.
De esta manera, en el inciso a.), al sustituir los valores de  C x y de k queda:
ln1500 ln3 ln 4500t  
ln3 ln 4500 ln1500t  
4500
ln ln3
1500
 
1t 
De modo que la edad de la roca es de 100 años (puesto que t = 1 y el tiempo se mide en
cientos de años).
Para el inciso b.), el material radiactivo se acabaría cuando su concentración llegara a
cero, lo que significaría que:
 ln 0 ln3 lnt k  
Pero el logaritmo de cero no existe, de modo que la ecuación no tiene solución, por lo
que, teóricamente, siempre quedaría un resto (mínimo) de material radiactivo.
2.) Si se invierte un capital a una tasa fija y los intereses se capitalizan periódicamente, es
decir que se suman al capital y la suma obtenida se reinvierte con la misma tasa por
otro período igual, el capital original se incrementa con la fórmula del interés
compuesto, según la cual, después de n períodos se tiene:
 1
n
f iC c r 
donde fC es el capital acumulado, ic es el capital inicial y r es la tasa de interés.
¿En cuántos años se logrará que un capital de $ 10,000.00 invertido a una tasa del 3.5%
anual se incremente hasta $ 11,475.00?
Solución:
Al convertir la fórmula del interés compuesto a su forma logarítmica se tiene:
 log log 1
n
f iC c r 

12. 3. 12
 log log 1
n
ic r  
 log log log 1f iC c n r  
Entonces, si 11,475, 10,000 y 0.035f iC c r   , al sustituir valores queda:
 log11,475 log10,000 log 1 0.035n  
y, resolviendo para n:
 log 1.035 log11,475 log10,000n  
11,475
log log1.1475
10,000
 
  
 
log1.1475
4
log1.035
n  
Por lo que tendrán que transcurrir 4 años para obtener la cantidad deseada.
3.) Si un objeto que está a una temperatura dada se saca a la intemperie, el objeto se
calienta si la temperatura ambiente es mayor y se enfría en el caso contrario. La ley del
enfriamiento de Newton, que explica el cambio de temperatura del cuerpo es:
k t
T Q Ce 
donde T es la temperatura del objeto después de un tiempo, t, medido en minutos, Q es
la temperatura a la intemperie y C y k son constantes que dependen de las
características del objeto y de su temperatura inicial. Si para una taza de café C = 80 y
k = – 0.069315, ¿cuánto tiempo hay que esperar para que el café esté a 60º C si la
temperatura ambiente es de 20º C?
Solución:
Si se convierte la ecuación a la forma logarítmica se obtiene:
k t
T Q Ce 
k tT Q
e
C
 
 
 
ln ln k tT Q
e
C
 
 
 
lnk t e

13. 3. 13
ln
T Q
k t
C
 
 
 
en donde se ha escogido utilizar logaritmos naturales para aprovechar que ln 1e  .
Entonces, si 60 y 20,T Q  al sustituir valores queda:
60 20
ln 0.069315
80
t
 
  
 
y, resolviendo para t:
40
ln ln 0.5 0.069315
80
t
 
   
 
ln 0.5
0.069315
t 

0.69315
10
0.069315

 

De modo que hay que esperar 10 minutos para que el café esté a 60º C