jrl

1. C´alculo Integral Taller No 2
Universidad Nacional de Colombia, Sede Medell´ın
Semestre 02 - 2013
1. Interpretando las integrales como ´areas, eval´ue
1
0
x + 1 − x2 dx.
2. Calcule los siguientes l´ımites:
(i)
lim
n → ∞
1k + 2k + · · · + nk
nk+1
, k = −1.
(ii)
lim
n → ∞
(n + 1) + (n + 2) + · · · + (n + n)
n2
·
(iii)
lim
n → ∞
√
n + 1 +
√
n + 2 + · · · +
√
n + n
n
√
n
·
(iv)
lim
n → ∞
1
n a
+
1
n a + b
+
1
n a + 2 b
+ · · · +
1
n a + (n − 1)b
.
(v)
lim
n → ∞
1
n
1 + sec2 π
4 n
+ sec2 2 π
4 n
+ · · · + sec2 n π
4 n
.
3. Sin calcular las integrales, determine en cada una de las parejas siguientes cual de las integrales es la mayor:
(i)
1
0
x dx ,
1
0
1 + x2 dx (ii)
1
0
√
x dx ,
1
0
3
√
x dx
(iii)
1
0
x2
sen x dx ,
1
0
x sen x dx (iv)
4
1
x2
dx ,
5
2
x2
dx.
4. Eval´ue las siguientes integrales:
a)
2
0
(x4
−
3
4
x2
−
2
3
x − 1) dx b)
3
0
(y − 1)(2y + 1) dy
c)
π/4
0
sec θ tan θ dθ d)
π/3
0
sen θ + sen θ tan2 θ
sec2 θ
dθ
e)
2
−1
|x − x2
| dx f)
1
0
4
t2 + 1
dt.
1

2. 5. Sin calcular las integrales, demuestre que
π
2
0
√
cos x
√
cos x +
√
sen x
dx =
π
4
. (1)
Indicaci´on: Mediante el cambio de variable x = π
2 − u deduzca que la integral (1) es igual a
π
2
0
√
sen x
√
cos x +
√
sen x
dx.
6. Si f, g : [a, b] → R son funciones continuas y λ ∈ R es una constante. Considere las siguientes afirmaciones:
I.
b
a
(f(x) + g(x)) dx =
b
a
f(x) dx +
b
a
g(x) dx.
II.
b
a
(λf(x) + g(x)) dx = λ
b
a
f(x) dx +
b
a
g(x) dx.
III.
b
a
f(x) · g(x) dx =
b
a
f(x) dx ·
b
a
g(x) dx.
¿Cu´ales de ellas son ciertas?
(a) I y III.
(b) II y III.
(c) I y II.
(d) Todas.
(e) Ninguna.
7. Una piedra se deja caer desde una altura de 450 m.
(i) Encuentre la altura de la piedra en el instante t.
(ii) ¿Cu´anto tiempo tarda la piedra en caer al suelo?
(iii) ¿Qu´e velocidad tiene la piedra al llegar al suelo?
(iv) ¿Si la piedra se lanza hacia abajo con una rapidez de 5 m/s cu´anto tarda en caer?
8. Se aplican los frenos a un autom´ovil para producirle una desaceleraci´on constante de 16ft/s2. El auto
recorre 200 ft hasta detenerse por completo. ¿Cu´al es la rapidez que ten´ıa el auto al empezar a frenar?
9. Un autom´ovil tiene una eficiencia de E(v) en kil´ometros por litro de gasolina donde v = v(t) es la velocidad
del autom´ovil en kil´ometros por hora y t el n´umero de horas despu´es de iniciado el viaje. En cierto viaje de
cuatro horas, ¿cu´al de las siguientes integrales expresa el n´umero de litros de gasolina consumidos durante
el viaje?
(a)
4
0
v(t)
E(v(t))
dt (b)
4
0
E(v(t))
v(t)
dt (c)
4
0
t v(t)
E(v(t))
dt
(d)
4
0
t E(v(t))
v(t)
dt (e)
4
0
v(t) E(v(t)) dt (f)
4
0
E(v(t)) dt
10. Suponga que f (x) = 0 para todo x en (0, 1)∪(1, 2). ¿Es correcto afirmar que f(x) es una funci´on constante?
2

3. 11. ¿Es correcto el siguiente razonamiento?
2
−2
1
x
dx = ln|x|2
−2 = ln|2| − ln| − 2| = 0.
12. Sea a un n´umero en el intervalo [0, 1] y defina la funci´on
f(x) =
a2 0 ≤ x ≤ a
a x a < x ≤ 1
¿Existe alg´un valor de a que verifica
1
0
f(x) dx = 1? De ser as´ı, encu´entrelo.
13. Si w (t) representa la rapidez de crecimiento de un ni˜no en libras por a˜no, ¿qu´e representa
10
5
w (t) dt?
14. Un tanque distribuye agua a raz´on de r(t) = 240−4t litros por minuto para 0 ≤ t ≤ 60. Calcule la cantidad
de agua que sale del tanque durante la segunda media hora. ¿Tiene sentido la funci´on r para t > 60?
Explique.
15. La densidad lineal de una varilla de 4 m de longitud est´a dada por ρ(x) = 9 + 2
√
x, medida en kilogramos
por metro, donde x se mide en metros desde un extremo de la varilla. Encuentre la masa total de ambas
mitades de la varilla.
16. Encuentre las integrales indefinidas:
a) (1 + tan2
α) d α b)
sen x
1 − sen 2x
dx
c)
sen 2x
sen x
dx d) sec t (sec t + tan t) dt
17. Grafique la funci´on f, continua, tal que f(0) = 1 y cuya derivada f viene dada por la gr´afica (1).
Figure 1: Gr´afica de f
1
−1
1 20−1−2
3