Tema #1 Integrales Estudiantes: Carlos Pérez y Andrés Veroes T2T1 sección 02 PNFI Prof. Airam Colina

2. La integración es una suma, una generalización de
suma de infinitos sumandos. De una forma mucho más
sencilla de entender, la integral es una operación
inversa a la derivada.
1. Operaciones básicas y sus reglas
2. Fracciones y sus reglas
3. Raíces cuadradas
4. Potenciación
5. Productos notables
6. Factorización
7. Derivadas

3. Las integrales indefinidas son una clase de integrales, en
este tipo de integrales se logra obtener una serie de primitivas de una
función. Estas no poseen límites, ni superiores ni inferiores, por lo
cual brinda una solución generalizada de una función.
Se caracterizan por ser lo inverso de la derivación
(antiderivadas). Además de ello, al ser un conjunto de primitivas de
una función, se utiliza una constante “c” para denotar la infinidad de
primitivas existentes de una función, esta “c” es conocida como
constante de integración.
DEFINICIÓN

4. En las integrales indefinidas existen un subconjunto de métodos, los
cuales son:
Las integrales por tablas o integrales directas son aquellas las
cuales se pueden realizar de forma inmediata utilizando las fórmulas
fundamentales de la integración. Este tipo de integral es la más sencilla
de todas puesto que su procedimiento no es tan extenso.

5. න 𝐾𝑑𝑥 = 𝐾𝑥 + 𝐶
න 𝐾𝑑𝑥 = 𝐾𝑥 + 𝐶

7. Se tiene la siguiente integral, calcular: න 𝑥3
𝑑𝑥
1. Se utiliza la siguiente fórmula fundamental:
2. Al utilizar la fórmula el ejercicio quedaría así:
=
𝑥4
4
+ 𝑐
න 𝑥3
𝑑𝑥 =
𝑥3+1
3 + 1
+ 𝑐
3. Se realizan las operaciones restantes y el
resultado es el siguiente:

8. Se tiene la siguiente integral, calcular:
2. Se utiliza la siguiente formula fundamental,
debido a que visualizando la expresión del
numerador es la derivada del denominador:
1. Se realiza una comprobación para saber si
el numerador es derivada del denominador:
3. Se realiza la integral de forma inmediata
tomando en cuenta la formula:
න
(2𝑥 + 3)
(𝑥2 + 3 + 1)
𝑑𝑥
𝑥2
+ 3𝑥 + 1
= 2𝑥 + 3 + 0
= 2𝑥 + 3
= ln⃒ 𝑥2
+ 3𝑥 + 1⃒ + 𝑐

9. Se tiene la siguiente integral, calcular:
1. Se utiliza la siguiente formula fundamental
para una integral denominada en coseno:
3. Se saca la fracción pasa por fuera de la
integral:
2
3
cos 𝑥 𝑑𝑥
2
3
න cos 𝑥 𝑑𝑥
=
2
3
𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐
3. Se realiza la integral, quedando de la
siguiente forma:

10. Una integral que se realiza por el método de sustitución es
aquella cuyo propósito es reemplazar variables para poder
encontrar una integral mucho más sencilla a la originalmente
planteada, para esto se utilizan expresiones de sustitución (u, du).
1. Elegir una expresión para u
2. Calcular du
3. Reemplazar todo por u
4. Calcular la integral
5. Reemplazar todo nuevamente

11. (𝑥4
− 3)5
2𝑥3
𝑑𝑥
Realizar la siguiente integral con el método de sustitución
1. Se elige la expresión u, en este caso por prioridad debe ser la que está dentro del
paréntesis. Al tener “u” se deriva la misma para obtener “du”:
𝑢 = 𝑥4
− 3 𝑑𝑢 = 4𝑥3
𝑑𝑥 𝑑𝑢
4
= 𝑥3
𝑑𝑥
Se despeja el
coeficiente pasando
A dividir du
2. Se coloca el 2 fuera de la integral:
2 න(𝑥4
− 3)5
𝑥3
𝑑𝑥
3.Se sustituyen las expresiones originales a “u” y “du”:
=
= 2 න 𝑢5
𝑑𝑢
4

12. 4. Se saca el 4 afuera de la integral, al estar como denominador dentro de la integral, sale
afuera también como denominador:
=
2
4
න 𝑢5
𝑑𝑢
5. Se realiza la fracción siempre que se pueda, por lo tanto sacamos mitades:
=
1
2
න 𝑢5
𝑑𝑢
6. Se realiza la integral, utilizando la siguiente fórmula:
=
1
2
∙
𝑢5+1
5 + 1
+ 𝑐 =
1
2
∙
𝑢6
6
+ 𝑐
7. Realizamos la operación de multiplicación de fracciones (lineal). Para finalmente sustituir
los valores nuevamente por los originales (valor de u) y así terminaría el ejercicio:
=
𝑢6
12
+ 𝑐
𝑢 = 𝑥4
− 3
=
(𝑥4
− 3)6
12
+ 𝑐

13. Realizar la siguiente integral con el método de sustitución
1. Se elige la expresión u, en este caso por prioridad debe ser la que está dentro de la raíz
cuadrada, se sabe que es la “u” y que es posible el método de sustitución debido a que lo
que está fuera de este es el resultado de derivar lo que está en la raíz cuadrada. Al tener “u”
se deriva la misma para obtener “du”:
2. Se sustituyen los valores a “u” y “du”:
3. Se cambia el índice, pasando de raíz cuadrada a exponente, usando la siguiente fórmula:
=
න (3𝑥2 − 5𝑥)3 (6𝑥 − 5) 𝑑𝑥
𝑢 = 3𝑥2
− 5𝑥 𝑑𝑢 = (6𝑥 − 5)𝑑𝑥
න 𝑢3 𝑑𝑢
= න 𝑢3/2
∙ 𝑑𝑢
𝑥𝑚
𝑛
= 𝑥𝑚/𝑛

14. 4. Se integra utilizando la fórmula de potencia simple, al ser una suma de fracciones se
utiliza multiplica en cruz, los denominadores se multiplican lineal, luego se suman las
operaciones de los numeradores. Una vez obtenido el resultado se debe multiplican
extremos:
5. Se vuelve a reincorporar la raíz cuadrada:
6. Se sustituyen los valores originales, en este caso se coloca el valor que tiene “u”:
=
𝑢
3
2
+
1
1
3
2
+
1
1
=
𝑢5/2
1
5
2
=
2𝑢
5
2
5
+ 𝑐
+𝑐
+𝑐
=
2 𝑢5
5
+ 𝑐
𝑢 = 3𝑥2
− 5𝑥
=
2
5
(3𝑥2 − 5𝑥)5 + 𝑐

15. Este método por partes se utiliza cuando el integrando está formado
por un producto o una división que se puede entender como un producto.
Consiste en descomponer una integral en un producto de dos términos.
Para que este método funcione correctamente, la integral que se obtiene por
el método por partes debe ser mucho más fácil de resolver que la planteada
inicialmente.
න 𝑢 ∙ 𝑑𝑣 = 𝑢 ∙ 𝑣 − න 𝑣 ∙ 𝑑𝑢
Expresión dada = una vaca sin cola vestida de uniforme (Frase utilizada para
memorizar la fórmula)

16. Para saber cuál es u y cuál es dv dentro de un problema de
integrales por partes se utiliza la siguiente palabra:
Teniendo una integral con dos
expresiones, se deben identificar la categoría
de cada una, de acuerdo a la palabra la
primera letra que se consiga leyendo ILATE de
izquierda a derecha será la “u” y la más lejana
será “dv”.
Ahora bien, para obtener los valores
restantes, es decir, “du” y “v” simplemente se
debe derivar “u”, para obtener du; e integrar
“dv” para obtener v.

17. Calcular la siguiente integral utilizando el método por partes: න 2𝑥3
ln 𝑥2
𝑑𝑥
1. Se encuentra la “u” y “dv” con la palabra ILATE. Para luego derivar “u” y así obtener “du”,
como también integrar “dv” para conseguir “v”:
න 2𝑥3
ln 𝑥2
𝑑𝑥
A L
dv u
𝑢 = ln 𝑥2
𝑑𝑢 =
2𝑥
𝑥2
=
2
𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑣 = 2𝑥3
𝑣 =
2𝑥4
4
=
𝑥4
2
Se simplifican las fracciones si es posible
2. Se reemplazan las expresiones tomando en cuenta la fórmula de por partes:
න 𝑢 ∙ 𝑑𝑣 = 𝑢 ∙ 𝑣 − න 𝑣 ∙ 𝑑𝑢 න 2𝑥3
ln 𝑥2
𝑑𝑥 = ln ⃒𝑥2
⃒ ∙
𝑥4
2
− න
𝑥4
2
∙
2
𝑥
𝑑𝑥

18. 3. Se organiza la expresión completa, para esto se saca el 2 hacia atrás de todo, pasando de
denominador a denominador, el “x4” pasa atrás del logaritmo natural por regla de orden:
=
1
2
𝑥4
ln ⃒𝑥2
⃒ − න
𝑥4
2
∙
2
𝑥
𝑑𝑥
4. Se cancelan los 2 dentro de la integral, a su vez también se cancelan una de las “x”,
quedando de la siguiente forma:
=
1
2
𝑥4
ln ⃒𝑥2
⃒ − න 𝑥3
𝑑𝑥
5. Se realiza la integral con al formula de potencia simple y estaría terminado el
ejercicio:
=
1
2
𝑥4
ln ⃒𝑥2
⃒ −
𝑥4
4
+ 𝑐

19. En las integrales racionales se toma en cuenta la integración de
polinomios en cuanto a división se refiere, donde el propósito es hallar la
integral
𝑷 𝒙
𝑸 𝒙
𝒅𝒙 , siendo P(x) y Q(x) polinomios. Una fracción es racional
cuando la función que se tiene que integrar es un cociente de polinomio.
En primer lugar, supondremos el grado de P(x) es menor que el de Q(x), si no
fuera así se dividiría
C(x) representa el cociente y R(x) el resto de la división polinómica.
Una vez que sabemos que el denominador tiene mayor grado que numerador, es posible
descomponer el denominador en factores separados, para luego ser sumados

20. Ejemplo:
- Como el grado del denominador es menor que el grado del numerador se comienza
por descomponer el denominador en factores:
- Se realiza la suma de los factores:
- Como las dos fracciones tienen el mismo denominador, los numeradores han de ser
iguales:

21. - Calculamos los coeficientes de A, B y C dando a la x los valores que anulan al
denominador:
- Se calculan las integrales de las fracciones simples:
- Haciendo cambios de variables respectivamente:
- Y finalmente es posible realizar la integral inmediata de la siguiente fórmula:

22. න
𝑑𝑥
𝑋4 + 1
∞
0
Resolver la siguiente integral impropia:
න
𝑑𝑥
𝑋4 + 2𝑥2 cos(2𝑎) + 1
∞
0
=
𝜋
4 cos 𝑎
1. Se utiliza la siguiente fórmula/término, viendo que en
denominador se tiene "𝑋4
” y “1”:
2. Ahora bien, es necesario hacer que el término “𝟐𝒙𝟐
𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒂 ” de igual a 0 para cumplir con
la fórmula. Para esto solo es necesario que “𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒂 ” de igual a 0. Por lo tanto el ángulo
“(2a)” debe ser
𝝅
𝟐
luego para dejar la “a” sola, el 2 pasa a dividir, quedando de la siguiente
manera:
cos 2𝑎 = 0
2𝑎 =
𝜋
2
𝑎 =
𝜋
4

23. 3. Ahora al tener el término a 0, es posible entender la expresión
resultante como la fórmula planteada, donde “a” es igual a
𝝅
𝟒
න
𝑑𝑥
𝑋4 + 1
∞
0
=
𝜋
4 cos(
𝜋
4
)
4. El coseno tiene una expresión exacta, por lo cual
quedaría de la siguiente forma:
=
𝜋
4(
2
2
)
5. Es posible dividir el 4 entre el 2 del denominador, por lo cual la integral
resuelta quedaría de la siguiente forma:
න
𝑑𝑥
𝑋4 + 1
∞
0
=
𝜋
2 2

24. Para saber cuándo una integral racional es propia o impropia solo
basta con tomar en cuenta algunos aspectos. Primeramente que las integrales
impropias son en cuestión integrales definidas que cubren un área no
delimitada. Un ejemplo de esta integral impropias es cuando al menos en uno de
los límites se extiende al infinito:
También el caso cuando una integral es impropia cuando a pesar que
sus extremos son finitos, la función integrada no está delimitada en uno de sus
dos extremos:

25. Estas integrales son aquellas que permiten determinar el valor
correspondiente a un área limitada y bajo una curva, estas se encuentran
identificadas por limites/intervalos (a y b). Esta integral es la representación de un
número, debido a que posee limites específicos, uno superior y otro inferior;
logrando un resultado constante.
Dentro de esta clase de integrales se manejan un par de propiedades, las
más frecuentes y resaltantes son las siguientes:
La integral desde a hasta b de una constante que multiplica una función es igual a
la misma integral, pero con la constante fuera de la integral.
න 𝑘𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑘 න 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎

26. La integral desde a hasta b de la suma o resta de dos funciones es igual a la suma o
resta de dichas funciones en integrales separadas.
න (𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥 )𝑑𝑥 = න 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ± න 𝑔 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
Estas dos primeras propiedades son las que definen a la integral como operador lineal.
න 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 0
𝑎
𝑎
La integral de a hasta a de una función es igual a 0.
La integral de a hasta b de una función es igual a menos la integral de la
función, esto debido al cambio de lugar de los límites.
න 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = − න 𝑓(𝑥)
𝑎
𝑏
𝑏
𝑎
𝑑𝑥
La integral de a hasta b de f(x)dx puede ser expresado por conveniencia como
la integral de a hasta c de la función más la integral del valor c hasta b de la función,
siempre y cuando la función sea integrable en los límites a, b y c.
න 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = න 𝑓(𝑥)
𝑐
𝑎
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 + න 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑐

27. Sabiendo que:
න 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 4 , න 𝑓(𝑥)
5
2
2
0
𝑑𝑥 = 12 , න 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = −3
2
0
Evalúe las siguientes
integrales:
𝑎) න 3𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 𝑑𝑥
2
0
𝑏) න 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 + න 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
2
5
2
2
𝑎) න 3𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 𝑑𝑥
2
0
1. Al saber que la suma/resta de dos funciones se puede expresar como dos
integrales separadas, se puede utilizar la segunda propiedad nombrada:
න 3𝑓 𝑥 𝑑𝑥 − න 𝑔 𝑥 𝑑𝑥
2
0
2
0

28. 2. Al ser un operador lineal se puede utilizar la primera propiedad, de tal manera que
la constante quede por fuera de la integral:
3 න 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 − න 𝑔 𝑥 𝑑𝑥
2
0
2
0
3. Ahora bien, se tiene mejor planteado el ejercicio, teniendo dos integrales que
son datos del ejercicio, por lo tanto, se reemplazan los valores y se resuelve:
3 4 − −3 ) = 15
=

29. 1. Se puede observar que la primera integral cuenta con limites iguales, por lo tanto, se utiliza la tercera propiedad,
donde limites iguales la integral es igual a 0. Además de eso, en la siguiente integral cuenta con los limites inversos
a uno de los datos planteados, por lo cual se utiliza la cuarta propiedad, donde el intercambio de los lugares de los
limites es igual a la misma integral, pero con un signo negativo delante del mismo.
𝑏) න 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 + න 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
2
5
2
2
0 − න 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
5
2
2. Al ajustarse el problema a la condición dada, ya es posible intercambiar el valor restante por los datos expuestos,
para luego resolver las operaciones:
=
= 0 − 12
= − 12

30. La regla de Barrow es un teorema matemático para la
realización de integrales definidas. Este teorema plantea lo siguiente:
Se dice que la integral definida de una función continua f(x) en un
intervalo cerrado, es decir [a, b] será igual a la diferencia entre los
valores que toma una función primitiva F(x) de f(x) proporcionados
por los extremos de dicho intervalo. Mirando la siguiente expresión
sería así:
REGLA DE BARROW

31. Resolver la siguiente integral:
REGLA DE BARROW
න 3𝑥2
2
1
+ 2𝑑𝑥
න (𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥 )𝑑𝑥 = න 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ± න 𝑔 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
1. Se utiliza la propiedad de suma de integrales y de la constante, es por
eso que la constante pasa afuera de la integral, y se hace una suma de
expresiones en integrales independientes:
න 𝑘𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑘 න 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
Quedando la integral de esta forma:
= 3 න 𝑥2
𝑑𝑥 + 2 න 𝑑𝑥

32. REGLA DE BARROW
2. Se realiza la integrales separadas, la primera integral independiente se
resuelve utilizando la fórmula de producto. Se debe tomar en cuenta que
es necesario colocar corchetes en la expresión por la regla de Barrow,
colocando los índices que se tienen en el ejercicio planteado :
= 3
𝑥3
3
+ 2𝑥
1
2
3. Se recomienda simplificar lo que sea posible dentro de los
corchetes, para hacer el procedimiento más sencillo:
= 𝑥3
+ 2𝑥 1
2

33. REGLA DE BARROW
4. Ahora bien, ya es posible poder aplicar la regla de Barrow, usando la
fórmula planteada sustituyendo las “x” por los valores de las índices:
= 𝑥3
+ 2𝑥 1
2
= 23
+ 2 ∙ 2 − 13
+ 2 ∙ 1
5. Solamente queda resolver las operaciones restantes:
= 𝑥3
+ 2𝑥 1
2
= 23
+ 2 ∙ 2 − 13
+ 2 ∙ 1
= 12 − 3
= 9