la inecuacion cuadratica

1. LA INECUACION DE 2° GRADO
Toda proposición abierta de la forma:
0;0
2
 acbxax
La solución de la inecuación cuadrática puede ser descrita a partir de la gráfica de :
0,
2
 mpnxmxy :
o Adoptaremos el modo de resolución o “Regla de cambios de signo de
ordenadas” debido a que inexorablemente 0;
2
 acbxax se comporta
gráficamente como una parábola cuadrática.
o En la inecuación de la forma:
    0 bxax .
Las raíces reales """" bya geométricamente son los
puntos de cambio de signo de las ordenadas, estos
nos permiten elegir el signo de las abcisas
solicitadas, por la desigualdad: De modo que:
    0 bxax ;
Exige seleccionar las abscisas de ordenadas
negativas.( y < 0).  x є<a, b>.
o De modo similar :
    0 bxax
Exige seleccionar las abscisas de ordenadas positivas:
( y>0). x є  ;; ba
En general el conjunto solución:
CS={x  R / ax2
+ bx + c  0}
dependerá de la naturaleza o valor del discriminante.  = b2
– 4ac.
En consecuencia necesariamente tendremos el estudio :
o Caso 1: Si  = b2
– 4ac  0  ax2
+ bx + c, tiene dos raíces reales ≠, x1, x2, con x1
 x2 entonces existirá el modo factorizado y mediante una sistematización de la gráfica
parabólica a la similar con signos de ordenadas:
ax2
+ bx + c = a(x – x1) (x – x2)
1.1)1. ax2
+ bx + c  0  a (x - X1) (x – x2)  0
i. Si a  0  x  - , x1 U x2 , 
ii. Si a  0  x  x1 , x2
1.1)2. ax2
+ bx + c  0  a (x – x1) (x – x2)  0
a) Si a  0  x  x1 , x2
b) Si a  0  a (x – x1) (x – x2)  0
o Caso 2: Si  = b2
– 4ac = 0  ax2
+ bx + c,
tiene dos raíces iguales, es decir: x1 = x2, luego:
Sea: ax2
+ bx + c = a(x – x1)2
2.1.1 ax2
+ bx + c  0  a (x – x1)2
 0
a) Si a  0  x  R – {x1}
b) Si a  0  x  
2.1.2 ax2
+ bx + c  0. a (x – x1)2
 0
a) Si a  0  x  
b) Si a  0  x  R – {x1}

2. o Caso 3: Si  = b2
-4ac  0  ax2
+ bx +c, no tiene
raíces reales:
3.1.0 Si a  0  ax2
+bx + c  0 ,  x  R
3.2.0 Si a  0  ax2
+ bx + c  0 ,  x  R
3.3.0 Si a  0  ax2
+ bx + c > 0 , x  
o Recomendaciones:
.Al resolver inecuaciones cuadráticas estas deben de estar normalizadas, es decir el
coeficiente principal deberá ser positivo.
Obtener las raíces reales:
Estas pueden resultar distintas la grafica que ocurrirá será de ordenadas alternantes
positiva y negativa (Primera Grafica)
Estas pueden resultar iguales la grafica que ocurrirá será de ordenadas positivas o
nulas o tangente al eje horizontal. (Segunda Grafica)
Estas pueden resultar raíces no reales la gráfica que ocurrirá será de ordenadas
positivas o grafica flotante. (Tercera Grafica)
EJERCICIOS RESUELTOS

4. E

10. EJERCICIOS PROPUESTOS
01. Resolver la inecuación:
  4 ( x 3 )(x 7 ) 0
A)    x 7; 0 B)    x 7; 3 C)     x 4; 3 D)     x 7; 3 E)
    x 8; 3
02. Determine el conjunto solución de la inecuación:
   1 2( x 6 )(x 6 ) 0
A)       ; 6 6 ; B)  6 ; C)    6; D)  6; 6 E)  1 2; 6
03. Al resolver la inecuación:
  
2
x x 2 0 0
Indique el conjunto solución.
A)    x 4; 5 B)    x 5; 4 C)    x 4; 4 D)    x 2 0; 0 E)    x 5; 5
04. Determine el conjunto solución de la inecuación:
   
2
x 2 x 6 3 0
A)    x 4; 5 B)    x 5; 4 C)    x 4; 4 D)    x 2 0; 0 E)    x 5; 5
05. Halle el conjunto solución de la inecuación :
 
2
x 8 x 0
A) 0; 8 B) –8; 8 C) -8; 3 D) 1 ; 2 E) –8; 0
06. Determine el conjunto solución de la inecuación:
           
2 2 2 2
3 x 2 4 x 3 5 x 4 4 9 x 4 6
A) 1; 7 5 B)   7 5; 1 C)   7 5; 0 D)  0; 7 5 E)  1;1
07. Determine el conjunto solución de la desigualdad condicional:
  
2
x 2 x 1 0 0
Obtenga el conjunto solucion
A)         ;1 2 1 1 2 1 ; B)         ; 2 1 1 2 1 1 ;
C)         ;1 1 1 1 1 1 ; D)         ;1 2 1 1 1 2 1 1 ;
E)         ;1 3 1 1 1 3 1 1 ;
08. En relación a la inecuación :
  
2
2 x 2 x 3
Obtenga el conjunto solucion
A)
 
      
1 7 1 7
; ;
2 2
B)
 
      
1 2 7 1 2 7
; ;
2 2
C)
 
      
1 3 7 1 3 7
; ;
2 2
D)
 
      
1 4 7 1 4 7
; ;
2 2
)
E)
 
      
1 5 7 1 5 7
; ;
2 2

11. 09. Al resolver:
  
2
x 8 x 2 1 0
Obtenga el conjunto solucion
A) 3; 7 B) 
R C) R D)  E) 
R
10. Determine el conjunto solución :
  
2
x 1 2 x 3 9 0
Obtenga el conjunto solucion
A) 3;1 3 B)  C) R D)    1 3; 3 ) E) 
R