Definicion de conjuntos, Numeros Reales y Definicion De un Valor
1. República Bolivariana De Venezuela
Ministerio Del Poder Popular Para La Educación
Universidad Politécnica Territorial Andrés Eloy Blanco
Barquisimeto-Edo. Lara
Definición de conjuntos, Números
Reales y Definición De Un Valor
Integrantes:
Daniel Colmenares
C.I 28667807
Sección TU0101
4. Definición de Conjuntos
En matemáticas, un conjunto es una colección de elementos con características similares
considerada en sí misma como un objeto. Los elementos de un conjunto, pueden ser las
siguientes: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Se dice que un elemento (o
miembro) pertenece al conjunto si está definido como incluido de algún modo dentro de
él.
Ejemplo: el conjunto de los colores del arcoíris es:
AI = {rojo, naranja, amarillo, verde, azul, añil, violeta}
Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos poseen.
Por ejemplo, para los números naturales, si se considera la propiedad de ser un número
primo, el conjunto de los números primos es:
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, …}
Un conjunto queda definido únicamente por sus miembros y por nada más. En particular,
un conjunto puede escribirse como una lista de elementos, pero cambiar el orden de
dicha lista o añadir elementos repetidos no define un conjunto nuevo. Por ejemplo:
S = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes} = {martes, viernes, jueves, lunes, miércoles}
AI = {rojo, naranja, amarillo, verde, azul, añil, violeta} = {amarillo, naranja, rojo, verde,
violeta, añil, azul}
5. Operaciones con conjuntos.
Las operaciones con conjuntos también conocidas como álgebra de conjuntos, nos
permiten realizar operaciones sobre los conjuntos para obtener otro conjunto. De las
operaciones con conjuntos veremos las siguientes unión, intersección, diferencia,
diferencia simétrica y complemento.
Ejemplo 1.
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5,6,7,} y B={8,9,10,11} la unión de estos conjuntos será
A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
También se puede graficar del siguiente modo:
Ejemplo 2.
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la unión de estos conjuntos será
A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
6. Ejemplo 3.
Dados dos conjuntos F={x/x estudiantes que juegan fútbol} y B={x/x estudiantes que
juegan básquet}, la unión será F∪B={x/x estudiantes que juegan fútbol o básquet}. Usando
diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
Ejemplo 4.
Dados los dos conjuntos A={3, 5, 6, 7} y B={5,6}, en donde B está incluido en A, la unión
Será AUB={3,5,6,7}. Usando diagramas de Venn se tendría
7. Números Reales
Los números reales son el conjunto que incluye los números naturales, enteros, racionales
e irracionales. Se representa con la letra ℜ.
La palabra real se usa para distinguir estos números del número imaginario i, que es igual
a la raíz cuadrada de -1, o √-1. Esta expresión se usa para simplificar la interpretación
matemática de efectos como los fenómenos eléctricos.
Clasificación de los números reales
Números naturales
De la necesidad de contar objetos surgieron los números naturales. Estos son los números
con los que estamos más cómodos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...hasta el infinito. El conjunto de los
números naturales se designa con la letra mayúscula N.
Números enteros
8. El conjunto de los números enteros comprende los números naturales y sus números
simétricos. Esto incluye los enteros positivos, el cero y los enteros negativos. Los números
negativos se denotan con un signo "menos" (-). Se designa por la letra mayúscula Z y se
representa como:
Números racionales
Los números fraccionarios surgen por la necesidad de medir cantidades continuas y las
divisiones inexactas. Medir magnitudes continuas tales como la longitud, el volumen y el
peso, llevó al hombre a introducir las fracciones. El conjunto de números racionales se
designa con la letra Q:
Números irracionales
Los números irracionales comprenden los números que no pueden expresarse como la
división de enteros en el que el denominador es distinto de cero. Se representa por la
letra mayúscula I.
Aquellas magnitudes que no pueden expresarse en forma entera o como fracción que son
inconmensurables son también irracionales. Por ejemplo, la relación de la circunferencia
al diámetro el número π=3,141592…
Las raíces que no pueden expresarse exactamente por ningún número entero ni
fraccionario, son números irracionales
9. Desigualdades
La desigualdad matemática es aquella proposición que relaciona dos expresiones
algebraicas cuyos valores son distintos. Se trata de una proposición de relación entre dos
elementos diferentes, ya sea por desigualdad mayor, menor, mayor o igual, o bien menor
o igual. Cada una de las distintas tipologías de desigualdad debe ser expresada con
diferente signo (> o <, etcétera) y tendrá una reacción a operaciones matemáticas
diferente según su naturaleza.
Por lo tanto, si queremos explicar cuál es la finalidad de este concepto con el menor
número de palabras posibles diremos que; el objetivo de la desigualdad matemática es
mostrar que dos sujetos matemáticos expresan valores diferentes.
Signos de desigualdad matemática
Desigual a: ≠
Menor que: <
Menor o igual que: ≤
Mayor que: >
Mayor o igual que: ≥
Las desigualdades matemáticas están formadas, en la mayoría de ocasiones, por dos
miembros o componentes. Un miembro se encontrará a la izquierda del símbolo y el otro
a la derecha.
Un ejemplo sería expresar: 4x – 2 > 9. Lo leeríamos diciendo que “cuatro veces nuestra
incógnita menos dos es superior a nueve”. Siendo el elemento 4x-2 el elemento A y 9 el
elemento B. La resolución nos mostraría que (en números naturales) la desigualdad se
cumple si x es igual o superior a 3 (x≥3).
10. Definición de Valor Absoluto
La noción de valor absoluto se utiliza en el terreno de las matemáticas para nombrar al
valor que tiene un número más allá de su signo. Esto quiere decir que el valor absoluto,
que también se conoce como módulo, es la magnitud numérica de la cifra sin importar si
su signo es positivo o negativo.
Tomemos el caso del valor absoluto 5. Este es el valor absoluto tanto de +5 (5 positivo)
como de -5 (5 negativo). El valor absoluto, en definitiva, es el mismo en el número positivo
y en el número negativo: en este caso, 5. Cabe destacar que el valor absoluto se escribe
entre dos barras verticales paralelas; por lo tanto, la notación correcta es |5|.
La definición del concepto indica que el valor absoluto siempre es igual o mayor que 0 y
nunca es negativo. Por lo dicho anteriormente, podemos agregar que el valor absoluto de
los números opuestos es el mismo; 8 y -8, de este modo, comparten el mismo valor
absoluto: |8|.
También se puede entender el valor absoluto como la distancia que existe entre el
número y 0. El número 563 y el número -563 están, en una recta numérica, a la misma
distancia del 0. Ese, por lo tanto, es el valor absoluto de ambos: |563|.
La distancia que existe entre dos números reales, por otra parte, es el valor absoluto de su
diferencia. Entre 8 y 5, por ejemplo, hay una distancia de 3. Esta diferencia tiene un valor
absoluto de |3|.
El concepto de valor absoluto se encuentra presente en varios temas de las matemáticas,
y el vector es uno de ellos; más precisamente, es en la norma vectorial donde nos vemos
frente a una definición similar. Antes de continuar, sin embargo, es necesario definir
espacio euclídeo, ya que dichos conceptos se conjugan en este ámbito.
Entendemos por espacio euclídeo una clase de espacio geométrico en el cual se satisfagan
los axiomas de Euclides. Un axioma es una proposición cuya claridad es tal que no
requiere de una demostración para ser admitida; específicamente en el terreno de las
11. matemáticas, se denomina de este modo a los principios fundamentales e indemostrables
sobre los cuales se construyen las teorías.
Euclides, por su parte, nació en Grecia aproximadamente en el año 325 a. C ., y su
dedicación a los números lo hicieron merecedor del título «Padre de la Geometría». Su
obra más importante es una colección de trece libros agrupados bajo el título
«Elementos«, donde se presentan los axiomas antes mencionados (también conocidos
como los postulados de Euclides)
12. Desigualdades con Valor Absoluto}
En general, para resolver desigualdades con valor absoluto debemos utilizar las
propiedades y métodos aprendidos anteriormente (suma, resta, multiplicación y división).
Básicamente, el conjunto solución de una desigualdad con valor absoluto debe ser
calculado utilizando dos posibilidades (por definición de valor absoluto) que cumplan con
lo establecido, ejemplo: Si x > k , donde k > 0, entonces en el conjunto solución se incluyen
todas las coordenadas en la línea que son mayores de k unidades del origen.
Así, x > -4 Y x < 4. El conjunto solución es .
Cuando se resuelven desigualdades de valor absoluto, hay dos casos a considerar. Caso 1: La
expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva. Caso 2: La expresión dentro de los
símbolos de valor absoluto es negativa. La solución es la intersección de las soluciones de estos
dos casos. En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b , si | a | < b , entonces a < b Y
a > - b .
