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1 algebra lineal y vectores aleatorios
- 1. INTRODUCCIÓN 1. Álgebra lineal y vectores aleatorios 2. Distribución normal multivariante ANÁLISIS DE LA MATRIZ DE COVARIANZAS 3. Componentes principales 4. Análisis factorial 5. Correlaciones canónicas CLASIFICACIÓN 6. Análisis discriminante 7. Análisis de conglomerados ALGEBRA LINEAL 1
- 2. 1. ÁLGEBRA LINEAL Y VECTORES ALEATORIOS Vectores Ortogonalización de Gram-Schmidt Matrices ortogonales Autovalores y autovectores Formas cuadráticas Vectores y matrices aleatorias Matriz de datos 2
- 4. ALGEBRA LINEAL Vectores Dados = px x x 1 = py y y 1 se define: 1. Suma + + =+ pp yx yx yx 11 4
- 5. ALGEBRA LINEAL Vectores 2. Producto de un escalar por un vector ⋅ ⋅ =⋅ pxc xc xc 1 3. Producto escalar de dos vectores pp p i ii yxyxyxyxyxyx ++====• ∑= 11 1 ', 5
- 6. ALGEBRA LINEAL Vectores 4. Norma de un vector Propiedades ∑= === p i ixxxxxx 1 22/1 )'(' zxbyxabzayx ,,, +=+ xyyx ,, = 00,0, =⇔=≥ xxxyxx x xx x 6
- 7. ALGEBRA LINEAL Vectores 5. Distancia entre dos vectores 6. Ángulo entre dos vectores yxyxd −=),( y x yx − y x yx − 7 ϑϑθyx yx, cos =ϑ yxyx ⊥⇒=⇒= 0cos0, ϑ θ θ
- 9. ALGEBRA LINEAL Vectores 7. Ortogonalidad 8. Ortonormalidad { }nuuu ,,, 21 jiuu ji ,∀⊥ es ortonormal si es ortogonal y todos los vectores tienen norma 1, es decir, es ortogonal si 9 { }neee ,,, 21 iei ∀=1
- 11. ALGEBRA LINEAL Vectores Un conjunto de vectores { }nuuu ,,, 21 es linealmente independiente si n n i ii cccuc ===⇒=∑= 21 1 0 (la única manera de construir una combinación lineal igual a 0 es que todos los coeficientes sean 0) 11 =0
- 12. ALGEBRA LINEAL Vectores Proposición. Todo conjunto ortogonal de vectores no nulos es linealmente independiente. { }nuuu ,,, 21 ortogonal ⇒ { }nuuu ,,, 21 l.i. ⇐ 00, 0,, 0 11 11 =⇒≠ ==++ =++ jjj jjjnnj nn cuu uucucucu ucuc Demostración 12
- 15. ALGEBRA LINEAL Ortogonalización de Gram-Schmidt V subespacio vectorial de p ℜ si V es espacio vectorial, ;,, ℜ∈∀∈∀ bayVvues decir, si Vbvau ∈+ Dado A = ℜ∈≡ ∑= n i iii cucAspan 1 : { }nuuu ,,, 21 Propiedades subespaciounesAspanii AspanAi )()( )( ⊂ 15 ;⊂ p V
- 16. ALGEBRA LINEAL Ortogonalización de Gram-Schmidt Proposición { }n i uuspanv niuv ,, ,,1 1 ⊥⇒ ⇒=⊥ { } 0,,, ,, 11 1 === ∈ ∑∑ == i n i i n i ii n uvcucvvu uuspanu Demostración 16
- 17. ALGEBRA LINEAL Ortogonalización de Gram-Schmidt 1 11 1 1 11 1 2 22 23 1 11 13 33 1 11 12 22 11 , , , , , , , , , , − −− − −−−= −−= −= = n nn nnn nn u uu ux u uu ux xu u uu ux u uu ux xu u uu ux xu xu Sean Dado un conjunto de vectores l.i., se puede construir otro conjunto ortogonal que genere el mismo espacio. linealmente independientes{ }nxxx ,,, 21 17
- 18. ALGEBRA LINEAL Ortogonalización de Gram-Schmidt Entonces: { } { } { } ortogonalesuuii uuspanxxspani n nn ,,)( ,,,,)( 1 11 = 18
- 19. ALGEBRA LINEAL Matrices ortogonales Matrices ortogonales Anxn; inversa A-1 : A A-1 = A-1 A = I. A’ transpuesta de A. Qnxn es ortogonal si Q’Q = QQ’ = I. (las columnas de una matriz ortogonal son vectores ortonormales) = mnmm n mxn aaa aaa A 21 11211 19
- 20. ALGEBRA LINEAL Matrices ortogonales Propiedades Qy Qx y x 20 xQxiii QyQxyxii yxQyQxi ortogonal matrizQyx p = ⊥⇒⊥ = ∈ )( )( ,,)( ;,
- 21. ALGEBRA LINEAL Autovalores y autovectores Anxn; xAxquetalx λ=≠∃⇔ 0 x λ autovalor de A x es autovector asociado a λ 0 0)(,0 0,0 0,0 =− ⇔=−≠∃ ⇔=−≠∃ ⇔=−≠∃ IA xIAx IxAxx xAxx λ λ λ λ Polinomio característico Ecuación característica 21
- 22. ALGEBRA LINEAL Autovalores y autovectores Ejemplo Autovalores y autovectores de 22 − − = 15 51 A
- 23. ALGEBRA LINEAL Autovalores y autovectores Propiedades .. , )( )( 21 22 1121 21 ilsonxyx autovalorconx autovalorconx ii trAi n ⇒ ≠ =+++ λ λλλ λλλ Diagonalización de matrices jiijnxn aaAAsimétricaA =⇔=⇔ ' = nnn n nxn aa a aaa A 1 12 11211 23
- 24. ALGEBRA LINEAL Autovalores y autovectores: diagonalización Si A simétrica entonces = ' ' ' 0 0 2 1 2 1 21 nn n nxn e e e eee A λ λ λ existen autovalores reales nλλ ,,1 con autovectores asociados nee ,,1 ortonormales tales que P P’D A=PDP’, siendo D diagonal y P ortogonal (Toda matriz simétrica es diagonalizable) 24
- 25. ALGEBRA LINEAL Ejemplo Diagonalizar 25 − − = 22 23 A Autovalores y autovectores: diagonalización
- 26. ALGEBRA LINEAL Autovalores y autovectores: representación espectral Sea nλλ ,,1 con autovectores ortonormales nee ,,1 tales que Si A es simétrica entonces existen autovalores reales .'' 222 ' 111 nnn eeeeeeA λλλ +++= . 1 12 11211 = nnn n nxn aa a aaa A 26
- 27. ALGEBRA LINEAL Ejemplo Descomposición espectral de 27 − − = 62 29 A Autovalores y autovectores: representación espectral
- 28. ALGEBRA LINEAL Formas cuadráticas ⇓ Anxn simétrica; ( ) ∑∑∑∑ ∑ < = == = = −− +== =+++++++= = = n ji i n j jiij n i n j n i iijjiij nnnnjiijnnn nnnn n n xxaxaxxa xxaxxaxxaxaxa x x x aa a aaa xxxxf 1 11 1 1 2 112112 22 111 2 1 1 21 11211 21 2 )( n x ℜ∈ , = nx x x 1 f(x)=x’ A x es una forma cuadrática 28
- 29. ALGEBRA LINEAL Formas cuadráticas Ejemplo Expresar matricialmente la forma cuadrática Escribir en forma cuadrática 29 323121 2 3 2 2 2 1321 546325),,( xxxxxxxxxxxxf −+−+−= ( ) − = 2 1 2121 22 21 ),( x x xxxxf
- 30. ALGEBRA LINEAL Formas cuadráticas Como Anxn es simétrica, es diagonalizable, se puede escribir A = PDP’ y, por tanto, queda: f(x) = x’PDP’x. Haciendo y = P’x: ( ) , 0 0 ')( 1 2 11 1 ∑= = == n i ii nn n y y y yyDyyyf λ λ λ se tiene .)( 2 1 2 11 2 nn n i ii yyyyf λλλ∑= ++== 30
- 31. Formas cuadráticas x2 x1 y2y1 e2e1 2λ c 1λ c ALGEBRA LINEAL31 y los autovectores x’Ax=c2 representa geométricamente una elipse en 22 22 2 11 2 2 '' ' cyycxPDPx cAxx =+⇒= = λλ ; los autovalores son 21 λλ > normalizados son e1 y e2. 2 ℜ
- 32. Formas cuadráticas ALGEBRA LINEAL32 Ejemplo Representar, hallar los ejes y obtener la expresión reducida de ( ) 9 135 513 2 1 21 = − − x x xx
- 33. Formas cuadráticas Clasificación de formas cuadráticas ALGEBRA LINEAL33 Sea f(x) = x’ A x f es definida positiva si f es semidefinida positiva si f es semidefinida negativa si f es definida negativa si f es indefinida si 0)(,0 >≠∀ xfx 0)(, ≥∈∀ xfx n 0)(,0 <≠∀ xfx 0)(0)( 2121 <>∈∃∈∃ xfyxfquetalxyx nn 0)(, ≤∈∀ xfx n
- 34. Formas cuadráticas Sean los autovalores de A f es definida positiva f es semidefinida positiva f es semidefinida negativa f es definida negativa f es indefinida ALGEBRA LINEAL 0,,01 <<⇔ nλλ 0,,01 ≤≤⇔ nλλ 0,,01 ≥≥⇔ nλλ 0,,01 >>⇔ nλλ 0,0 <∃>∃⇔ ji λλ 34 nλλ ,,1
- 35. Raíz cuadrada de una matriz B es raíz de A si A=BB; ALGEBRA LINEAL ∑= = n i ii eeA 1 'λ Raíz cuadrada de una matriz: A semidefinida positiva; B=A1/2 ; A=A1/2 A1/2 Si A es simétrica y A=PDP’ con descomposición espectral entonces: 35
- 36. Formas cuadráticas ALGEBRA LINEAL Raíz cuadrada de una matriz: ' ' 0 0 ' 0 0 1 1 2/1 1 ii n i i n n ee PPA PPASea ∑= = = =⇒ = λ λ λ λ λ ' 1 ' /10 0/1 1 1 1 ii n i i n eePPA ∑= − = = λ λ λ Nota: 36
- 37. Descomposición singular de una matriz ALGEBRA LINEAL iλ Dada la matriz Amxn, AA’ es cuadrada y simétrica; por tanto, diagonalizable. VUA k = 00 0 0 01 λ λ es un valor singular de A, si 2 iλ es autovalor de AA’. Descomposición singular Sea A una matriz mxn; kλλ ,,1 valores singulares de A. Entonces existen matrices ortogonales U y V tales que: 37
- 38. Vectores y matrices aleatorias 22 )]([)( )( aleatoriavariable iiiiii ii i XEXEXV XE X −=== = σσ µ =Χ = mnmm n p XXX XXX X X X 21 112111 ; Vector aleatorio Matriz aleatoria 31
- 39. Vectores y matrices aleatorias = == )( )( 11 pp XE XE EX µ µ µ Se llama vector de medias a: y covarianza entre dos variables a Se define la matriz de covarianzas de X como: )].)([(),( jjiijiij EXXEXXEXXCov −−==σ =∑=∑= ppp p XVX σσ σσ 1 111 39
- 40. :Entonces.,;constantesc, 11 Σ== = = VXEX c c X X X pp µ ccXcVii cXcEi Σ= = ')'()( ')'()( µ '.)()( .)()( :Entonces.constantesdematriz CCCXVii CEXCXEi Cmxp Σ= = Vectores y matrices aleatorias
- 41. Vectores y matrices aleatorias ALGEBRA LINEAL Ejemplo 41 − − =∑ − = −= −= −= = 42 26 0 1 2 2 123 212 121 2 1 µ XXY XXY XXY X X X
- 42. Vectores y matrices aleatorias )()()()( )()()( )()( )()( )()()( 1 111 YEXEYXEYiii BXAEAXBEii XEXE XEXE AXAEAXEi mxn mnm n +=+⇒ = == Propiedades Sea Xmxn y sean Akxm y Bnxr matrices de constantes. Entonces: 42
- 43. Vectores y matrices aleatorias , 1 1 1 21 221 112 = pp p p rr rr rr ρ Matriz de correlaciones ,2/12/1 −− ∑= VVρen forma matricial: donde V es la matriz de varianzas: = = 2 2 111 0 0 0 0 ppp V σ σ σ σ donde ; jjii ij ijr σσ σ = 43
- 44. Vectores y matrices aleatorias = = = + )2( )1( 1 1 1 ; X X X X X X X X X X p r r p Partición de un vector aleatorio = )2( )1( µ µ µ Vector de medias: Sea Matriz de covarianzas: ∑∑ ∑∑ =∑ 2221 1211 ),(),( )( )( )2()1()2()1(' 2112 )2( 22 )1( 11 ji XXCovXXCov XV XV ==∑=∑ =∑ =∑ , donde 44
- 45. Matriz de datos 45 nxp npnnn p p p X xxxx xxxx xxxx xxxx = 321 3333231 2232221 1131211 p ℜen Objeto_1 Objeto_n Variable_1 Variable_p nxp npnnn p p p X xxxx xxxx xxxx xxxx = 321 3333231 2232221 1131211 p ℜen Objeto_1 Objeto_n Variable_1 Variable_p n x x n x x n i ip p n i i ∑∑ == == 11 1 1
- 46. Matriz de datos 46 = px x x 1 Vector de medias: Matriz de varianzas y covarianzas: donde = ppp p n ss ss S 1 111 nxxxxs jkj n k ikiij /)()( 1 −−=∑= Matriz de correlaciones: 2/12/1 −− = nnn VSVR , donde = pp n s s V 0 011
- 47. Matriz de datos ;...,,,; 21 1 diiXXX X X X n p = Proposición n X X n i i∑= = 1 Dado 47 ∑ − = ∑= = n n SEiii nXVii XEi n 1 )()( /)()( )()( µ
- 48. Matriz de datos 48 La matriz de datos se puede representar como: Diagrama de dispersión, n puntos en el espacio p ℜ x1 x2 p=2 x1 x2 x3p=3 Como para p>3 no es posible representarlo, se utilizan diagramas de dispersión múltiple con pares de variables.
- 49. Matriz de datos 49 Considerando las columnas en vez de la filas de la matriz de datos, es decir, p puntos en n nxp npnnn p p p X xxxx xxxx xxxx xxxx = 321 3333231 2232221 1131211 p ℜen Objeto_1 Objeto_n Variable_1 Variable_p nxp npnnn p p p X xxxx xxxx xxxx xxxx = 321 3333231 2232221 1131211 p ℜen Objeto_1 Objeto_n Variable_1 Variable_p Y1 Y2 Y3 Yp Para cuatro variables: = 34333231 24232221 14131211 xxxx xxxx xxxx X Y1 Y2 Y3 Y4 Y1 Y4 Y3 Y2
- 50. Matriz de datos 50 y forma el mismo ángulo con todos los ejes. = 1 1 11 nx n=1 Vector de unos: n unos Propiedades es el vector unitario que forma el mismo ángulo en todas las direcciones. n/1
- 51. Matriz de datos 51 Proyección de un vector sobre el vector ==⋅== ∑= i i i n j ij i i x x x n x y ypr 111 1,1 1, )( 1 1 :1 yi 1 1ix
- 52. Matriz de datos 52 − = − − = 1 111 i ni i ini ii i x x x xx xx d Vector de desviaciones a la media:
- 54. Matriz de datos 54 =∑ == = ppp p pp XE X X X σσ σσ µ µ µ 1 11111 ;)(; Varianza generalizada y varianza total:
- 55. Matriz de datos 55 Varianza generalizada de X: Varianza total de X: Varianza generalizada muestral: Varianza total muestral: )det(∑=∑ pptraza σσ ++=∑ 11)( ppn ssStraza ++= 11)( )det( nn SS =
- 56. Matriz de datos 56 Interpretación geométrica Área = Varianza generalizada en pn n Volumen S 2 = ||)1(cos1 2 122211 2 221121 nSnrssnnsnssendd =−=−== θθ p
- 57. 57EJEMPLOS
- 58. 58EJEMPLOS
- 59. 59EJEMPLOS