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www.usat.edu.pe
Mgtr. Consuelo Silva Rivera
csilva@usat.edu.pe
Escuela de Ingeniería de Sistemas y
Computación
Matemática Básica
Función por tramos
Operaciones entre Funciones
Tipos de Funciones

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 Resuelve situaciones
problemáticas, relacionadas a
funciones, identificando su tipo,
elaborando e interpretando su
gráfica y finalmente resolviendo el
problema respectivo. Valora la
importancia de las funciones
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OBJETIVO

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• Función definida en tramos.
• Operaciones con funciones.
• Tipos de funciones.
Temas:

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VALOR NUMÉRICO
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    x
x
x
f 3
1
2


  














3
,
2
3
3
1
,
3
1
,
1
2
2
x
si
x
x
si
x
x
si
x
x
h        
 
3
,
5
,
5
,
2
,
3
,
1
,
5
,
2 


g
 
4
)
3
(
)
2
(
3
)
1
(
2





h
f
h
g
E
Solución :

 )
1
(
g

)
2
(
h

)
3
(
f

 )
4
(
h
3
3

2 1


   
3
1
2


3 3 5


  1
2 
 -4 9

 
9
5
)
1
(
3
3
2





E
4
3

Ejemplo. Dadas las funciones reales de variable real

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Funciones reales de variable real
Ejemplo
Resolución

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Dadas f;g , donde: f={(-3;2),(0;0),(2;4),(3;-1),(4;3)} y
g={(2;0),(3;4),(4;7),(6;2)} son funciones. Realiza las operaciones: f+g ; f-g;
f*g; f/g
• SOLUCIÓN:
• Lo primero es hallar los dominios de casa una de las funciones y la intersección:
• Dom(f)={-3;0;2;3;4} Domg(f)={2;3;4;6}
• Para las operaciones : ( Busco en ambas funciones los pares que inicien con ese
dominio(solo se copia una vez la componente “x”) y solo varía las operaciones de
la componente “y”)
• f+g={(2;4+0),(3;-1+4),(4;3+7)}= {(2;4),(3;3),(4;10)}
• f-g={(2;4-0),(3;-1-4),(4;3-7)} ={(2;4),(3;-5),(4;-4)}
• f*g={(2;4*0),(3;-1*4),(4;3*7)} ={(2;0),(3;-4),(4;21)}
• f/g={(3;-1/4),(4;3/7)}
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Operaciones entre funciones(dadas como conjuntos)

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• EJEMPLO: DE FUNCIÓN SUMA
Sea f(x) = x+1 y g(x) = 1 / ( x – 1).
Dom f(x) = R , pues para cualquier x є R existe una imagen o valor de f(x)
Dom g(x) = R – {1} , pues cuando x=1  g(1) = 1/0 = ∞ , que no existe.
Sea (f + g)(x) = f(x) + g(x) = x+1 + 1 / ( x – 1) = (x2 – 1 +1) /(x-1) = x2 / (x-1)
Como se ve Dom (f+g)(x) = R – {1} , intersección de los dominios.
La función suma es posible efectuarla en todo R excepto en x=1
• EJEMPLO: DE FUNCIÓN PRODUCTO
Sea f(x) = x – 1 y g(x) = 1 / ( x – 1).
Dom f(x) = R , pues para cualquier x є R existe una imagen o valor de f(x)
Dom g(x) = R – {1} , pues cuando x=1  f(1) = 1/0 = ∞ , que no existe.
Sea (f . g)(x) = f(x) . g(x) = ( x – 1) . 1 / ( x – 1) = (x – 1) / (x - 1) = 1
A pesar de que el resultado, (f.g)(x) = 1) es una constante, independiente de x , el
Dom (f .g)(x) = R – {1} , intersección de los dominios.

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Ejemplo
Sea f(x) = 1 / x , g(x) = x2 - 1
(f o g)(x) = f [ g (x) ] = 1 / (x2 – 1)
(g o f)(x) = g [ f (x) ] = (1 / x) 2 – 1 = (1 / x2) – 1 = ( 1 - x2) / x2
Ejemplo
Sea f(x) = √ x , g(x) = x2
(f o g)(x) = f [ g (x) ] = √ x2 = x
(g o f)(x) = g [ f (x) ] = (√ x)2 = x
Son muy pocas las funciones en que se cumpla (f o g)(x) = (g o f)(x)
Ejemplo
Sea f(x) = sen x ,, g(x) = x2 – 1
(f o g)(x) = f [ g (x) ] = sen (x2 – 1)
(g o f)(x) = g [ f (x) ] = (sen x)2 – 1

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• Para hallar la función inversa, si la tiene, se despeja la variable x en la ecuación y= f(x) y después se
intercambian las x por las y.
• Ejemplo 1
Sea f(x) = x2 - 1
y = x2 – 1  x = y2 – 1  y2 = x + 1  y = +/- √(x+1)
La función resultante No es función, por lo tanto la función dada no tiene inversa.
• Ejemplo 2
Sea f(x) = 1 / (x – 2)
y = 1 / (x – 2)  x = 1 / (y – 2)  x.y – 2.x = 1  y = (1 + 2.x) / x
Luego f -1 (x) = (1 + 2.x) / x es la inversa de la función dada.
Comprobemos: (f o f -1)(x) = 1 / ([(1 + 2.x) / x] – 2) = x
(f -1 o f)(x) = (1 + 2.[ 1 / (x – 2)]) / [1 / (x – 2)] = x
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Función Inversa

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Dominio y Rango de funciones

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Una industria está
caracterizada por la siguiente
función de producción: f (x) =
x0.5, donde x es el único factor
que utiliza en la producción de
cierto artículo.
En tal sentido, f(x) es el número
de unidades producidas cuando
se utiliza x factores.
f(x)
x
  x
x
f 
Función raíz cuadrada

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F. Racionales

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SOLUCIÓN:
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F. LINEAL: Una “asistente de ingeniería” debe reportar sobre las asistencia e ingresos, en
relación a una Conferencia sobre “Las mejores construcciones del Mundo”. Se conoce que la
asistencia disminuye linealmente con el precio. Sabe que si cobra S/.600 asistirán 300
personas, y que si cobra S/.650 asistirán 200 personas. Exprese el número de asistentes
como función del precio de entrada. ¿Cuántas personas asistirían si se cobra S/. 680?

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• En el ejemplo anterior y=1500-2x
• x=p =precio ; y =q=cantidad. Es decir la cantidad q=1500-2x
• La función ingreso es :
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F. CUADRÁTICA: Una Grupo de estudiantes de ingeniería civil: Martínez, Ramírez, Zúñiga, Gary,
asisten al cine Planet, uno de ellos nota lo siguiente :”La asistencia disminuye linealmente con
el precio. Sabe que si cobra S/.600 asistirán 300 personas, y que si cobra S/.650 asistirán 200
personas. ¿Qué precio debe cobrar para maximizar el ingreso?
S/

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Donde “x” representa la cantidad de días desde el inicio de las medidas de la orina en el
agua, y f(x) representa la concentración de la orina de ratas
Solución:
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Al medir la concentración de la orina de animales en el agua de pozo de la pila, se
observa que se puede representar con la siguiente función

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Gráficas de las funciones Trigonométricas

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1) Allen, R. Álgebra intermedia (4ª ed.). Prentice Hall Hispanoamericana, México, 1977.
Código: 515.25/L32.
2) Arya, J. Matemáticas aplicadas a la administración, economía, economía, ciencias
biológicas y sociales. 3ª ed. Prentice Hall,México, 1992. Código: 519/A78M.
3) Espinoza, E. Matemática Básica. Lima – Perú, 2002. Código: 510/E88M.
4) Haeussler, E. y Paúl R. Matemática para administración y economía. 10ª ed. Pearson
Educación,México, 2003. Código: 519/H14.
5) Kolman, B. Algebra lineal. 6ª ed. Prentice Hall,México, 1999. Código: 512.5/k73.
6) Lázaro, M. Relaciones y funciones. MOSHERA. 1994. Código: 515.25/L23.
7) Sullivan, M. Precalculo. 4ª ed. Pearson Educación. México, 1997. Código: 515/S91.
8) Venero, A. Matemática Básica.Ediciones Gemar. Lima – Perú, 1999. Código: 510/V45.
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Bibliografía

18. www.usat.edu.pe
http://www.facebook.com/usat.peru
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