Este documento presenta el programa de cálculo para ciencias biológicas para el segundo bimestre. Cubre temas como cálculo multivariable, derivadas parciales, optimización, ecuaciones diferenciales y sus tipos de soluciones. La presentación consta de introducción, desarrollo de contenidos y sesión de preguntas.

1. CÁLCULO PARA LAS CIENCIAS
BIOLÓGICAS
ESCUELA:
NOMBRES:
Gestión Ambiental
Ing. Antonella González G.
BIMESTRE: Segundo
ABRIL AGOSTO 2011

2. Asesoría Virtual
II Bimestre
1. Calculo multivariable
2. Derivadas parciales
3. Aplicación de las derivadas parciales.
4. Ecuaciones Diferenciales
5. Tipos de Ecuaciones diferenciables
6. Tipos de soluciones de Ecuaciones Diferenciables.

3. Calculo Multivariable
• La temperatura T en un punto de la superficie
de la tierra depende de la longitud x y la
latitud y del punto. Se puede considerar que T
es una función de las dos variables x y y o bien
que es una función de la pareja (x, y), y esta
dependencia funcional se indica escribiendo
T = f(x, y).

4. Funciones de Varias Variables
Definición
Una función f de dos variables es una regla que
asigna a cada pareja ordenada (x, y) en D un
numero real único denotado por f(x, y). El
conjunto D es el dominio de f.
En general, una función de n variables, es
aquella cuyo dominio consiste en n-adas
ordenadas (x1, x2,…xn).

5. FUNCIONES Y DOMINIOS
El dominio de una función de varias variables
está constituido por todo el conjunto de valores
que puede tomar cada variable independiente
dentro del conjunto de números reales para
permitir que se defina la variable dependiente.

6. Derivadas Parciales
Son cada una de las derivadas de la función
dada con respecto de cada una de las variables
que la constituyen, están dadas por:
1. Con respecto de x:
2. Con respecto de y:

7. Este proceso consiste en la evaluación más detallada de
las funciones de varias variables considerando los
máximos y mínimos locales o globales que son
indicadores de la relación funcional de las variables. Los
pasos son:
1. Se obtiene las dos derivadas parciales y se las iguala
a cero para hallar los valores de las variables para los
cuales se anulan, simultáneamente las dos derivadas
parciales, por ejemplo el punto (a, b) formado por los
puntos críticos.
Optimización

8. 2. Si hay los puntos críticos, se halla las segunda
derivada con respecto de x y de y,
respectivamente, o sea fxx(x,y), fyy(x,y), así
como también la derivada total.
3. f(a, b) es máximo local, si
fxx(a, b).fyy(a, b) – [fxy(a, b)]2 > 0 y fxx(a, b) < 0;
f(a, b) es mínimo local, si
fxx(a, b).fyy(a, b) – [fxy(a, b)]2 > 0 y fxx(a, b) > 0;
No existe valor extremo cuando fxx(a, b).fyy(a,
b) – [fxy(a, b)]2 < 0.

9. Aplicaciones de las Derivadas Parciales
Se sabe que si z=f(x,y) entonces y pueden
interpretarse geométricamente como las pendientes de
las rectas tangentes a la superficie z=f(x,y) en las
direcciones x y y, respectivamente y como la derivada
es una razón de cambio, se tiene:
• es la razón de cambio de z con respecto de x
cuando y se mantiene fija.
• es la razón de cambio de z con respecto de y
cuando x se mantiene fija.

10. Ecuaciones Diferenciables
Definición.-
Se llama ecuación diferencial cuando se resuelve
una ecuación que contenga la derivada de una
función desconocida.
Con mayor precisión se llama Ecuación
Diferencial de primer orden puesto que incluye
una derivada de primer orden y ninguna de
orden superior.

11. Origen de las Ecuaciones Diferenciables
Físico: Cuando se trata de interrelacionar
variables que representan magnitudes físicas
que están en relación precisa dentro de los
cuerpos u objetos del universo, considerando los
aumentos o disminuciones como elementos de
análisis.
Geométrico: Cuando surge de interrelacionar las
medidas de los cuerpos o figuras geométricas.

12. De la primitiva: Cuando se obtiene de ejecutar
el proceso de derivación o diferenciación de una
función mediante la aplicación de las reglas y
procedimientos habituales.

13. Tipos de Ecuaciones Diferenciables de
Primer Orden
Ecuaciones separables:
Una ecuación es separable si el lado derecho de
la ecuación se puede expresar como
una función g (x) que sólo depende de x, por
una función p (y) que sólo depende de y.
Ejemplo:

14. Ecuaciones lineales:
Una ecuación lineal es aquella que se puede
expresar de la forma:
Donde a1(x), a0(x) y b(x) sólo dependen de la
variable independiente x, no así de y.
Ejemplo:

15. Ecuaciones exactas:
Son aquellas que adoptan la forma
M(x,y)dx + N(x,y)dy=0 que es la diferencial total de
la función f(x,y) y se cumple que dM/dy = dN/dx.
Ejemplo:

16. Tipos de Soluciones de Ecuaciones
Diferenciables
General o completa: cuando la solución es
representativa de una familia de primitivas, lo
cual queda evidenciado en la presencia de
parámetros o constantes.
Particular: Cuando la solución cumple con
ciertas condiciones referenciales, que debe
cumplir la primitiva correspondiente, como por
ejemplo pasar por un punto específico.

17. Formas de resolución de ED
Ecuaciones diferenciales de variables
separables:
Son aquellas las que permiten descomponerlas
en dos productos uno de los cuales corresponde
a los términos que contienen la variable y con la
respectiva diferencial (dy) y los de x con su
diferencial (dx), circunstancia en la cual se
procede a integrar cada miembro y se puede
conseguir la solución.

18. Formas de resolución de ED
Ecuaciones diferenciales de variables
separables:
Son aquellas las que permiten descomponerlas
en dos productos uno de los cuales corresponde
a los términos que contienen la variable y con la
respectiva diferencial (dy) y los de x con su
diferencial (dx), circunstancia en la cual se
procede a integrar cada miembro y se puede
conseguir la solución.

20. PROGRAMA: Cálculo para las Ciencias Biológicas Carrera: Gestión Ambiental
Fecha: 8 de julio de 2011
Docente: Ing. Antonella González
Hora Inicio: 18h00 Hora Final: 19h00
GUIÓN DE PRESENTACIÓN
Puntos de la Presentación Intervienen Duración Aprox. en
minutos
Material de Apoyo
- Presentación y Objetivos Antonella
González
5 minutos Sin material.
- Desarrollo del contenido:
Capítulo III: Calculo
Multivariable
Capítulo IV: Ecuaciones
Diferenciales
Antonella
González
40 minutos Diapositivas
- Preguntas
- Despedida (Contactos,
Sugerencias)
Antonella
González
10 minutos
5 minutos
Sin material.
Sin material.