El documento explica el concepto de diferencial y cómo se aplica para estimar errores y aproximaciones. La diferencial representa cómo varía una función cuando cambia su variable independiente en un pequeño incremento. Se proveen ejemplos de cómo usar la diferencial para calcular áreas, volúmenes, raíces y otros valores aproximados en ciencias, matemáticas y otras áreas.

1. APLICAS LA DIFERENCIAL EN ESTIMACIÓN DE ERRORES Y
APROXIMACIONES DE VARIABLES, EN LAS CIENCIAS EXACTAS,
SOCIALES, NATURALES Y ADMINISTRATIVAS.
¿CÓMO ES LA VARIACIÓN DE UNA FUNCIÓN CUANDO SU VARIABLE INDEPENDIENTE
CAMBIA?
En cálculo diferencial resolvimos problemas de derivación y los métodos de
derivación, ahora retomaremos esos conceptos de derivación para obtener la
diferencial de la función f(x) descrita como dy=f(x).dx
El objeto de estudio de la diferencial, es como varia una función, cuando el valor
de su variable independiente cambia.
Si tenemos que “X” es la variable independiente de la función y= f(x) y su valor
cambia de x₁ a x2 el aumento (o la disminución) respectivo se llama incremento
de x y se simboliza con Δx (“Delta equis”). Así que tenemos que:
En caso de que la variable y= f(x) experimenta un incremento Δx, de igual manera
la función sufre un aumento (o una disminución) de valor, denominándolo
incremento de la función y se representa con Δy (“Delta ye”). Así tenemos que:
Δy= f(x₂) - f(x₁)
Como Δy= X₂ - X₁, al despejar X₂, obtenemos X₂ = X₁ + Δx.
Al sustituir este valor de X₂ en la ecuación obtenemos:
Δy= f (X₁ + Δx) - f(x₂)
Nota: Se utiliza la palabra incremento para referirse tanto como a un aumento,
como a una disminución.
Diferencial
 Definición: Si una función f está definida por la ecuación y= f(x), entonces la
diferencial de y será: dy= f´(x) x
En donde esta se denota por dy. Además x está en el dominio de f´ y x es un
pequeño incremento arbitrario de x.
Por otro lado tenemos la definición de la diferencial de la variable dependiente:
 Definición: Si una función f está definida por la ecuación y=f(x), entonces la
diferencial de x será: dx= x

2. En donde esta se denota por dx. Además x está en el dominio de f´ y x es un
pequeño incremento arbitrario de x.
Con estas definiciones podemos dar a conocer la relación entre las diferenciales
de la variables respectivas: dy=f´(x) dx
Esto señala que la diferencial de una función es igual al producto de su derivada
por la diferencial de la variable independiente.
Dentro de la diferencial podemos encontrar aplicaciones, de las cuales son vistas
desde diferentes ramas como; las matemáticas, las ciencias exactas, ciencias
naturales y ciencias sociales, a continuación les mostramos ejemplos.
Ejemplo 1 Calcula la Raíz cuadrada de 24.2 por medio de la diferencial.
*Paso 1: Se busca la fórmula que represente al problema de manera general
(puede ser una raíz cuadrada, raíz cubica, volumen, área, etc.
√
√ *Paso 2: se calcula la derivada de la función del paso 1.
√
*Paso 3: Se despeja dy, para obtener la diferencial.
(
√
) ( )
*Paso 4: El valor de la raíz cuadrada se separa en dos partes, una que tenga raíz
entera y la otra lo que falta o sobra.
√ = √

3. *Paso 5: los valores de x y dx se sustituyen en la diferencial que resulto en el paso
3.
(
√
) ( ) ( )
dy = 0.08
*Paso 6: Se calcula la raíz tomando la que tiene parte entera y restando o
sumando según el caso.
√ = √
= 5 - 0.08
= 4.92
Ejemplo 1 (2.15)2
( )( )
( )
2
( )
2
( ( ))( )
( )( )
(2.15)2
= 4 +dy = 4.6
Ejemplo 2 √
√
x dx

4. √
(
√
) ( )
√ √
(
√
) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )( )
√ √
Ejemplo de aplicación 1: Un terreno cuadrado mide 2 km de cada lado. Calcula cuál
es el error si la cerca se recorre 1 m.
A= X2
A=2X
= 2x
= 2x (dx)
a) Hacia afuera b) Hacia adentro
dy= (2l) (dx) dy= (2l) (dx)
dy= (2) (2000) (1) dy= (2x) (1999) (1)
x=2k =2000m
dx= 1m =1m2
2

5. dy= (2 (2000) (1) =4000 dy= 3990 =
Ejemplo de aplicación 2 Calcula la disminución aproximada del área de una
quemadura de forma circular cuando el radio disminuye de 2 a 1.98 cm.
Se disminuye por tanto se resta
-
dr= 0.02
dA= (2 π r ) (dr)
dA = (2 (3.14) (2) (0.02)
dA= 0.25
Ejemplo de aplicación 3 Una persona tiene un tumor de forma esférica, calcula
el incremento aproximado del volumen del tumor cuando su radio aumenta
de 2 a 2.1 cm.
dr= 0.1 r = 2
= dv= 4(3.14 (2 (0.1)
dv= 5.024
= 4 π
dv= 4 π (dr)
El incremento aproximado del tumor es de 5.024
= 2 π r