Universidad Técnica Particular de Loja Ciclo Académico Abril Agosto 2011 Carrera: Gestión Ambiental Docente: Ing. Antonella González Ciclo Tercero Bimestre: Segundo

1. CÁLCULO PARA LAS CIENCIAS BIOLÓGICAS Gestión Ambiental ESCUELA: Segundo BIMESTRE: NOMBRES: Ing. Antonella González G. ABRIL AGOSTO 2011

2. Asesoría VirtualII Bimestre Calculo multivariable Derivadas parciales Aplicación de las derivadas parciales. Ecuaciones Diferenciales Tipos de Ecuaciones diferenciables Tipos de soluciones de Ecuaciones Diferenciables.

3. Calculo Multivariable La temperatura T en un punto de la superficie de la tierra depende de la longitud x y la latitud y del punto. Se puede considerar que T es una función de las dos variables x y y o bien que es una función de la pareja (x, y), y esta dependencia funcional se indica escribiendo T = f(x, y).

4. Funciones de Varias Variables Definición Una función f de dos variables es una regla que asigna a cada pareja ordenada (x, y) en D un numero real único denotado por f(x, y). El conjunto D es el dominio de f. En general, una función de n variables, es aquella cuyo dominio consiste en n-adas ordenadas (x1, x2,…xn).

5. FUNCIONES Y DOMINIOS El dominio de una función de varias variables está constituido por todo el conjunto de valores que puede tomar cada variable independiente dentro del conjunto de números reales para permitir que se defina la variable dependiente.

6. Derivadas Parciales Son cada una de las derivadas de la función dada con respecto de cada una de las variables que la constituyen, están dadas por: Con respecto de x: 2. Con respecto de y:

7. Este proceso consiste en la evaluación más detallada de las funciones de varias variables considerando los máximos y mínimos locales o globales que son indicadores de la relación funcional de las variables. Los pasos son: Se obtiene las dos derivadas parciales y se las iguala a cero para hallar los valores de las variables para los cuales se anulan, simultáneamente las dos derivadas parciales, por ejemplo el punto (a, b) formado por los puntos críticos. Optimización

8. Si hay los puntos críticos, se halla las segunda derivada con respecto de x y de y, respectivamente, o sea fxx(x,y), fyy(x,y), así como también la derivada total. 3. f(a, b) es máximo local, si fxx(a, b).fyy(a, b) – [fxy(a, b)]2 > 0 y fxx(a, b) < 0; f(a, b) es mínimo local, si fxx(a, b).fyy(a, b) – [fxy(a, b)]2 > 0 y fxx(a, b) > 0; No existe valor extremo cuando fxx(a, b).fyy(a, b) – [fxy(a, b)]2 < 0.

9. Aplicaciones de las Derivadas Parciales Se sabe que si z=f(x,y) entonces y pueden interpretarse geométricamente como laspendientes de las rectas tangentes a la superficie z=f(x,y) en las direcciones x yy, respectivamente y como la derivada es una razón de cambio, se tiene: es la razón de cambio de z con respecto de x cuando y se mantiene fija. es la razón de cambio de z con respecto de y cuando x se mantiene fija.

10. Ecuaciones Diferenciables Definición.- Se llama ecuación diferencial cuando se resuelve una ecuación que contenga la derivada de una función desconocida. Con mayor precisión se llama Ecuación Diferencial de primer orden puesto que incluye una derivada de primer orden y ninguna de orden superior.

11. Origen de las Ecuaciones Diferenciables Físico: Cuando se trata de interrelacionar variables que representan magnitudes físicas que están en relación precisa dentro de los cuerpos u objetos del universo, considerando los aumentos o disminuciones como elementos de análisis. Geométrico: Cuando surge de interrelacionar las medidas de los cuerpos o figuras geométricas.

12. De la primitiva: Cuando se obtiene de ejecutar el proceso de derivación o diferenciación de una función mediante la aplicación de las reglas y procedimientos habituales.

13. Tipos de Ecuaciones Diferenciables de Primer Orden Ecuaciones separables: Una ecuación es separable si el lado derecho de la ecuación se puede expresar como una función g (x) que sólo depende de x, por una función p (y) que sólo depende de y. Ejemplo:

14. Ecuaciones lineales: Una ecuación lineal es aquella que se puede expresar de la forma: Donde a1(x), a0(x) y b(x) sólo dependen de la variable independiente x, no así de y. Ejemplo:

15. Ecuaciones exactas: Son aquellas que adoptan la forma M(x,y)dx + N(x,y)dy=0 que es la diferencial total de la función f(x,y) y se cumple que dM/dy = dN/dx. Ejemplo:

16. Tipos de Soluciones de Ecuaciones Diferenciables General o completa: cuando la solución es representativa de una familia de primitivas, lo cual queda evidenciado en la presencia de parámetros o constantes. Particular: Cuando la solución cumple con ciertas condiciones referenciales, que debe cumplir la primitiva correspondiente, como por ejemplo pasar por un punto específico.

17. Formas de resolución de ED Ecuaciones diferenciales de variables separables: Son aquellas las que permiten descomponerlas en dos productos uno de los cuales corresponde a los términos que contienen la variable y con la respectiva diferencial (dy) y los de x con su diferencial (dx), circunstancia en la cual seprocede a integrar cada miembro y se puede conseguir la solución.

18. Formas de resolución de ED Ecuaciones diferenciales de variables separables: Son aquellas las que permiten descomponerlas en dos productos uno de los cuales corresponde a los términos que contienen la variable y con la respectiva diferencial (dy) y los de x con su diferencial (dx), circunstancia en la cual seprocede a integrar cada miembro y se puede conseguir la solución.

20. GUIÓN DE PRESENTACIÓN PROGRAMA: Cálculo para las Ciencias Biológicas Carrera: Gestión Ambiental Fecha: 8 de julio de 2011 Docente: Ing. Antonella González Hora Inicio: 18h00 Hora Final: 19h00