Explicacion de Funciones Racionales y sus asintotas y como calcularlas.

1. UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE QUERÉTARO
FACULTAD DE INGENIERIA
Calculo Diferencial
III Funciones racionales
Asíntotas
Las funciones racionales
𝑓(𝑥) =
𝑎 𝑥 + 𝑎 𝑥 + 𝑎 𝑥 + ⋯ 𝑎 𝑥 + 𝑎
𝑏 𝑥 + 𝑏 𝑥 + 𝑏 𝑥 + ⋯ 𝑏 𝑥 + 𝑏
Pueden tener asíntotas verticales, horizontales u oblicuas.
Una función racional tiene asíntota vertical 𝑥 = 𝑎 si el límite cuando 𝑥 → 𝑎 no existe, el cociente tiende a
valores muy grandes (infinito) positivos o negativos
lim
→
[𝑓(𝑥)] ± ∞
Una función racional tiene asíntota horizontal si el límite al infinito existe
lim
→±
[𝑓(𝑥)] = 𝐿
Asíntotas horizontales
Cuando los valores de 𝑥 tienden a valores muy grandes positivos o muy grandes negativos (𝑥 → ±∞) los
términos sumados o restados al de mayor grado pueden despreciarse o eliminarse.
Por ejemplo para 𝑥 + 3 , suponiendo un valor grande de equis, 𝑥 = 1 000 000 000 000 ,
(1000 000 000 000) + 3, agregar (o restar) tres no es significativo para el resultado.
Sí el grado 𝑛 es par
lim
→±
[𝒙𝒏
± 𝒙𝒏 𝟏
± 𝒙𝒏 𝟐
± ⋯ ] = lim
→±
[𝑥 ] = ∞
Sí el grado 𝑛 es impar
lim
→
[𝒙𝒏
± 𝒙𝒏 𝟏
± 𝒙𝒏 𝟐
± ⋯ ] = lim
→
[𝑥 ] = −∞
lim
→
[𝒙𝒏
± 𝒙𝒏 𝟏
± 𝒙𝒏 𝟐
± ⋯ ] = lim
→
[𝑥 ] = ∞
Entonces

2. 𝐥𝐢𝐦
𝒙→±
𝟏
𝒙𝒏 ± 𝒙𝒏 𝟏 ± 𝒙𝒏 𝟐 ± ⋯
= 𝐥𝐢𝐦
𝒙→±
𝟏
𝒙𝒏
= 𝟎
Incluso si se considera cualquier constante en el numerador, Definición
𝐥𝐢𝐦
𝒙→±
±𝒄
𝒙𝒏 ± 𝒙𝒏 𝟏 ± 𝒙𝒏 𝟐 ± ⋯
= 𝐥𝐢𝐦
𝒙→±
±𝒄
𝒙𝒏
= 𝟎
Cuando una función racional tiene asíntotas horizontales, significa que la función se estabiliza (no crece
ni decrece, prácticamente es constante) cuando equis tiende a valores muy grandes positivos o negativos.
El grado del numerador 𝑛 puedes ser menor, igual o mayor que el grado del denominador
𝑛
<
=
>
𝑚
Cuando 𝑥 → ±∞, dependiendo del grado de los polinomios (𝑛 y 𝑚) la división o cociente de los polinomios
se agrupa en alguno de los siguientes casos.
Caso 𝐥𝐢𝐦
𝒙→±
𝒂𝒏𝒙𝒏
+ ⋯ + 𝒂𝟎
𝒃𝒎𝒙𝒎 + ⋯ + 𝒃𝟎
= Asíntotas horizontales
1) 𝑛 < 𝑚 lim
→±
𝑎 𝑥
𝑏 𝑥
= lim
→±
𝑎
𝑏
1
𝑥
= 0 𝑦 = 0
2) 𝑛 = 𝑚 lim
→±
𝑎 𝑥
𝑏 𝑥
= lim
→±
𝑎
𝑏
=
𝑎
𝑏
𝑦 =
𝑎
𝑏
3) 𝑛 = 𝑚 + 1
𝑎 𝑥 + ⋯ + 𝑎
𝑏 𝑥 + ⋯ + 𝑏
= (𝑑𝑥 + 𝑒) ±
residuo
𝑏 𝑥 + ⋯ + 𝑏
La función no tiene asíntota
horizontal es creciente o
decreciente pero es asíntota a la
recta 𝑑𝑥 + 𝑒 asíntota oblicua
4) 𝑛 > 𝑚 + 1 lim
→±
𝑎 𝑥
𝑏 𝑥
= lim
→±
𝑎
𝑏
𝑥 = ±∞
La función no tiene asíntota
horizontal, es creciente o
decreciente, nunca se estabiliza
Más adelante veremos cómo se grafican las funciones racionales, por el momento, se trata de
determinar si la función se estabiliza cuando 𝒙 → ±∞ , es decir, si tiene asíntotas horizontales
Ejemplo caso 1 (𝑛 < 𝑚), encontrar la asíntotas horizontal de la función:
𝑓(𝑥) =
𝑥 + 2𝑥 + 3
𝑥 − 3𝑥
𝐥𝐢𝐦
𝒙→
𝑥 + 2𝑥 + 3
𝑥 − 3𝑥
= 𝐥𝐢𝐦
𝒙→
𝑥
𝑥
= 𝐥𝐢𝐦
𝒙→
1
𝑥
= 𝟎

3. 𝐥𝐢𝐦
𝒙→
𝑥 + 2𝑥 + 3
𝑥 − 3𝑥
= 𝐥𝐢𝐦
𝒙→
𝑥
𝑥
= 𝐥𝐢𝐦
𝒙→
1
𝑥
= 𝟎
La asíntota horizontal por la izquierda y por la derecha es 𝒚 = 𝟎
Ejemplo caso 2 (𝑛 = 𝑚), encontrar la asíntota horizontal de la función:
𝑓(𝑥) =
10𝑥 + 2𝑥 + 3
2𝑥 − 7𝑥 + 4
𝐥𝐢𝐦
𝒙→
10𝑥 + 2𝑥 + 3
2𝑥 − 7𝑥 + 4
= 𝐥𝐢𝐦
𝒙→
10𝑥
2𝑥
= 𝐥𝐢𝐦
𝒙→
10
2
= 𝟓
𝐥𝐢𝐦
𝒙→
10𝑥 + 2𝑥 + 3
2𝑥 − 7𝑥 + 4
= 𝐥𝐢𝐦
𝒙→
10𝑥
2𝑥
= 𝐥𝐢𝐦
𝒙→
10
2
= 𝟓
La asíntota horizontal por la izquierda y por la derecha 𝒚 = 𝟓
Ejemplo caso 3 (𝑛 = 𝑚 + 1), encontrar la asíntota horizontal de la función:
𝑓(𝑥) =
10𝑥 + 2𝑥 + 3
2𝑥 − 7𝑥 + 4
𝐥𝐢𝐦
𝒙→±
𝑥
𝑥 − 2𝑥 + 1
= 𝐥𝐢𝐦
𝒙→±
𝑥
𝑥
= 𝐥𝐢𝐦
𝒙→±
[𝑥] = ±∞
La función NO se estabiliza, no tiene asíntota horizontal, pero:
𝑥 − 2𝑥 + 1
𝑥 − 2𝑥 + 1
= 𝒙 + 𝟐 +
3𝑥 − 2
𝑥 − 2𝑥 + 1
(Comprobar la división)
La función tiene una asíntota oblicua, es asíntota a la recta 𝒙 + 𝟐

4. Ejemplo caso 4 (𝑛 > 𝑚 + 1), encontrar la asíntota horizontal de la función:
𝑓(𝑥) =
10𝑥 + 2𝑥 + 3
2𝑥 − 7𝑥 + 4
lim
→±
10𝑥 + 2𝑥 + 31
2𝑥 − 7𝑥 + 4
= lim
→±
10𝑥
2𝑥
= lim
→±
[5𝑥 ] = +∞
La función NO se estabiliza, no tiene asíntotas horizontales