Mate

1
Pregunta N.º 1
Un fabricante vende un artículo al mayorista
ganando p%, éste vende al minorista ganando q%
y el minorista al público obteniendo una ganancia
de t%. Si el precio del artículo al público es 1,716
veces el valor que cuesta fabricarlo, halle la suma
de las cifras de (p+q+t).
A) 6 B) 7 C) 8
D) 9 E) 10
Solución
Tema
Tanto por ciento
Referencias
Una de las tantas aplicaciones de la regla del tanto
por ciento es el aumento sucesivo y las operacio-
nes comerciales, donde se cumple la siguiente
relación:
Precio de venta (PV)=Precio de costo (PC)+
+Ganancia (G)
Por lo general, la ganancia es un tanto por ciento
del precio de costo.
Análisis y procedimiento
1. caso:er
precio de la fábrica
C ( )%C100+p
p%
precio del mayorista
gana
Matemática
Tema P
2. caso:o
precio del mayorista
(100+ )%p ( )%(100+ )%p C100+q
q%
precio del minorista
C gana
3. caso:er
precio del minorista
t%
precio al público
( )%(100+ )%p C100+q ( )%(100+ )%(100+ )q p C100+t
gana
Al final (3.er
caso), tenemos:
(100+t)%(100+q)%(100+p)%C=1,716C
100 100 100
100 10 0 100
1716
1000
+( ) +( ) +( )
× ×
=
t q p
(100+t)(100+q)(100+p)=1716000
Buscando factores enteros en el segundo miembro,
mayores de 100, tenemos:
(100+t)(100+q)(100+p)=110×120×130
Entonces
p+q+t=60
cuya suma de cifras es 6.
Nota
Buscando factores enteros en el segundo miembro,
mayores de 100 también, tenemos:
(100+t)(100+q)(100+p)=104×125×132
Entonces
p+q+t=61
cuya suma de cifras es 7.
En esta pregunta hay dos respuestas y son 6 ó 7.
Respuesta
La suma de cifras de p+q+t es 6.
Alternativa A
UNI
SOLUCIONARIO
Examen de Admisión UNI 2009-I

Matemática
2
Pregunta N.º 2
Tres números enteros m, n y p tienen una media
aritmética de 10 y una media geométrica de 9603
Halle aproximadamente la media armónica de
estos números, si n·p=120.
A) 8,72 B) 9,32 C) 9,73
D) 9,93 E) 9,98
Solución
Tema
Promedio
Referencias
El promedio es un valor representativo de un
conjunto de datos; dependiendo de la forma de
cálculo tenermos:
• Media aritmética (MA)
MA =
suma de datos
cantidad de datos
• Media geométrica (MG)
MG n
= Producto de datos
n: cantidad de datos
• Media armónica (MH)
MH =
cantidad de datos
suma de las inversas
de los datos
De los datos tenemos
MA(m, n, p)=
m n p+ +
=
3
10 → m+n+p=30
MG(m, n, p)= m n p× × =3 3
960 → m×n×p=960
Además, por dato tenemos que n×p=120, como
m n p× × =
120
960, entonces, m=8.
Nos queda que
n+p=22
n×p=120
de donde se obtiene
n=12 y p=10.
Finalmente, calculemos la MH(m, n, p).
MH m n p( , , ) , ...=
+ +
=
3
1
8
1
10
1
12
9 7297
∴ MH(m, n, p)=9,73
Respuesta
Aproximadamente, la MH de m, n y p es 9,73.
Alternativa C
Pregunta N.º 3
Las normas académicas de una institución educa-
tiva establecen las calificaciones siguientes:
Aprobado: nota ≥ 14;
Desaprobado: 9 ≤ nota < 14 y
Reprobado: nota < 9
En el curso de Química, las calificaciones finales
fueron: 40% de aprobados, con nota promedio:
16 puntos; nota promedio de los desaprobados:
11 puntos; y nota promedio de los reprobados:
6 puntos. Si la nota promedio obtenida en el curso
fue de 11 puntos, entonces, el porcentaje de alum-
nos reprobados es
A) 10% B) 20% C) 30%
D) 40% E) 50%
Solución
Tema
Promedios

Matemática
3
Referencias
El promedio más empleado es la media aritmética;
para su cálculo se utilizan todos los datos y se
calcula así:
MA =
suma de datos
total de datos
Luego, tenemos que
suma de datos=MA×( Total de datos)
total de
alumnos
apro-
bados
desapro-
bados
repro-
bados
Cantidad 100% 40% (60–x)% x%
MA 11 16 11 6
Luego, se tiene lo siguiente:
11×100%=16×40%+11(60–x)%+6×x%
1100%=640%+660%–5x%
1100%=1300%–5x%
5x%=200%
x%=40%
Respuesta
Los alumnos reprobados representan el 40%.
Alternativa D
Pregunta N.º 4
De un grupo de 12 profesores; 5 son de la UNI, uno
de los cuales es mujer; 4 son de la UNA, uno de los
cuales es mujer, y 3 son de la UNMSM, todos varo-
nes. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar ternas
constituidas por un profesor de cada universidad y
que no pueda haber una mujer de la UNA?
A) 0,06 B) 0,15 C) 0,18
D) 0,20 E) 0,24
Solución
Tema
Probabilidades
Referencias
Cuando se requiere hallar el número de formas en
que se puede seleccionar r objetos de un total de
n objetos diferentes entre sí, podemos emplear el
siguiente cálculo:
C
n
r n r
r
n
=
−
!
!( )!
Además, el cálculo de la probabilidad de un
evento se calcula:
P =
cantidad de casos
favorables
cantidad de casos
totales
Ahora seleccionaremos ternas de profesores:
Piden hallar la probabilidad (P) de que estas ternas
seleccionadas estén constituidas por un profesor de
cada universidad y que no pueda haya una mujer
de la UNA, entonces:
P
C C C
C
=
× ×
= =1
5
1
3
1
3
3
12
9
44
0 2045,
Respuesta
La probabilidad es 0,20 aproximadamente.
Alternativa D

Matemática
4
Pregunta N.º 5
Sea el número N=777...77(8) de 100 cifras. Halle
la suma (expresada en base diez) de las cifras del
número N2
, que está expresada en base 8.
A) 640 B) 700 C) 740
D) 780 E) 800
Solución
Tema
Cuatro operaciones
Referencias
En problemas de multiplicación, cuando se
multiplica un número por otro cuyas cifras son
máximas, el producto se puede expresar como
una sustracción.
Ejemplo
abc×99=abc(100–1)=abc00–abc
mnp8×7778=mnp8(10008 –1)=mnp0008 –mnp8
Por dato
N = 777 77
100
8
...
cifras
Entonces
N 2
100
8
100
8
777 77 777 77= ×... ...
cifras cifras
Pero
N
N
2
100
8
100
8
2
777 77 1 00 0 1
7
= −⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=
... ...
cifras cifras
777 77 00 0 777 77
100 100
8
100
... ... ...
cifras cifras cifra
−
ss
8
Ordenando en forma vertical y operando obte-
nemos
N 2
100
8
77 600 01= ... ...
cifras
100 cifras
77...700...008 –
77...778
Entonces, la suma de cifras de N2
es
7×99+6+1=700
Respuesta
La suma de cifras de N2
es 700.
Alternativa B
Pregunta N.º 6
Clasifique como verdadero (V) o falso (F) cada una
de las siguientes afirmaciones:
1. ∀ a, b números enteros,
a
b
es un número
racional.
2. ∀ a, b números enteros,
a b
a
+
+1 2
es un número
racional.
3. Si k ∈ Z y k2
es par, entonces k es par.
A) FVV B) FFV C) VFV
D) VFF E) FFF
Solución
Tema
Números racionales
Referencias
El conjunto de los números racionales se define:
Q Z Z= ∈ ∧ ∈ −{ }⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
a
b
a b 0
Si
m
n
∈ Q, se debe cumplir que m∈Z ∧ n∈Z–{0}.
Además, se dice que un número es par si es un
múltiplo de 2; es decir, si n es par, entonces,
n=2K, (K∈Z).
1. Por dato: ∀a; b números enteros se debe
concluir que
a
b
es un número racional, pero
esto no se cumple cuando b=0.
Por lo tanto, esta proposición es falsa (F).

Matemática
5
2. Por dato: ∀a; b números enteros se debe
cumplir que
a b
a
+
+1 2
es un número racional.
• Como a y b son enteros, la suma a+b sigue
siendo entero.
• Además, a∈Z.
Entonces, 0≤a2
∈Z → 1≤a2
+1∈Z.
a b
a
+
+1 2
es un número racional, pues 1+a2
es
entero y diferente de cero.
Por lo tanto, esta proposición es verdadera (V).
3. Por dato: Si K∈Z y K2
es par, entonces, K es
par. Por dato K2
es par; entonces
K2
=2n; (n∈Z)
Pero por ser K2
un cuadrado perfecto y
K n2
2= , entonces, n=2p2
, de donde K2
=4p2
→ K=2p; por lo tanto, K es par.
Esta proposición es verdadera (V).
Respuesta
Los valores veritativos de las proposiciones son
FVV, respectivamente.
Alternativa A
Pregunta N.º 7
Sea N=abc, un número de tres cifras, tal que;
abc cba cab= = =7 11 9
o o o
y, .
Halle la siguiente suma 3c+2a+b.
A) 24 B) 26 C) 28
D) 30 E) 32
Solución
Tema
Divisibilidad
Referencias
En los criterios de divisibilidad hay algunos casos
particulares en donde se puede intercambiar el
orden de las cifras; por ejemplo:
Si mnp=9
o
↔ m+n+p=9
o
, al intercambiar el orden
de las cifras también se genera números múltiplos
de 9; así, mpn= 9
o
; pnm= 9
o
; ...
Si mnp
+ − +
=11
o
↔ p–n+m= 11
o
, al intercambiar las
cifras de orden impar también se genera múltiplo
de 11; así, pnm=11
o
.
De los datos tenemos
abc= 7
o
cba =+ − +
11
o
→ cba =+ − +
11
o
cab abc= → =9 9
o o
abc= → abc=MCM
o
( , , )7 9 11
7
o
11
o
9
o
De donde abc K= =693 693
o
1(único valor)
Luego, a=6, b=9 y c=3.
Entonces, 3c+2a+b=3(3)+2(6)+9=30.
Respuesta
La suma de 3c+2a+b es 30.
Alternativa D
Pregunta N.º 8
Si la fracción abc
cba
es equivalente a 5/17, determine
b, sabiendo que (a)(b)(c)≠0.
A) 1 B) 2 C) 4
D) 6 E) 8
Solución
Tema
Números racionales

Matemática
6
Referencias
Una fracción será equivalente a otra si resulta de
multiplicar los términos de la fracción irreductible
de esta última por una misma cantidad entera.
Por ejemplo: Si queremos fracciones equivalentes
a
12
20
3
5
<> irreductible.
Entonces, dichas fracciones serán de la forma
a
b
n
n
=
3
5
, donde a=3n y b=5n (n ∈ Z).
Por dato, la fracción
abc
cba
es equivalente a
5
17
.
Entonces, se cumple que
abc
cba
n
n
=
5
17
→ abc=5n= 5
o
cba=170
De lo anterior se concluye que c=5
además, se tiene que
cba abc n
c a
− = =
−99
12 4
( )
o
→ 99 12 4
4
( )c a n
c a
− = =
− =
o
o
pero c=5
∴ a=1 ∧ n=33
Como abc=5n=5(33)=165
entonces, b=6.
Respuesta
El valor de b es 6.
Alternativa D
Pregunta N.º 9
Sea la igualdad
x a b x a b− + = + − (*)
entonces, la proposición verdadera es:
A) (*) si y solo si x=0 ∨ a2
=b2
B) (*) si y solo si x=a=b
C) (*) si y solo si x=0 ∧ a=b
D) (*) si y solo si x=0 ∨ a=b
E) (*) si y solo si x=a=–b
Solución
Tema
Valor absoluto
Referencias
Para la resolución del problema utilizaremos el
siguiente teorema.
|x|=|y | ↔ x=y ∨ x=–y
Plan de resolución
I. Aplicar el teorema.
II. Resolver las ecuaciones obtenidas.
Ejecución del plan
I. |x–a+b|=|x+a–b|
↔ x–a+b=x+a–b ∨ x–a+b=–(x+a–b)
II. 2b=2a ∨ x–a+b=–x–a+b
↔ b=a ∨ 2x=0
↔ b=a ∨ x=0
∴ x=0 ∨ a=b
Respuesta
La proposición verdadera es x=0 ∨ a=b.
Alternativa D
Pregunta N.º10
Si
x
y
y
x
2
2
2
2
13
6
+ = ,x2
+y2
=5, x < 0 < y y |y| < |x|,
halle el valor de S y x= +2 3
A) –2 B) –1 C) 0
D) 1 E) 2
Solución
Tema
Sistema de ecuaciones
Referencias
Para resolver el problema necesitamos conocer
lo siguiente:
• Ecuaciones cuadráticas.
• Valor absoluto.

Matemática
7
Plan de resolución
I. Hallar el equivalente de la primera ecuación del
sistema.
II. Dicho equivalente lo relacionamos con la
segunda ecuación.
III. Restringimos algunos valores por la condición
del problema.
Plan de ejecución
Tenemos el sistema
x
y
y
x
x y
x y y x
2
2
2
2
2 2
13
6
5
0
+ = ( )
+ = ( )
< < <
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
α
β
;
De (α) se tiene
6x4
–13x2
y2
+6y4
=0
Factorizamos
(3x2
–2y2
)(2x2
–3y2
)=0
→ 3x2
=2y2
∨ 2x2
=3y2
→ x
y
x
y
2
2
2
2
2
3
3
2
= ∨ = (λ)
De (β) y (λ)
tenemos
(x2
=2 ∧ y2
=3) ∨ (x2
=3 ∧ y2
=2)
como |y| < |x|, entonces, solo es posible
x2
=3 ∧ y2
=2
↔ x y± ∧ = ±3 2
y como x < 0< y, se tiene finalmente
x y= − ∧ =3 2
∴ S y x= + = ( )+ ( ) −( )= −2 3 2 2 3 3 1
Respuesta
El valor de S y x= +2 3 es –1.
Alternativa B
Pregunta N.º 11
En la figura se muestra la gráfica del polinomio
cúbico p(x).
Sabiendo que p(a)=20, halle p a−( )3
A) 4 B) 5 C) 8
D) 10 E) 12
Solución
Tema
Gráfica de funciones
Referencias
Para la resolución del problema se necesita conocer
lo siguiente:
• Gráfica de funciones cúbicas.
• Raíces reales de funciones polinomiales.
• Características de las funciones cúbicas.
• Teorema del factor.
Plan de ejecución:
I. Identificar las raíces reales de la gráfica.
II. Aplicar el teorema del factor.
III. Hallar el coeficiente principal de P(x)

Matemática
8
Ejecución del plan:
I. Del siguiente gráfico
0
P
– 2a X
Y
2a
las raíces son –2a; 0; 2a
II. P(x)=b(x+2a)x(x–2a).
III. Evaluamos x=a
P(a)=b(3a)a(–a)=20 → b
a
= −
20
3 3
Luego, P
a
x a x x ax( ) = − + −
20
3
2 23
( ) ( ).
Similarmente, para x=–3a
P
a
a a aa−( ) = − − − − =3 3
20
3
3 5 100( )( )( )
∴ P a−( ) = =3 100 10
Respuesta
El valor de P a−( )3 es 10.
Alternativa D
Pregunta N.º 12
La gráfica de la función f se muestra a continuación
Determine aproximadamente la gráfica de la
inversa de la función
g(x)=|f(x–2)+1|; –1 ≤ x ≤ 1
Solución
Tema
Gráfica de funciones
Referencias
Para la resolución del problema se necesita conocer
lo siguiente:
• Propiedades de las gráficas de funciones.
• Gráfica de la función inversa.
Plan de resolución
I. Identificar la gráfica de f en el dominio
indicado.
II. Usar las propiedades de gráficas de funciones
para construir g(x).
III. Graficar la función inversa.

Matemática
9
Ejecución del plan
I. Como nos interesa la gráfica de
f(x–2), para –1 ≤ x ≤ 1 → –3 ≤ x–2 ≤ –1
es decir, solo nos interesa la gráfica de f en el
intervalo [–3; –1] ⊂ Domf.
II.
– 1
1
– 1
Y
X
– 2
– 3 – 1
1
– 1
Y
X
1
f x( ) f x( – 2)
2
– 1
Y
X
1
f x( – 2)+1
como
f(x–2)+1 ≥ 0 ∀ x ∈[–1; 1]
→ |f(x–2)+1|=f(x–2)+1
luego,
g(x)=|f(x–2)+1|=f(x–2)+1; –1 ≤ x ≤ 1
III. Por lo tanto, la gráfica de g–1
(x) será
– 1
Y
X2– 1
2
g–1
g
1
Respuesta
La gráfica de g–1
se muestra en la alternativa C.
Alternativa C
Pregunta N.º 13
Si a, b y c son constantes positivas y
1 1 1 1
0 0
0 0
0 0
0
x a
x b
x c
=
Determine el valor de x.
A)
abc
a b c+ +
B)
abc
ab ac bc+ +
C)
bc
a
ac
b
ab
c
+ +
D)
a b c
abc
+ +
E)
a
bc
b
ac
c
ab
+ +
Solución
Tema
Determinantes
Referencias
Para el cálculo del determinante de una matriz de
orden (4×4), se utilizará el método de menores
complementarios, y es necesario también el método
de Sarrus para una matriz de orden (3×3).
Plan de resolución
I. Identificar la fila o columna que contenga más
ceros.
II. Aplicar el método de menores complementarios.
III. Aplicar el método de Sarrus.

Matemática
10
Ejecución del plan
I. 1 1 1 1
x a 0 0
x 0 b 0
x 0 0 c
II. 1 1 1 1
x a 0 0
x 0 b 0
x 0 0 c
=– x
1 1 1
0 b 0
0 0 c
+a ( )a
1 1 1
x b 0
x 0 c
III.
1 1 1
0 b 0
0 0 c
1 1
0 b
0 0
=bc
+ + +– – –
1 1 1
x b 0
x 0 c
1 1
x b
x 0
= –( + )bc bx cx
+ + +– – –
Reemplazamos en (α)
1 1 1 1
x a 0 0
x 0 b 0
x 0 0 c
=–xbc+a(bc–(bx+cx))=0
→ –xbc+abc–abx–acx=0
→ x
abc
ab bc ac
=
+ +
Respuesta
El valor de x es
abc
ab bc ac+ +
.
Alternativa B
Pregunta N.º 14
El sistema de inecuaciones
x–3y ≤ 6
2x+y ≥ 4
x+y ≤ 6
x ≥ 0
y ≥ 0
determina en el plano una región R. Podemos
afirmar que
A) R es una región triangular.
B) R es un región cuyo borde es un cuadrado.
C) R es un región cuyo borde es un cuadrilátero.
D) R es vacía.
E) R es un cuadrante.
Solución
Tema
Sistema de inecuaciones lineales
Referencias
Una inecuación con dos variables se puede repre-
sentar geométricamente en un plano cartesiano;
por ejemplo, para la inecuación
x+2y ≥ 12
6
12
YY
XX
Plan de resolución
I. Graficar las desigualdades.
II. Intersecar dichas regiones.
III. Identificar la figura y su borde.
Ejecución del plan
6
4
2 6
2 + =4x y
x y+ =6
x y–3 =6
–2
Y
X
RR

Matemática
11
Respuesta
Se puede afirmar que R es una región cuyo borde
es un cuadrilátero.
Alternativa C
Pregunta N.º 15
Si el conjunto solución de la inecuación
(2x
–x)(3x
–log3x)(x2
–9)(3x
–9) > 0
es de la forma S=〈a; b〉 ∪ 〈c; +∞〉 , halle a+b+c.
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) 5
Solución
Tema
Inecuación logarítmica y/o exponencial
Referencias
Para la resolución del problema se debe conocer
lo siguiente:
• Gráficas de las funciones exponenciales y
logarítmicas.
• Criterio de los puntos críticos.
I. Graficar las funciones exponenciales y logarít-
micas para compararlas.
II. Simplificar los factores positivos que aparecen
en la inecuación.
III. Usar el criterio de los puntos críticos para
determinar los valores de a, b y c.
Ejecución del plan
I. Debemos recordar las gráficas de las funciones
siguientes:
1
y=2x
y x=
Y
X
→ (2x
–x) > 0; ∀x ∈ R
y=3x
y x=log3
Y
X
1
1
→ (3x
–log3x) > 0; ∀x ∈ R+
II. En la inecuación debemos considerar x > 0
para que log3x exista.
2 3 3
x x
x x−( ) −( )
+ +
log (x2
–9)(3x
–32
) > 0
→ (x–3)(x+3)(3x
–32
) > 0
III. Puntos críticos: –3; 3 y 2
–3 0 2 3
→ CS=〈0; 2〉 ∪ 〈3; +∞〉
Comparando con el dato, obtenemos
a=0, b=2 y c=3
→ a+b+c=5
Respuesta
El valor de a+b+c es 5.
Alternativa E

Matemática
12
Pregunta N.º 16
Sea u el número de decenas de sillas y v el número
de decenas de mesas que fabrica una empresa al
día. Si la utilidad diaria está dada por 200u+300v,
y se tienen las siguientes restricciones:
u+v≤4
2u+3v≤10
40u+20v ≤120
encuentre el número de decenas de mesas y sillas,
respectivamente, a fabricar diariamente de modo
que la empresa obtenga la mayor utilidad.
A) 3 y 1 B) 1 y 3 C) 2 y 2
D) 2 y 3 E) 3 y 2
Solución
Tema
Programación lineal
Referencias
En este tema se requiere determinar la región
factible,lacualseobtienemediantelarepresentación
geométrica de las restricciones dadas, para luego
calcular las coordenadas de los vértices de la región
y poder evaluar el máximo o mínimo valor de la
función objetivo.
Plan de resolución
I. Identificar la función objetivo.
II. Representación gráfica de las restricciones.
III. Evaluar la función objetivo en los vértices de la
región factible.
Ejecución del plan
I. La función objetivo es f(u, v)=200u+300v.
II. Vamos a representar geométricamente las
restricciones.
u v
u v
u v
+ ≤
+ ≤
+ ≤
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
4
2 3 10
40 20 120
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
U
V
P(2; 2)
A
B
Como u y v representan el número de decenas de
sillas y mesas, entonces, son cantidades enteras,
por lo que evaluaremos la función objetivo solo
en (2; 2) y (3; 0); así:
III. f(2; 2)=200(2)+300(2)=1000 (máximo)
f(3; 0)=200(3)+300(0)=600
Respuesta
La empresa obtendrá la mayor utilidad cuando
fabrique 2 decenas de sillas y 2 decenas de
mesas.
Alternativa C
Pregunta N.º 17
Dada la sucesión 2; 6; 12; 20; 30; 42; ...
Determine la suma de los 100 primeros términos
de la sucesión anterior.
A) 10 100 B) 294 880 C) 323 400
D) 333 300 E) 343 400

Matemática
13
Solución
Tema
Series
Referencias
Una serie es la suma de los términos de una suce-
sión y se denota por
tn
n
k
=
∑
1
Algunas sumas notables:
• k n
n n
k
n
= + + + + =
+( )
=
∑ 1 2 3
1
21
...
• k n
n n n
k
n
2
1
2 2 2 2
1 2 3
1 2 1
6=
∑ = + + + + =
+( ) +( )
...
• k k n n
n n n
k
n
+( )= × + × + × + + × +( )
=
+( ) +( )
=
∑ 1 1 2 2 3 3 4 1
1 2
3
1
...
De la sucesión
2 6 12 20 30 42
100
; ; ; ; ; ;...
términos
notamos que cada término se expresa como
1×2; 2×3; 3×4; 4×5; 5×6; 6×7; ...; 100×101
Entonces, el término general de la sucesión es
tn=n(n+1)
calculando la suma de los 100 términos de la
sucesión, obtenemos
n n
n
+( ) =
× ×
=
=
∑ 1
100 101 102
3
343400
1
100
Respuesta
La suma de los 100 términos de la sucesión es
343 400.
Alternativa E
Pregunta N.º 18
Si los números 49; 4489; 444 889; ..., obtenidos
colocando el número 48 en medio del anterior, son
los cuadrados de números enteros. Halle la suma
de los dígitos del sexto número entero.
A) 36 B) 37 C) 38
D) 39 E) 40
Solución
Tema
Sucesión
Referencias
Cuando tenemos una sucesión de números,
debemos identificar una regla de formación que
nos permita encontrar cualquier término de la
sucesión.
De los términos de la sucesión
49; 4489; 444889; ...
nos indican que cada uno de ellos son los
cuadrados de números enteros; por lo tanto,
analicemos cada término.
Números Números enteros
elevados al cuadrado
1.er
número 49 = 72
2.o
número: 4489 = 672
3.er
número 444889 = 6672
.
.
.
.
.
.
.
.
.
6.o
número : = 6666672
el sexto número entero
elevado al cuadrado es
666667
Piden la suma de los dígitos del sexto número
entero; aquí se debe entender que se refieren al
sexto número entero que está elevado al cuadrado,
esto es
6+6+6+6+6+7=37

Matemática
14
Respuesta
La suma de los dígitos del sexto número entero
es 37.
Alternativa B
Pregunta N.º 19
Determine el conjunto solución del sistema
x2
–4x+y2
=64
x3
–6x2
+12x+y=8
A) {(0; 8), (2; 1)}
B) {(0; 8), (4; –8)}
C) {(0; 8), (0, –8)}
D) {(4; –8), (2; 8)}
E) {(1; 2), (4; –8)}
Solución
Tema
Sistema de ecuaciones no lineales
Referencias
Para resolver el sistema no lineal utilizaremos
el método de Gauss; es decir, eliminar una
incógnita.
Plan de resolución
I. Completar cuadrados y cubos.
II. Eliminamos una incógnita.
III. Factorizamos aplicando el método de los
divisores binómicos.
Ejecución del plan:
I. x2
–4x+y2
=64
x2
–4x+4+y2
=64+4
(x–2)2
+y2
=68 (β)
x3
–6x2
+12x+y=8
x3
–6x2
+12x–8+y=8–8
(x–2)3
+y=0 (α)
II. En (α) tenemos: y=–(x–2)3
Reemplazando en (β) obtenemos
(x–2)2
+(–(x–2)3
)2
=68
(x–2)2
+(x–2)6
=68 (θ)
III. Haremos un cambio de variable para factori-
zarlo.
sea (x–2)2
=a
Reemplazando en (θ) tenemos
a+a3
=68
a3
+a–68=0
Se observa que a=4 es raíz → (a–4) es un factor.
Aplicamos Ruffini para obtener el otro factor.
1 0 1 –68
4 16 68
4 17 0
4
1
(a–4)(a2
+4a+17)=0
Δ<0 (no tiene solución real)
Entonces, a=4.
Reemplazamos:
(x–2)2
=4 →
x y
x y
= → = −
= → =
⎧
⎨
⎩
4 8
0 8
Respuesta
El conjunto solución es CS={(0; 8); (4; –8)}.
Alternativa B

Matemática
15
Pregunta N.º 20
Sea p(x) el polinomio de grado n, donde n es
el menor posible y cuya gráfica se representa a
continuación.
Encuentre el residuo al efectuar la división de
p(x) con q(x)=x–3.
A) –6
B) –4
C) –1
D) 1
E) 4
Solución
Tema
Gráfica de funciones polinomiales
Referencias
Para la solución del problema se necesita
conocer:
• Gráfica de una función polinomial.
• Teorema del resto.
Plan de resolución
I. A partir de la gráfica, hallar la regla de
correspondencia de p(x).
II. Aplicar el teorema del resto.
Ejecución del plan
I.
p(x)=k(x–1)2a
(x–2)2b–1
;
a, b ∈ Z+
Como el grado de p(x) es el menor posible,
entonces
a=1 y
b=1
Luego, tenemos
p(x)=k(x–1)2
(x–2)
De la gráfica
p(0)=2
p(0)=k(–1)2
(–2)
p(0)=2
→ k=–1
Luego
p(x)=–(x–1)2
(x–2)
II. Aplicando el teorema del resto tenemos
p x
x
( )
− 3
→ R(x)=p(3)
p(3)=–(2)2
(1)
∴ p(3)=–4
Respuesta
El residuo de dividir p(x) entre x–3 es –4.
Alternativa B

Matemática
16
Pregunta N.º 21
En la figura mostrada ABCD es un cuadrado de
lado 2R, además BC es diámetro de la semicircun-
ferencia de centro O y radio de longitud R. Si T es
un punto de tangencia entonces m TOA es
A) 7,5
B) 8
C) 10
D) 10,5
E) 12,5
Solución
Tema
Circunferencia
Referencias
En la pregunta nos piden la medida de un ángulo;
entonces, debemos ubicarlo en una figura donde
se puede obtener dicha medida; por ejemplo,
un triángulo; además, como se observa una
semicircunferencia debemos aplicar los teoremas
que se cumplen en la circunferencia.
En el gráfico,
nos piden x.
Como ABCD es un cuadrado
→ BC=CD=2(BO)=2(OC)=2R
Trazamos OD → OD: Bisectriz del CDT
Luego, OCD (not.
53
2
º
):
m CDO=
53
2
º
y
m ODT=
53
2
º
En TOCD: inscriptible
→ m BOT=m CDT
m BOT=53º
OBA (not
53
2
º
)
→ m BAO=
53
2
º
En OBA
53º+x+
53
2
º
=90º
x=
21
2
º
→ x=10,5º
Respuesta
La medida del ángulo TOA es 10,5º.
Alternativa D

Matemática
17
Pregunta N.º 22
ABC es un triángulo rectángulo. Exteriormente a
los catetos se construyen los triángulos equiláteros
ABD y BEC. P, Q y R son puntos medios de BE,
BC y DC respectivamente. Si el área de la región
triangular ABC es 32 cm2
, entonces el área de la
región triangular PQR (en cm2
) es
A) 4 B) 6 C) 8
D) 12 E) 16
Solución
Tema
Área de regiones triangulares
Referencias
Para relacionar las áreas de dos regiones trian-
gulares, se busca la relación entre los elementos
de ambos triángulos (lados, alturas, medida de
ángulos, etc.).
Piden APQR: área de la región triangular PQR.
Dato AABC: área de la región triangular ABC.
(AABC=32)
Por ser P, Q y R puntos medios, se determinan
bases medias en los triángulos BEC y DBC.
QR//DB
→ m RQC=150º y RQ=
BD
2
PQ//EC
→ m PQC=120º y
PQ=
EC
2
Luego
m PQR=90º
En el gráfico,
PQR ~ ABC (caso LAL de razón 1/2)
Por áreas de regiones semejantes
A
A
PQR
ABC
=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
razón de
semejanza
2
Reemplazamos
A PQR
32
1
2
2
=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
→ APQR=8
Respuesta
El área de la región triangular PQR (en cm2
) es 8.
Alternativa C
Pregunta N.º 23
Indique la secuencia correcta después de determi-
nar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F).
I. Si dos planos son perpendiculares a dos rectas
diferentes que se intersectan, entonces dichos
planos también se intersectan.
II. El lugar geométrico que determinan los pies de
los segmentos oblicuos de longitudes iguales
trazadas desde un punto exterior a un plano
es una circunferencia.

Matemática
18
III. Toda recta es perpendicular a un plano, si es
ortogonal a dos rectas diferentes no paralelas
contenidas en dicho plano.
A) VVF
B) VFV
C) FFV
D) VVV
E) FFF
Solución
Tema
Geometría del espacio. Rectas y planos
Referencias
En este tipo de preguntas debemos hacer una
comparación entre los conceptos teóricos y los
casos posibles que plantean las proposiciones. De
esta manera, determinamos la veracidad o falsedad
de la proposición dada.
Esta pregunta consta de tres proposiciones.
I. En el espacio, solo se admiten dos posiciones
relativas entre dos planos: son paralelos o son
secantes.
• En la fig.1, los planos son paralelos si son
perpendiculares a una misma recta.
• En la fig. 2, los planos son secantes si son
perpendiculares a dos rectas que se interse-
can (proposición de la pregunta).
Entonces, la proposición es verdadera.
II.
• Como el punto Q es exterior al plano, traza-
mos QQ' de modo que Q' sea la proyección
ortogonal de Q sobre el plano W.
• En el gráfico, los triángulos rectángulos
AQ'Q; BQ'Q y DQ'Q son congruentes
entre sí.
• Luego, m=n=p=…
• Además, el punto Q' equidista de A, B,
C, D, …
Por lo tanto, el lugar geométrico que deter-
minan A, B, C y D es una circunferencia de
centro Q'.
III. Enelgráfico,paraqueunarectaseaperpendicular
a un plano, debe ser perpendicular a dos rectas
no paralelas contenidas en dicho plano.
Respuesta
La secuencia correcta después de analizar las
proposiciones es VVV.
Alternativa D

Matemática
19
Pregunta N.º 24
En la figura mostrada, ABCD es un trapecio
rectángulo tal que CD=BC=2AB=2a. Si PQ es
perpendicular al plano del trapecio tal que PQ=a
y los volúmenes de las pirámides Q-ABP y Q-CDP
son iguales, calcule el volumen de la pirámide
Q-BCP.
A) 1
2
3
a B) 3
8
3
a
C)
4
5
3
a
D)
7
8
3
a E)
5
9
3
a
Solución
Tema
Geometría del espacio. Pirámide
Referencias
En preguntas donde piden el cálculo o la relación
de volúmenes, conviene hacer un análisis de las
longitudes de las alturas o de las relaciones de
las bases. Generalmente, para el cálculo del área
de la base se emplean capítulos anteriores de
geometría plana.
Piden
Volumen de la pirámide Q-BCP:
V Ax BCP PQ= [ ]
1
3
[ ] (I)
Del gráfico tenemos PQ=a (II)
Como los volúmenes de las pirámides Q-ABP y
Q-PCD son iguales, al tener la misma altura, las
áreas de sus bases son también iguales.
Entonces,
AABP=ACPD=4A.
En el plano de la base
Del dato de áreas iguales
→ AP=2(PD)
Por relación de áreas, el área de la región trapecial:
18
2
2
2A =
+⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
a a
a( ) → =A
a2
6

Matemática
20
Luego,
ABCP=10A=
5
3
2
a
(III)
Reemplazamos (II) y (III) en (I)
→ Vx=
1
3
5
3
5
9
3 3
a
a
a⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =( )
Respuesta
El volumen de la pirámide Q-BCP es
5
9
3
a
Alternativa E
Pregunta N.º 25
La altura de un prisma recto mide 1 u, su base es
una región limitada por un rombo cuyo lado mide
2 u y su ángulo agudo mide 30º. Por un lado de
la base se traza un plano que interseca al prisma
y está inclinado un ángulo de 60º con respecto
de la base, luego el área de la sección (en u2
) que
resulta en el prisma es:
A) 2 3 B)
5
3
C)
4
3
D)
3
3
E)
2
3
Solución
Tema
Prisma
Referencias
Al trazar planos secantes a un sólido, este determina
secciones planas, que varían de acuerdo al ángulo
de inclinación y el lugar por donde interseca. Así,
un plano secante en un prisma puede determinar
una sección triangular, cuadrangular, ...
y para poder aprovechar el ángulo de inclinación
es preciso asociarlo con el teorema de las tres
perpendiculares.
Graficamos el prisma según las condiciones
planteadas.
D
D' C'
B'
AA''
S
60º
2u2u
30º
M
S'
1u1u
C2 u2 u
30º
2 u2 u B
2 u2 u
3 u
1 u1 u N
hh
H
AA
donde ABCD es un rombo de lado 2 u y la
m ABC=30º.
Si trazamos
CH ⊥ AB ... 1.a
⊥
SS' ⊥ CH ... 2.a
⊥
→ S'H ⊥ AB ... 3.a
⊥
Sea S'H=h.
Como la altura del prisma es 1 u
→ S'S=1 u
Luego, en el S'SH:
hsen60º=1 u
→ h =
2
3
u

Matemática
21
Luego, el área de la sección ABMN, que es una
región paralelográmica, se calcula multiplicando
AB y h.
A ABMN= AB h( ) = ( )⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟2
2
3
u u
A ABMN =
4
3
2
u
Respuesta
El área de la sección en u2
es
4
3
.
Alternativa C
Pregunta N.º 26
Se tiene un polígono convexo de 8 lados circuns-
crita a una circunferencia, si las longitudes de sus
lados están en progresión geométrica de razón r.
Determine r2
+3r.
A) 1 B) 4 C) 10
D) 18 E) 28
Solución
Tema
Polígonos circunscritos a una circunferencia:
Teorema de Pithot generalizado
Referencias
En un cuadrilátero circunscrito o circunscriptible,
se cumple el teorema de Pithot, es decir, la suma de
longitudes de lados opuestos son iguales.
En un polígono circunscrito o circunscriptible se
cumple que la suma de longitudes de lugar par
es igual a la suma de longitudes de lugar impar,
es considerado para un cuadrilátero, hexágono,
octógono, ..., en polígonos cuyo número de lados
es par.
Piden r2
+3r.
Las longitudes de los lados del polígono convexo
de 8 lados están en progresión geométrica de
razón r.
ar7
a ar
ar2
ar3
ar4
ar5
ar6
H D
B
A C
E
F
G
además
AB=´1, BC=´2, CD=´3, DE=´4, EF=´5,
FG=´6, GH=´7 y HA=´8,
En el octógono circunscrito por el teorema de Pithot
general, tenemos:
´1+´3+´5+´7=´2+´4+´6+´8
→ a+ar2
+ar4
+ar6
=ar+ar3
+ar5
+ar7
Factorizamos
a(1+r2
+r4
+r6
)=ar(1+r2
+r4
+r6
)
→ r=1
Respuesta
El valor de r2
+3r es 4.
Alternativa B
Pregunta N.º 27
Se da un triángulo ABC cuyos lados AB y BC
miden 8 m y 6 m respectivamente. Sobre AB
se toma el punto D. Si m BAC=m BCD.
Entonces AD es:

Matemática
22
A) 3,5 B) 4 C) 4,5
D) 5 E) 5,5
Solución
Tema
Semejanza de triángulos
Referencias
Cuando en un triángulo se desea relacionar las
longitudes de lados y segmentos determinados
por una ceviana, se puede recurrir a la teoría de
semejanza, y más aún si la medida de un ángulo
es igual al ángulo determinado por dicha ceviana
y un lado; por ejemplo:
q
q
A
B
b
m
C
M
x
Teorema:
En el ABC
m BAC=m MBC=θ
→ x2
=bm
q
q
8 6D
B
A C
Piden AD
Datos:
AB=8, BC=6
m BAC=m BCD
ABC: Por teorema de semejanza
tenemos:
(BC)2
=(AB)(BD) (I)
también
BD=8–AD
Reemplazamos:
62
=8(8–AD)
→ AD=3,5
Respuesta
Entonces, AD es 3,5.
Alternativa A
Pregunta N.º 28
En figura, AB y AC con diámetros, CT es tan-
gente al arco AB, AB=BC=2r y ET=4. Calcule r.
A) 2 3 B) 2 2 C) 3
D) 6 E) 3 3
Solución
Tema
Semejanza de triángulos
Referencias
En el problema nos piden calcular el radio de la
semicircunferencia menor, para ello debemos rela-
cionar el dato numérico con la variable, utilizando

Matemática
23
los teoremas que se cumplen en circunferencias
tangentes interiores. Luego, para obtener el valor
del radio debemos establecer una operación que
relacione la incógnita con los datos.
a
a
a a
A B C
D
E
T
4
4
r r 2r
222
24
Trazamos BT
→ m BTA=90º
Por teorema
ET=TA=4
Trazamos AD
→ AT es bisectriz del DAC
m DAT=m TAC=α
Luego
m ECD=m DAE=α
En AEC: Teorema de semejanza
(EC)2
=(8)(4)
→ EC = 4 2
AEC: Teorema base media
→ TB = 2 2
ATB: (2r)2
=42
+ 2 2
2
( )
r = 6
Respuesta
El valor de r es 6.
Alternativa D
Pregunta N.º 29
En un triángulo ABC se cumple AB=2 m y
AC=32 m. Halle el perímetro del triángulo en
metros, sabiendo que es un número entero y el
ángulo en A es obtuso.
A) 65 B) 66 C) 67
D) 68 E) 69
Solución
Tema
Clasificación de triángulos:
Triángulo obstusángulo.
Referencias
Para realizar el cálculo del perímetro, es necesario
conocer BC, el cual, por dato, debe ser entero.
Como las longitudes de los otros dos lados son
conocidas, podemos restringir a BC mediante el
teorema de existencia; pero como la medida de
un ángulo interior es mayor de 90º (obtuso), se
puede realizar la restricción de BC por la naturaleza
del triángulo.
Por dato del problema tenemos
AB=2,
AC=32 y
m BAC>90º
Piden
2P ABC=2+32+BC=34+BC.
B
2
A 32
C

Matemática
24
En el ABC: Existencia de triángulos
32–2<BC<32+2 (I)
• Como m BAC>90º
322
+22
< BC2
32,06 < BC (II)
• Luego, relacionamos las restricciones (I) y (II).
32,06 < BC < 34 (III)
• 2P ABC=34+BC
Como el perímetro es entero, entonces, BC es
entero.
• Luego, de la expresión (III) obtenemos
BC=33
∴ 2P ABC=67
Respuesta
El perímetro de la región triangular ABC en metros
es 67.
Alternativa C
Pregunta N.º 30
En la figura se tiene una pirámide inscrita en un
cilindro circular oblicuo. La base de la pirámide
es un triángulo equilátero. El volumen de la
pirámide es
27 3
π
cm3
. Calcule el volumen del
cilindro (en cm3
).
A)
27
π
B)
54
π
C)
108
π
D) 54 E) 108
Solución
Tema
Sólidos geométricos
Referencias
Para calcular el volumen de una pirámide se ne-
cesita conocer el área de su base y la altura de la
pirámide, mientras que para calcular el volumen
del cilindro se requiere conocer el área de su base
y su altura. Como el cilindro es circular oblicuo,
su base es un círculo, mientras que la base de la
pirámide es un triángulo equilátero.
Del gráfico que nos dan como dato podemos no-
tar que ambos sólidos tienen la misma altura y el
triángulo de la base de la pirámide está inscrita en la
circunferencia que limita la base del cilindro.
Denotemos los vértices de la base de la pirámide
como A, B y C, y r el radio del círculo de la base
del cilindro.
r
O
A
C
B
rr
Graficando el triángulo equilátero inscrito en la
circunferencia tenemos:

Matemática
25
2r
A C
B
30º 30º
r r
r
120º120º
O'
r
En el AO'C:
AO=r=OC
m AOC=120º
→ AC=r 3=AB=BC
Ahora podemos calcular el volumen de la pirá-
mide.
VO-ABC=
1
3
(Abase)×h=
1
3
r
h
3 3
4
2
( )⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟×
VO-ABC=r
h
2
3
4
27 3⋅ =
π
cm3
De aquí podemos despejar las variables y obte-
nemos:
πr2
·h=108 cm3
(I)
Ahora calculamos el volumen del cilindro
Vcilindro=Abase×h
Vcilindro=πr2
×h
De (I):
Vcilindro=108 cm3
Respuesta
El volumen del cilindro en cm3
es 108.
Alternativa E
Pregunta N.º 31
En un polígono convexo equiángulo ABCDEF se
tiene AB=7, CD=6 y DE=8. Calcule BF.
A)
7
2
3 B) 7 C) 5 3
D) 7 2 E) 7 3
Solución
Tema
Polígonos
Referencias
Dentro del grupo de los polígonos tenemos al
polígono equiángulo, que se caracteriza por que
sus medidas angulares internas y externas son,
respectivamente, iguales.
Como se conoce que la suma de las medidas
angulares de un polígono convexo es 180º(n–2)
y n es el número de lados, entonces, la medida de
un ángulo interior será:
i
n
n
=
−( )180 2º
Según el dato del problema, el polígono equián-
gulo es ABCDEF, es decir, tiene seis lados (n=6);
entonces,
i 6
180 6 2
6
120( ) =
−( )
=
º
º.
Grafiquemos el hexágono con las condiciones del
problema:
AB=7, CD=6 y
DE=8.

Matemática
26
60º
60º60º
M F E Na 8
a
A
B C
D
8a 8
60º 60º
60º
120º
120º
120º
x
120º
7 6
Al prolongar los lados BA, EF y CD, las medidas de
los ángulos externos en A, F, E y D es 60º, además,
se forman los triángulos AFM y DEN; estos, a la
vez, forman el triángulo isósceles MBCN, donde
MB=CN.
Como
DE=8
→ DN=EN=8.
Así también si
AF=a
→ AM=MF=a.
Luego
a+7=6+8
∴ a=7
Por lo tanto, en el triángulo notable BAF tenemos
120º
A
7 7
F Bx
Entonces, BF=7 3.
Respuesta
La longitud de BF es 7 3.
Alternativa E
Pregunta N.º 32
El ángulo de desarrollo de un cono circular recto
mide 120º. Si la altura del cono mide 4 cm,
entonces el radio (en cm) del cono es:
A)
2
2
B) 2 C) 3
D) 2 2 E) 2 3
Solución
Tema
Cono circular recto
Referencias
Al desarrollar la superficie lateral de un cono
circular recto, resulta un sector circular cuyos
elementos se asocian con los del cono dado.
OO
h
B A
V
g g
r
a
g
A
B2 rp
En el gráfico α es la medida del ángulo de
desa-rrollo.
Sea θ su medida en radianes.
→ θ
πα
=
180º
Luego, la longitud del arco ABA se asocia con el
radio de la base del cono.

Matemática
27
´ABA
=2πr
´ABA
=θ×g
∴ θ
π
=
2 r
g
Nos dan como dato α=120º y h=4 cm; entonces,
podemos calcular θ y encontrar una relación entre
r y g.
→ θ
π π
=
( )
=
120
180
2
3
º
º
Luego
r
g
=
1
3
ó g=3r
Como nos piden el radio de la base en cm, re-
currimos al teorema de Pitágoras para relacionar
r, g y h.
En el AVO: g2
=r2
+h2
Reemplazamos valores:
(3r)2
=r2
+(4)2
∴ r= 2
Respuesta
El radio del cono en centímetros es 2.
Alternativa B
Pregunta N.º 33
En un nuevo sistema de medición angular, un
ángulo de α grados sexagesimales mide α– 3. Si
un ángulo de π radianes mide 120 en el nuevo
sistema, halle α– 3.
A) 3 B) 6 C) 9
D) 12 E) 15
Solución
Tema
Sistemas de medición angular
Referencias
La equivalencia entre los grados sexagesimales y el
número de radianes de un ángulo es π rad=180º.
• Nuevo sistema de medición angular (X), donde
1X
denota un grado en el sistema X.
• Condiciones:
αº=(α–3)X
π rad=120X
Empleamos el método del factor de conversión:
α α
π
π
º ( )
º
= −
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟3
180X
X
rad
120 rad
α αº ( )
º
= −
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟3
3
2
2α=3α–9
α=9
Se busca calcular
(α–3).
Respuesta
El valor de (α–3) es 6.
Alternativa B
Pregunta N.º 34
En la figura
a
b
=
3
2
y el área de la región sombreada
es 5 veces el área del sector circular OPQ.
Determine la relación
´
´
SR
BA
.

Matemática
28
A)
2
3
B)
16
27
C)
3
2
D)
45
16
E)
10
3
Solución
Tema
Longitud de arco y área del sector circular
Referencias
• Longitud de arco (´)
r
q rad µ µ= ×q r
• Área de un sector circular (A)
r
q radq rad A r=q 2
2
Condición 1
a
b
a k
b k
=
=
=
3
2
3
2
Incógnita:
´
´
SR
BA
3k
2k
O
C
A
B
D
S
R
Q
PP
qq aa
Pero ´SR
k= α( )5
´BA
k= θ( )3
´
´
SR
BA
=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
5
3
α
θ
(I)
Condición 2
El área sombreada es igual a cinco veces el área
del sector OPQ.
1
2
5
1
2
3 5
3
2
2 2
2
θ θ
α
( ) ( )
( )
k k
k
− =
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
16
2
45
2
2 2
θ αk k
=
16
45
=
α
θ
(II)
Al reemplazar (II) en (I) se obtiene:
´
´
SR
BA
=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
5
3
16
45
´
´
SR
BA
=
16
27
Respuesta
La relación
´
´
SR
BA
es
16
27
.
Alternativa B

Matemática
29
Pregunta N.º 35
Un punto M=(x; y) dista de un punto C=(2; 5),
10 unidades. La pendiente de la recta que pasa
por M y A=(7; 5) es 1/2. Determine el punto M
de mayor abscisa.
A) (–1; 4) B) (–1; 6) C) (1; 8)
D) (3; 2) E) (5; 4)
Solución
Tema
Geometría analítica
Referencias
• Distancia entre dos puntos
• Ecuación de una recta
De la condición tenemos
• C(2; 5)
M x y( ; )
10
Por distancia entre dos puntos se cumple que
10 2 5
2 2
= −( ) + −( )x y
Elevando al cuadrado, tenemos
(x–2)2
+(y–5)2
=10 (I)
• Dato m
L
=
1
2
A(7; 5)
L
M
Calculamos la ecuación de la recta L .
y–5=m
L
(x–7)
y–5=
1
2
(x–7) (II)
Reemplazamos (II) en (I)
(x–2)2
+
1
2
7 10
2
x −( )⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
(x–2)2
+
1
4
(x–7)2
=10
Reduciendo, tenemos
x2
–6x+5=0
x –5
x –1
x=5 ∨ x=1
Piden el punto M de mayor abscisa< enton-
ces, x=5.
Reemplazamos en (II)
y–5=
1
2
(5–7)
y=4
Entonces, M=(5,4).
Respuesta
El punto M de mayor abscisa es (5,4).
Alternativa E
Pregunta N.º 36
En el círculo trigonométrico de la figura, se tiene
CM DM= . Entonces el área de la región triangular
ABM es:

Matemática
30
A) 2
3
8
tan
π⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
B)
1
2
3
8
tan
π⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
C) 2
3
4
tan
π⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
D)
1
2
3
4
tan
π⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
E) 2
4
7
tan
π⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
Solución
Tema
Circunferencia trigonométrica (C. T.)
Referencias
• Ubicación de arcos en la C. T.
• Resolución de triángulos rectángulos.
• Cálculo del área de una región triangular.
Dato: CM DM CM DM= → = =m m
π
4
además, m mBM BM= + → =
π π π
2 4
3
4
.
A
B
M
X
Y
p
88
33
2
2
H
22
22
p
4
33 C
D
En el gráfico se observa que AB= 2 y AM=BM,
entonces, AH=HB=
2
2
.
Calculamos la altura MH en el triángulo AHM.
MH =
2
2
3
8
tan
π
Luego
S
AB MH
=
( )( )
2
S =
( )
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟2
2
2
3
8
2
tan
π
Por lo tanto,
S =
1
2
3
8
tan
π
.
Respuesta
El área de la región triangular ABM es igual a
1
2
3
8
tan
π
.
Alternativa B
Pregunta N.º 37
Simplificando la siguiente expresión
K=sen2
3Acsc2
A+cos2
3Asec2
A+2cos4A,
se obtiene
A) 6cos2
2A
B) 6cos2A
C) 8sen2
A
D) 12senA
E) 12cos2
2A
Solución
Tema
Identidades trigonométricas de arcos múltiples

Matemática
31
Referencias
• Empleamos las identidades auxiliares del arco
triple
sen3θ=senθ(2cos2θ+1)
cos3θ=cosθ(2cos2θ–1)
• Empleamos la identidad del arco doble relacio-
nada con el coseno.
cos2θ=2cos2
θ–1
K=sen2
3Acsc2
A+cos2
3Asec2
A+2cos4A
entonces
K
A
A
A
A
A=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
sen
sen
cos
cos
cos
3 3
2 4
2 2
Ahora aplicamos las identidades del arco triple.
K=(2cos2A+1)2
+(2cos2A–1)2
+2cos4A
Desarrollando los binomios y aplicando la identi-
dad del arco doble, obtenemos
K=2(4cos2
2A+1)+2(2cos2
2A–1)
→ K=12cos2
2A
Respuesta
Entonces, K es igual a 12cos2
2A.
Alternativa E
Pregunta N.º 38
Sea f x
x x
x x
x k( ) =
+
+
≠
sen tan
cos cot
, .
π
2
Entonces podemos afirmar que
A) f(x) toma valores positivos y negativos.
B) f(x) toma un número finito de valores negativos.
C) f(x) toma solamente valores negativos.
D) f(x) toma solamente valores positivos.
E) f(x) es constante.
Solución
Tema
Funciones trigonométricas
Referencias
Para reducir la expresión aplicaremos identidades
trigonométricas.
tan
sen
cos
x
x
x
= cot
cos
sen
x
x
x
=
f x
x x
x x
x K( )
sen tan
cos cot
=
+
+
≠
π
2
cosx+cotx ≠ 0
cosx(1+1/senx) ≠ 0
cosx ≠ 0 ∧ senx ≠ –1
→ x ≠ (2n+1)
π
2
f x
x
x
x
x
x
x
( )
sen
sen
cos
cos
cos
sen
=
+
+
f x
x
x
x
x
x
x
( )
sen
cos
cos
cos
sen
sen
=
+⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
+⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
1
1
f x
x x
x x
( ) =
+( )
+( )
sen cos
cos sen
2
2
1
1
senx >–1
→ 1+senx > 0
cosx >–1
→ 1+cosx > 0
Entonces, se deduce que f(x) es positivo.
Respuesta
f(x) toma solamente valores positivos.
Alternativa D

Matemática
32
Pregunta N.º 39
Dado el sistema
x y
x y
+ =
+ =
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
4
3
1
π
sec sec
el valor de cos(x–y) es:
A) −
1
4
B) −
1
3
C) −
1
2
D)
1
4
E)
1
2
Solución
Tema
Sistemas de ecuaciones trigonométricas
Referencias
Transformaciones trigonométricas.
cos cos cos ·cosx y
x y x y
+ =
+⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
−⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟2
2 2
Identidad de arco doble.
cos2x=2cos2
x–1
De la condición
secx+secy=1
2·(cosx+cosy)=2(cosx·cosy)
2 2
2 2
×
+ −
= + + −
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ( ) ( )·cos ·cos cos cos
x y x y
x y x y
Por dato sabemos que
x y+ =
4
3
π
.
4
1
2 2
1
2
2
2
12−⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
−⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = − +
−⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ −cos cos
x y x y
→ 4
2
4
2
3 02
·cos cos
x y x y−⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
−⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ − =
2
2
3 2
2
1 0cos · cos
x y x y−⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
−⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ −
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
cos
cos
x y
x y
−⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
−⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = −
2
1
2
2
3
2
o
La ecuación admite para
cos
x y−⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
2
1
2
Luego, debido a que
cos cosx y
x y
−( ) =
−⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ −2
2
12
Por lo tanto
cos x y−( ) = −
1
2
Respuesta
El valor de cos(x–y) es −
1
2
.
Alternativa C
Pregunta N.º 40
En las circunferencias tangentes de la figura, son
datos r0 (radio) y α. Determine el radio R.

Matemática
33
A)
1
0
−⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
cos
cos
α
α
r
B)
cos
cos
α
α1
0
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ r
C)
1
1
0
−
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
cos
cos
α
α
r
D)
1
0
+⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
cos
cos
α
α
r
E)
1
1
0
+
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
cos
cos
α
α
r
Solución
Tema
Razones trigonométricas de un ángulo agudo
Referencias
Definición del coseno de un ángulo agudo.
cosα =
cateto adyacente
hipotenusa
a
R
r0
R
Por definición tenemos
cosα =
+
R
R r0
Rcosα+r0cosα=R
r0cosα=R(1–cosα)
R
r
=
−
0
1
cos
cos
α
α
R r=
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
cos
cos
α
α1
0
Respuesta
Entonces, el radio R, en términos de r0 y α, es
cos
cos
α
α1
0
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ r
Alternativa B

Mate

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